專(zhuān)題7.6 期末專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)之大題壓軸重難點(diǎn)題型（舉一反三）（教師版含解析） 2022年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列（浙教版）

專(zhuān)題7.6期末專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)之大題壓軸重難點(diǎn)題型【浙教版】【題型1平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)綜合】【例1】（2021秋?蓮湖區(qū)期末）已知，AB∥CD，直線(xiàn)MN與直線(xiàn)AB、CD分別交于點(diǎn)E、F．（1）如圖1，若∠1＝58°，求∠2的度數(shù)；（2）如圖2，∠BEF與∠EFD的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，EP與CD交于點(diǎn)G，H是MN上一點(diǎn)，且GH⊥EG．求證：PF∥GH．（3）如圖3，在（2）的條件下．連接PH，K是GH上一點(diǎn)使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠EPK．問(wèn)∠HPQ的大小是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其值；若變化，說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠1＝∠EFD，再利用鄰補(bǔ)角的定義可求解∠2的度數(shù)；（2）先根據(jù)兩條直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，再根據(jù)∠BEF與∠EFD的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，可得∠EPF＝90°，進(jìn)而證明PF∥GH；（3）根據(jù)角平分線(xiàn)定義，及角的和差計(jì)算即可求得∠HPQ的度數(shù)．【解答】（1）解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠EFD，∵∠EFD+∠2＝180°，∴∠1+∠2＝180°，∵∠1＝58°，∴∠2＝122°；（2）證明：由（1）知，AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD＝180°．又∵∠BEF與∠EFD的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，∴∠FEP+∠EFP=12（∠BEF+∠EFD）＝∴∠EPF＝90°，即EG⊥PF．∵GH⊥EG，∴PF∥GH；（3）解：∵∠PHK＝∠HPK，∴∠PKG＝2∠HPK．又∵GH⊥EG，∴∠KPG＝90°﹣∠PKG＝90°﹣2∠HPK．∴∠EPK＝180°﹣∠KPG＝90°+2∠HPK．∵PQ平分∠EPK，∴∠QPK∴∠HPQ＝∠QPK﹣∠HPK＝45°．答：∠HPQ的度數(shù)為45°．【變式1-1】（2021秋?安溪縣期末）如圖，直線(xiàn)AB∥CD，直線(xiàn)EF與AB、CD分別交于點(diǎn)G、H，∠EHD＝α（0°＜α＜90°）．小安將一個(gè)含30°角的直角三角板PMN按如圖①放置，使點(diǎn)N、M分別在直線(xiàn)AB、CD上，且在點(diǎn)G、H的右側(cè)，∠P＝90°，∠PMN＝60°．（1）填空：∠PNB+∠PMD∠P（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）若∠MNG的平分線(xiàn)NO交直線(xiàn)CD于點(diǎn)O，如圖②．①當(dāng)NO∥EF，PM∥EF時(shí)，求α的度數(shù)；②小安將三角板PMN保持PM∥EF并向左平移，在平移的過(guò)程中求∠MON的度數(shù)（用含α的式子表示）．【分析】（1）過(guò)P點(diǎn)作PQ∥AB，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠PNB＝∠NPQ，∠PMD＝∠QPM，進(jìn)而可求解；（2）①由平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠ONM＝∠PMN＝60°，結(jié)合角平分線(xiàn)的定義可得∠ANO＝∠ONM＝60°，再利用平行線(xiàn)的性質(zhì)可求解；②可分兩種情況：點(diǎn)N在G的右側(cè)時(shí)，點(diǎn)N在G的左側(cè)時(shí)，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)及角平分線(xiàn)的定義計(jì)算可求解．【解答】解：（1）過(guò)P點(diǎn)作PQ∥AB，∴∠PNB＝∠NPQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠PMD＝∠QPM，∴∠PNB+∠PMD＝∠NPQ+∠QPM＝∠MPN，故答案為：＝（2）①∵NO∥EF，PM∥EF，∴PO∥PM，∴∠ONM＝∠NMP，∵∠PMN＝60°，∴∠ONM＝∠PMN＝60°，∵NO平分∠MNO，∴∠ANO＝∠ONM＝60°，∵AB∥CD，∴∠NOM＝∠ANO＝60°，∴α＝∠NOM＝60°；②點(diǎn)N在G的右側(cè)時(shí)，如圖②，∵PM∥EF，∠EHD＝α，∴∠PMD＝α，∴∠NMD＝60°+α，∵AB∥CD，∴∠ANM＝∠NMD＝60°+α，∵NO平分∠ANM，∴∠ANO=12∠ANM＝30°+∵AB∥CD，∴∠MON＝∠ANO＝30°+12點(diǎn)N在G的左側(cè)時(shí)，如圖，∵PM∥EF，∠EHD＝α，∴∠PMD＝α，∴∠NMD＝60°+α，∵AB∥CD，∴∠BNM+∠NMO＝180°，∠BNO＝∠MON，∵NO平分∠MNG，∴∠BNO=12[180°﹣（60°+α）]＝60°∴∠MON＝60°-1綜上所述，∠MON的度數(shù)為30°+12α或60°【變式1-2】（2021秋?沙坪壩區(qū)期末）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，連結(jié)CE．（1）如圖1，若CE平分∠ACD，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥CE交CD于點(diǎn)M，試說(shuō)明∠A＝2∠CME；（2）如圖2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度數(shù)；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥CE交∠DCE的平分線(xiàn)于點(diǎn)M，MN⊥CM交AB于點(diǎn)N，CH⊥AB，垂足為H．若∠ACH=12∠ECH，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠MNB與∠【分析】（1）利用平行線(xiàn)的性質(zhì)和角平分線(xiàn)的定義分別計(jì)算∠A與∠CME，即可得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)F作FM∥AB，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)和角平分線(xiàn)的定義和（1）的結(jié)論解答即可；（3）延長(zhǎng)CM交AN的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，設(shè)∠ACH＝x，則∠ECH＝2x，ECM＝∠DCM＝y(tǒng)，利用垂直的定義得到x+y＝45°；利用三角形的內(nèi)角和定理分別用x，y的代數(shù)式表示出∠MNB與∠A，計(jì)算∠MNB+∠A即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵EM⊥CE，∴∠CEM＝90°．∵∠AEC+∠CEM+∠BEM＝180°，∴∠AEC+∠BEM＝90°．∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠ECD，∠CME＝∠BEM．∴∠ECD+∠CME＝90°．∴2∠ECD+2∠CME＝180°．∵CE平分∠ACD，∴ACD＝2∠ECD．∴∠ACD+2∠CME＝180°．∵AB∥CD，∴∠ACD+∠A＝180°．∴∠A＝2∠CME．（2）解：過(guò)點(diǎn)F作FM∥AB，如圖，∵AB∥CD，∴FM∥AB∥CD．∴∠AFM＝∠BAF，∠CFM＝∠DCF．∴∠AFM+∠CFM＝∠BAF+∠DCF．即∠AFC＝∠BAF+∠DCF．∵AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，∴∠CAB＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF．∴∠CAB+∠DCE＝2（∠BAF+∠DCF）＝2∠AFC．∵∠AFC＝70°，∴∠CAB+∠DCE＝140°．∵AB∥CD，∴∠CAB+∠ACE+∠DCE＝180°．∴∠ACE＝180°﹣（∠CAB+∠DCE）＝180°﹣140°＝40°．（3）∠MNB與∠A之間的數(shù)量關(guān)系是：∠MNB＝135°﹣∠A．延長(zhǎng)CM交AN的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，如圖，∵M(jìn)N⊥CM，∴∠NMF＝90°．∴∠MNB＝90°﹣∠F．同理：∠HCF＝90°﹣∠F．∴∠MNB＝∠HCF．∵∠ACH=12∠∴設(shè)∠ACH＝x，則∠ECH＝2x．∵CM平分∠DCE，∴設(shè)∠ECM＝∠DCM＝y(tǒng)．∴∠MNB＝∠HCF＝2x+y．∵AB∥CD，CH⊥AB，∴CH⊥CD．∴∠HCD＝90°．∴∠ECH+∠ECD＝90°．∴2x+2y＝90°．∴x+y＝45°．∵CH⊥AB，∴∠A＝90°﹣∠ACH＝90°﹣x．∴∠A+∠MNB＝90°﹣x+2x+y＝90°+x+y＝135°．∴∠MNB＝135°﹣∠A．【變式1-3】（2021秋?南崗區(qū)校級(jí)期末）已知：直線(xiàn)AB∥CD，一塊三角板EFH，其中∠EFH＝90°，∠EHF＝60°．（1）如圖1，三角板EFH的頂點(diǎn)H落在直線(xiàn)CD上，并使EH與直線(xiàn)AB相交于點(diǎn)G，若∠2＝2∠1，求∠1的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)三角板EFH的頂點(diǎn)F落在直線(xiàn)AB上，且頂點(diǎn)H仍在直線(xiàn)CD上時(shí)，EF與直線(xiàn)CD相交于點(diǎn)M，試確定∠E、∠AFE、∠MHE的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，當(dāng)三角板EFH的頂點(diǎn)F落在直線(xiàn)AB上，頂點(diǎn)H在AB、CD之間，而頂點(diǎn)E恰好落在直線(xiàn)CD上時(shí)得△EFH，在線(xiàn)段EH上取點(diǎn)P，連接FP并延長(zhǎng)交直線(xiàn)CD于點(diǎn)T，在線(xiàn)段EF上取點(diǎn)K，連接PK并延長(zhǎng)交∠CEH的角平分線(xiàn)于點(diǎn)Q，若∠Q﹣∠HFT＝15°，且∠EFT＝∠ETF，求證：PQ∥FH．