彈性力學基礎

彈性力學基礎第一頁，共六十三頁，2022年，8月28日本章主要內容2.1變形體的描述、變量定義、分量表達和指標記法2.2彈性體的基本假設2.3平面問題的基本力學方程2.4空間問題的基本力學方程2.5彈性問題中的能量表達2.6特殊問題的討論（兩大類平面問題）第二頁，共六十三頁，2022年，8月28日本章要點變形體的三大類基本變量變形體的三大類基本方程及兩類邊界條件彈性問題中的能量表示平面應力、平面應變、剛體位移的特征及表達應力及應變的分解第三頁，共六十三頁，2022年，8月28日由固體材料組成的具有一定形狀的物體在一定約束邊界下將產生變形，該物體中任意一個位置的材料都將處于復雜的受力狀態(tài)之中。本章將定義用于刻畫任意形狀彈性變形體的力學變量和表達這些變量之間的關系。本章主要內容就是定義位移、變形和力三大變量之間的三大方程給出典型的邊界條件第四頁，共六十三頁，2022年，8月28日2.1變形體的描述、變量定義、分量表達與指標記法變形體：在外力作用下，物體內任意兩點之間能夠發(fā)生相對移動。從幾何形狀復雜程度來考慮可以分為：

1）簡單形狀變形體—材料力學

2）任意形狀變形體—彈性力學任意變形體是有限元方法處理的對象，因而，彈性力學中有關變量和方程的描述是有限元方法的重要基礎。

第五頁，共六十三頁，2022年，8月28日基本變量第六頁，共六十三頁，2022年，8月28日基本方程受外部作用的任意形狀變形體，在其微小體元dxdydz中，基于位移、應變和應力這三大類變量，可以建立以下三大類方程

平衡方程：外力和內力之間的平衡關系

幾何方程：描述的是位移和應變之間關系物理方程：應力和應變之間的關系第七頁，共六十三頁，2022年，8月28日基本變量的指標表達自由指標：每項中只出現一次的下標。如啞指標：在表達式的每一項中重復出現的下標。

Einstein求和約定：啞指標意味著求和。張量：能夠用指標表示的物理量，并且該物理量能夠滿足一定的坐標變換關系。Voigt標記第八頁，共六十三頁，2022年，8月28日基本變量的指標表達自由指標：每項中只出現一次的下標。如啞指標：在表達式的每一項中重復出現的下標。

第九頁，共六十三頁，2022年，8月28日Einstein求和約定：啞指標意味著求和。小結：自由指標在同一項中只出現一次，可任意取值；求和指標在同一項中出現兩次，可以被另一表示求和指標置換。第十頁，共六十三頁，2022年，8月28日張量：能夠用指標表示的物理量，并且該物理量能夠滿足一定的坐標變換關系。

0階張量：無自由指標的量，如標量。

1階張量：有1個自由指標的量，如矢量。

2階張量：有2個自由指標的量，如應力和應變。

n階張量：有n個自由指標的量，如四階彈性系數張量。第十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日Voigt標記ijpijp111222123二維問題Voigt移動規(guī)則的下標對應關系第十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日Voigt標記ijpijp111222333234135126三維問題Voigt移動規(guī)則的下標對應關系第十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日有了以上的移動規(guī)則的下標對應關系，就可以按照同一規(guī)則來處理更為復雜的問題。第十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日2.2彈性體的基本假設連續(xù)性假設。物體是連續(xù)的，亦即物體整個體積內部被組成這種物體的介質填滿，不留任何空隙。這樣，物體內的一些物理量，如應力、應變、位移等等才可以用座標的連續(xù)函數來表示。均勻性假設。也就是說整個物體是由同一種材料組成的。這樣，整個物體的所有各部分才具有相同的物理性質，因而物體的彈性常數(彈性模量和波桑系數)才不隨位置座標而變。第十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日各向同性假設。物體是各向同性的，也就是說物體內每一點各個不同方向的物理性質和機械性質都是相同的。完全彈性假設。物體是完全彈性的，亦即當使物體產生變形的外力被除去以后，物體能夠完全恢復原形，而不留任何殘余變形。這樣，當溫度不變時，物體在任一瞬時的形狀完全決定于它在這一瞬時所受的外力，與它過去的受力情況無關。第十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日小變形假設。物體的變形是微小的，亦即當物體受力以后，整個物體所有各點的位移都遠小于物體的原有尺寸，因而應變和轉角都遠小于1，這樣，在考慮物體變形以后的平衡狀態(tài)時，可以用變形前的尺寸來代替變形后的尺寸，而不致有顯著的誤差；并且，在考慮物體的變形時，應變和轉角的平方項或乘積項都可以略去不計，這就使得彈性力學中的微分方程都成為線性方程。第十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日2.3平面問題的基本力學方程平衡方程：外力和內力之間的平衡關系幾何方程：描述的是位移和應變之間關系物理方程：應力和應變之間的關系邊界條件：第十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日

