常用的巧算和速算方法

常用的巧算和速算方法【順逆相加】用“順逆相加”算式可求出若干個連續(xù)數(shù)的和。例如著名的大數(shù)學家高斯(德國)小時候就做過的“百數(shù)求和”題，可以計算為1+2+……+99+100“3+5+7+………＋97+99=？這種算法的思路，見于書籍中最早的是我國古代的《張丘建算經(jīng)》。張丘建利用這一思路巧妙地解答了“有女不善織”這一名題：“今有女子不善織，日減功，遲。初日織五尺，末日織一尺，今三十日織訖。問織幾何？”都相等。她第一天織了5尺布，最后一天織了1尺，一共織了30天。問她一共織了多少上給出的解法是：這一解法，用現(xiàn)代的算式表達，就是算式就是一遞減的數(shù)不會是個整數(shù)。若把這個式子反過來，則算式便是假若把上面這兩個式子相加，并在相加時，利用“對應(yīng)的數(shù)相加和會相等”這一特點，那么，就會出現(xiàn)下面的式子：是可見，這種解法的確是簡單、巧妙和饒有趣味的?！痉纸M計算】一些看似很難計算的題目，采用“分組計算”的方法，往往可以使它很快地解這道題是求“10億個自然數(shù)的數(shù)字之和”，而不是“10億個自然數(shù)之和”。式是顯然，10億個自然數(shù)的數(shù)字之和，如果一個一個地相加，那是極麻煩，也極費時間(很多年都難于算出結(jié)果)的。怎么辦呢？我們不妨在這10億個自然數(shù)的前面添上一個“0”，改變數(shù)字的個數(shù)，但不會改變計算的結(jié)果。然后，將它們分組：…………(81×500，000，000)＋1【由小推大】“由小推大”是一種數(shù)學思維方法，也是一種速算、巧算技巧。：(1)計算下面方陣中所有的數(shù)的和。這是個“100×100”的大方陣，數(shù)目很多，關(guān)系較為復雜。不妨先化大為小，再由小推大。先觀察“5×5”的方陣，如下圖(圖4.1)所示。這時，如果將對角線下面的部分(右下部分)用剪刀剪開，如圖4.2那樣拼接，那么將會發(fā)都是前四個偶數(shù)分別在第二、三、四、五列，后四個偶數(shù)分別在第四、三、二、一列(偶數(shù)都是按由小到大的順序)。所以，由1001÷8=125…………1，可知這1001個偶數(shù)可以分為【湊整巧算】用【湊整巧算】用“湊整方法”巧算，常常能使計算變得比較簡便、快速。例如(1)99.9+11.1=(90＋10)+(9+1)＋(0.9+0.1)=111(2)9＋97＋998＋6=(9+1)＋(97＋3)＋(998＋2)5【巧妙試商】除數(shù)是兩位數(shù)的除法，可以采用一些巧妙試商方法，提高計算速度。(1)用“商五法”試商。當除數(shù)一次不能除盡被除數(shù)的時候，有些可以用“無除半商五”?！盁o除”指被除數(shù)前兩位不夠除，“半商五”指若被除數(shù)的前兩位恰好等于(或接近)除數(shù)的一半時，則可直接商“5”。例(2)同頭無除商八、九?！巴^”指被除數(shù)和除數(shù)最高位上的數(shù)字相同?！盁o除”仍指被除數(shù)前兩位不夠除。這時，商定(3)用“商九法”試商。于或等于除數(shù)的10倍時，可以一次定商為“9”。(4)用差數(shù)試商?！保锤鶕?jù)被除數(shù)前兩位臨時組成的數(shù)與除數(shù)的差來試商的方法。若差數(shù)是1或2，則初如為了便于記憶，我們可將它編成下面的口訣：個九，差三差四八當頭；商七，差七差八先商六；差數(shù)是九五上陣，試商快速無憂愁?！竞愕茸冃巍亢愕茸冃问且环N【恒等變形】恒等變形是一種重要的思想和方法，也是一種重要的解題技巧。變形，常常能使題目很快地獲得解答。如(1)1832＋68=(1832-32)＋(68+32)【拆數(shù)加減】在分數(shù)加減法運算中，把一個分數(shù)拆成兩個分數(shù)相減或相加，使隱含的數(shù)量明朗化，并抵消其中的一些分數(shù)，往往可大大地簡化運算。(1)拆成兩個分數(shù)相減。例如如(2)拆成兩個分數(shù)相加。如如如【同分子分數(shù)加減】同分子分數(shù)的加減法，有以下的計算規(guī)律：分子相同，分母互質(zhì)的兩個分數(shù)相加(減)時，它們的結(jié)果是用原分母的積作分母，用原分母的和(或差)乘以這相同的分子所得的積作分子。得數(shù)約簡為既約(最簡)分數(shù)。如(注意：分數(shù)減法要用減數(shù)的原分母減去被減數(shù)的原分母。)根據(jù)這一關(guān)系，我們也可以簡化運算過程。例如都是1，分母是連續(xù)的兩個自然數(shù)時，這兩個分數(shù)的差就做這道題，按先通分后相加的一般辦法，勢必影響解題速度。現(xiàn)在從“湊整”著眼，采用“先借后還”的辦法，很快就將題目解答出來了?！緜€數(shù)折半】下面的幾種情況下，可以運用“個數(shù)折半”的方法，巧妙地計算出題目的得數(shù)。(1)分母相同的所有真分數(shù)相加。求分母相同的所有真分數(shù)的和，可采用“個數(shù)折半法”，這一方法，也可以敘述為分母相同的所有真分數(shù)相加，只要用最后一個分數(shù)的分子除以2， (2)分母為偶數(shù)，分子為奇數(shù)的所有同分母的真分數(shù)相加，也可用“個數(shù)折半法”求得數(shù)。((3)分母相同的所有既約真分數(shù)(最簡真分數(shù))相加，同樣可用“個數(shù)折【帶分數(shù)減法】帶分數(shù)減法的巧算，可用下面的兩個方法。(1)減數(shù)湊整。例如((2)交換位置。例如在這兩種方法中，第(1)種“湊整”法，也可以運用到帶分數(shù)的加法中去。如【帶分數(shù)乘法】有些特殊的帶分數(shù)相乘，可以采用一些特殊的巧算方法。(1)相乘的兩個帶分數(shù)整數(shù)部分相同，分數(shù)部分的和是1，則乘積也是個帶分數(shù)，它的整如的整數(shù)部分的平方，減去分數(shù)部分的平方，所得的差就是這兩個帶分數(shù)的乘積。例如(3)相乘的兩個帶分數(shù)，整數(shù)部分都是1，分子也都是1，分母相差1，則乘積也是個帶分讀者自己去試一試，此處略)?！緝煞謹?shù)相除】有些分數(shù)相除，可以采用以下的巧算方法： (1)分子、分母分別相除。在個別情況下，分數(shù)除法可沿用整數(shù)除法的做法：用分子相除的商作分子，用分母相除的商作分母。不過，這只有在被除數(shù)的分子、分母，分別是除數(shù)的分子、分母的整數(shù)倍數(shù)的情況下，計算才比較簡便。如(2)分母相除，一次得商。在兩個帶分數(shù)相除的算式中，當被除數(shù)和除數(shù)的整數(shù)與分母調(diào)分母，所得的數(shù)就是它們的商。如(注：用除法法則可以推出這種方法，此處略。)小數(shù)的速算與巧算小數(shù)的速算與巧算——湊整【知識精要】【例題精講】<一>湊整法【評注】湊整，特別