半導(dǎo)體物理與器件第三章

半導(dǎo)體物理與器件第三章第一頁，共四十六頁，2022年，8月28日E0kE0簡約布里淵區(qū)允帶允帶允帶禁帶禁帶第二頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三章 固體量子理論初步3§3.2固體中電的傳導(dǎo)固體中電流是由于電子的定向移動(dòng)造成的在滿帶中，所有電子狀態(tài)被占據(jù)首先在無外力情況下。電子也并非靜止的處于某一個(gè)固定的狀態(tài)。在熱擾動(dòng)的情況下，電子可能增加或減少自己的能量，從而在各個(gè)k狀態(tài)中躍遷（指能量改變）。但是由于是滿帶，每有一個(gè)k狀態(tài)的電子改變了能量跑到了k’狀態(tài)，則相應(yīng)的就有一個(gè)電子填補(bǔ)了k狀態(tài)，由于電子的全同性，相當(dāng)于系統(tǒng)的狀態(tài)沒有任何改變，因而沒有電流。第三頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三章 固體量子理論初步4當(dāng)外力作用于滿帶時(shí)，假設(shè)某個(gè)電子獲得了能量。而跑到另一個(gè)k狀態(tài)中，但由于是滿帶，所有的狀態(tài)都被占據(jù)，因而另一個(gè)k狀態(tài)中的電子就需要填充到原有的這個(gè)k狀態(tài)中，即相當(dāng)于兩個(gè)電子狀態(tài)上的電子進(jìn)行了交換。由于電子是全同粒子，交換后所表達(dá)的狀態(tài)和原先的狀態(tài)是完全一樣的，因而系統(tǒng)的狀態(tài)不發(fā)生變化，自然也沒有電流的產(chǎn)生。第四頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三章 固體量子理論初步5在不滿帶中，部分電子狀態(tài)被占據(jù)。在沒有外力作用的情況下，半滿帶內(nèi)的電子可以在熱的影響下改變自己的能量而跑到別的k狀態(tài)中。但由于E~k是偶函數(shù)（晶體的對稱性），處于k狀態(tài)和-k狀態(tài)的幾率相等，即有向一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的電子，平均地就有一個(gè)相應(yīng)的向相反方向運(yùn)動(dòng)的電子。即電子雜亂無章的熱運(yùn)動(dòng)在各個(gè)方向是等價(jià)而對稱的，因而沒有宏觀電流。（k和電子的運(yùn)動(dòng)速度即方向有關(guān)）第五頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三章 固體量子理論初步6對于半滿帶中的電子來說。當(dāng)施加于外力F時(shí)：由于外力的作用電子獲得了能量和靜動(dòng)量，向某一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的電子超過相反方向（改變了k空間的對稱分布），因而表現(xiàn)出宏觀電流。由于電子在電場作用下造成的定向運(yùn)動(dòng)造成的漂移電流為：e電子電量，n電子密度，用求和的形式表示，表明電流是電子向各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)抵消后的凈運(yùn)動(dòng)造成的。第六頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三章 固體量子理論初步7§3.2.3有效質(zhì)量問題：什么叫質(zhì)量？如何測量一個(gè)物體的質(zhì)量？ m=N/g F=ma質(zhì)量（慣性）是和作用力改變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有關(guān)的量。對于晶格中的某一個(gè)電子來說：Fint非常復(fù)雜，難以確定。因而我們將公式簡寫為：其中加速度a直接與外力有關(guān)。參數(shù)m*對外力Fext表現(xiàn)出類似于慣性質(zhì)量的性質(zhì)，叫做有效質(zhì)量。所謂有效是指：“有效”的意義在于“它是有效的，但不是真實(shí)的”第七頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三章 固體量子理論初步8有效性表現(xiàn)在當(dāng)我們用可控制的物理作用“Fext”作用于晶體中的電子時(shí)，有效質(zhì)量可以描繪出該作用對該電子的影響。教材p53頁給出了一個(gè)對有效質(zhì)量的直觀解釋第八頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三章 固體量子理論初步9有效質(zhì)量與E-k圖的關(guān)系 能量的改變對應(yīng)于狀態(tài)的改變。在無外力作用的情況下，晶體中電子的能量是恒定的（平均）。當(dāng)外力作用于晶體電子時(shí)，其能量就要改變（平均），因而我們用能量E和狀態(tài)k之間的變化關(guān)系來描繪有效質(zhì)量。對應(yīng)于經(jīng)典理論：第九頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三章 固體量子理論初步10 先考慮自由電子： 根據(jù)德布羅意波粒二相性原理： 對于自由電子，其E-k關(guān)系： E的二階導(dǎo)數(shù)是一個(gè)常量，電子質(zhì)量是個(gè)常量Ek第十頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三章 固體量子理論初步11對于晶格電子，在能帶極值附近進(jìn)行泰勒級數(shù)展開：