平衡方程第十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日

幾何方程第二十頁，共六十三頁，2022年，8月28日變形協(xié)調條件它的物理意義是：材料在變形過程中應該是整體連續(xù)的，不應該出現“撕裂”和“重疊”現象發(fā)生。第二十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日寫成矩陣形式為物理方程第二十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日按照邊界情況，彈性力學問題一般分為三類：

位移邊界問題：在邊界面上全部給定位移，即全部是Su

邊界

應力邊界問題：在邊界面上全部給定表面力，即全部是應力邊界。這時，外力（包括體力和面力）應是平衡力系。

混合邊界問題：既有Su

邊界，又有應力邊界。二者可以分別在邊界表面不同的區(qū)域上，或同一區(qū)域不同的方向上。邊界條件第二十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日作用在任意平面上該點的應力分量可以由下式表示為：其中

第二十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日2.4空間問題的基本力學方程平衡方程：外力和內力之間的平衡關系幾何方程：描述的是位移和應變之間關系物理方程：應力和應變之間的關系邊界條件：第二十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日

平衡方程第二十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日X方向負面X方向正面Y方向負面Y方向正面Z方向負面Z方向正面第二十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日X方向力平衡化簡得第二十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日Y方向力平衡化簡得第二十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日Z方向力平衡化簡得第三十頁，共六十三頁，2022年，8月28日如果這六個量在某點是已知的，就可以求得經過該點的任何面上的正應力和剪應力，因此，這六個量可以完全確定該點的應力狀態(tài)，它們就稱為在該點的應力分量。一般說來，彈性體內各點的應力狀態(tài)都不相同，因此，描述彈性體內應力狀態(tài)的上述六個應力分量并不是常量，而是坐標x、y、z的函數。六個應力分量的總體，可以用一個列矩陣來表示：第三十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日

幾何方程哥西應變工程應變第三十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日寫成矩陣形式為第三十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日幾何方程可見，當彈性體的位移分量完全確定時，應變分量是完全確定的。反過來，當應變分量完全確定時，位移分量卻不完全確定；這是因為，具有確定形狀的物體，可能發(fā)生不同的剛體位移。為了說明這一點，試命：式中的u0,v0,w0,x,y,z是積分常數。第三十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日u0——彈性體沿x方向的剛體移動v0——彈性體沿y方向的剛體移動w0——彈性體沿z方向的剛體移動x——彈性體繞x軸的剛體轉動y——彈性體繞y軸的剛體轉動z——彈性體繞z軸的剛體轉動為了完全確定彈性體的位移，必須有六個適當的約束條件來確定這六個剛體位移。第三十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日變形協(xié)調條件當6個應變分量滿足以上應變協(xié)調方程時，就能保證得到單值連續(xù)的位移函數。第三十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日當沿x軸方向的兩個對面受有均勻分布的正應力時，在滿足先前假定的材料性質條件下，正應力不會引起角度的任何改變，而其在x方向的單位伸長則可表以方程

彈性體在x方向的伸長還伴隨有側向收縮，即在y和z方向的單位縮短可表示為：方程既可用于簡單拉伸，也可用于簡單壓縮，且在彈性極限之內，兩種情況下的彈性模量和波桑系數相同。應力分量與應變分量之間的關系----虎克定律物理方程第三十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日設圖中的彈性體在各面上都受有均勻分布的正應力，則合成應變的分量可用前面兩式求得。實驗證明，只須將三個應力中的每一應力所引起的應變分量疊加，就得到合成應變的分量。單位伸長與應力之間的關系完全由兩個物理常數E及μ所確定。兩個常數也可用來確定剪應力與剪應變之間的關系。公式的適用范圍:

