人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)培優(yōu)和競(jìng)賽教程1、用提公因式法把多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解

1用提公因式法多項(xiàng)式進(jìn)行式分解【知精】如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式據(jù)乘法分配律的逆運(yùn)算以這個(gè)公因式提到括號(hào)外面，將多項(xiàng)式寫成因式乘積的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法的理論依據(jù)就是乘法分配律項(xiàng)式的公因式的確定方法是：（1）當(dāng)多項(xiàng)式有相同字母時(shí)，取相同字母的低次冪。（2）系數(shù)和各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)，公因式以是數(shù)、單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。下面我們通過(guò)例題進(jìn)一步學(xué)習(xí)用提公因式法因式分解【分解】把下列各式因式分解（1）

2m

acxm（2）

(a)

3

2

(

2

)分1若多項(xiàng)式的第一項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)，一般要提出“－”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)系數(shù)是正數(shù)，在提出“－”號(hào)后，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào)。解

2

x

abx

ax

m

(

2

3

)（2）有時(shí)將因式經(jīng)過(guò)符號(hào)變換或?qū)⒆帜钢匦铝泻罂苫癁楣蚴剑纾寒?dāng)n為然數(shù)時(shí)，

()

2n

(

2

(a)

2

)

2n

，是在因式分解過(guò)程中常用的因式變換。解

(a))ab()()a2()ab()()[(a)

2

)b](

2

2

利提公因式法簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程例：計(jì)算

123

9879879879874565211368136813681368987分：式中每一項(xiàng)都含有，以把它看成公因式提取出來(lái)，再算出結(jié)果。1368解原式

9871368

2689879871368

在項(xiàng)式恒等變形中的應(yīng)用y例：不解方程組5x

，求代數(shù)式

xy)(2)xx)

的值。分：要求解方程組，我們可以把

2xy和5y

看成整體，它們的值分別是3和，觀察代數(shù)式，發(fā)現(xiàn)每一項(xiàng)都含2y

，利用提公因式法把代數(shù)式恒等變形，化為含有

2xy

和

5x

的式子，即可求出結(jié)果。解

(2xy)(2xy)(2)xy)(2x)(2xy)把

2xy

和

5x

分別為

帶入上式，求得代數(shù)式的值是

。在數(shù)證明題中的應(yīng)用例：證明：對(duì)于任意自然數(shù)n，

3

n

n

n

n

一定是10的數(shù)。分：先利用因式分解把代數(shù)式恒等變形著只需證明每一項(xiàng)都是的倍數(shù)即可。nnn3n(3210

對(duì)任意自然數(shù)，

和

5

n

都是10的倍數(shù)。3

nn

一定是10的數(shù)、考撥例1。因式分解

(2)(2)解

(2)(2)3(x2)x說(shuō)明：因式分解時(shí)，應(yīng)先觀察有沒(méi)有公因式，若沒(méi)有，看是否能通過(guò)變形轉(zhuǎn)換得到。例2．分解因式：

qp)2(解

qp)

32(2(1p)3p)

2p2q)p

2

說(shuō)明在用提公因式法分解因式須對(duì)原式進(jìn)行變形得到公因式同時(shí)一定要注意符號(hào)，提取公因式后，剩下的因式應(yīng)注意化簡(jiǎn)。題型展示：例1.計(jì)：

200020012001

精析與解答：設(shè)2000a，200120012001200120002000a[10000(aa)a10001(10001a(1000110001)0說(shuō)明：此題是一個(gè)有規(guī)律的大數(shù)字的運(yùn)算，若直接計(jì)算，運(yùn)算量必然很大。其、重復(fù)出現(xiàn)，又有

2001

的特點(diǎn)，可通過(guò)設(shè)未知數(shù)，將復(fù)雜數(shù)字間的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，再利用多項(xiàng)式的因式分解化簡(jiǎn)求值，從而簡(jiǎn)化計(jì)算。例2.已：

x

（bc為數(shù)）是

x425及3228x

的公因式，求、c的。分：規(guī)解法是分別將兩個(gè)多項(xiàng)式分解因式，求得公因式后求、c，但比較麻煩。注意到

x2

是

3(225)

及

2x

的因式。因而也是2

的因式，所求問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為求這個(gè)多項(xiàng)式的二次因式。解

x

是x425)及3x2

28

的公因式

也是多項(xiàng)式

4

x

2

4

x

2

的二次因式而

4x25)x4x2x14(2x、為數(shù)得：

xxbc說(shuō)明：這是對(duì)原命題進(jìn)行演繹推理后，轉(zhuǎn)化為解多項(xiàng)

2870

，從而簡(jiǎn)便求得

x2

。例3.設(shè)x整數(shù)，試判斷(x解

0(x2)

是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由。)x(x2)(5)5x

都是大于的然數(shù)x)

是合數(shù)

說(shuō)明：在大于的正數(shù)中，除了這個(gè)數(shù)本身，還能被其它正整數(shù)整除的數(shù)叫合數(shù)。只能被本身整除的數(shù)叫質(zhì)數(shù)?！緫?zhàn)擬分解因式：（1）

n3mn（2）

2n

nnadx

（n為正整數(shù)）（3）

)

3

a

2

(

2

ab)

2計(jì)算：

(11

10

的結(jié)果是（）

2

10010

C.

已知、y都正整數(shù)，且

x(y)(x)12

，求、y。證明：

7

能被整除?；?jiǎn)：

xx)xx)

1995

，且當(dāng)

x

時(shí)，求原式的值。

7791【題案分析與解答：（1）

n3mn

mnmn(2mnm2n（2）

2n

nnadx

ax

n

(

3

2

cx)（3）原式

)3a2)(a)

2(a)(a)

[(a](3aa(a

注意：結(jié)果多項(xiàng)因式要化簡(jiǎn)，同時(shí)要分解徹底。B

x(x)()12)(y)、

是正整數(shù)

分解成

，23又xy與x奇性相同，且

xxy

xy2xy6xy說(shuō)明：求不定方程的整數(shù)解，經(jīng)常運(yùn)用因式分解來(lái)解決。證明：81273282733

2626

324