數(shù)學教案－雙曲線的幾何性質3篇

數(shù)學教案－雙曲線的幾何性質3篇數(shù)學教案－雙曲線的幾何性質1一、教學目標：

1.了解雙曲線的定義及幾何性質；

2.掌握雙曲線的標準方程以及其圖像的基本特征；

3.了解雙曲線與焦點、離心率的相關性質。

二、教學重難點：

1.掌握雙曲線的標準方程；

2.了解雙曲線與焦點、離心率的相關性質。

三、教學準備：

1.教師備課資料；

2.教材資料。

四、教學內容：

1.雙曲線的定義及基本性質

雙曲線是一種與直線對稱的曲線，其基本方程為$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$，其中$a>b>0$。

雙曲線有如下幾何性質：

(1)雙曲線的兩支相互分離，與直線$x=0$和$y=0$分別相切，且在$y軸$正半軸和$y軸$負半軸分別有一個漸近線；

(2)兩支雙曲線在$x$軸上有交點，該點稱為雙曲線的頂點；

(3)雙曲線與$x$軸交于兩點，稱為雙曲線的兩個$x$截距點；

(4)雙曲線的中心為原點，其兩支的對稱軸分別為$x=0$和$y=0$軸。

(5)雙曲線的離心率為$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}>1$，與焦點的距離的比例為$\frac{PF_1}{F_1O}=e$，$\frac{PF_2}{F_2O}=e$。

2.雙曲線的標準方程及圖像特征

雙曲線的標準方程為$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$，其中$a>b>0$。

當$a>b$，且$b^2=a^2+c^2$時，雙曲線的標準方程可表示為

$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{c^2}=1$，其中$c=\sqrt{a^2-b^2}$。

雙曲線的圖像特征為：

(1)當$a>b$時，兩支雙曲線分別沿$x$軸伸展，對稱中心在原點，頂點在$x$軸上；

(2)當$a<b$時，兩支雙曲線分別沿$y$軸伸展，對稱中心在原點，其頂點在$y$軸上。

3.雙曲線與焦點、離心率的相關性質。

雙曲線有如下焦點和離心率的性質：

(1)雙曲線有兩個焦點$F_1$和$F_2$，坐標分別為$(\pmae,0)$，其中$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}>1$為雙曲線的離心率；

(2)焦點$F_1$、$F_2$到曲線上任一點$P$的距離之差等于$2a$，即$PF_1-PF_2=2a$；

(3)雙曲線的離心率$e$是兩個焦點到對稱軸的距離之比，即$e=\frac{F_1C}{OY}=\frac{F_2C}{OY}$，其中$C$為對稱軸上離中心最近的點。

4.綜合例題

例1：求通過點$(4,0)$，焦點在$y$軸上的雙曲線的標準方程。

解：由于焦點在$y$軸上，設雙曲線方程為$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$。

又由于過點$(4,0)$，代入雙曲線方程得到$\dfrac{16}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$，

化簡得到$4-y^2=\dfrac{4a^2-b^2}{a^2}y^2$，

將$a=\sqrt{(4+f)^2+16}$，$b^2=4f^2+16$代入方程得到

$y^2=\dfrac{80-12f-3f^2}{3f+4}=\dfrac{3}{4}(4-f)-\dfrac{(f-2)^2}{4(4+3f)}$。

因為要求通過點$(4,0)$的雙曲線方程，

所以$f=2$，代入得$y^2=2-\dfrac{1}{7}x^2$，

即為所求雙曲線的標準方程。

例2：以下敘述是否正確：“雙曲線有兩個焦點，兩焦點到曲線上任一點的距離之差等于$2a$”。

解：這個敘述是正確的，可以通過雙曲線的定義，或者求兩個焦點到曲線上(P點)的距離得到。

設雙曲線方程為$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$，兩個焦點坐標為$(ae,0)$和$(-ae,0)$，

則過曲線上任一點$P(x,y)$的兩條直線分別為$PF_1:y=k(x-ae)$和$PF_2:y=k(x+ae)$，

其中$k=\dfrac{y}{x}$，因為點$P$在雙曲線上，所以它在曲線的兩支中的一支上，不妨假設在$x>0$的那支雙曲線上，

又因為$k=\dfrac{y}{x}>0$，所以$PF_1$和$PF_2$在$x$軸的兩側，不互相干擾。

代入雙曲線方程，得到

$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{(k(x-ae))^2}{b^2}=1$和$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{(k(x+ae))^2}{b^2}=1$。