在線彈性范圍內,小變形條件下,各向同性材料。第三十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日如果彈性體的各面有剪應力作用任何兩坐標軸的夾角的改變僅與平行于這兩軸的剪應力分量有關，即得到：

正應變與剪應變是各自獨立的。因此，由三個正應力分量與三個剪應力分量引起的一般情形的應變，可用疊加法求得；即將六個關系式寫在一起，得彈性方程或物理方程，這種空間狀態(tài)的應力應變關系稱為廣義虎克定律。第三十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日寫成矩陣形式為第四十頁，共六十三頁，2022年，8月28日

邊界條件XN,YN,ZN分別為作用在某一任意平面上的沿三個坐標軸方向的分量。對于已知應力邊界條件的情況，相應的應力邊界條件為

第四十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日二維問題：

2個位移分量，3個應力分量，3個應變分量

2個平衡方程，3個幾何方程，3個物理方程三維問題：3個位移分量，6個應力分量，6個應變分量

3個平衡方程，6個幾何方程，6個物理方程我們得到的變量和方程都是從任意變形體中所取出來的微單元體來建立的，因此無論對象的幾何形狀和邊界條件如何不同，其基本變量和基本方程是完全相同，不同之處在于邊界條件，所以求解的難度是如何處理邊界條件（幾何形狀）。第四十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日2.5彈性問題中的能量表示能量分類1）施加外力在可能位移上所作的功。2）變形體由于變形而存儲的能量。第四十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日外力功施加外力在可能位移上所作的功，外力有兩種，包括作用在物體上的面力和體力，這些力被假設為與變形無關的不變力系（保守力），則外力功包括這兩部分力在可能位移上所作的功。第四十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日應變能以位移（或應變）為基本變量所表達的變形能叫做應變能（strainenergy）。它也包括兩部分

1）對應于正應力與正應變的應變能

2）對應于剪應力和剪應變的應變能第四十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日對應于正應力與正應變的應變能，另外兩個方向上的計算類似。第四十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日對應于剪應力和剪應變的應變能（其它兩個剪應力類似）第四十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日由疊加原理，將所有方向的正應力應變和剪應力應變疊加得哥西應變張量第四十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日哥西應變張量工程應變γ

第四十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日從而得系統(tǒng)勢能第五十頁，共六十三頁，2022年，8月28日****虛功原理****剛體：在力的作用下處于平衡狀態(tài)的體系，當發(fā)生與約束條件相符合的任意微小的剛體位移時，體系上所有的主動力在位移上所作的總功（各力所作的功的代數和）恒等于零。第五十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日****虛功原理****變形體：外力作用下處于平衡狀態(tài)的彈性體，如果發(fā)生了虛位移，那么所有的外力在虛位移上的虛功（外力功）等于整個彈性體內應力在虛應變上的虛功（內力功）。第五十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日2.6特殊問題的討論實際問題中，經常有一些比較典型的情況，需要有針對性的進行處理，如厚度較薄的平面問題厚度較厚的等截面平面應變問題物體的剛體移動物體變形后的體積變化等第五十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日彈性力學可分為空間問題和平面問題，嚴格地說，任何一個彈性體都是空間物體，一般的外力都是空間力系，因而任何實際問題都是空間問題，都必須考慮所有的位移分量、應變分量和應力分量。但是，如果所考慮的彈性體具有特殊的形狀，并且承受的是特殊外力，就有可能把空間問題簡化為近似的平面問題，只考慮部分的位移分量、應變分量和應力分量即可。平面應力問題平面應變問題第五十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日平面應力問題幾何形狀特征：物體在一個坐標方向（例如z）的幾何尺寸遠遠小于其他兩個坐標方向的幾何尺寸，如圖所示的薄板。載荷特征：在薄板的兩個側表面上無表面載荷，作用于邊緣的表面力平行于板面，且沿厚度不發(fā)生變化，或雖沿厚度變化但對稱于板的中間平面，體積力亦平行于板面且沿厚度不變。第五十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日幾何方程物理方程平衡方程考察應力邊界特點注意：第五十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日平面應變問題幾何形狀特征：物體沿一個坐標軸（例如z軸）方向的長度很長，且所有垂直于z軸的橫截面都相同，即為一