一階導(dǎo)數(shù)為0，取至二階（拋物線近似，近自由電子近似）對于特定的半導(dǎo)體： 應(yīng)當(dāng)為一定值（極值附近），假設(shè)為 ，則可表示為：第十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三章 固體量子理論初步12可以看到，和自由電子相比，m*起著相當(dāng)于質(zhì)量的作用。m*的特殊之處。自由電子靜質(zhì)量m0為常數(shù)，而有效質(zhì)量和E-k關(guān)系有關(guān)。只有在能帶圖上的特定位置，其值才能作為常數(shù)。（可用回旋共振的方法測出）。m*的大小和E對k的二階導(dǎo)數(shù)有關(guān)，在帶底處，E-k二階導(dǎo)數(shù)為正（曲率為正），因而有效質(zhì)量為正，而在能帶頂部，E-k二階導(dǎo)數(shù)為負(fù)（曲率為負(fù)），因而有效質(zhì)量為負(fù)。教材p57給出了一個(gè)有效質(zhì)量為負(fù)的直觀解釋。第十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三章 固體量子理論初步13有效質(zhì)量和半導(dǎo)體電子的平均速度 對于自由電子：

相應(yīng)地： 并不是晶格中電子的動(dòng)量，但卻有著類似于自由電子動(dòng)量的表達(dá)（ ），因而被稱作準(zhǔn)動(dòng)量。第十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三章 固體量子理論初步14有效質(zhì)量和加速度實(shí)際的半導(dǎo)體器件在一定的電壓下工作，半導(dǎo)體內(nèi)部產(chǎn)生外加電場。電場強(qiáng)度為E時(shí)外力對電子做功等于能量的改變：將 代入：第十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三章 固體量子理論初步15 這反映了在外力作用下，電子的狀態(tài)隨時(shí)間不斷變化，相應(yīng)地速度不斷變化，則加速度為： 從而 可以看到，借助于有效質(zhì)量的概念，晶體電子在外力的作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以用經(jīng)典的牛頓理論來描述。有效質(zhì)量是一個(gè)將經(jīng)典理論和量子理論聯(lián)系起來的概念。第十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三章 固體量子理論初步16有效質(zhì)量的意義在于:它概括了半導(dǎo)體內(nèi)部勢場的作用，使得在解決半導(dǎo)體中電子在外力作用下的運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，可以不涉及到半導(dǎo)體內(nèi)部勢場的作用。mn*可以直接由實(shí)驗(yàn)測定，因而可以很方便地解決電子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律有效質(zhì)量與能量函數(shù)對于k的二次微商成反比，能帶越窄，二次微商越小，有效質(zhì)量越大。內(nèi)層電子的能帶窄，有效質(zhì)量大外層電子的能帶寬，有效質(zhì)量小外層電子，在外力的作用下可以獲得較大的加速度。第十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三章 固體量子理論初步17§3.2.4空穴的概念 硅二維晶格結(jié)構(gòu)在0k時(shí)，所有的外層價(jià)電子都處于共價(jià)鍵中（處于價(jià)帶中，滿帶），因而不能導(dǎo)電。E熱激發(fā)，一個(gè)電子打破共價(jià)鍵而游離，成為準(zhǔn)自由電子在電場作用下，空位的移動(dòng)形成電流。電子躍遷后留下的空位叫空穴第十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三章 固體量子理論初步18設(shè)想價(jià)帶中一個(gè)電子激發(fā)到價(jià)帶，電子電流密度

