單因素方差分析

單因素方差分析第一頁，共四十三頁，2022年，8月28日基本概念試驗指標(biāo)——試驗結(jié)果?？煽匾蛩亍谟绊懺囼灲Y(jié)果的眾多因素中，可人為控制的因素。水平——可控因素所處的各種不同的狀態(tài)。每個水平又稱為試驗的一個處理。單因素試驗——如果在一項試驗中只有一個因素改變，其它的可控因素不變，則該類試驗稱為單因素試驗。因素——影響一個試驗的指標(biāo)變化的原因。第二頁，共四十三頁，2022年，8月28日例1

為了比較4種單層皺紋海運(yùn)集裝箱的抗壓程度，從每種集裝箱中各隨機(jī)選取6個進(jìn)行最大抗壓試驗，得到數(shù)據(jù)如下表顯示，假設(shè)集裝箱的抗壓程度服從正態(tài)分布。問：不同種類的海運(yùn)集裝箱的抗壓強(qiáng)度是否有顯著差別？若有差異，哪一種抗壓程度高？集裝箱類型最大抗壓強(qiáng)度平均抗壓強(qiáng)度1655.5788.3734.3721.6679.4699.4713.082789.2772.5786.9686.1732.1774.8756.933737.1639.0696.3671.7712.2727.1697.234535.1628.7542.4559.0586.9520.0562.02第三頁，共四十三頁，2022年，8月28日集裝箱的最大抗壓程度——試驗指標(biāo)

集裝箱類型——試驗因素（唯一的一個）四種類型集裝箱（1，2，3，4）——四個水平

因此，本例是一個四水平的單因素試驗。引例用X1，X2，X3，X4分別表示四種集裝箱的最大抗壓程度，即為四個總體。假設(shè)X1，X2，X3，X4相互獨(dú)立，且服從方差相同的正態(tài)分布，即Xi~N（i，2）（i=1，2，3，4）本例問題歸結(jié)為檢驗假設(shè)H0：1=2=3=4是否成立

第四頁，共四十三頁，2022年，8月28日

我們的目的是通過試驗數(shù)據(jù)來判斷因素A的不同水平對試驗指標(biāo)是否有影響。

設(shè)A表示欲考察的因素，它的個不同水平，對應(yīng)的指標(biāo)視作個總體每個水平下,我們作若干次重復(fù)試驗，同一水平的個結(jié)果，就是這個總體的一個樣本：

單因素等重復(fù)試驗的方差分析因此，相互獨(dú)立，且與同分布。第五頁，共四十三頁，2022年，8月28日單因素試驗資料表水平重復(fù)1...r（水平組內(nèi)平均值）（總平均值）試驗結(jié)果第六頁，共四十三頁，2022年，8月28日

縱向個體間的差異稱為隨機(jī)誤差（組內(nèi)差異），由試驗造成；橫向個體間的差異稱為系統(tǒng)誤差（組間差異），由因素的不同水平造成。品種重復(fù)123例：五個水稻品種單位產(chǎn)量的觀測值第七頁，共四十三頁，2022年，8月28日

由于同一水平下重復(fù)試驗的個體差異是隨機(jī)誤差，所以設(shè)：其中為試驗誤差，相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布線性統(tǒng)計模型

單因素試驗的方差分析的數(shù)學(xué)模型具有方差齊性。相互獨(dú)立，從而各子樣也相互獨(dú)立。首先，我們作如下假設(shè)：即第八頁，共四十三頁，2022年，8月28日則線性統(tǒng)計模型變成于是檢驗假設(shè)：等價于檢驗假設(shè)：整個試驗的均值稱為因素A的第個水平的效應(yīng)。令稱其為因素A的總體平均值。第九頁，共四十三頁，2022年，8月28日考察統(tǒng)計量經(jīng)恒等變形，可分解為：其中組間平方和（系統(tǒng)離差平方和）反映的是各水平平均值偏離總平均值的偏離程度。如果H0

成立，則SSA

較小。若H0成立，則總離差平方和見書P251第十頁，共四十三頁，2022年，8月28日組內(nèi)平方和誤差平方和反映的是重復(fù)試驗中隨機(jī)誤差的大小。第十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日若假設(shè)成立，則由抽樣分布定理5.2及基本假設(shè)可推得：將的自由度分別記作則（各子樣同分布），稱該關(guān)系式為自由度分解公式第十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日則（記，稱作均方和）對給定的檢驗水平，由得H0的拒絕域為：F單側(cè)檢驗

