第一章數(shù)學(xué)建模綜述

第一章數(shù)學(xué)建模綜述1.1數(shù)學(xué)的應(yīng)用與數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)廣泛地應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，如:傳統(tǒng)的物理學(xué)、天文學(xué)、力學(xué)，及現(xiàn)代的工程技術(shù)、社會(huì)生活、信息技術(shù)等。計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展為數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用創(chuàng)造了條件，尤其是一些數(shù)學(xué)軟件的開(kāi)發(fā)使用，使得很多數(shù)學(xué)思想、方法得以實(shí)現(xiàn)。生物學(xué)航空宇宙濾波設(shè)計(jì)動(dòng)力傳輸系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)

數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling)1.1數(shù)學(xué)的應(yīng)用與數(shù)學(xué)建模對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，做出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具,得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)

數(shù)學(xué)模型是實(shí)際對(duì)象的一種抽象模擬，它用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)公式、圖表、算法或程序描述現(xiàn)實(shí)對(duì)象中的數(shù)量關(guān)系。數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling)建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程（包括表述、求解、解釋、驗(yàn)證等）數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述求解解釋驗(yàn)證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗(yàn)證根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問(wèn)題“翻譯”成數(shù)學(xué)問(wèn)題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的解答“翻譯”回實(shí)際對(duì)象用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答實(shí)踐現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界理論實(shí)踐1.2數(shù)學(xué)建模的基本問(wèn)題數(shù)學(xué)建模的方法數(shù)學(xué)建模的基本過(guò)程數(shù)學(xué)模型的分類(lèi)怎樣學(xué)好數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽測(cè)試分析的方法：對(duì)客觀事物的特性不能準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)，只能通過(guò)對(duì)問(wèn)題的觀測(cè)數(shù)據(jù)的測(cè)量和分析，找到與數(shù)據(jù)吻合最好的模型。如：回歸分析方法，方差分析方法等。數(shù)學(xué)建模的方法機(jī)理分析的方法：根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí)，分析其因果關(guān)系，通過(guò)推理分析得到的數(shù)學(xué)模型。如：微分方程方法，最優(yōu)化方法等。數(shù)學(xué)建模的基本過(guò)程1.模型準(zhǔn)備了解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確建模目的，收集掌握必要的數(shù)據(jù)資料。2.模型假設(shè)在明確建模目的,掌握必要資料的基礎(chǔ)上,

通過(guò)對(duì)資料的分析計(jì)算,找出起主要作用的因素,經(jīng)必要的精煉、簡(jiǎn)化,提出若干符合客觀實(shí)際的假設(shè)。

3.模型建立在所作假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具去刻劃各變量之間的關(guān)系,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)——即建立數(shù)學(xué)模型。

4.模型求解選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎń馕龇?、?shù)值法、畫(huà)圖法等）求解數(shù)學(xué)模型。

5.模型的分析與檢驗(yàn)對(duì)模型進(jìn)行理論或計(jì)算分析，并用實(shí)際數(shù)據(jù)檢驗(yàn)是否符合實(shí)際。在難以得出解析解時(shí)，也應(yīng)當(dāng)借助計(jì)算機(jī)求出數(shù)值解。

實(shí)體信息(數(shù)據(jù))假設(shè)建模求解驗(yàn)證應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的分類(lèi)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)具體類(lèi)別建模目的描述、優(yōu)化、預(yù)報(bào)、決策…對(duì)某個(gè)實(shí)際問(wèn)題了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中變量的特征連續(xù)型模型、離散型模型或確定性模型、隨機(jī)型模型等建模中所用的數(shù)學(xué)方法初等模型、微分方程模型、差分方程模型、優(yōu)化模型等研究課題的實(shí)際范疇人口模型、生態(tài)系統(tǒng)模型、交通流模型、經(jīng)濟(jì)模型、基因模型等怎樣學(xué)好數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模與其說(shuō)是一門(mén)技術(shù)，不如說(shuō)是一門(mén)藝術(shù)技術(shù)大致有章可循藝術(shù)無(wú)法歸納成普遍適用的準(zhǔn)則想像力洞察力判斷力

