概率論ppt課件 第三章 隨機(jī)向量

第三章隨機(jī)向量=多維隨機(jī)變量第一節(jié)二維隨機(jī)向量及其分布第二節(jié)邊緣分布第三節(jié)條件分布第四節(jié)隨機(jī)變量的獨(dú)立性第五節(jié)兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布1.(1維)隨機(jī)變量及其分布函數(shù)定義1.設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),它的樣本空間是={e}.設(shè)X(e)是定義在樣本空間上的一個(gè)實(shí)值函數(shù),則稱X(e)為上的(1維)隨機(jī)變量,簡(jiǎn)記為X.隨機(jī)向量X的分布函數(shù)為F(x)=P{Xx}.其概率計(jì)算：P{x1

<Xx2}=F(x2)-F(x1

).第一節(jié)二維隨機(jī)向量及其分布上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.2維隨機(jī)向量及其分布函數(shù)1).定義2.設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),它的樣本空間是={e}.設(shè)X(e)與Y(e)是定義在同一樣本空間上的兩個(gè)隨機(jī)變量,則稱(X(e),Y(e))為上的2維隨機(jī)向量或2維隨機(jī)變量,簡(jiǎn)記為(X,Y).2).定義3.設(shè)(X,Y)是2維隨機(jī)向量,對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y，稱2元函數(shù)

F(x,y)=P{Xx,Yy}為2維隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù).上一頁(yè)下一頁(yè)返回5).(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)滿足如下基本性質(zhì)：

(1).F(x,y)是變量x,y的不減函數(shù)，

即

上一頁(yè)下一頁(yè)返回(2).

0F(x,y)1，且上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.n維隨機(jī)向量及其分布函數(shù)定義4.設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),它的樣本空間是={e}.設(shè)是定義在同一樣本空間上的n個(gè)隨機(jī)變量,則稱

為上的n維隨機(jī)向量或n維隨機(jī)變量,簡(jiǎn)記為定義5.設(shè)是上的n維隨機(jī)向量,對(duì)于任意實(shí)數(shù)，稱n元函數(shù)

為n維隨機(jī)向量的聯(lián)合分布函數(shù).上一頁(yè)下一頁(yè)返回4.2維離散型隨機(jī)變量定義6.若2維隨機(jī)向量(X,Y)的所有可能取值是有限對(duì)或無(wú)限可列多對(duì),則稱(X,Y)為2維離散型隨機(jī)向量.設(shè)(X,Y)的一切可能值為(xi,yj)，i,j=1,2,…，且(X,Y)取各對(duì)可能值的概率為

P{X=xi，Y=yj}=pij，i,j=1,2,…(1)

非負(fù)性:

pij≥0，i,j=1，2…；上一頁(yè)下一頁(yè)返回的聯(lián)合分布律.和或隨機(jī)變量的概率分布律，離散型隨機(jī)變量為2維稱YXYXjipyjYxiXPij),(,...)2,1,(},{====上一頁(yè)下一頁(yè)返回(X,Y)的聯(lián)合分布律也可用表格形式表示YXy1y2…yj…x1x2…Xi…p11p12…p1j…p21p22…p2j………………pi1pi2…pij………………上一頁(yè)下一頁(yè)返回例1.從一個(gè)裝有2個(gè)紅球,3個(gè)白球和4個(gè)黑球的袋中隨機(jī)地取3個(gè)球,設(shè)X和Y分別表示取出的紅球數(shù)和白球數(shù),求(X,Y)的分布律,并求P{X≤1,Y<2},P{X+Y=2}及P{X=1}.解X的可能值為0,1,2,Y的可能為0,1,2,3.(X,Y)的所有可能值為(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1).(1).由古典概率計(jì)算得上一頁(yè)下一頁(yè)返回于是(X,Y)的分布可用表示YX01230124/8418/8412/841/8412/8424/846/8404/843/8400(2).由(X,Y)的分布律,所求概率為上一頁(yè)下一頁(yè)返回上一頁(yè)下一頁(yè)返回例2.設(shè)隨機(jī)變量X在1,2,3,4這4個(gè)整數(shù)中等可能地取值，另一個(gè)隨機(jī)變量Y在1,2,…,X中等可能地取一整數(shù)，試求(X,Y)的分布律.解:則有乘法公式得于是，(X,Y)的分布律如下表XY12

34

12341/41/8

1/12

1/1601/81/121/16001/121/1600

01/165.2維連續(xù)型隨機(jī)變量

1).定義8.設(shè)(X,Y)為2維隨機(jī)向量,(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y).若存在非負(fù)2元函數(shù)f(x,y),對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y，有上一頁(yè)下一頁(yè)返回上一頁(yè)下一頁(yè)返回上一頁(yè)下一頁(yè)返回上一頁(yè)下一頁(yè)返回上一頁(yè)下一頁(yè)返回11y=xoxy1Oyx1Oyx1Oyx上一頁(yè)下一頁(yè)返回