J＝價(jià)帶（k狀態(tài)空出）電子總電流設(shè)想以一個(gè)電子填充到空的k狀態(tài),k狀態(tài)電子電流=(-q)v(k)填入這個(gè)電子后價(jià)帶又被填滿,總電流應(yīng)為零

J＋（-q）v（k）＝0

因而得到

J＝（＋q）v（k）說明：當(dāng)價(jià)帶k狀態(tài)空出時(shí)，價(jià)帶電子的總電流，如同一個(gè)正電荷的粒子以k狀態(tài)電子速度v（k）運(yùn)動(dòng)時(shí)所產(chǎn)生的電流。第十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三章 固體量子理論初步19空穴的主要特征：荷正電：+q；空穴濃度表示為p（電子濃度表示為n）；EP=-En（能量方向相反）mP*=-mn*空穴的意義：可以把價(jià)帶大量電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用很少的空穴的運(yùn)動(dòng)表示出來。Ek第十九頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三章 固體量子理論初步20§3.2.5金屬、絕緣體和半導(dǎo)體固體導(dǎo)電性和能帶的關(guān)系允帶和禁帶空帶（無電子，不導(dǎo)電）；滿帶（無空狀態(tài)，不導(dǎo)電）；不滿帶（導(dǎo)電，電子，空穴）第二十頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三章 固體量子理論初步21能帶（energyband）包括允帶和禁帶。允帶（allowedband）：允許電子能量存在的能量范圍。禁帶（forbiddenband）：不允許電子存在的能量范圍。允帶又分為空帶、滿帶、導(dǎo)帶、價(jià)帶?？諑В╡mptyband）：不被電子占據(jù)的允帶。滿帶（filledband）：允帶中的能量狀態(tài)（能級）均被電子占據(jù)。導(dǎo)帶（conductionband）：電子未占滿的允帶（有部分電子。）價(jià)帶（valenceband）:被價(jià)電子占據(jù)的允帶（低溫下通常被價(jià)電子占滿）。第二十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三章 固體量子理論初步22用能帶理論解釋導(dǎo)體、半導(dǎo)體、絕緣體的導(dǎo)電性：0<Eg<6eVEg>6eV金屬半導(dǎo)體絕緣體第二十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三章 固體量子理論初步23金屬中，由于組成金屬的原子中的價(jià)電子占據(jù)的能帶是部分占滿的，所以金屬是良好的導(dǎo)電體半導(dǎo)體和絕緣體的能帶類似，即下面是已被價(jià)電子占滿的滿帶（其下面還有為內(nèi)層電子占滿的若干滿帶），亦稱價(jià)帶，中間為禁帶，上面是空帶。因此，在外電場作用下并不導(dǎo)電，但是這只是絕對溫度為零時(shí)的情況。絕緣體的禁帶寬度很大，激發(fā)電子需要很大的能量，在通常溫度下，能激發(fā)到導(dǎo)帶中的電子很少，所以導(dǎo)電性很差。半導(dǎo)體禁帶寬度比較小，在通常溫度下已有不少電子被激發(fā)到導(dǎo)帶中去，所以具有一定的導(dǎo)電能力，這是絕緣體和半導(dǎo)體的主要區(qū)別。半導(dǎo)體中導(dǎo)帶的電子和價(jià)帶的空穴參與導(dǎo)電，這是與金屬導(dǎo)體的最大差別。室溫下，金剛石的禁帶寬度為6～7eV，它是絕緣體；硅為1.12eV，鍺為0.67eV，砷化鎵為1.43eV，所以它們都是半導(dǎo)體。第二十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三章 固體量子理論初步24§3.3硅和砷化鎵的能帶圖三維擴(kuò)展電子在晶體中不同的方向上運(yùn)動(dòng)的時(shí)候遇到的勢場是不同的，因而E-k關(guān)系是k空間方向上的函數(shù)第二十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三章 固體量子理論初步25對于一維模型來說，關(guān)于k坐標(biāo)對稱，因而一個(gè)方向畫出一半就可以表示另一半的曲線 砷化鎵材料導(dǎo)帶的最低點(diǎn)與價(jià)帶的最高點(diǎn)都位于k=0點(diǎn)，直接帶隙半導(dǎo)體材料，電子在不同能帶之間的躍遷沒有動(dòng)量的改變，這對于半導(dǎo)體材料的光電特性具有重要意義。