【分析】（1）利用兩直線(xiàn)平行，同位角相等和平角的意義解答即可；（2）利用平行線(xiàn)的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的推論解答即可；（3）設(shè)∠AFE＝x，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)和角平分線(xiàn)的定義在△QEP中，通過(guò)計(jì)算∠QPE＝60°，利用同位角相等，兩直線(xiàn)平行判定即可得出結(jié)論．【解答】（1）解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠CHG．∵∠2＝2∠1，∴∠2＝2∠CHG．∵∠CHG+∠EHF+∠2＝180°，∴3∠CHG+60°＝180°．∴∠CHG＝40°．∴∠1＝40°．（2）解：∠E、∠AFE、∠MHE的數(shù)量關(guān)系為：∠AFE＝∠E+∠MHE，理由：∵AB∥CD，∴∠AFE＝∠CME．∵∠CME＝∠E+∠MHE，∴∠AFE＝∠E+∠MHE．（3）證明：設(shè)∠AFE＝x，則∠BFH＝90°﹣x，∠EFB＝180°﹣x．∵AB∥CD，∴∠BFT＝∠ETF．∵∠EFT＝∠ETF，∴∠EFT＝∠BFT=12∠EFB＝90°-∴∠HFT＝∠BFT﹣∠BFH=12∵∠Q﹣∠HFT＝15°，∴∠Q＝15°+12∵AB∥CD，∴∠AFE+∠CEF＝180°．∴∠CEF＝180°﹣x．∴∠CEH＝∠CEF+∠FEH＝180°﹣x+30°＝210°﹣x．∵EQ平分∠CEH，∴∠QEH=12∠CEH＝105°-∵∠Q+∠QEH+∠QPE＝180°，∴15°+12x+105°-12x+∠∴∠QPE＝60°．∵∠H＝60°，∴∠QPE＝∠H．∴PQ∥FH．【題型2平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)綜合（作平行線(xiàn)）】【例2】（2021秋?封丘縣期末）綜合與探究問(wèn)題情境：“公路村村通”的政策讓公路修到了山里，蜿蜒的盤(pán)山公路連接了山里與外面的世界．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師把山路抽象成圖1所示的樣子，并提出了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，AB∥CD，∠B＝125°，∠C＝25°，求∠BPC的度數(shù)．小康的解法如下：解：如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB．∵AB∥CD，∴PQ∥CD（根據(jù)1）．∵AB∥PQ，∴∠B+∠BPQ＝180°（根據(jù)2）．…（1）①小康的解法中的根據(jù)1是指；②根據(jù)2是指．（2）按照上面小康的解題思路，完成小康剩余的解題過(guò)程．（3）聰明的小明在圖1的基礎(chǔ)上，將圖1變?yōu)閳D2，其中AB∥CD，∠B＝125°，∠PQC＝65°，∠C＝145°，求∠BPQ的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)可以直接寫(xiě)出答案；（2）由PQ∥CD，得出∠C＝∠CPQ，已知∠B＝125°，∠C＝25°，得出∠BPC；（3）過(guò)點(diǎn)P作PN∥AB，過(guò)點(diǎn)Q作QM∥AB，利用平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，以及互補(bǔ)角和為180°來(lái)確定∠BPQ的度數(shù)．【解答】解：（1）①平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行；②兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)；（2）如圖1所示，∵PQ∥CD，∴∠C＝∠CPQ，∵∠B＝125°，∠C＝25°，∴∠BPC＝∠BPQ+∠QPC＝180°﹣∠B+∠C＝180°﹣125°+25°＝80°；（3）如圖2所示，過(guò)點(diǎn)P作PN∥AB，過(guò)點(diǎn)Q作QM∥AB，∵AB∥CD，∴PN∥QM∥CD，∴∠B+∠BPN＝180°，∠NPQ＝∠PQM，∠MQC+∠C＝180°，∵∠B＝125°，∠PQC＝65°，∠C＝145°，∴∠BPN＝180°﹣∠B＝180°﹣125°＝55°，∠CQM＝180°﹣∠C＝180°﹣145°＝35°，∴∠PQM＝∠PQC﹣∠CQM＝65°﹣35°＝30°，∴∠NPQ＝∠PQM＝30°，∴∠BPQ＝∠BPN+∠NPQ＝55°+30°＝85°．【變式2-1】（2021秋?肇東市校級(jí)期末）已知直線(xiàn)l1∥l2，l3和l1，l2分別交于C，D點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在線(xiàn)l1，l2上，且位于l3的左側(cè)，點(diǎn)P在直線(xiàn)l3上，且不和點(diǎn)C，D重合．（1）如圖1，有一動(dòng)點(diǎn)P在線(xiàn)段CD之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：∠APB＝∠1+∠2；（2）如圖2，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在C點(diǎn)之上運(yùn)動(dòng)時(shí)，猜想∠APB、∠1、∠2有何數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PE∥l1，根據(jù)l1∥l2可知PE∥l2，故可得出∠1＝∠APE，∠2＝∠BPE．再由∠APB＝∠APE+∠BPE即可得出結(jié)論；（2）過(guò)P作PE∥AC，依據(jù)l1∥l2，可得PE∥BD，進(jìn)而得到∠2＝∠BPE，∠1＝∠APE，再根據(jù)∠BPE＝∠APE+∠APB，即可得出∠2＝∠1+∠APB．【解答】（1）證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PE∥l1，∵l1∥l2，∴PE∥l2，∴∠1＝∠APE，∠2＝∠BPE．又∵∠APB＝∠APE+∠BPE，∴∠APB＝∠1+∠2；（2）解：上述結(jié)論不成立，新的結(jié)論：∠2＝∠1+∠APB．理由如下：如圖2，過(guò)P作PE∥AC，∵l1∥l2，∴PE∥BD，∴∠2＝∠BPE，∠1＝∠APE，∵∠BPE＝∠APE+∠APB，∴∠2＝∠1+∠APB．【變式2-2】（2021秋?東營(yíng)期末）（1）（問(wèn)題）如圖1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF的度數(shù)．（2）（問(wèn)題遷移）如圖2，AB∥CD，點(diǎn)P在AB的上方，問(wèn)∠PEA，∠PFC，∠EPF之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）（聯(lián)想拓展）如圖3所示，在（2）的條件下，已知∠EPF＝60°，∠PFC＝120°，∠PEA的平分線(xiàn)和∠PFC的平分線(xiàn)交于點(diǎn)G，直接寫(xiě)出∠G的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定可求解；（2）過(guò)P點(diǎn)作PN∥AB，則PN∥CD，可得∠FPN＝∠PEA+∠FPE，進(jìn)而可得∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即可求解；（3）過(guò)點(diǎn)G作AB的平行線(xiàn)，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)解答即可．【解答】解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PM∥AB，∴∠1＝∠AEP，∵∠AEP＝40°，∴∠1＝40°，∵AB∥CD，∴PM∥CD，∴∠2+∠PFD＝180°，∵∠PFD＝130°，∴∠2＝180°﹣130°＝50°．∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°，即∠EPF＝90°；（2）∠PFC＝∠PEA+∠EPF，理由如下：如圖2，過(guò)P點(diǎn)作PN∥AB，則PN∥CD，∴∠PEA＝∠NPE，∵∠FPN＝∠NPE+∠EPF，∴∠FPN＝∠PEA+∠EPF，∵PN∥CD，∴∠FPN＝∠PFC，∴∠PFC＝∠PEA+∠EPF；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)G作AB的平行線(xiàn)GH．∵GH∥AB，AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，又∵∠PEA的平分線(xiàn)和∠PFC的平分線(xiàn)交于點(diǎn)G，∴∠HGE＝∠AEG=12∠AEP，∠HGF＝∠CFG=1由（2）可知，∠PFC＝∠EPF+∠AEP，∴∠HGF=12（∠EPF+∠∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE=12（∠EPF+∠AEP）-12∠AEP∵∠EPF＝60°，∴∠EGF＝30°．【變式2-3】（2021秋?雁江區(qū)期末）如圖1，AB∥CD，定點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線(xiàn)AB，CD上，在平行線(xiàn)AB，CD之間有一動(dòng)點(diǎn)P，滿(mǎn)足0°＜∠EPF＜180°．（1）試問(wèn)∠AEP，∠EPF，∠PFC滿(mǎn)足怎樣的數(shù)量關(guān)系？解：由于點(diǎn)P是平行線(xiàn)AB，CD之間有一動(dòng)點(diǎn)，因此需要對(duì)點(diǎn)P的位置進(jìn)行分類(lèi)討論：如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在EF的左側(cè)時(shí)，∠AEP，∠EPF，∠PFC滿(mǎn)足數(shù)量關(guān)系為：；如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在EF的右側(cè)時(shí)，∠AEP，∠EPF，∠PFC滿(mǎn)足數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖3，EQ，F(xiàn)Q分別平分∠PEB和∠PFD，且點(diǎn)P在EF左側(cè)．