學(xué)習(xí)、分析、評(píng)價(jià)、改進(jìn)別人做過(guò)的模型

親自動(dòng)手，認(rèn)真做幾個(gè)實(shí)際題目數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽：1985年至今，每年一次，時(shí)間在2月初的第一個(gè)周五至下周二，共96小時(shí)。三名學(xué)生組成一隊(duì)參賽，要完成以包括數(shù)學(xué)建模全過(guò)程為素材撰寫(xiě)的論文（英文）。全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽：1992年至今，每年一次，時(shí)間在9月下旬第一個(gè)周五至下周一，共72小時(shí)。三名學(xué)生組成一隊(duì)參賽，要完成以包括數(shù)學(xué)建模全過(guò)程為素材撰寫(xiě)的論文。1.3

數(shù)學(xué)建模示例

穩(wěn)定的椅子

商人安全過(guò)河

人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)

傳送系統(tǒng)效率1.3.1穩(wěn)定的椅子問(wèn)題分析模型假設(shè)通常~三只腳著地放穩(wěn)~四只腳著地

四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線呈正方形;

地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面;

地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地。椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？問(wèn)題模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)

椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對(duì)稱性用(對(duì)角線與x軸的夾角)表示椅子位置

四只腳著地距離是的函數(shù)四個(gè)距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f()B,D兩腳與地面距離之和~g()椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)正方形對(duì)稱性兩個(gè)距離xBADCOD′C′B′A′f(),g()是連續(xù)函數(shù)對(duì)任意,f(),g()至少一個(gè)為0數(shù)學(xué)問(wèn)題已知：f(),g()是連續(xù)函數(shù);對(duì)任意，

f()?g()=0;且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在0，使f(0)=g(0)=0.地面為連續(xù)曲面

椅子在任意位置至少三只腳著地用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)模型構(gòu)成模型求解給出一種簡(jiǎn)單、粗糙的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)900，對(duì)角線AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續(xù)性知

h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因?yàn)閒()?g()=0,所以f(0)=g(0)=0.建模的關(guān)鍵:假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì)考察四腳連線呈長(zhǎng)方形的椅子和f(),g()的確定評(píng)注和思考:問(wèn)題(智力游戲)3名商人3名隨從隨從們密約,在河的任一岸,一旦隨從的人數(shù)比商人多,就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們?cè)鯓硬拍馨踩^(guò)河?問(wèn)題分析多步?jīng)Q策過(guò)程決策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求~在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),

經(jīng)有限步使全體人員過(guò)河.河小船(至多2人)1.3.2商人安全過(guò)河模型構(gòu)成yk~第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,sk=(xk,yk)~過(guò)程的狀態(tài)S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允許狀態(tài)集合uk~第k次渡船上的商人數(shù)vk~第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk,vk)~決策D={(u

,v)u+v=1,2}~允許決策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk

dk+(-1)k~狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求dkD(k=1,2,n),使skS,并按狀態(tài)轉(zhuǎn)移律由s1=(3,3)到達(dá)sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策問(wèn)題xk~第k次渡河前此岸的商人數(shù)設(shè)模型求解xy3322110

窮舉法~編程上機(jī)

圖解法狀態(tài)s=(x,y)~16個(gè)格點(diǎn)~10個(gè)點(diǎn)允許決策~移動(dòng)1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,，d11給出安全渡河方案規(guī)格化方法,易于推廣考慮4名商人各帶一名隨從的情況d1d11允許狀態(tài)S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;

x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}評(píng)注和思考:傳送帶掛鉤產(chǎn)品工作臺(tái)背景

傳送系統(tǒng)的效率

在機(jī)械化生產(chǎn)車(chē)間里你可以看到這樣的情景：排列整齊的工作臺(tái)旁工人們緊張地生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，工作臺(tái)上方一條傳送帶在運(yùn)轉(zhuǎn)，帶上設(shè)置著若干個(gè)鉤子，工人們將產(chǎn)品掛在經(jīng)過(guò)他上方的鉤子上帶走。1.3.3傳送系統(tǒng)的效率問(wèn)題