結(jié)論：方差分析實質(zhì)上是假設(shè)檢驗，從分析離差平方和入手，找到F統(tǒng)計量，對同方差的多個正態(tài)總體的均值是否相等進(jìn)行假設(shè)檢驗。單因素試驗中兩個水平的均值檢驗可用第七章的T檢驗法。第十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日（1）若，則稱因素的差異極顯著（極有統(tǒng)計意義），或稱因素A的影響高度顯著，這時作標(biāo)記；約定（2）若，則稱因素的差異顯著（差異有統(tǒng)計意義），或稱因素A的影響顯著，作標(biāo)記；（3）若，則稱因素A有一定影響，作標(biāo)記（）；（4）若，則稱因素A無顯著影響（差異無統(tǒng)計意義）。注意：在方差分析表中，習(xí)慣于作如下規(guī)定：第十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日單因素試驗方差分析表方差來源組間組內(nèi)總和平方和自由度均方和F值F值臨界值簡便計算公式：其中同一水平下觀測值之和所有觀測值之和第十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日例2

在飼料養(yǎng)雞增肥的研究中，某研究所提出三種飼料配方：A1是以魚粉為主的飼料，A2是以槐樹粉為主的飼料，A3是以苜蓿粉為主的飼料。為比較三種飼料的效果，特選24只相似的雛雞隨機(jī)均分為三組，每組各喂一種飼料，60天后觀察它們的重量。試驗結(jié)果如下表所示：試比較三種飼料對雞的增肥作用是否相同。第十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日表

雞飼料試驗數(shù)據(jù)

飼料A雞重（克）A110731009106010011002101210091028A21107109299011091090107411221001A310931029108010211022103210291048第十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日將原始數(shù)據(jù)減去1000，列表給出計算過程

表8.1.2例2的計算表水平數(shù)據(jù)（原始數(shù)據(jù)-1000）TiTi2A17396012129281943763610024A210792-101099074122158534222560355A3932980212232294835412531620984113350517791363第十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日

利用計算公式，可算得各偏差平方和為：把上述諸平方和及其自由度填入方差分析表第十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日表8.1.3例的方差分析表

來源平方和自由度均方和F比因子9660.083324830.04173.5948

誤差28215.9584211343.6171總和37876.041723若取=0.05，則F0.95

(2

,21)=3.47

，由于F=3.5948>3.47，故認(rèn)為因子A（飼料）是顯著的，即三種飼料對雞的增肥作用有明顯的差別。

第二十頁，共四十三頁，2022年，8月28日

例2

以A、B、C三種飼料喂豬，得一個月后每豬所增體重（單位：500g）為下表，試作方差分析。飼料ABC增重514043482325262328解：第二十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日解：第二十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日不同的飼料對豬的體重的影響極有統(tǒng)計意義。方差分析表方差來源組間組內(nèi)總和平方和自由度均方和F值F值臨界值第二十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日方差分析的基本步驟小結(jié)：將資料總變異的自由度和平方和分解為各變異因素的自由度和平方和。計算均方。計算均方比，做出F測驗，以明確各個變異因素的重要程度。對各個平均數(shù)進(jìn)行多重比較。第二十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日定理在單因素方差分析模型中，有如果H0不成立，則所以，即H0不成立時，有大于1的趨勢。所以H0為真時的小概率事件應(yīng)取在F值較大的一側(cè)。第二十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日

四、多重比較

F值顯著或極顯著，否定無效假設(shè)HO，表明試驗中各處理平均數(shù)間存在顯著或極顯著差異，但并不意味著每兩個處理平均數(shù)間的差異都顯著或極顯著的，也不能具體說明哪些處理平均數(shù)間有顯著或極顯著差異，哪些差異不顯著。第二十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日

有必要進(jìn)行兩兩處理平均數(shù)間的比較，以具體判斷兩兩處理平均數(shù)間的差異顯著性。

統(tǒng)計學(xué)上把多個平均數(shù)兩兩間的相互比較稱為多重比較。多重比較的方法很多，常用的有最小顯著差數(shù)法(LSD法)和最小顯著極差法(LSR法)