①若∠EPF＝60°，則∠EQF＝；②猜想∠EPF與∠EQF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；③如圖4，若∠BEQ與∠DFQ的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)Q1，∠BEQ1與∠DFQ1的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)Q2，∠BEQ2，與∠DFQ2的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)Q3；此次類(lèi)推，則∠EPF與∠EQ2021F滿(mǎn)足怎樣的數(shù)量關(guān)系？（直接寫(xiě)出結(jié)果）【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PH∥AB，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；（2）作輔助線(xiàn)后能求出各個(gè)角的度數(shù)，列出關(guān)系式求解，即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PH∥AB，則∠EPF＝∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP，故答案為：∠EPF＝∠AEP+∠PFC；∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；（2）①∠EPF＝60°，則∠EQF＝150°，由（1）知∠PEA+∠PFC＝∠P＝60°，而∠PFC+2∠6＝180°，∠PEA+2∠5＝180°，故∠5+∠6＝150°＝∠EQF，故答案為150°；②∠EPF+2∠Q＝360°，理由如下：如圖3，過(guò)點(diǎn)P作PG∥AB，∵EQ，F(xiàn)Q分別平分∠PEB和∠PFD，∴∠PEB＝2∠5，∠PFD＝2∠6，∵PG∥AB，∴∠1＝∠2，∵AB∥CD，PG∥AB，∴CD∥PG，∴∠3＝∠4，∵∠EPF＝∠2+∠3，∴∠EPF＝∠1+∠4，同理∠EQF＝∠5+∠6，∵∠1+∠PEB＝180°，∠4+∠PFD＝180°，∴∠1+∠PEB+∠4+∠PFD＝360°，∴∠1+2∠5+∠4+2∠6＝360°，∴∠EPF+2∠EQF＝360°；③∠EPF+22022∠EQ2021F＝360°．【題型3平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)綜合（含旋轉(zhuǎn)）】【例3】（2021秋?太康縣期末）如圖，將一副三角板中的兩個(gè)直角頂點(diǎn)C疊放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．【觀察猜想】（1）∠BCD與∠ACE的數(shù)量關(guān)系是；∠BCE與∠ACD的數(shù)量關(guān)系是；【類(lèi)比探究】（2）若保持三角板ABC不動(dòng)，繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)三角板DCE，試探究當(dāng)∠ACD等于多少度時(shí)CE∥AB，畫(huà)出圖形并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；【拓展應(yīng)用】（3）若∠BCE＝3∠ACD，求∠ACD的度數(shù)；并直接寫(xiě)出此時(shí)DE與AC的位置關(guān)系．【分析】（1）依據(jù)∠BCD+∠ACD＝90°，∠ACE+∠ACD＝90°，可得∠BCD＝∠ACE；依據(jù)∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°+∠ACE，即可得到∠BCE+∠ACD＝180°；（2）分兩種情況討論，畫(huà)出圖形，根據(jù)平行線(xiàn)的判定，即可得到當(dāng)∠ACD等于60°或120°時(shí)，CE∥AB；（3）根據(jù)∠BCE＝3∠ACD，∠BCE+∠ACD＝180°，即可求出∠ACD的度數(shù)；根據(jù)平行線(xiàn)的判定以及垂直的定義得到此時(shí)DE與AC的位置關(guān)系．【解答】解：（1）∵∠BCD+∠ACD＝90°，∠ACE+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠ACE；∵∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°+∠ACE，∴∠BCE+∠ACD＝90°+∠ACE+∠ACD＝90°+90°＝180°，∴∠BCE+∠ACD＝180°．故答案為：∠BCD＝∠ACE；∠BCE+∠ACD＝180°；（2）分兩種情況：①如圖1所示，當(dāng)CE∥AB時(shí)，∠ACE＝∠A＝30°，∴∠ACD＝∠DCE﹣∠ACE＝90°﹣30°＝60°．②如圖2所示，當(dāng)CE∥AB時(shí)，∠BCE＝∠B＝60°，∴∠ACD＝360°﹣∠ACB﹣∠BCE﹣∠DCE＝360°﹣90°﹣60°﹣90°＝120°．綜上所述，當(dāng)∠ACD等于60°或120°時(shí)，CE∥AB；（3）設(shè)∠ACD＝α，則∠BCE＝3α．由（1）可知，∠BCE+∠ACD＝180°，∴3α+α＝180°，∴α＝45°，即∠ACD＝45°，此時(shí)DE⊥AC，或DE∥AC．【變式3-1】（2021秋?常寧市期末）長(zhǎng)江汛期即將來(lái)臨，防汛指揮部在一危險(xiǎn)地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況，如圖1，燈A射線(xiàn)自AM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線(xiàn)自BP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是a°/秒，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是b°/秒，且a、b滿(mǎn)足|a﹣3|+（a+b﹣4）2＝0．假定這一帶長(zhǎng)江兩岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．（1）求a、b的值；（2）若燈B射線(xiàn)先轉(zhuǎn)動(dòng)20秒，燈A射線(xiàn)才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線(xiàn)到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？（3）如圖2，兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線(xiàn)到達(dá)AN之前，若射出的光束交于點(diǎn)C，過(guò)C作CD⊥AC交PQ于點(diǎn)D，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，∠BAC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)|a﹣3|+（a+b﹣4）2＝0，可得a﹣3＝0，且a+b﹣4＝0，進(jìn)而得出a、b的值；（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行，分兩種情況進(jìn)行討論：①在燈A射線(xiàn)轉(zhuǎn)到AN之前，②在燈A射線(xiàn)轉(zhuǎn)到AN之后，分別求得t的值即可；（3）設(shè)燈A射線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，根據(jù)∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°，可得∠BAC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）∵a、b滿(mǎn)足|a﹣3|+（a+b﹣4）2＝0，∴a﹣3＝0，且a+b﹣4＝0，∴a＝3，b＝1；（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行，①當(dāng)0＜t＜60時(shí)，3t＝（20+t）×1，解得，t＝10；②當(dāng)60＜t＜120時(shí)，3t﹣3×60+（20+t）×1＝180，解得，t＝85；③當(dāng)120＜t＜160時(shí)，3t﹣360＝t+20，解得，t＝190＞160（不合題意），綜上所述，當(dāng)t＝10秒或85秒時(shí)，兩燈的光束互相平行；（3）在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，∠BAC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系不發(fā)生變化，設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，∵∠CAN＝180°﹣3t，∴∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，∵PQ∥MN，∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t+180°﹣3t＝180°﹣2t，∵∠ACD＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°，∴∠BAC：∠BCD＝3：2，即2∠BAC＝3∠BCD．【變式3-2】（2021秋?淮陰區(qū)期末）如圖，直線(xiàn)CD∥EF，點(diǎn)A，B分別在直線(xiàn)CD，EF上（自左向右分別為點(diǎn)C，A，D和點(diǎn)E，B，F(xiàn)），∠ABF＝60°．射線(xiàn)AM自射線(xiàn)AB的位置開(kāi)始，繞點(diǎn)A以每秒1°的速度沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，同時(shí)，射線(xiàn)BN自射線(xiàn)BE開(kāi)始以每秒5°的速度繞點(diǎn)B沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)射線(xiàn)BN旋轉(zhuǎn)到BF的位置時(shí)，兩者均停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為x秒．（1）如圖1，直接寫(xiě)出下列答案：①∠BAD的度數(shù)是；②當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間x＝秒時(shí)，射線(xiàn)BN過(guò)點(diǎn)A；（2）如圖2，若AM∥BN，求此時(shí)對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)時(shí)間x的值．（3）若兩條射線(xiàn)AM和BN所在直線(xiàn)交于點(diǎn)P．