衡量這種傳送系統(tǒng)的效率可以看它是否及時(shí)地把工人們生產(chǎn)的產(chǎn)品帶走。顯然在工人數(shù)目不變的情況下傳送帶速度越快,帶上鉤子越多,效率會(huì)越高。我們要構(gòu)造一個(gè)衡量傳送系統(tǒng)效率的指標(biāo),并且在一些簡(jiǎn)化假設(shè)下建立一個(gè)模型來(lái)描述這個(gè)指標(biāo)與工人數(shù)目,鉤子數(shù)量等參數(shù)的關(guān)系.傳送帶掛鉤產(chǎn)品工作臺(tái)問(wèn)題分析系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)生產(chǎn)系統(tǒng)的周期性運(yùn)轉(zhuǎn)傳送系統(tǒng)的效率一個(gè)周期的效率一個(gè)周期內(nèi)傳送帶運(yùn)走的產(chǎn)品數(shù)占產(chǎn)品總數(shù)的比例作為衡量傳送帶效率的數(shù)量指標(biāo)

傳送系統(tǒng)的效率問(wèn)題分析每人做完一件產(chǎn)品后,要么恰有空鉤經(jīng)過(guò)他的工作臺(tái),使他可將產(chǎn)品掛上運(yùn)走,要么沒(méi)有空鉤經(jīng)過(guò),迫使他放下這件產(chǎn)品并立即投入下件產(chǎn)品的生產(chǎn)。工人們生產(chǎn)周期雖然相同,但穩(wěn)態(tài)下每生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時(shí)刻不會(huì)一致,可以認(rèn)為是隨機(jī)的,并且在一個(gè)周期內(nèi)任一時(shí)刻的可能性相同。系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)生產(chǎn)系統(tǒng)的周期性運(yùn)轉(zhuǎn)工人們的生產(chǎn)周期(生產(chǎn)一件產(chǎn)品的時(shí)間)相同

傳送系統(tǒng)的效率系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)生產(chǎn)系統(tǒng)的周期性運(yùn)轉(zhuǎn)工人們的生產(chǎn)周期(生產(chǎn)一件產(chǎn)品的時(shí)間)相同

生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時(shí)刻是隨機(jī)的且在一個(gè)周期內(nèi)任一時(shí)刻的可能性相同問(wèn)題分析掛上產(chǎn)品的時(shí)刻也是隨機(jī)的一個(gè)周期內(nèi)傳送帶運(yùn)走的產(chǎn)品數(shù)占產(chǎn)品總數(shù)的比例作為衡量傳送帶效率的數(shù)量指標(biāo)

傳送系統(tǒng)的效率模型假設(shè)1）n個(gè)工作臺(tái)均勻排列，n個(gè)工人生產(chǎn)相互獨(dú)立，生產(chǎn)周期是常數(shù)；2）生產(chǎn)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，每人生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時(shí)刻在一個(gè)周期內(nèi)是等可能的；3）一周期內(nèi)m個(gè)均勻排列的掛鉤通過(guò)每一工作臺(tái)的上方，到達(dá)第一個(gè)工作臺(tái)的掛鉤都是空的；4）每人在生產(chǎn)完一件產(chǎn)品時(shí)都能且只能觸到一只掛鉤,若這只掛鉤是空的,則可將產(chǎn)品掛上運(yùn)走；若該鉤非空,則這件產(chǎn)品被放下,退出運(yùn)送系統(tǒng)。

傳送系統(tǒng)的效率模型建立為確定s,從工人考慮還是從掛鉤考慮,哪個(gè)方便?傳送帶效率=一周期內(nèi)運(yùn)走的產(chǎn)品數(shù)s(待定)生產(chǎn)總數(shù)n（已知）=s/n=D

定義:從工人的角度考慮,

工人能將自己的產(chǎn)品掛上鉤子的概率與工人所在位置有關(guān)在穩(wěn)態(tài)下鉤子沒(méi)有次序，處于同等的地位從鉤子的角度考慮

傳送系統(tǒng)的效率模型建立從鉤子的角度考慮：若求出一周期內(nèi)每只掛鉤非空的概率p，則s=mp

設(shè)每只掛鉤為空的概率為q，則

p=1-q

設(shè)每只掛鉤不被一工人觸到的概率為r，則q=rn

設(shè)每只掛鉤被一工人觸到的概率為u，則r=1-uu=1/mp=1-(1-1/m)nD=m[1-(1-1/m)n]/n一周期內(nèi)有m個(gè)掛鉤通過(guò)每一工作臺(tái)的上方如何求概率P

