《解三角形》章末同步練習(xí)

《解三角形》章末同步練習(xí)知識體系總覽正弦定理正弦定理余弦定理已知兩角和任意一邊，求其他的邊和角abc應(yīng)用舉例已知兩邊及其一邊的對角，求其他的邊和角已知三邊求三角已知兩邊和夾角，求第三邊和其他角一、選擇題(本大題共10小題，第小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符是合題目要求的．)1．在△ABC中，已知AB=5，AC=6，BC=，則A=（）ABCD解:cosA=A=答案：A2．在中,,，則等于（）（Ａ）或 （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）以上都不對解：sinB===B=或（不合）答案：C3．三角形兩邊分別為5和3，他們夾角的余弦是方程5x-7x-6=0的根，則三角形的面積是（）A.12B.6C.24D解：方程5x-7x-6=0的根為-或2，余弦值為-，則正弦值為。則三角形的面積為=6答案：B4在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，則△ABC的形狀一定是()A等腰直角三角形 B直角三角形C等腰三角形D等邊三角形解：由2cosBsinA=sinC得×a=c，∴a=b答案：C5.在△ABC中，周長為7.5cm，且sinA：sinB：sinC＝4：5：6,①②③④其中成立的個數(shù)是( )A．0個 B．1個 C．2個 D．3個解：sinA：sinB：sinC＝①正確，②錯誤。又△ABC周長為且，③正確，④錯誤答案：C6.已知△ABC的三邊長分別是2m+3,m+2m,m+3m+3(m>0),則最大內(nèi)角的度數(shù)是（A.150B.120C.90D.135解：依題意可知m+3m+3所對的角為最大角，設(shè)為，則cos=-,120答案：B7在△ABC中，b=asinC,c=acosB,則△ABC一定是（）等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形解：由c=acosB得c=a,a△ABC直角三角形b=asinC=a=cABC等腰直角三角形答案：D8在△ABC中，由已知條件解三角形，其中有兩解的是Ab=20，A=45°，C=80° Ba=30，c=28，B=60°Ca=14，b=16，A=45° Da=12，c=15，A=120°解：由a=14，b=16，A=45°及正弦定理，得=，所以sinB=因而B有兩值答案：C9．在△ABC中，已知，，B=，則（）A2BCD解：由得sinC=c<bC<BC=30則A=105a=2+1-2(-)=2+,a=答案：B10△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，如果2b=a+c，∠B=30°，△ABC的面積為，那么b等于()A B1+C D2+解：∵2b=a+c平方得a2+c2=4b2－2ac又△ABC的面積為，且∠B=30°，故由S△ABC=acsinB=acsin30°=ac=，得ac=6∴a2+c2=4b2－12由余弦定理，得cosB====，解得b2=4+2又b為邊長，∴b=1+答案：B二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分．把答案填在題中橫線上．）11已知（a+b+c）（b+c－a）=3bc，則∠A=_______解：由已知得（b+c）2－a2=3bc，∴b2+c2－a2=bc∴=∴∠A=答案：12．在△ABC中，tanB＝1，tanC＝2，b＝100，則c＝.解：由tanB＝1，tanC＝2，得sinB=,sinC=,由得c=40答案：4013在銳角△ABC中，邊長a=1，b=2，則邊長c的取值范圍是_______解：若c是最大邊，則cosC＞0∴＞0，∴c＜又c＞b－a=1，∴1＜c＜答案：（1，）則∠C的度數(shù)是_______解：由S=（a2+b2－c2）得absinC=·2abcosC∴tanC=1∴C=答案：45°15在△ABC中，若∠C=60°，則=_______解：== （*）∵∠C=60°，∴a2+b2－c2=2abcosC=ab∴a2+b2=ab+c2代入（*）式得=1答案：1三、解答題（本大題共5小題，共50分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）16.在△ABC中，若sinA＝eq\f(sinB＋sinC,cosB＋cosC)，試判斷△ABC的形狀.解：∵sinA＝eq\f(sinB＋sinC,cosB＋cosC)，∴cosB＋cosC＝eq\f(sinB＋sinC,sinA)，應(yīng)用正、余弦定理得eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＋eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(b＋c,a)，∴b（a2c2－b2）＋c（a2－b2c2）＝2bc（b＋∴a2（b＋c）－（b＋c）（b2－2bc＋c2）＝2bc（b＋c）即a2＝b2＋c2故△ABC為直角三角形.17如圖，某市擬在長為8km的道路OP賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)y=Asinx(A>0,>0)x[0,4]的圖象，且圖象的最高點為S(3，2)；賽道的后一部分為折線段MNP，為保證參賽運動員的安全，限定MNP=120（I）求A,的值和M，P兩點間的距離；（II）應(yīng)如何設(shè)計，才能使折線段賽道MNP最長？解法一（Ⅰ）依題意，有，，又，。當是，又（Ⅱ）在△MNP中∠MNP=120°，MP=5，設(shè)∠PMN=，則0°<<60°由正弦定理得,故0°<<60°，當=30°時，折線段賽道MNP最長亦即，將∠PMN設(shè)計為30°時，折線段道MNP最長解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5，由余弦定理得∠MNP=即故從而，即當且僅當時，折線段道MNP最長18.在中，內(nèi)角對邊的邊長分別是,已知.(1)若的面積等于，求，；(2)若，求的面積.解（1）由余弦定理及已知條件得，，又因為的面積等于，所以，得．聯(lián)立方程組解得，．（2）由題意得，即，當時，，，，，當時，得，由正弦定理得，聯(lián)立方程組解得，．所以的面積．19.如圖，在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45方向距A為（）nmile的B處有一艘走私船。在A處北偏西75°方向，距離A為2nmile的C處的我方緝私艇奉命以向北偏東30°方向逃竄。問：緝私艇沿什么方向行駛，才能在最短時間內(nèi)追上走私船？并求出所需時間。解：設(shè)緝私艇追上走私船需th，由余弦定理，得：由正弦定理，得：∴∠ABC＝45°向A點的正北方向作直線，交BC于E點則在△AEB中，可得∠AEB＝90°則可知C處恰在B處的正西方答：20已知△ABC中，2（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，外接圓半徑為（1）求∠C；（2）求△ABC面積的最大值解：（1）由2（sin2A－sin2C）=（a－b）·sin得2（－）=（a－b）又∵R=，∴a2－c2=ab－b2∴a2+b2－c2=ab∴cosC=