①如圖3，若點(diǎn)P在CD與EF之間，且∠APB＝126°，求旋轉(zhuǎn)時(shí)間x的值；②若旋轉(zhuǎn)時(shí)間x＜24，求∠APB的度數(shù)（直接寫(xiě)出用含x的代數(shù)式表示的結(jié)果）．【分析】（1）①根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)即可求得；②根據(jù)鄰補(bǔ)角定義求得∠ABE＝120°，進(jìn)而即可求得結(jié)論；（2）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出∠ABN＝∠BAM，即可得出120°﹣5x＝x，解得x＝20秒；（3）①利用三角形內(nèi)角和定理得到x+（5x﹣120°）+126°＝180°，解得x＝29秒；②借助圖形即可求得∠APB的度數(shù)．【解答】解：（1）①∵CD∥EF，∴∠BAD+∠ABF＝180°，∵∠ABF＝60°，∴∠BAD＝120°，故答案為120°；②∵∠ABF＝60°，∴∠ABE＝120°，120°÷5＝24（秒），∴當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間x＝24秒時(shí)，射線(xiàn)BN過(guò)點(diǎn)A，故答案為24；（2）∵AM∥BN，如圖2，∴∠ABN＝∠BAM，由已知∠ABN＝120°﹣5x，∠BAM＝x，120°﹣5x＝x，解得x＝20（秒），∴此時(shí)對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)時(shí)間x為20秒；（3）①如圖3，∵∠BAM＝x，∠EBN＝5x，則∠ABN＝5x﹣120°，∴x+（5x﹣120°）+126°＝180°，解得x＝29（秒）；②如圖4，當(dāng)0＜x＜20時(shí)，∠APB＝120°﹣6x，如圖5，當(dāng)20＜x＜24時(shí)，∠APB＝6x﹣120°．【變式3-3】（2021秋?泗陽(yáng)縣期末）如圖1，點(diǎn)O在直線(xiàn)AB上，∠AOC＝30°，將一個(gè)含有30°角的直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，較長(zhǎng)的直角邊OM在射線(xiàn)OB上，較短的直角邊ON在直線(xiàn)AB的下方．【操作一】：將圖1中的三角尺繞著點(diǎn)O以每秒15°的速度按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)．當(dāng)它完成旋轉(zhuǎn)一周時(shí)停止，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒．（1）圖1中與∠BOC互補(bǔ)的角有．（2）當(dāng)t＝時(shí)，ON⊥OC．【操作二】：如圖2將一把直尺的一端點(diǎn)也放在點(diǎn)O處，另一端點(diǎn)E在射線(xiàn)OC上．如圖3，在三角尺繞著點(diǎn)O以每秒15°的速度按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的同時(shí)，直尺也繞著點(diǎn)O以每秒5°的速度按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)一方完成旋轉(zhuǎn)一周時(shí)停止，另一方也停止旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒．（3）當(dāng)t為何值時(shí)，OC平分∠MOE．（4）試探索：在三角尺與直尺旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)0≤t≤22時(shí)，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得∠COM與∠AOE中其中一個(gè)角是另一個(gè)角的兩倍？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足題意的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）利用補(bǔ)角的定義解答即可；（2）根據(jù)垂直的定義建立方程求解即可；（3）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義建立方程求解即可；（4）分類(lèi)討論：①當(dāng)0≤t≤6時(shí)，②當(dāng)6＜t≤10時(shí)，③當(dāng)10＜t≤22時(shí)，分別根據(jù)∠COM＝2∠AOE或2∠COM＝∠AOE，建立方程求解即可．【解答】解：（1）如圖1，∵∠AOC＝30°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝150°；∵∠BOC+∠AOC＝180°，∠BOC+∠NMO＝180°，∴圖1中與∠BOC互補(bǔ)的角為∠AOC和∠NMO．故答案為：∠AOC和∠NMO；（2）∵將圖1中的三角尺M(jìn)NO繞著點(diǎn)O以每秒15°的速度按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)t秒，∴三角尺M(jìn)NO旋轉(zhuǎn)角度為15t度，若ON⊥OC，則ON需順時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°或330°，∴15t＝150或15t＝330，解得：t＝10或t＝22，故答案為：10或22．（3）如圖2，∵三角尺M(jìn)NO和直尺OE分別繞著點(diǎn)O以每秒15°、5°的速度按順時(shí)針?lè)较蛲瑫r(shí)旋轉(zhuǎn)t秒，∴∠COE＝5t度，∠MOM′＝15t度，∴∠COM＝∠BOC﹣∠MOM′＝150°﹣（15t）°＝（150﹣15t）°，∵OC平分∠MOE，∴∠COE＝∠COM，∴5t＝150﹣15t，解得：t=15∴當(dāng)t=152時(shí)，OC平分∠（4）存在．由題意得：∠COE＝5°t，∠MOM′＝15°t，①當(dāng)0≤t≤6時(shí)，∠AOE＝30°﹣5°t，∠COM＝150°﹣15°t，若∠COM＝2∠AOE，則150﹣5t＝2（30﹣5t），解得：t＝﹣18，不符合題意，舍去；若2∠COM＝∠AOE，則2（150﹣15t）＝30﹣5t，解得：t=545②當(dāng)6＜t≤10時(shí)，如圖3，若∠COM＝2∠AOE，∴150﹣15t＝2（5t﹣30），解得：t=42若2∠COM＝∠AOE，∴2（150﹣15t）＝5t﹣30，解得：t=66③當(dāng)10＜t≤22時(shí)，如圖4，若∠COM＝2∠AOE，∴15t﹣150＝2（5t﹣30），解得：t＝18；若2∠COM＝∠AOE，∴2（15t﹣150）＝5t﹣30，解得：t=54綜上所述，滿(mǎn)足題意的t的值為425或667或545【題型4乘法公式的幾何背景】【例4】（2021春?蘇州期末）閱讀：若x滿(mǎn)足（60﹣x）（x﹣40）＝30，求（60﹣x）2+（x﹣40）2的值．解：設(shè)（60﹣x）＝a，（x﹣40）＝b，則（60﹣x）（x﹣40）＝ab＝，a+b＝（60﹣x）+（x﹣40）＝，所以（60﹣x）2+（x﹣40）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝．請(qǐng)仿照上例解決下面的問(wèn)題：（1）補(bǔ)全題目中橫線(xiàn)處；（2）已知（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，求（30﹣x）2+（x﹣20）2的值；（3）若x滿(mǎn)足（2023﹣x）2+（2022﹣x）2＝2021，求（2023﹣x）（x﹣2022）的值；（4）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，AE＝10，CG＝25，長(zhǎng)方形EFGD的面積是400，四邊形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是長(zhǎng)方形，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果必須是一個(gè)具體數(shù)值）．【分析】（1）直接代入計(jì)算，并根據(jù)完全平方公式可解決問(wèn)題即可；（2）模仿例題，利用換元法解決問(wèn)題即可；（3）設(shè)2023﹣x＝m，2022﹣x＝n，則m2+n2＝2021，m﹣n＝1，根據(jù)（m﹣n）2可得mn的值，從而得結(jié)論；（4）表示DE和DG的長(zhǎng)，根據(jù)長(zhǎng)方形EFGD的面積是400列等式，可得a﹣b＝15，ab＝400，從而得結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)（60﹣x）＝a，（x﹣40）＝b，則（60﹣x）（x﹣40）＝ab＝30，a+b＝（60﹣x）+（x﹣40）＝20，所以（60﹣x）2+（x﹣40）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝400﹣60＝340；故答案為：30，20，340；（2）設(shè)30﹣x＝a，x﹣20＝b，則ab＝﹣10，a+b＝10，∴（30﹣x）2+（x﹣20）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×（﹣10）＝120；（3）設(shè)2023﹣x＝m，2022﹣x＝n，則m2+n2＝2021，m﹣n＝1，∵（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2，∴1＝2021﹣2mn，∴mn＝1010，即（2023﹣x）（x﹣2022）＝﹣1010；（4）由題意得：DE＝x﹣10，DG＝x﹣25，則（x﹣10）（x﹣25）＝400，設(shè)a＝x﹣10，b＝x﹣25，則a﹣b＝15，ab＝400，∴S陰＝（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝152+4×400＝1825．【變式4-1】（2021秋?揭西縣期末）【知識(shí)回顧】七年級(jí)學(xué)習(xí)代數(shù)式求值時(shí)，遇到這樣一類(lèi)題“代數(shù)式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值與x的取值無(wú)關(guān)，求a的值”，通常的解題方法是：把x、y看作字母，a看作系數(shù)合并同類(lèi)項(xiàng)，因?yàn)榇鷶?shù)式的值與x的取值無(wú)關(guān)，所以含x項(xiàng)的系數(shù)為0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，則a＝﹣3．