設(shè)G是平面上的有界區(qū)域,其面積為S.若2維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為設(shè)(X,Y)在區(qū)域G上服從均勻分布,D為G內(nèi)的一區(qū)域,即DG,且D的面積為S(D),那么2).常見的2維連續(xù)型隨機(jī)變量(1).2維均勻分布則稱(X,Y)在區(qū)域G上服從均勻分布.上一頁(yè)下一頁(yè)返回

若(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為(2).2維正態(tài)分布上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.定義

設(shè)2維隨機(jī)向量(X,Y)具有聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)，那么X和Y是隨機(jī)變量，則X和Y也有分布函數(shù)，分別記為FX(x),FY(y)，稱FX(x),FY(y)分別為2維隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù).第二節(jié)邊緣分布

(marginaldistribution)上一頁(yè)下一頁(yè)返回上一頁(yè)下一頁(yè)返回邊緣分布FX(x),FY(y)可由(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(X,Y)來(lái)確定：例1.設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為上一頁(yè)下一頁(yè)返回上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.2維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布上一頁(yè)下一頁(yè)返回YXy1y2…yj…P{X=xi}x1x2…xi…P{Y=yj}p11p12…p1j…p21p22…p2j…………………pi1pi2…pij………………………2).“邊緣”的解釋設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律：上一頁(yè)下一頁(yè)返回上一頁(yè)下一頁(yè)返回YX01P{X=xi}01P{Y=yj}4/9*4/94/9*5/94/95/9*4/95/9*5/95/9

4/95/9上一頁(yè)下一頁(yè)返回YX01P{X=xi}01P{Y=yj}4/9*3/84/9*5/84/95/9*4/85/9*4/85/9

4/95/92、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布設(shè)(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)向量，具有聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y)，則從而，X為連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為同理，Y也是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為上一頁(yè)下一頁(yè)返回xOy上一頁(yè)下一頁(yè)返回第三節(jié)條件分布(conditionaldistribution)1.2維離散型隨機(jī)變量的條件分布律定義6:上一頁(yè)下一頁(yè)返回例1：一射手進(jìn)行射擊,每次射擊擊中目標(biāo)的概率均為p(0<p<1),且假設(shè)各次擊中目標(biāo)與否相互獨(dú)立,射擊進(jìn)行到擊中目標(biāo)兩次為止.設(shè)以X表示到第一次擊中目標(biāo)所需要的射擊次數(shù),以Y表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù).試求(X,Y)的聯(lián)合分布律和條件分布律.

解:由題意,{X=i}表示第i次首次擊中目標(biāo),{Y=j}表示第j次擊中目標(biāo),因而i<j,{X=i,Y=j}表示第i次和第j次擊中目標(biāo)而其余j-2次均未擊中目標(biāo).于是(X,Y)的聯(lián)合分布律為：上一頁(yè)下一頁(yè)返回上一頁(yè)下一頁(yè)返回L,2,1}|{1122++======----ii,jpqpqqpiXjYPYiXi=1,2,…,ijij的條件分布律為下在條件對(duì)于固定的上一頁(yè)下一頁(yè)返回2.二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布定義7.

對(duì)固定的實(shí)數(shù)y，設(shè)對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，P{y-ε<Y≤y+ε}>0,且若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，極限存在，則稱此極限為在Y=y的條件下X的條件分布函數(shù)，記作P

或記為.同樣,在X=x條件下隨機(jī)變量Y的條件分布函數(shù)上一頁(yè)下一頁(yè)返回設(shè)(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，概率密度為f(x,y)。若在點(diǎn)(x,y)處f(x,y)連續(xù)，邊緣概率密度f(wàn)Y(y)連續(xù)，且fY(y)>0，則有：亦即上一頁(yè)下一頁(yè)返回類似地,在相應(yīng)條件下可得在X=x條件下Y的條件概率密度為若記為條件Y=y下X的條件概率函數(shù)，則由上式知：上一頁(yè)下一頁(yè)返回且有邊緣概率密度當(dāng)－1<y<1時(shí),有：解

(X,Y)的概率密度為例2.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域D={(x,y)∣x2+y2≤1}上服從均勻分布，求條件概率密度。上一頁(yè)下一頁(yè)返回特別y=0和y=時(shí)條件概率密度分別為類似于條件概率的乘法公式，也有上一頁(yè)下一頁(yè)返回第四節(jié)隨機(jī)變量的獨(dú)立性2.隨機(jī)變量的獨(dú)立性1).定義

設(shè)X和Y是兩個(gè)隨機(jī)變量.如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)x和y,有P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y},則稱隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立(mutuallyindependent).若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x和y，事件{X≤x}與{Y≤y}相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立.上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.隨機(jī)事件的獨(dú)立性

隨機(jī)事件A、B相互獨(dú)立的充要條件是P(AB)=P(A)P(B).

