數(shù)學自主招生模擬考試試題2答案

自主招生考試數(shù)學模擬試題參考答案

1.

證明：記g(x)=/(x)1,(-x),則f(x)=g(x)+〃(x),且以")是偶函數(shù),

力(x)是奇函數(shù)，對任意的王￡",g(x4-2TI)=g(x),h(x+271)=h(x)

g(x)_g(x+4).7U

xw既+一

工⑴=3產2,

令啟X)=，2cosx2

,7U

0x=E+一

2

h(x)+h(x+兀)ku

h(x)-h(x-^7L),

-------------x#k五,/、

力3-2sinx，力(x)=?2sin2x2,其中“為任意整數(shù)。

0x-kit0x=一

2

容易驗證f(x),2=1,2,3,4是偶函數(shù)，且對任意的f.(x+7r)-/(X),7=1,2,3,4o

下證對任意的xGR,有f](￡)+f2C￥)C0SX=g(R)。

當XWE+工時，顯然成立；

2

當％=碗+三時，因為工(x)+力(x)cosx=/；(x)=WQ￡”0,而

22

g(x+7r)=g(a+T)=g(br+T_2(Z+l)7r)=g(_Zx_])=g(Z7r+W)=g(x),

故對任意的x《R,f((x)+f2(x)cosx-g(x)o

下證對任意的xRR,有￡3*)0皿/+￡4(工后吊2元=〃(1)。

kjr

當X。絲時，顯然成立；

2

當產力〃時，h5)=h(kn)=h(kn或kR)=h(-kn)=-h(k口),所以爾x)=A(在萬)=0,

而此時/3(%)sin^r*jfi(A)sin2%;=0,故/?(x)=/(x)sinx"i(x)sin2x；

當x=航+工時，

2

37r37r7t71

h(x+=h{k7t+—)=h{k7t+—-2(Z:+1)%)=h(—kn--)=—h(k兀+-)=-h(x),

......h(x)-h(x+乃)，/、八

故人(x)sinx=--------------=h(x),又/(x)sin2xR,

從而有力(4)=￡(x)sinx"i(x)sin2x。

于是，對任意的有_fi(x)sinx+￡i(x)sin2x=/?(x)。綜上所述，結論得證。

2.

不妨設過A點的切線交x軸于點C,過8點的切線交x軸于點

D,直線AC與直線8。相交于點E.如圖.設

B（x：,y）,A（X2,y2）,

且有%=1-々2,y=］一芭2，&>0>々.

由于y'=-2x,

于是AC的方程為2%x=2-%-y；①

8￡）的方程為2k=2-%一丫.②

聯(lián)立AC,BD的方程，解得E（,l-x,x2）.

2（々一匹）

對于①，令y=0,得C（馬力,0）；

2々

對于②，令y=0,得￡>(空入，0).

2玉

于是仁必==小:-匕立.

2芭2X22X(2X2

SAFCD=^|CD|(1-X1X2).不妨設辦=。>0,f=b>。,則

^AECD=—(--~-----)(1+ab)=—(2。+2/7H--1---卜crb+ab1)

467b4ab

=4(a+6)(2+ab+—)2—?2>[ab.(2++—)③

4ab4ab

不妨設V^=s>(),則有

「1/3c1、1/31111、

S.——(S+2s-I—)——(SH—S+..H—SH----F...-I---)

,82Fsrn2339s9s

6個9個

4J7?JDjz

又由當西=a=巫，％=R=-^，s=正時，③，④處的等號均可取到.

333

,，(^AECD)min=§欄"

3.

0--

分析：對于針來說，中心點到平行線的距離x是隨機的。2.和

平行線的夾角夕也是隨機的?！阋回?。如果相交則需要。

以角度為橫坐標，距離為縱坐標。如圖：S

P=-

矩形面積S為樣本空間，正弦曲線圍成的面積即為滿足條件的樣本。所以概率S。由定積分的知

s=—sinOdO=\

識’J°2

5.21

p=-=----

所以sd兀

、(?+sinx)(4+sinx)1.3(。一1)八

f(x)=--------------二1+sinx+--------+Q+2

1-f-sinxl+sinx

當時,0<業(yè)二1)42,此時

/(x)=l+sinx+―—+?+2>243g-1)+〃+2

l+sinx

且當sinx=13(a-1)-1時等號成立。所以最〃值為253(吠1)+a+2

當a>(再二1J>2此時函麴*(x)=f+迎/是遞減函數(shù)