【理解應(yīng)用】（1）若關(guān)于x的多項(xiàng)式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值與x的取值無(wú)關(guān)，求m值；（2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值與x無(wú)關(guān)，求y的值；【能力提升】（3）7張如圖1的小長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為a，寬為b，按照?qǐng)D2方式不重疊地放在大長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)，大長(zhǎng)方形中未被覆蓋的兩個(gè)部分（圖中陰影部分），設(shè)右上角的面積為S1，左下角的面積為S2，當(dāng)AB的長(zhǎng)變化時(shí)，S1﹣S2的值始終保持不變，求a與b的等量關(guān)系．【分析】（1）由題可知代數(shù)式的值與x的取值無(wú)關(guān)，所以含x項(xiàng)的系數(shù)為0，故將多項(xiàng)式整理為（2m﹣3）x﹣3m+2m2，令x系數(shù)為0，即可求出m；（2）根據(jù)整式的混合運(yùn)算順序和法則化簡(jiǎn)3A+6B可得3x（5y﹣2）﹣9，根據(jù)其值與x無(wú)關(guān)得出5y﹣2＝0，即可得出答案；（3）設(shè)AB＝x，由圖可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），即可得到S1﹣S2關(guān)于x的代數(shù)式，根據(jù)取值與x可得a＝2b．【解答】解：（1）（2x﹣3）m+2m2﹣3x＝2mx﹣3m+2m2﹣3x＝（2m﹣3）x+2m2﹣3m，∵其值與x的取值無(wú)關(guān)，∴2m﹣3＝0，解得，m=3答：當(dāng)m=32時(shí)，多項(xiàng)式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值與（2）∵A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，∴3A+6B＝3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）＝3（2x2﹣2x+x﹣1﹣x+3xy]﹣6x2+6xy﹣6＝6x2﹣6x+3x﹣3﹣3x+9xy﹣6x2+6xy﹣6＝15xy﹣6x﹣9＝3x（5y﹣2）﹣9，∵3A+6B的值與x無(wú)關(guān)，∴5y﹣2＝0，即y=2（3）設(shè)AB＝x，由圖可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），∴S1﹣S2＝a（x﹣3b）﹣2b（x﹣2a）＝（a﹣2b）x+ab，∵當(dāng)AB的長(zhǎng)變化時(shí)，S1﹣S2的值始終保持不變．∴S1﹣S2取值與x無(wú)關(guān)，∴a﹣2b＝0∴a＝2b．【變式4-2】（2021秋?石獅市期末）乘法公式（a+b）2＝a2+2ab+b2給出了a+b、a2+b2與ab的數(shù)量關(guān)系，靈活的應(yīng)用這個(gè)關(guān)系，可以解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題．（1）若a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值；（2）若m滿(mǎn)足（11﹣m）2+（m+9）2＝10，求（11﹣m）（m+9）的值；（3）如圖，點(diǎn)E、G分別在正方形ABCD的邊AD、AB上，且BG＝DE+1，以AG為一邊作正方形AGJK，以AE的長(zhǎng)為邊長(zhǎng)過(guò)點(diǎn)E作正方形GFIH，若長(zhǎng)方形AEFG的面積是2116【分析】（1）將乘法公式（a+b）2＝a2+2ab+b2適當(dāng)變形，利用整體代入解答即可；（2）利用（1）中的方法解答即可；（3）利用已知條件分別計(jì)算得到AE+AG和AE﹣AG，利用陰影部分面積＝S正方形GFIH﹣S正方形AGJK，再利用平方差公式整體代入計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．∵a+b＝5，ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19．（2）∵（11﹣m）2+（m+9）2＝10，∴[（11﹣m）+（m+9）]2﹣2（11﹣m）（m+9）＝10，即：400﹣2（11﹣m）（m+9）＝10．∴（11﹣m）（m+9）＝195．（3）∵四邊形ABCD和AGJK都是正方形，∴AB＝AD，AG＝AK，∴AB﹣AG＝AD﹣AK，∴BG＝DK＝DE+EK，∵BG＝DE+1，∴EK＝1．∴AE﹣AG＝AE﹣AK＝EK＝1，∵長(zhǎng)方形AEFG的面積是2116∴AE?AG=21∴（AE+AG）2＝（AE﹣AG）2+4AE?AG＝1+21∵AE+AG＞0，∴AE+AG=5∴陰影部分面積＝S正方形GFIH﹣S正方形AGJK＝AE2﹣AG2＝（AE+AG）（AE﹣AG）=5=5【變式4-3】（2021秋?溫嶺市期末）學(xué)習(xí)了平方差、完全平方公式后，小聰同學(xué)對(duì)學(xué)習(xí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)公式非常感興趣，他通過(guò)上網(wǎng)查閱，發(fā)現(xiàn)還有很多數(shù)學(xué)公式，如立方和公式：（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3，他發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用立方和公式可以解決很多數(shù)學(xué)問(wèn)題，請(qǐng)你也來(lái)試試?yán)昧⒎胶凸浇鉀Q以下問(wèn)題：（1）【公式理解】公式中的字母可以代表任何數(shù)、字母或式子．①化簡(jiǎn)：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝；②計(jì)算：（993+1）÷（992﹣99+1）＝；（2）【公式運(yùn)用】已知：1x+x＝5，求（3）【公式應(yīng)用】如圖，將兩塊棱長(zhǎng)分別為a、b的實(shí)心正方體橡皮泥揉合在一起，重新捏成一個(gè)高為a+b2的實(shí)心長(zhǎng)方體，問(wèn)這個(gè)長(zhǎng)方體有無(wú)可能是正方體，若可能，a【分析】（1）根據(jù)立方差公式計(jì)算．（2）根據(jù)完全平方公式計(jì)算．（3）根據(jù)體積找到a，b關(guān)系．【解答】解：（1）①原式＝a3+（﹣b）3＝a3﹣b3．②原式＝（99+1）（992﹣99×1+12）÷（992﹣99+1）＝100．故答案為：a3﹣b3，100．（2）∵x+1x∴原式＝（1x2+=x=(=x＝x+1＝5﹣1＝4．（3）假設(shè)長(zhǎng)方體可能為正方體，由題意：a3+b3=∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=(∴8a2﹣8ab+8b2＝a2+2ab+b2．∴7a2﹣10ab+7b2＝0．∴7×a2b2-10∵(a∴7×(ab)2-7×∴7a2﹣10ab+7b2＝0不成立．∴該長(zhǎng)方體不可能是邊長(zhǎng)為a+【題型5二元一次方程與方程組的綜合應(yīng)用題】【例5】（2021秋?中原區(qū)校級(jí)期末）一方有難，八方支援．鄭州暴雨?duì)縿?dòng)數(shù)萬(wàn)人的心，眾多企業(yè)也伸出援助之手．某公司購(gòu)買(mǎi)了一批救災(zāi)物資并安排兩種貨車(chē)運(yùn)往鄭州．調(diào)查得知，2輛小貨車(chē)與3輛大貨車(chē)一次可以滿(mǎn)載運(yùn)輸1800件；3輛小貨車(chē)與4輛大貨車(chē)一次可以滿(mǎn)載運(yùn)輸2500件．（1）求1輛大貨車(chē)和1輛小貨車(chē)一次可以分別滿(mǎn)載運(yùn)輸多少件物資？（2）現(xiàn)有3100件物資需要再次運(yùn)往鄭州，準(zhǔn)備同時(shí)租用這兩種貨車(chē)，每輛均全部裝滿(mǎn)貨物，問(wèn)有哪幾種租車(chē)方案？（3）在（2）的條件下，若1輛小貨車(chē)需租金400元/次，1輛大貨車(chē)需租金500元/次．請(qǐng)選出費(fèi)用最少的租車(chē)方案，并求出最少的租車(chē)費(fèi)用．【分析】（1）設(shè)1輛小貨車(chē)一次可以滿(mǎn)載運(yùn)輸x件物資，1輛大貨車(chē)一次可以滿(mǎn)載運(yùn)輸y件物資，根據(jù)“2輛小貨車(chē)與3輛大貨車(chē)一次可以滿(mǎn)載運(yùn)輸1800件；3輛小貨車(chē)與4輛大貨車(chē)一次可以滿(mǎn)載運(yùn)輸2500件”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)租用小貨車(chē)a輛，大貨車(chē)b輛，根據(jù)租用的兩種貨車(chē)一次可以滿(mǎn)載運(yùn)輸3100件物質(zhì)，即可得出關(guān)于a，b的二元一次方程，結(jié)合a，b均為正整數(shù)，即可得出各租車(chē)方案；（3）利用租車(chē)費(fèi)用＝每輛小貨車(chē)的租金×租用小貨車(chē)的數(shù)量+每輛大貨車(chē)的租金×租用大貨車(chē)的數(shù)量，即可分別求出選擇各租車(chē)方案所需租車(chē)費(fèi)用，比較后即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)1輛小貨車(chē)一次可以滿(mǎn)載運(yùn)輸x件物資，1輛大貨車(chē)一次可以滿(mǎn)載運(yùn)輸y件物資，依題意得：2x解得：x=300答：1輛小貨車(chē)一次可以滿(mǎn)載運(yùn)輸300件物資，1輛大貨車(chē)一次可以滿(mǎn)載運(yùn)輸400件物資．（2）設(shè)租用小貨車(chē)a輛，大貨車(chē)b輛，依題意得：300a+400b＝3100，∴a=31-4又∵a，b均為正整數(shù)，∴a=9b=1或a∴共有3種租車(chē)方案，方案1：租用9輛小貨車(chē)，1輛大貨車(chē)；方案2：租用5輛小貨車(chē)，4輛大貨車(chē)；方案3：租用1輛小貨車(chē)，7輛大貨車(chē)．（3）選擇方案1所需租車(chē)費(fèi)為400×9+500×1＝4100（元）；選擇方案2所需租車(chē)費(fèi)為400×5+500×4＝4000（元）；選擇方案3所需租車(chē)費(fèi)為400×1+500×7＝3900（元）．∵4100＞4000＞3900，∴費(fèi)用最少的租車(chē)方案為：租用1輛小貨車(chē)，7輛大貨車(chē)，最少租車(chē)費(fèi)為3900元．【變式5-1】（2021秋?中原區(qū)校級(jí)期末）鄭州“7.20”特大暴雨災(zāi)害，人民的生活受到了極大的影響．“一方有難，八方支援”，某市籌集了大量的生活物資，用A、B兩種型號(hào)的貨車(chē)，分兩批運(yùn)往鄭州，具體運(yùn)輸情況如表：第一批第二批A型貨車(chē)的輛數(shù)（單位：輛）12B型貨車(chē)的輛數(shù)（單位：輛）35累計(jì)運(yùn)輸物資的噸數(shù)（單位：噸）2850備注：第一批、第二批每輛貨車(chē)均滿(mǎn)載（1）求A、B兩種型號(hào)貨車(chē)每輛滿(mǎn)載分別能運(yùn)多少?lài)嵣钗镔Y？