.

2).等價(jià)性(1).一般性設(shè)F(x,y)為2維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)，X、Y的邊緣分布函數(shù)分別為FX(x)，F(xiàn)Y(y)，則隨機(jī)變量X、Y相互獨(dú)立的充要條件是

由獨(dú)立性定義可證：若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1<x2,y1<y2,事件{x1<X≤x2}與事件{y1<Y≤y2}相互獨(dú)立.上一頁(yè)下一頁(yè)返回結(jié)論推廣：“若隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，則對(duì)于任意一維區(qū)間I1和I2，事件{X∈I1}與{Y∈I2}相互獨(dú)立”。

事實(shí)上，P{x1<X≤x2,y1<Y≤y2}=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)=FX(x2)FY(y2)-FX(x2)FY(y1)-FX(x1)FY(y2)+FX(x1)FY(y1)=[FX(x2)-FX(x1)][FY(y2)-FY(y1)]=P{x1<X≤x2}P{y1<Y≤y2},所以,事件{x1<X≤x2}與{y1<Y≤y2}是相互獨(dú)立的。上一頁(yè)下一頁(yè)返回

(2).離散型設(shè)2維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為P{X=xi,Y=yj}，則隨機(jī)變量X、Y相互獨(dú)立的充分必要條件是對(duì)(X,Y)的任何可能取值有

“隨機(jī)變量X、Y相互獨(dú)立”比“事件{X≤x}與{Y≤y}相互獨(dú)立”要強(qiáng)。

設(shè)2維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為

P{X=xi,Y=yj}=pij，i=1,2,…,j=1,2,…,X、Y的邊緣分布律分別為

pi.,i=1,2,…,

p.j,j

=1,2,…

則隨機(jī)變量X、Y相互獨(dú)立的充分必要條件是pij=pi.·p.j,i=1,2,…,j=1,2,…例1.設(shè)2維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律如下表所示。XY-102-1/22/201/202/2012/201/202/201/24/202/204/20問X與Y相互獨(dú)立嗎？解:X與Y的邊緣分布律分別為X-1/211/2pi.1/41/41/2Y-102p.j2/51/52/5逐一驗(yàn)證可知:pij=pi.·p.j（i=1,2,3,j=1,2,3）,從而,X與Y相互獨(dú)立。上一頁(yè)下一頁(yè)返回上一頁(yè)下一頁(yè)返回YX01P{X=xi}01P{Y=yj}4/9*4/94/9*5/94/95/9*4/95/9*5/95/9

4/95/9YX01P{X=xi}01P{Y=yj}4/9*3/84/9*5/84/95/9*4/85/9*4/85/9

4/95/9

(3).連續(xù)型設(shè)2維連續(xù)性隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y),其邊緣密度函數(shù)為.則隨機(jī)變量X、Y相互獨(dú)立的充分必要條件是例2:設(shè)X和Y都服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，且相互獨(dú)立，試求P{X+Y<1}。由于X與Y相互獨(dú)立，所以(X,Y)的聯(lián)合概率密度為于是

解:設(shè)fX(x),fY(y)分別為X和Y的概率密度,則上一頁(yè)下一頁(yè)返回第五節(jié)兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布1.隨機(jī)變量的函數(shù)2.2維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律

Y12101/321/31/3例1.設(shè)（X,Y）分布律為求

X+Y,X-Y,XY及X/Y的分布.解：先列出下表X上一頁(yè)下一頁(yè)返回P01/31/31/3(X,Y)(1,1)(1,2)(2,1)(2,2)XY2334XY0110XY1224X/Y11/221于是,X+Y的分布律為X+Y234P02/31/3上一頁(yè)下一頁(yè)返回同理,X-Y的分布律為X-Y-101P1/31/31/3X/Y1/212P1/31/31/3XY及X/Y的分布律分別為XY124P02/31/3上一頁(yè)下一頁(yè)返回

設(shè)(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)向量，具有概率密度f(wàn)(x,y)，又Z=g(X,Y)(g(x,y)為一已知的連續(xù)函數(shù))，大部分情況下，Z是一連續(xù)型隨機(jī)變量。為求Z的概率密度，可先求出Z的分布函數(shù)3.2維連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)分布上一頁(yè)下一頁(yè)返回

即首先找出上式右端的積分區(qū)域Dz。如果求得了FZ(z),那么可通過求出Z的概率密度。求解過程中，關(guān)鍵在于將事件{Z≤z}等價(jià)地轉(zhuǎn)化為用(X,Y)表示的事件{g(X,Y)≤z}={(X,Y)},其中。上一頁(yè)下一頁(yè)返回例1.設(shè)且X與Y相互互獨(dú)立，求的概率密度。

由于X與Y相互獨(dú)立，則(X,Y)的聯(lián)合概率密度為先求Z的分布函數(shù)FZ