兩式消去$x$的平方項，得到$k^2=\dfrac{a^2+b^2}{a^2}=\dfrac{1}{e^2}$。

將$k$代入$PF_1$和$PF_2$的式子，得到$PF_1=\dfrac{a}{e}$，$PF_2=\dfrac{a}{e}$，

所以$PF_1-PF_2=\dfrac{a}{e}-(-\dfrac{a}{e})=2a$，

即為所述的性質。

五、教學反思

雙曲線是高一數(shù)學中比較重要的內容之一，需要同學們掌握其標準方程以及圖像的基本特征。本課時通過雙曲線的定義及基本性質、標準方程及圖像特征以及雙曲線與焦點、離心率的相關性質三個方面進行了講解，希望同學們能夠通過課上講解和課下練習掌握雙曲線的相關知識，為后續(xù)高中數(shù)學的學習打下堅實的基礎。數(shù)學教案－雙曲線的幾何性質2教案內容：雙曲線的幾何性質

一、知識背景

雙曲線是一種重要的二次曲線，也是一種基本的函數(shù)曲線。在數(shù)學中，它有著重要的應用，涉及到許多重要問題，如高速公路的規(guī)劃、天體軌道的計算、綜合布線的設計等。

二、教學目標

1、能夠熟練地描述雙曲線的定義、基本形態(tài)。

2、了解雙曲線的坐標方程、參數(shù)方程、極坐標方程的求法。

3、認識雙曲線的離心率、漸近線、對稱軸等幾何性質，并能將其運用到具體問題中。

三、教學過程

1、雙曲線的定義

雙曲線是由一個點P和兩條互相垂直的直線（焦點直線）F1F2上的點集合成的，P點到F1、F2兩點距離之差為常數(shù)2a（a>0），稱為雙曲線的參數(shù)，表示為e。雙曲線可以分為兩支，稱為第一支和第二支。

2、雙曲線的基本形態(tài)

雙曲線的基本形態(tài)有兩種：右雙曲線和左雙曲線。由于雙曲線是軸對稱的，因此我們只討論右雙曲線。

右雙曲線有如下特征：

（1）焦點F1、F2在x軸上，且距離為2a。

（2）雙曲線的頂點在x軸上，且距離為a。

（3）雙曲線的漸近線分別為x=a和x=-a。

（4）雙曲線的坐標軸為對稱軸。

3、雙曲線的方程

（1）坐標方程：

對于右雙曲線，它的坐標方程為：

(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1(a>b>0)

左雙曲線的坐標方程為：

(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=-1

（2）參數(shù)方程：

右雙曲線的參數(shù)方程為：

x=asecθ,y=btanθ

左雙曲線的參數(shù)方程為：

x=-asecθ,y=btanθ

（3）極坐標方程：

對于右雙曲線，它的極坐標方程為：

r^2/a^2-cos^2θ=1

左雙曲線的極坐標方程為：

r^2/a^2-sin^2θ=-1

4、雙曲線的幾何性質

雙曲線的幾何性質有很多，這里只列舉部分重要的。

（1）焦點到雙曲線上任意一點的距離之差等于參數(shù)2a。

（2）雙曲線的離心率大于1，且等于c/a，其中c為焦點與頂點的距離。

（3）雙曲線的漸近線分別為x=a和x=-a，斜率分別為±b/a。

（4）雙曲線的對稱軸在y軸上。

（5）雙曲線與x軸的交點在x=±a處。

（6）雙曲線上任意一點的切線與焦點連線的夾角等于對應焦點線段與橫軸的夾角。

5、例題解析

（1）問題：求由雙曲線x^2/16-y^2/25=1所確定的圖形的面積。

解：根據(jù)該雙曲線的方程，可知a=4，b=5。求出其焦點的坐標，為(±3,0)。再求出雙曲線與x軸的交點坐標為(±4,0)。因此，該雙曲線確定的圖形為一個橢圓和它上下方兩個無限大的扇形。根據(jù)橢圓的面積公式和扇形的面積公式，可求出該圖形的面積為π×4×5+2×(1/2)×4^2×π/2=30π。