（2）該市后續(xù)又籌集了70噸生活物資，若想恰好一次全部運(yùn)走，需要怎樣安排兩種型號(hào)的貨車(chē)？有哪幾種運(yùn)輸方案？（3）運(yùn)送生活物資到受災(zāi)地區(qū)，運(yùn)輸公司不收取任何費(fèi)用，但是一輛A型貨車(chē)需油費(fèi)500元，一輛B型貨車(chē)需油費(fèi)450元，為了節(jié)約成本，運(yùn)送上述70噸物資到鄭州應(yīng)選擇哪種運(yùn)輸方案？【分析】（1）設(shè)每輛A型貨車(chē)滿(mǎn)載能運(yùn)x噸生活物資，每輛B型貨車(chē)滿(mǎn)載能運(yùn)y噸生活物資，根據(jù)前兩批運(yùn)輸所使用的貨車(chē)的數(shù)量及累計(jì)運(yùn)輸物資的噸數(shù)，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)應(yīng)安排m輛A型貨車(chē)，n輛B型貨車(chē)，利用運(yùn)輸物資的噸數(shù)＝每輛A型貨車(chē)滿(mǎn)載物資的噸數(shù)×安排A型貨車(chē)的數(shù)量+每輛B型貨車(chē)滿(mǎn)載物資的噸數(shù)×安排B型貨車(chē)的數(shù)量，即可得出關(guān)于m，n的二元一次方程，結(jié)合m，n均為自然數(shù)，即可得出各運(yùn)輸方案；（3）利用選擇各方案所需油費(fèi)＝每輛A型貨車(chē)所需油費(fèi)×安排A型貨車(chē)的數(shù)量+每輛B型貨車(chē)所需油費(fèi)×安排B型貨車(chē)的數(shù)量，可求出選擇各方案所需油費(fèi)，比較后即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)每輛A型貨車(chē)滿(mǎn)載能運(yùn)x噸生活物資，每輛B型貨車(chē)滿(mǎn)載能運(yùn)y噸生活物資，依題意得：x+3解得：x=10答：每輛A型貨車(chē)滿(mǎn)載能運(yùn)10噸生活物資，每輛B型貨車(chē)滿(mǎn)載能運(yùn)6噸生活物資．（2）設(shè)應(yīng)安排m輛A型貨車(chē)，n輛B型貨車(chē)，依題意得：10m+6n＝70，∴m＝7-35又∵m，n均為自然數(shù)，∴m=7n=0或m∴共有3種運(yùn)輸方案，方案1：安排7輛A型貨車(chē)；方案2：安排4輛A型貨車(chē)，5輛B型貨車(chē)；方案3：安排1輛A型貨車(chē)，10輛B型貨車(chē)．（3）選擇方案1所需油費(fèi)500×7＝3500（元）；選擇方案2所需油費(fèi)500×4+450×5＝4250（元）；選擇方案3所需油費(fèi)500×1+450×10＝5000（元）．∵3500＜4250＜5000，∴運(yùn)送上述70噸物資到鄭州應(yīng)選擇運(yùn)輸方案1：安排7輛A型貨車(chē)．【變式5-2】（2021秋?牡丹區(qū)期末）面對(duì)當(dāng)前疫情形勢(shì)，國(guó)家迅速反應(yīng)，果斷決策，全民積極行動(dòng)，籌款為貧困地區(qū)捐贈(zèng)了一批消毒液，現(xiàn)要將消毒液運(yùn)往該區(qū)．已知用3輛A型車(chē)和1輛B型車(chē)裝滿(mǎn)貨物一次可運(yùn)貨9噸；用1輛A型車(chē)和2輛B型車(chē)裝滿(mǎn)貨物一次可運(yùn)貨8噸．現(xiàn)有消毒液19噸，計(jì)劃同時(shí)租用A型車(chē)a輛，B型車(chē)b輛，一次運(yùn)完，且恰好每輛車(chē)都載滿(mǎn)消毒液．根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）1輛A型車(chē)和1輛B型車(chē)都載滿(mǎn)消毒液一次可分別運(yùn)送多少?lài)?？?）請(qǐng)你幫我們?cè)O(shè)計(jì)租車(chē)方案；（3）若1輛A型車(chē)需租金90元/次，1輛B型車(chē)需租金110元/次．請(qǐng)選出最省錢(qián)的租車(chē)方案，并求出最少租車(chē)費(fèi)．【分析】（1）設(shè)1輛A型車(chē)載滿(mǎn)消毒液一次可運(yùn)送x噸，1輛B型車(chē)載滿(mǎn)消毒液一次可運(yùn)送y噸，根據(jù)“用3輛A型車(chē)和1輛B型車(chē)裝滿(mǎn)貨物一次可運(yùn)貨9噸；用1輛A型車(chē)和2輛B型車(chē)裝滿(mǎn)貨物一次可運(yùn)貨8噸”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)一次性運(yùn)完消毒液19噸且恰好每輛車(chē)都載滿(mǎn)消毒液，即可得出關(guān)于a，b的二元一次方程，結(jié)合a，b均為正整數(shù)，即可得出各租車(chē)方案；（3）利用各方案所需租車(chē)費(fèi)用＝每輛A型車(chē)的租金×租用A型車(chē)的數(shù)量+每輛B型車(chē)的租金×租用B型車(chē)的數(shù)量，即可分別求出選擇各方案所需租車(chē)費(fèi)用，比較后即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)1輛A型車(chē)載滿(mǎn)消毒液一次可運(yùn)送x噸，1輛B型車(chē)載滿(mǎn)消毒液一次可運(yùn)送y噸，依題意得：3x解得：x=2答：1輛A型車(chē)載滿(mǎn)消毒液一次可運(yùn)送2噸，1輛B型車(chē)載滿(mǎn)消毒液一次可運(yùn)送3噸．（2）依題意得：2a+3b＝19，∴a=19-3又∵a，b均為正整數(shù)，∴a=8b=1或a∴共有3種租車(chē)方案，方案1：租用8輛A型車(chē)，1輛B型車(chē)；方案2：租用5輛A型車(chē)，3輛B型車(chē)；方案3：租用2輛A型車(chē)，5輛B型車(chē)．（3）選擇方案1所需租車(chē)費(fèi)用為90×8+110×1＝830（元），選擇方案2所需租車(chē)費(fèi)用為90×5+110×3＝780（元），選擇方案3所需租車(chē)費(fèi)用為90×2+110×5＝730（元）．∵830＞780＞730，∴最省錢(qián)的租車(chē)方案為：租用2輛A型車(chē)，5輛B型車(chē)，最少租車(chē)費(fèi)為730元．【變式5-3】（2021秋?青羊區(qū)校級(jí)期末）已知：用2輛A型車(chē)和1輛B型車(chē)裝滿(mǎn)貨物一次可運(yùn)貨10噸；用1輛A型車(chē)和2輛B型車(chē)裝滿(mǎn)貨物一次可運(yùn)貨11噸．某物流公司現(xiàn)有31噸貨物，計(jì)劃同時(shí)租用A型車(chē)m輛，B型車(chē)n輛，一次運(yùn)完，且恰好每輛車(chē)都裝滿(mǎn)貨物．根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）1輛A型車(chē)和1輛B型車(chē)都裝滿(mǎn)貨物一次可分別運(yùn)貨多少?lài)?？?）請(qǐng)你幫該物流公司設(shè)計(jì)租車(chē)方案，且分別求出m，n的值；（3）若A型車(chē)每輛需租金100元/次，B型車(chē)每輛需租金120元/次．請(qǐng)選出最省錢(qián)的租車(chē)方案，并求出最少租車(chē)費(fèi)．【分析】（1）設(shè)一輛A型車(chē)裝滿(mǎn)貨物可運(yùn)貨x噸，一輛B型車(chē)裝滿(mǎn)貨物可運(yùn)貨y噸，由題意：用兩輛A型車(chē)和一輛B型車(chē)裝滿(mǎn)貨物一次可運(yùn)貨10噸；用一輛A型車(chē)和兩輛B型車(chē)裝滿(mǎn)貨物一次可運(yùn)貨11噸．列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）由題意：某物流公司現(xiàn)有31噸貨物，計(jì)劃同時(shí)租用A型車(chē)和B型車(chē)，一次運(yùn)完，且恰好每輛車(chē)都裝滿(mǎn)貨物．列出二元一次方程，求出正整數(shù)解即可．（3）分別計(jì)算三種方案的費(fèi)用，比較大小即可．【解答】解：（1）設(shè)一輛A型車(chē)裝滿(mǎn)貨物可運(yùn)貨x噸，一輛B型車(chē)裝滿(mǎn)貨物可運(yùn)貨y噸，根據(jù)題意，得：2x解得：x=3答：一輛A型車(chē)裝滿(mǎn)貨物可運(yùn)貨3噸，一輛B型車(chē)裝滿(mǎn)貨物可運(yùn)貨4噸；（2）由題意得：3m+4n＝31，∵m、n均為正整數(shù)，∴m=1n=7或m∴該物流公司共有以下三種租車(chē)方案，方案一：租A型車(chē)1輛，B型車(chē)7輛；方案二：租A型車(chē)5輛，B型車(chē)4輛；方案三：租A型車(chē)9輛，B型車(chē)1輛．（3）方案一費(fèi)用：100×1+120×7＝940（元），方案二費(fèi)用：100×5+120×4＝980（元），方案三費(fèi)用：100×9+120×1＝1020（元），∵940＜980＜1020，∴方案一：租A型車(chē)1輛，B型車(chē)7輛，最省錢(qián)，最少租車(chē)費(fèi)為940元．【題型6分式方程的應(yīng)用】【例6】（2021春?諸暨市期末）4月份以來(lái)，印度疫情再次爆發(fā)，需要大量制氧機(jī)，我國(guó)一企業(yè)接到一批制氧機(jī)外貿(mào)訂單急需大量工人生產(chǎn)制氧機(jī)，該企業(yè)招聘了一批工人，按照熟練程度，分為一級(jí)、二級(jí)和三級(jí)，其中每名一級(jí)工人生產(chǎn)30臺(tái)的時(shí)間與每名三級(jí)工人生產(chǎn)10臺(tái)的時(shí)間相同，已知一名一級(jí)工人每天比一名三級(jí)工人多生產(chǎn)6臺(tái)．（1）求每名一級(jí)工人和每名三級(jí)工人每天分別生產(chǎn)多少臺(tái)制氧機(jī)？（2）為了最大限度提高產(chǎn)量，該企業(yè)決定每月花費(fèi)90000元（全部用完）招聘一、二、三級(jí)工人合計(jì)18人，其中各級(jí)工人至少1人，已知二級(jí)工人每天生產(chǎn)量是三級(jí)工人的2倍，一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)工人每月的工資分別為6000，5000元，3500元，問(wèn)該企業(yè)應(yīng)如何安排招聘方案，使得每天生產(chǎn)制氧機(jī)的臺(tái)數(shù)最多？最多為多少臺(tái)？