傳送系統(tǒng)的效率模型解釋若(一周期運(yùn)行的)掛鉤數(shù)m遠(yuǎn)大于工作臺(tái)數(shù)n,則

傳送帶效率(一周期內(nèi)運(yùn)走產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)總數(shù)之比)定義E=1-D

(一周期內(nèi)未運(yùn)走產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)總數(shù)之比)提高效率的途徑：

增加m當(dāng)n遠(yuǎn)大于1時(shí),E

n/2m~E與n成正比,與m成反比若n=10,m=40,D87.5%(89.4%)

傳送系統(tǒng)的效率背景

年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長(zhǎng)概況中國(guó)人口增長(zhǎng)概況

年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過(guò)快增長(zhǎng)1.3.4人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)目的指數(shù)增長(zhǎng)模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計(jì)算公式N(t)~時(shí)刻t的人口基本假設(shè):

人口(相對(duì))增長(zhǎng)率r

是常數(shù),今年人口N0,年增長(zhǎng)率r=b-d，k年后人口隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)用及局限性

與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合

適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代

可用于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)

不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律

不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)過(guò)程19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長(zhǎng)率r不是常數(shù)(逐漸下降)阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下降的原因：1.資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用2.阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r~固有增長(zhǎng)率

(N很小時(shí))Nm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是N的減函數(shù)0dN/dtNNmNm/2NmtN0N(t)~S形曲線,N增加先快后慢N0Nm/2阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)

阻滯增長(zhǎng)模型有一個(gè)穩(wěn)定的平衡值Nm,這比指

數(shù)增長(zhǎng)模型更符合實(shí)際。利用美國(guó)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，檢驗(yàn)上述兩個(gè)模型

取r=0.03134,Nm=197273000,得到的計(jì)算結(jié)果

顯示邏輯增長(zhǎng)模型與實(shí)際誤差更小。

這里的參數(shù)r和Nm是專(zhuān)家估計(jì)給出的，實(shí)際上，

它們包括N0都可以通過(guò)參數(shù)估計(jì)得到。阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)估計(jì)中的參數(shù)r和N0對(duì)模型取對(duì)數(shù)，得

用線性最小二乘法（利用計(jì)算機(jī)計(jì)算）可求得

參數(shù)a和r，從而得到N0和r。

利用美國(guó)1790-1900年數(shù)據(jù)，算得N0=4.1184（百萬(wàn)),r=0.2743（每10年）阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)估計(jì)中的參數(shù)Nm,r由

利用數(shù)值微分可算出右端值，再利用線性最小

二乘法，即可求得r和s。利用美國(guó)1860-1990年數(shù)據(jù)計(jì)算得Nm=392.0886,r=0.25571.4插值法與最小二乘法簡(jiǎn)介在實(shí)際中常常會(huì)遇到這樣的問(wèn)題：不知道函數(shù)y=f(x)的具體表達(dá)式，只能通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到該函數(shù)在一些點(diǎn)的函數(shù)值，要求一個(gè)函數(shù)使其通過(guò)這組點(diǎn)，即這就是插值問(wèn)題。函數(shù)稱為的插值函數(shù)，稱為插值節(jié)點(diǎn)。1.4.1插值方法已知函數(shù)在k+1個(gè)互異點(diǎn)的函數(shù)值，要求一個(gè)次數(shù)小于等于k的多項(xiàng)式使得

稱為的插值多項(xiàng)式。多項(xiàng)式插值常見(jiàn)的多項(xiàng)式插值有：Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值等。Lagrange插值多項(xiàng)式具有如下形式k=1時(shí)，Lagrange插值也稱為線性插值其幾何意義就是通過(guò)兩點(diǎn)的直線.k=2時(shí)，Lagrange插值稱為二次插值其幾何意義為通過(guò)三點(diǎn)的拋物線。多項(xiàng)式插值的缺點(diǎn)：當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)較多時(shí)，高次插值會(huì)出現(xiàn)計(jì)算不穩(wěn)定，如Runge現(xiàn)象等。1.4.2擬合法當(dāng)是由實(shí)驗(yàn)和觀測(cè)得到的，其函數(shù)通常是由表格給出，若要求曲線

逼近函數(shù)，通常由于觀測(cè)有誤差，插值條件不一定成立。