。

第二十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日

此法的基本作法是：在F檢驗顯著的前提下，先計算出顯著水平為α的最小顯著差數(shù)，然后將任意兩個處理平均數(shù)的差數(shù)的絕對值與其比較：（一）最小顯著差數(shù)法(LSD法)第二十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日

若＞LSDα，則與在α水平上差異顯著；反之，則在α水平上差異不顯著。最小顯著差數(shù)由下式計算：

式中：為在F檢驗中誤差自由度下，顯著水平為α的臨界t值，為均數(shù)差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤，

第二十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日

其中為F檢驗中的誤差均方，n為各處理的重復(fù)數(shù)。當(dāng)顯著水平α=0.05和0.01時，從t值表中查出和，得：

利用LSD法進(jìn)行多重比較時，可按如下步驟進(jìn)行：

第三十頁，共四十三頁，2022年，8月28日(2)計算最小顯著差數(shù)和；

(3)將平均數(shù)多重比較表中兩兩平均數(shù)的差數(shù)與、比較，作出統(tǒng)計推斷。

(1)列出平均數(shù)多重比較表比較表中各處理按其平均數(shù)從大到小自上而下排列；

第三十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日

(二)最小顯著極差法(LSR法)

LSR法的特點是把平均數(shù)的差數(shù)看成是平均數(shù)的極差，根據(jù)極差范圍內(nèi)所包含的處理數(shù)(稱為秩次距)k的不同而采用不同的檢驗尺度，以克服LSD法的不足。這些在顯著水平α上依秩次距k的不同而采用的不同的檢驗尺度叫做最小顯著極差(LSR)。第三十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日

因為LSR法是一種極差檢驗法，所以當(dāng)一個平均數(shù)大集合的極差不顯著時，其中所包含的各個較小集合極差也應(yīng)一概作不顯著處理。常用的LSR法有q檢驗法和新復(fù)極差法兩種。

1、q

檢驗法

此法是以統(tǒng)計量q的概率分布為基礎(chǔ)的。q值由下式求得：

第三十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日

上式中，w為極差，為標(biāo)準(zhǔn)誤，分布依賴于誤差自由度dfe及秩次距k。利用q檢驗法進(jìn)行多重比較時，為了簡便起見，不是將算出的q值與臨界q值比較，而是將極差與比較，從而作出統(tǒng)計推斷。為α水平上的最小顯著極差：第三十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日

(1)列出平均數(shù)多重比較表；

(2)由自由度dfe、秩次距k查臨界q值，計算最小顯著極差LSR0.05,k，LSR0.01,k；

(3)將平均數(shù)多重比較表中的各極差與相應(yīng)的最小顯著極差LSR0.05,k,LSR0.01,k比較，作出統(tǒng)計推斷。

第三十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日

2、SSR法此法是由鄧肯(Duncan)于1955年提出，又稱為Duncan法，或新復(fù)極差法。新復(fù)極差法與q法的檢驗步驟相同，唯一不同的是計算最小顯著極差時需查SSR表

(附表9)而不是查q值表。最小顯著極差計算公式為：

第三十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日

以上介紹的三種多重比較方法，其檢驗尺度有如下關(guān)系：

LSD法≤SSR法≤q法當(dāng)秩次距k=2時，取等號；秩次距k≥3時，取小于號。在多重比較中，LSD法的尺度最小，q檢驗法尺度最大，新復(fù)極差法尺度居中。用上述排列順序前面方法檢驗顯著的差數(shù)，用后面方法檢驗未必顯著；用后面方法檢驗顯著的差數(shù)，用前面方法檢驗必然顯著。第三十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日

生物試驗中，由于試驗誤差較大，常采用SSR法；

F檢驗顯著后，為了簡便，也可采用LSD法。第三十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日

此法是將多重比較結(jié)果直接標(biāo)記在平均數(shù)多重比較表上，如表8.8所示。由于在多重比較表中各個平均數(shù)差數(shù)構(gòu)成一個三角形陣列，故稱為三角形法。此法的優(yōu)點是簡便直觀，缺點是占的篇幅較大。

1、三角形法（三）多重比較結(jié)果的表示方法第三十九頁，共四十三頁，2022年，8月