【分析】（1）設(shè)每名三級(jí)工人每天生產(chǎn)x臺(tái)制氧機(jī)，則每名一級(jí)工人每天生產(chǎn)（x+6）臺(tái)制氧機(jī)，利用工作時(shí)間＝工作總量÷工作效率，結(jié)合每名一級(jí)工人生產(chǎn)30臺(tái)的時(shí)間與每名三級(jí)工人生產(chǎn)10臺(tái)的時(shí)間相同，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之即可得出每名三級(jí)工人每天的生產(chǎn)量，再將其代入（x+6）中可求出每名一級(jí)工人每天的生產(chǎn)量；（2）設(shè)招聘三級(jí)工人a人，二級(jí)工人b人，則招聘一級(jí)工人（18﹣a﹣b），根據(jù)18名工人每月需90000元工資，即可得出關(guān)于a，b的二元一次方程，結(jié)合a，b，（18﹣a﹣b）均為正整數(shù)，即可得出各a，b的值，再利用每天生產(chǎn)制氧機(jī)的臺(tái)數(shù)＝每名工人的每天生產(chǎn)量×招聘工人數(shù)，即可分別求出選擇各a，b值時(shí)每天生產(chǎn)制氧機(jī)的臺(tái)數(shù)，比較后即可得出生產(chǎn)量最多的招聘方案．【解答】解：（1）設(shè)每名三級(jí)工人每天生產(chǎn)x臺(tái)制氧機(jī)，則每名一級(jí)工人每天生產(chǎn)（x+6）臺(tái)制氧機(jī)，依題意得：30x解得：x＝3．經(jīng)檢驗(yàn)，x＝3是原方程的解，且符合題意，∴x+6＝3+6＝9．答：每名一級(jí)工人每天生產(chǎn)9臺(tái)制氧機(jī)，每名三級(jí)工人每天生產(chǎn)3臺(tái)制氧機(jī)．（2）設(shè)招聘三級(jí)工人a人，二級(jí)工人b人，則招聘一級(jí)工人（18﹣a﹣b），依題意得：3500a+5000b+6000（18﹣a﹣b）＝90000，∴b＝18-52∵a，b，（18﹣a﹣b）均為正整數(shù)，∴a=2b=13或a當(dāng)a=2b=13時(shí)，每天生產(chǎn)制氧機(jī)的數(shù)量為3×2+3×2×13+9×（18﹣2﹣13當(dāng)a=4b=8時(shí)，每天生產(chǎn)制氧機(jī)的數(shù)量為3×4+3×2×8+9×（18﹣4﹣8當(dāng)a=6b=3時(shí)，每天生產(chǎn)制氧機(jī)的數(shù)量為3×6+3×2×3+9×（18﹣6﹣3∵111＜114＜117，∴當(dāng)招聘三級(jí)工人6人，二級(jí)工人3人，一級(jí)工人9人時(shí)，每天生產(chǎn)制氧機(jī)的臺(tái)數(shù)最多，最多為117臺(tái)．【變式6-1】（2021春?嘉興期末）某車(chē)行經(jīng)營(yíng)A，B兩種型號(hào)的電瓶車(chē)，已知A型車(chē)和B型車(chē)的進(jìn)貨價(jià)格分別為1500元和2500元．（1）該車(chē)行去年A型車(chē)銷(xiāo)售總額為8萬(wàn)元，今年A型車(chē)每輛售價(jià)比去年降低200元，若今年A型車(chē)的銷(xiāo)售量與去年相同，則A型車(chē)銷(xiāo)售額將比去年減少10%，求去年每輛A型車(chē)的售價(jià)．（2）今年第三季度該車(chē)行計(jì)劃用3萬(wàn)元再購(gòu)進(jìn)A，B兩種型號(hào)的電瓶車(chē)若干輛，問(wèn)：①一共有幾種進(jìn)貨方案；②在（1）的條件下，已知每輛B型車(chē)的利潤(rùn)率為24%，①中哪種方案利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？（利潤(rùn)＝售價(jià)﹣成本，利潤(rùn)率=利潤(rùn)成本【分析】（1）設(shè)去年每輛A型車(chē)的售價(jià)為x元，則今年每輛A型車(chē)的售價(jià)為（x﹣200）元，利用數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)，結(jié)合今年A型車(chē)的銷(xiāo)售量與去年相同，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；（2）①設(shè)購(gòu)進(jìn)A型車(chē)m輛，B型車(chē)n輛，利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，即可得出關(guān)于m，n的二元一次方程，結(jié)合m，n均為正整數(shù)，即可得出各進(jìn)貨方案；②利用總利潤(rùn)＝每輛的利潤(rùn)×銷(xiāo)售數(shù)量，即可分別求出選擇各方案的總利潤(rùn)，比較后即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)去年每輛A型車(chē)的售價(jià)為x元，則今年每輛A型車(chē)的售價(jià)為（x﹣200）元，依題意得：80000x解得：x＝2000，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝2000是原方程的解，且符合題意．答：去年每輛A型車(chē)的售價(jià)為2000元．（2）①設(shè)購(gòu)進(jìn)A型車(chē)m輛，B型車(chē)n輛，依題意得：1500m+2500n＝30000，∴m＝20-53又∵m，n均為正整數(shù)，∴m=15n=3或m∴一共有3種進(jìn)貨方案，方案1：購(gòu)進(jìn)A型車(chē)15輛，B型車(chē)3輛；方案2：購(gòu)進(jìn)A型車(chē)10輛，B型車(chē)6輛；方案3：購(gòu)進(jìn)A型車(chē)5輛，B型車(chē)9輛．②選擇方案1的利潤(rùn)為（2000﹣200﹣1500）×15+2500×24%×3＝6300（元）；選擇方案2的利潤(rùn)為（2000﹣200﹣1500）×10+2500×24%×6＝6600（元）；選擇方案3的利潤(rùn)為（2000﹣200﹣1500）×5+2500×24%×9＝6900（元）．∵6300＜6600＜6900，∴方案3的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是6900元．【變式6-2】（2021春?上虞區(qū)期末）隨著5G網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的快速發(fā)展，市場(chǎng)對(duì)5G產(chǎn)品的需求越來(lái)越大．某5G產(chǎn)品生產(chǎn)廠家承接了27000個(gè)電子元件的生產(chǎn)任務(wù)，計(jì)劃安排甲、乙兩個(gè)車(chē)間共50名工人，合作生產(chǎn)20天完成．已知甲車(chē)間每人每天生產(chǎn)25個(gè)，乙車(chē)間每人每天生產(chǎn)30個(gè)．（1）求甲、乙兩個(gè)車(chē)間各有多少名工人將參與生產(chǎn)？（2）為提前完成生產(chǎn)任務(wù)，該廠家設(shè)計(jì)了兩種生產(chǎn)方案：方案1：甲車(chē)間租用先進(jìn)生產(chǎn)設(shè)備，工人的工作效率可提高20%，乙車(chē)間維持不變；方案2：乙車(chē)間再臨時(shí)招聘若干名工人（工作效率與原工人相同），甲車(chē)間維持不變．若設(shè)計(jì)的這兩種生產(chǎn)方案，廠家完成生產(chǎn)任務(wù)的時(shí)間相同，求乙車(chē)間需要臨時(shí)招聘的工人數(shù)．【分析】（1）設(shè)甲車(chē)間有x名工人參與生產(chǎn)，乙車(chē)間有y名工人參與生產(chǎn)，根據(jù)甲、乙兩個(gè)車(chē)間共50名工人合作生產(chǎn)20天可完成27000個(gè)電子元件的生產(chǎn)任務(wù)，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出甲、乙兩個(gè)車(chē)間各有多少名工人將參與生產(chǎn)；（2）設(shè)乙車(chē)間需要臨時(shí)招聘m名工人，利用工作時(shí)間＝工作總量÷每天的工作效率，結(jié)合兩個(gè)生產(chǎn)方案所需時(shí)間相同，即可得出關(guān)于m的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出乙車(chē)間需要臨時(shí)招聘的工人數(shù)．【解答】解：（1）設(shè)甲車(chē)間有x名工人參與生產(chǎn)，乙車(chē)間有y名工人參與生產(chǎn)，依題意得：x+解得：x=30答：甲車(chē)間有30名工人參與生產(chǎn)，乙車(chē)間有20名工人參與生產(chǎn)．（2）設(shè)乙車(chē)間需要臨時(shí)招聘m名工人，依題意得：2700030×25×(1+20%)+20×30解得：m＝5，經(jīng)檢驗(yàn)，m＝5是原方程的解，且符合題意．答：乙車(chē)間需要臨時(shí)招聘5名工人．【變式6-3】（2021春?北侖區(qū)期末）甲、乙兩公司全體員工踴躍參與“攜手防疫，共渡難關(guān)”捐款活動(dòng)，甲公司共捐款80000元，乙公司共捐款160000元，如圖是甲、乙兩公司員工的一段對(duì)話(huà)．（1）甲、乙兩公司各有多少人？（2）現(xiàn)甲、乙兩公司共同使用這筆捐款購(gòu)買(mǎi)A、B兩種防疫物資，A種防疫物資每箱15000元，B種防疫物資每箱12000元．若購(gòu)買(mǎi)B防疫物資不少于10箱，并恰好將捐款用完，有幾種購(gòu)買(mǎi)方案？請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出來(lái)（注A、B兩種防疫物資均需購(gòu)買(mǎi)，并按整箱配送）．【分析】（1）設(shè)甲公司有x人，則乙公司有（x+40）人，根據(jù)乙公司的人均捐款數(shù)是甲公司的107倍，列（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)A種防疫物資m箱，購(gòu)買(mǎi)B種防疫物資n箱，根據(jù)總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，即可得出關(guān)于m，n的二元一次方程組，再結(jié)合n≥10且m，n均為正整數(shù)，即可得出各購(gòu)買(mǎi)方案．【解答】解：（1）設(shè)甲公司有x人，則乙公司有（x+40）人，依題意，得：80000x解得：x＝100，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝100是原方程的解，且符合題意，∴x+40＝140．答：甲公司有100人，乙公司有140人．（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)A種防疫物資m箱，購(gòu)買(mǎi)B種防疫物資n箱，依題意，得：15000m+12000n＝80000+160000，∴m＝16-45又∵n≥10，且m，n均為正整數(shù)，∴m=8n=10∴有2種購(gòu)買(mǎi)方案，方案1：購(gòu)買(mǎi)8箱A種防疫物資，10箱B種防疫物資；方案2：購(gòu)買(mǎi)4箱A種防疫物資，15箱B種防疫物資．【題型7因式分解的應(yīng)用】【例7】（2021春?