第二十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三章 固體量子理論初步26右圖所示為硅晶體材料沿著[100]和[111]方向的E~k關(guān)系示意圖。硅材料導(dǎo)帶的最低點(diǎn)位于[100]方向，其價(jià)帶的最高點(diǎn)仍然位于k=0點(diǎn)，具有這種能帶結(jié)構(gòu)的半導(dǎo)體材料通常稱為間接帶隙半導(dǎo)體材料，此時(shí)電子在不同能帶之間的躍遷涉及到動(dòng)量的改變，除了滿足能量守恒之外，還必須要滿足動(dòng)量守恒。第二十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三章 固體量子理論初步27有效質(zhì)量概念的補(bǔ)充對于三維晶體來說，在各個(gè)方向上的E~k曲線不同，且能帶極值可能不在原點(diǎn)。因而在不同方向上的有效質(zhì)量不同。第二十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三章 固體量子理論初步28§3.4狀態(tài)密度在單位空間和單位能量中允許存在的狀態(tài)數(shù)目——狀態(tài)密度熱平衡狀態(tài)下的載流子濃度問題什么是熱平衡？不同溫度下的載流子濃度允許的量子態(tài)按能量如何分布電子在允許的量子態(tài)中如何分布第二十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三章 固體量子理論初步29§3.4狀態(tài)密度狀態(tài)密度+狀態(tài)分布函數(shù)載流子密度 當(dāng)溫度不同時(shí)，每層安排的座位數(shù)g(T)為一定值。當(dāng)溫度不同時(shí)，每層的人數(shù)分布為ff(T)。 則當(dāng)某一日溫度為T時(shí)，我們知道總?cè)藬?shù)為:第二十九頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三章 固體量子理論初步30K空間中量子態(tài)的分布 由于量子效應(yīng)限制，波矢k的取值為分立值。對于三維晶體，k的允許值為： L是半導(dǎo)體晶體的線度，L3=V，為晶體體積。由kx，ky，kz為坐標(biāo)系所描寫的k空間中，每一組整數(shù)（nx、ny、nz）就對應(yīng)著一個(gè)波矢k。在k空間中，狀態(tài)是均勻分布的，每個(gè)k狀態(tài)所占據(jù)k空間的體積為π3/L3=π3/V。由于每個(gè)k狀態(tài)可以占據(jù)兩個(gè)電子（自旋相反），因而在k空間中，電子的允許狀態(tài)密度是2V/π3。第三十頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三章 固體量子理論初步31導(dǎo)帶底狀態(tài)密度在k空間中，只考慮1/8球殼，E到E+dE之間的量子態(tài)數(shù)為：將k換為E，根據(jù)E-k關(guān)系有：

第三十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三章 固體量子理論初步32代入，得到：因?yàn)橛?最后，這是體積V中的狀態(tài)密度，除以V，得到單位體積內(nèi)的狀態(tài)密度函數(shù)：第三十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三章 固體量子理論初步33根據(jù)空穴的E-k關(guān)系可求得空穴的狀態(tài)密度：狀態(tài)密度同時(shí)是體積密度和能量密度狀態(tài)密度和能量和有效質(zhì)量有關(guān)實(shí)際半導(dǎo)體中，由于有效質(zhì)量可能有方向性，因而等能面不為球面，則采用平均的有效質(zhì)量來計(jì)算，稱為狀態(tài)密度有效質(zhì)量對于價(jià)帶，可能是復(fù)合能帶，為輕重空穴的狀態(tài)密度之和，因而采用價(jià)帶頂空穴狀態(tài)密度的有效質(zhì)量第三十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三章 固體量子理論初步34當(dāng)EV<E<EC時(shí)，為禁帶（帶隙），在此能量區(qū)間g(E)=0