故函數(shù)最小值劉⑴二第詈

_______7

綜上所述〃x)的最小值為2j3(a-1)+a+2^l<a<-

5.解：令n=l,則q=0,若n>l時，巴出_=馬——設/,=2_,則

n+1n-\n+l〃n-i

-%---------t>-?---------2----,

n+1n〃("+1)

2+1b?(\1)

--------------=-z-------------

幾+1nn+1J

兩邊求和，得

故q熟=199&e-111999+2

由2000%999，得100(994合一1:1999+2

于是知為偶數(shù)，可設。2=2〃？，則100()0-1>1999+2

.??100卜(m-l)+2,即100犧-3,

再令加一3=1000，，則

an=(H-1)[(100Q+2)n+2]=〃(八—1)?1000+2n(n-1)+2(“-1).

因為200(k，,所以

200松(八-1)+2(〃-1)

故100*2_],則n為奇數(shù)，可設〃=2&+1,則25QZ:(4+1).250=2x53

—

b)t=—1)“+2a“=(711)—+2

故限=199&《■-1)1999+2

由2000；”[999，得100(9901年-1)1999+2

于是的為偶數(shù)，可設。2=2小，則1004機—1)1999+2

A100(1-(m-l)+2,即100。〃?—3,

再令加一3=1000?,則an=(?-1)[(1000+2)n+2]

="(八一1)?1000+2n(n-1)+2(〃-1).

因為200g”，所以

200松(〃-1)+2(1)

故100*2一],則門為奇數(shù)，可設九=2左+1,則25QM左+1).250=2x53

而(2,左+1)=1,所以

53k或5,M+l,取左=124

n>249.

6.

r度+——才

x=2bc

cy+bz=a,1+，一毋

az^cx=b,得,---由--于--x-、y>z為正數(shù),

2ac

{bx+ay=c.

、z=-2ab

a+b>c,

故《4+cW

=><b^c>a,即以a、b、c為邊可以構成銳角三角形.

,2+才=旅、c+a=b.

記邊a、b、。的對角分別為N/、/B、乙C.

貝ijcos/l=x,cosB=y,cosC=z,（力、B、。為銳角）

cosI2Jcos~Bcos2c

fix,y,z)=AcosJ,cosB,cost)=1+cosJ+l+cos8+1+cosC*

令〃=cot4p=cot8iv=cotC,則u,%w￡R,且〃KPJFH%=1.

于是，（公力（z/+i力=4+〃片〃，什%=〃2+1.同理，J+l=（什u）（廣面，步+1=（/u）（M■力.

2

COS2A=Sin2Jcot2>4=y^^^=所以,COSJl+d

u

1+cosJI+_7l+i/(y/1+iJ+u)yjl+if

：l+〃2

,2.)、2U/11\

2一萬骨〃

"一可yj(廳r)

2

1-IEcos'B、2'/]]、cosCrt與店一5"(++-J-).

同理而才L萬KF，

1+cosC2H+u

i3.33,33.3

于是/'2"2+(；+病—,(fl七1I+匕/)

zu^v\^w

=/+V^W—^U—UV^V^V-VW^W—wu^-u)

=；（等號當且僅當〃=p=*HPa=b=cfx=p=z=；時成立.）

故知"(X,y,Z)]min=5.

7.

解析：（1）參與交配的兩個親本（一個稱為父本，一個稱為母本）的基因型式的情況，及相應情況發(fā)

生的概率和相應情況下子一代的基因型式為A4,Aa,。。的概率如下表：

父本、母本的基因型相應情況子一代基因子一代基因子一代基因

式出現(xiàn)的概率為A4的概率為A”的概率為aa的概率

父A4母A4U2100

父A4母4/2uv0

22

父A4母44UW010

父A。母A42uv0

22

_l__l_

父4z母4優(yōu)

424

l_

父Aa母aa2vw0

22

父qa母AAuw010

j_

父aa母Aa2wv0