東陽(yáng)市期末）閱讀理解：我們一起來(lái)探究代數(shù)式x2+2x+5的值，探究一：當(dāng)x＝1時(shí)，x2+2x+5的值為；當(dāng)x＝2時(shí)，x2+2x+5的值為，可見(jiàn)，代數(shù)式的值因x的取值不同而變化．探究二：把代數(shù)式x2+2x+5進(jìn)行變形，如：x2+2x+5＝x2+2x+1+4＝（x+1）2+4，可以看出代數(shù)式x2+2x+5的最小值為，這時(shí)相應(yīng)的x＝．根據(jù)上述探究，請(qǐng)解答：（1）求代數(shù)式﹣x2﹣8x+17的最大值，并寫(xiě)出相應(yīng)x的值．（2）把（1）中代數(shù)式記為A，代數(shù)式9y2+12y+37記為B，是否存在，x，y的值，使得A與B的值相等？若能，請(qǐng)求出此時(shí)x?y的值，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】探究一：把x＝1和x＝2分別代入代數(shù)式x2+2x+5中，再進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；探究二：先將代數(shù)式x2+2x+5配方后得：（x+1）2+4，可得結(jié)論；（1）將代數(shù)式﹣x2﹣8x+17配方后可得結(jié)論；（2）存在A＝B，列式可得x和y值，相乘可得x?y的值．【解答】解：探究一：當(dāng)x＝1時(shí)，x2+2x+5＝12+2+5＝8；若x＝2，x2+2x+5＝22+2×2+5＝13；故答案為：8，13；探究二：x2+2x+5＝（x2+2x+1）+4＝（x+1）2+4，∵（x+1）2是非負(fù)數(shù)，∴這個(gè)代數(shù)式x2+2x+5的最小值是4，此時(shí)x＝﹣1．故答案為：4，﹣1；（1）∵﹣x2﹣8x+17＝﹣（x+4）2+33，∴當(dāng)x＝﹣4時(shí)，代數(shù)式﹣x2﹣8x+17有最大值是33；（2）∵A＝﹣x2﹣8x+17，B＝9y2+12y+37，當(dāng)A＝B時(shí)，則B﹣A＝0，∴（9y2+12y+37）﹣（﹣x2﹣8x+17）＝0，9y2+12y+4+x2+8x+16＝0，（3y+2）2+（x+4）2＝0，∴3y+2＝0，x+4＝0，∴x＝﹣4，y=-2∴x?y＝﹣4×（-23）【變式7-1】（2021秋?墾利區(qū)期末）我們已經(jīng)學(xué)過(guò)將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)分解因式的方法還有分組分解法、拆項(xiàng)法等等．①分組分解法：例如：x2﹣2xy+y2﹣4＝（x2﹣2xy+y2）﹣4＝（x﹣y）2﹣22＝（x﹣y﹣2）（x﹣y+2）．②拆項(xiàng)法：例如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）．（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分組分解法）4x2+4x﹣y2+1；②（拆項(xiàng)法）x2﹣6x+8；（2）已知：a、b、c為△ABC的三條邊，a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，求△ABC的周長(zhǎng)．【分析】通過(guò)給出的實(shí)例，理解分組分解法、拆項(xiàng)法因式分解的方法，即可解決問(wèn)題．【解答】（本題滿(mǎn)分10分）解：（1）①4x2+4x﹣y2+1＝（4x2+4x+1）﹣y2＝（2x+1）2﹣y2＝（2x+y+1）（2x﹣y+1）；②x2﹣6x+8＝x2﹣6x+9﹣1＝（x﹣3）2﹣1＝（x﹣3﹣1）（x﹣3+1）＝（x﹣4）（x﹣2）；（2）∵a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，∴（a2﹣4a+4）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣6c+9）＝0，∴（a﹣2）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2＝0，∴a＝2，b＝2，c＝3，∴a+b+c＝2+2+3＝7．故△ABC的周長(zhǎng)為：7．【變式7-2】（2021春?寧波期末）閱讀理解并解答：【方法呈現(xiàn)】（1）我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式．在運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解時(shí)，關(guān)鍵是判斷這個(gè)多項(xiàng)式是不是一個(gè)完全平方式，同樣地，把一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行局部因式分解可以來(lái)解決代數(shù)式值的最?。ɑ蜃畲螅﹩?wèn)題．例如：x2+2x+3＝（x2+2x+1）+2＝（x+1）2+2，∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2+2≥2．則這個(gè)代數(shù)式x2+2x+3的最小值是，這時(shí)相應(yīng)的x的值是．【嘗試應(yīng)用】（2）求代數(shù)式﹣x2+14x+10的最小（或最大）值，并寫(xiě)出相應(yīng)的x的值．【拓展提高】（3）將一根長(zhǎng)300cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長(zhǎng)度為周長(zhǎng)各做成一個(gè)正方形，則這兩個(gè)正方形面積之和有最小（或最大）值？若有，求此時(shí)這根鐵絲剪成兩段后的長(zhǎng)度及這兩個(gè)正方形面積的和；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）由題意不難看出其最小值為2，相應(yīng)的x的值為﹣1；（2）根據(jù)（1）中的方法，不難求得結(jié)果；（3）可設(shè)一段鐵絲長(zhǎng)為xcm，則另一段長(zhǎng)為（300﹣x）cm，然后列出式子進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）∵x2+2x+3＝（x+1）2+2≥2，∴其最小值為2，這時(shí)相應(yīng)的x的值為﹣1．故答案為：2，﹣1；（2）﹣x2+14x+10＝﹣（x2﹣14x+49﹣49）+10＝﹣（x﹣7）2+59，∵﹣（x﹣7）2≤0，∴﹣（x﹣7）2+59≤59，故代數(shù)式﹣x2+14x+10的最大值為59，相應(yīng)的x的值為7，（3）有最小值，設(shè)一段鐵絲長(zhǎng)為xcm，則另一段長(zhǎng)為（300﹣x）cm，由題意得：(x當(dāng)x＝150，兩個(gè)正方形的面積之和有最小值56252則另一段鐵絲的長(zhǎng)度為300﹣150＝150（cm）．【變式7-3】（2021春?奉化區(qū)校級(jí)期末）我們知道對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)不同的方法計(jì)算圖形的面積可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．例如：由圖1可得到（a+b）2＝a2+2ab+b2（1）寫(xiě)出由圖2所表示的數(shù)學(xué)等式；（2）寫(xiě)出由圖3所表示的數(shù)學(xué)等式；（3）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a+b+c＝1，a2+b2+c2＝1．求①ab+bc+ca的值；②a3+b3+c3﹣3abc的值．【分析】（1）大正方形的面積等于9個(gè)長(zhǎng)方形的面積和；（2）圖中陰影部分面積為正方形等于陰影部分面積等于大正方形面積減去8個(gè)長(zhǎng)方形面積；（3）①將（1）式子變形ab+bc+ca=12×[（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2）]，代入已知即可求解；②先求出（a+b+c）3＝a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3bc2+6abc，再結(jié)合已知條件，將式子逐步代入，得到1＝3（a+b+c）﹣2（a3+b3+c3）【解答】解：（1）大正方形的面積為（a+b+c）2，9個(gè)長(zhǎng)方形的面積和為a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）圖中陰影部分面積為正方形，則有（a﹣c﹣b）（a﹣b﹣c）＝（a﹣b﹣c）2，陰影部分面積等于大正方形面積減去8個(gè)長(zhǎng)方形面積，即a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac+2bc，∴（a﹣b﹣c）2＝a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac+2bc；（3）①由（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，可得ab+bc+ca=12×[（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2∵a+b+c＝1，a2+b2+c2＝1，∴ab+bc+ca＝0；②∵（a+b+c）3＝a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3bc2+6abc，∵a+b+c＝1，a2+b2+c2＝1，∴1＝a3+b3+c3+3[b（a2+c2）+a（b2+c2）+c（a2+b2）]+6abc＝a3+b3+c3+3[b（1﹣b2）+a（1﹣a2）+c（1﹣c2）]+6abc1＝3（a+b+c）﹣2（a3+b3+c3）+6abc，∴1＝3﹣2（a3+b3+c3）+6abc，∴a3+b3+c3﹣3abc＝1．【題型8新定義問(wèn)題】【例8】（2021秋?崇川區(qū)期末）（閱讀材料）我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：n＝p×q（p，q是正整數(shù)，且p≤q）．在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們就稱(chēng)p×q是n的最佳分解，并規(guī)定當(dāng)p×q是n的最佳分解時(shí)，F(xiàn)（n）=p例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因?yàn)?8﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，從而F（18）=3（探索規(guī)律）（1）F（15）＝，F(xiàn)（24）＝，…；（2）F（4）＝1，F(xiàn)（9）＝1，F(xiàn)（25）＝，…；猜想：F（x2）＝（x是正整數(shù)）．（應(yīng)用規(guī)律）（3）若F（x2+x）=89，且x是正整數(shù)，求（4）若F