平面曲線的切線與法線課件

在本節(jié)中所討論的曲線和曲面,由于它們的方程是以隱函數(shù)(組)的形式出現(xiàn)的,因此在求它們的切線或切平面時(shí),都要用到隱函數(shù)(組)的微分法.

§3幾何應(yīng)用一、平面曲線的切線與法線二、空間曲線的切線與法平面三、曲面的切平面與法線一、平面曲線的切線與法線曲線L：條件：上一點(diǎn),近旁,F滿足隱函數(shù)定理?xiàng)l件,可確定可微的隱函數(shù):處的切線：總之,當(dāng)例1求笛卡兒葉形線在點(diǎn)

處的切線與法線.解設(shè)由§1例2

的討論近旁滿足隱函數(shù)定理解在MATLAB指令窗內(nèi)執(zhí)行如下繪圖指令:

symsx,y;ezplot(x^2+y-sin(x*y),[-4,4],[-8,1]);

就立即得到曲線L的圖象(見(jiàn)本例末頁(yè)).令容易求出:由此得到L在點(diǎn)處的切線與法線分別為：若在上面的MATLAB指令窗里繼續(xù)輸入如下指令,便可畫(huà)出上述切線與法線的圖象(如圖).

holdon;

a=(pi)^(1/3);b=a^2;ezplot((2*a-b)*(x-a)+(1+a)*(y+b));ezplot((1+a)*(x-a)-(2*a-b)*(y+b))

由此得到所求切線為利用滿足曲線L的方程,即整理后便得到二、空間曲線的切線與法平面先從參數(shù)方程表示的曲線開(kāi)始討論.在第五章§3已學(xué)過(guò),對(duì)于平面曲線若是其上一點(diǎn),則曲線在點(diǎn)處的切線為下面討論空間曲線.(A)用參數(shù)方程表示的空間曲線:

類似于平面曲線的情形,不難求得處的切線為過(guò)點(diǎn)且垂直于切線的平面,稱為曲線L在點(diǎn)處的法平面.不妨設(shè)于是存在隱函數(shù)組這也就是曲線L以z作為參數(shù)的一個(gè)參數(shù)方程.根據(jù)公式(2),所求切線方程為應(yīng)用隱函數(shù)組求導(dǎo)公式,有于是最后求得切線方程為相應(yīng)于(3)式的法平面方程則為例4求空間曲線在點(diǎn)處的切線和法平面.解容易求得故切向向量為由此得到切線方程和法平面方程分別為例5求曲線在點(diǎn)處的切線與法平面.解曲線L是一球面與一圓錐面的交線.令根據(jù)公式(5)與(6),需先求出切向向量.為此計(jì)算F,G在點(diǎn)處的雅可比矩陣:由此得到所需的雅可比行列式:三、曲面的切平面與法線以前知道,當(dāng)f為可微函數(shù)時(shí),曲面z=f(x,y)在點(diǎn)處的切平面為現(xiàn)在的新問(wèn)題是:曲面由方程給出.若點(diǎn)近旁具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),而且不妨設(shè)則由方程(7)在點(diǎn)近旁惟一地確定了連續(xù)可微的隱函數(shù)因?yàn)樗栽谔幍那衅矫鏋橛忠?8)式中非零元素的不指定性,故切平面方程一般應(yīng)寫(xiě)成隨之又得到所求的法線方程為回顧1現(xiàn)在知道,函數(shù)在點(diǎn)P的梯度其實(shí)就是等值面在點(diǎn)P的法向量:故曲線(4)的切向向量可取的向量積:這比前面導(dǎo)出(5),(6)兩式的過(guò)程更為直觀,也容易記得住.例6求旋轉(zhuǎn)拋物面在點(diǎn)解令則曲面的法向量為處的切平面和法線.從而由(9),(10)分別得到切平面為法線為這說(shuō)明點(diǎn)恒在任一切平面上.四、用參數(shù)方程表示的曲面曲面也可以用如下雙參數(shù)方程來(lái)表示:這種曲面可看作由一族曲線所構(gòu)成:每給定v的一個(gè)值,(11)就表示一條以u(píng)為參數(shù)的曲線;當(dāng)v取某個(gè)區(qū)間上的一切值時(shí),這許多曲線的集合構(gòu)成了一個(gè)曲面.現(xiàn)在要來(lái)求出這種曲面的切平面和法線的方程.為此假設(shè)且(11)式中三個(gè)函數(shù)在近旁都存在連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù).因?yàn)樵谔幍姆ň€必垂直于上過(guò)的任意兩條曲線在的切線,所以只需在上取兩條特殊的曲線(

見(jiàn)圖

):它們的切向量分別為則所求的法向量為至此,不難寫(xiě)出切平面方程和法線方程分別為

解先計(jì)算在點(diǎn)處的法向例8設(shè)曲面的參數(shù)方程為試對(duì)此曲面的切平面作出討論.量:由此看到,當(dāng)時(shí)說(shuō)明在曲面(12)而當(dāng)時(shí),法向量可取上存在著一條曲線,其方程為在此曲線上各點(diǎn)處,曲面不存在切平面,我們稱這種曲線為該曲面上的一條奇線.

與之對(duì)應(yīng)的切平面則為法線則為當(dāng)動(dòng)點(diǎn)趨于奇線(13)上的點(diǎn)時(shí),法向量存在極限:此點(diǎn)處不存在法此時(shí)切平面存在極限位置:有時(shí)需要用此“極限切平面”來(lái)補(bǔ)充定義奇線上的切平面.注曲面上的孤立奇點(diǎn)往往是曲面的尖點(diǎn),如圓錐面的頂點(diǎn)在線和切平面.而曲面上的奇線,則往往是該曲面的“摺線”、“邊界線”或是曲面自身的“交叉線”.曲面(12)及其奇線(邊界線)的圖象如下:定義若存在連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),且滿足則稱曲面為一光滑曲面.對(duì)于用雙參數(shù)方程(11)表示的曲面,應(yīng)如何定義它為光滑曲面?請(qǐng)讀者自行考慮.復(fù)習(xí)思考題

1.模仿例2、例4,使用數(shù)學(xué)軟件(例如MATLAB)分別繪出例1中的曲線和例8