導(dǎo)帶中電子的態(tài)密度分布函數(shù)gC(E)和價(jià)帶中空穴的態(tài)密度分布函數(shù)gV(E)隨著能量E的變化關(guān)系如右圖所示，當(dāng)電子的態(tài)密度有效質(zhì)量與空穴的態(tài)密度有效質(zhì)量相等時(shí)，二者則關(guān)于禁帶中心線相對稱。第三十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三章 固體量子理論初步35§3.5統(tǒng)計(jì)力學(xué)簡介

在處理有關(guān)大量微觀粒子的系統(tǒng)時(shí)，我們關(guān)心的主要是大量微觀粒子所表現(xiàn)出的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，而不是具體某個(gè)微觀粒子的特性。

1.統(tǒng)計(jì)規(guī)律：

微觀粒子在不同能級上的分布情況所遵循的統(tǒng)計(jì)規(guī)律主要有：

（1）麥克斯韋－玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)；不同微觀粒子之間相互可以區(qū)分，每個(gè)能態(tài)上所允許存在的粒子數(shù)量不受限制。主要適用于經(jīng)典粒子的能量分布，例如在一個(gè)低壓密閉容器中的氣體分子就遵循麥克斯韋－玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律。第三十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三章 固體量子理論初步36（2）玻色－愛因斯坦統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)；

不同微觀粒子之間相互無法區(qū)分，但是每個(gè)量子態(tài)上所允許存在的粒子數(shù)量仍然不受限制。玻色子，不受泡利不相容原理的約束，例如，光子，黑體輻射就遵循玻色－愛因斯坦統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律。

（3）費(fèi)米－狄拉克統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)；

不同微觀粒子之間相互無法區(qū)分，并且每個(gè)量子態(tài)上只允許存在的一個(gè)微觀粒子。費(fèi)米子，服從泡利不相容原理，例如，晶體中的電子就遵循費(fèi)米－狄拉克統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律。第三十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三章 固體量子理論初步372.費(fèi)米－狄拉克分布函數(shù)與費(fèi)米能級：

前面我們已經(jīng)介紹，晶體中的電子遵循費(fèi)米－狄拉克統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律。費(fèi)米－狄拉克統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)為：上式中，N(E)為單位體積的晶體材料中，單位能量間隔區(qū)間內(nèi)存在的微觀粒子數(shù)量，g(E)為單位體積的晶體材料中，單位能量間隔區(qū)間內(nèi)所具有的量子態(tài)數(shù)量。fF(E)就稱作費(fèi)米－狄拉克統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)，它反映的是能量為E的一個(gè)量子態(tài)被一個(gè)電子占據(jù)的幾率。而EF則稱為費(fèi)米能級。第三十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三章 固體量子理論初步38T=0K時(shí)的費(fèi)米－狄拉克統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)：

如下圖所示。在T=0K條件下，當(dāng)E<EF時(shí)，fF(E)=1；而當(dāng)E>EF時(shí)，fF(E)=0；

T>0K時(shí)，E>EFfn(E)<1/2;E=EF,fn(E)=1/2;E<EFfn(E)>1/2。

注意：費(fèi)米能級EF反映的是電子在不同能態(tài)上的填充水平，但并不一定對應(yīng)于某個(gè)具體的能級。第三十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三章 固體量子理論初步39T=0K時(shí)，13個(gè)電子在不同能級、不同量子態(tài)上的分布示意圖。第三十九頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三章 固體量子理論初步40考慮量子態(tài)密度g(E)是能

量E的連續(xù)