（2）問題：求由雙曲線x^2/9-y^2/1=1所圍成的面積。

解：根據(jù)該雙曲線的方程，可知a=3，b=1。求出其焦點的坐標，為(±(√10)/2,0)。因此，該雙曲線確定的圖形為兩個對稱的分支，它們的交點坐標為(±3,0)。由于雙曲線的對稱軸在y軸上，因此可以通過將一個分支分別繞y軸和x軸旋轉一周，得到兩個體積相等的旋轉體，再求出它們的體積之和即可。根據(jù)旋轉體的體積公式，可求出該圖形的體積為Π×（∫03y^2×dx+∫3√103y^2×dx）。化式可得該圖形的體積為（33/2-3Π）/2，所圍面積為（33/2-3Π）。

四、總結

本節(jié)課對雙曲線這種常見的曲線進行了詳細的介紹。包括雙曲線的定義，基本形態(tài)，方程，以及其幾何性質。了解這些知識，能夠幫助我們更好地理解并應用雙曲線。數(shù)學教案－雙曲線的幾何性質3一、教學目標

1.了解雙曲線的基本概念和方程；

2.理解雙曲線的幾何性質；

3.掌握畫出雙曲線的方法；

4.能夠解決與雙曲線有關的問題。

二、教學重點難點

1.雙曲線的方程和概念；

2.雙曲線的幾何性質。

三、教學內容

1.雙曲線的基本概念和方程

雙曲線是一種具有兩支的曲線，它的定義方式是在平面上選取兩個點F1和F2以及一條直線L，使得F1、F2都在L的同一側且在L上的任意點P滿足PF1-PF2的差恒定，這個差就是雙曲線的離心率，表示為ε。

雙曲線的主軸是連接兩個頂點的線段，離心率ε=a/c，其中a和c是頂點到主軸距離的一半和焦點到頂點距離的一半。雙曲線一般表達式為x2/a2-y2/b2=1或y2/a2-x2/b2=1，分別表示豎直方向和水平方向的雙曲線。

2.雙曲線的幾何性質

（1）雙曲線有兩條漸近線，水平方向的雙曲線的漸近線為y=±b/a×x，豎直方向的雙曲線的漸近線為x=±b/a×y。

（2）雙曲線有兩個對稱軸，分別是x=0和y=0；

（3）雙曲線的離心率ε>1，離心率越大，雙曲線的形狀越扁，當ε趨于無窮大時，雙曲線趨近于兩條漸近線的距離越來越小的平行線。

（4）雙曲線的焦點是曲線兩支的交點。

（5）雙曲線是一對共軛的曲線，即兩支曲線互為中心對稱。

（6）雙曲線上每一個點的切線都與離心線成同一個角度。

3.畫出雙曲線的方法

（1）根據(jù)雙曲線的方程，初步判斷雙曲線的形狀；

（2）確定離心距和焦點位置，根據(jù)離心率確定雙曲線的大小；

（3）確定曲線上兩點的坐標，作出雙曲線中心O；

（4）求出兩條漸近線的位置，并畫出；

（5）根據(jù)曲線的幾何性質，如對稱性等，畫出整個雙曲線。

四、教學方法

講授、演示

五、教學過程

1.導入

通過展示一地球儀和一個橢圓形、一個雙曲線形的籃球，向學生展示橢圓和雙曲線的形狀。詢問他們是否了解這兩種曲線，然后引入雙曲線的定義和基本概念。

2.知識講解

講解雙曲線的概念、方程及幾何性質。

3.畫出雙曲線

演示如何畫出雙曲線，讓學生通過練習畫出多種不同類型的雙曲線，強化對雙曲線的理解和掌握。

4.解決問題

通過解決一些相關問題，練習學生的能力，幫助他們鞏固雙曲線的概念和幾何性質，提升應用能力。

5.總結

對雙曲線的基本概念和幾何性質進行總結，鞏固所學內容。

六、教學評價

檢測數(shù)學教案－雙曲線的幾何性質

1.雙曲線的離心率表示為（）。

A.a/b

B.b/a

C.a+c/b

D.a/c

2.雙曲線的主軸是連接（）的線段。

A.兩個頂點的點

B.兩個焦點的點

C.兩個漸近線的點

D.雙曲線的中心和焦點

3.雙曲線的一般表達式為（）