拋物線 新高考 數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)項(xiàng)提升精講精練 （含答案解析）

9.4拋物線（精練）（提升版）題組一題組一拋物線的定義及應(yīng)用1．（2022·廣西貴港）已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由拋物線的定義可知，，所以．故選：C.2．（2022·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)是，點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為_(kāi)_____，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】

【解析】易知點(diǎn)在拋物線內(nèi)部，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，則的方程為，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，當(dāng)，即，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為，此時(shí)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，代入，得，所以此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：；．3．（2022·江蘇·南京市金陵中學(xué)河西分校高三階段練習(xí)）是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，到軸的距離為，到圓上動(dòng)點(diǎn)的距離為，則的最小值為_(kāi)_______．【答案】【解析】圓的圓心為，半徑，拋物線的焦點(diǎn)，因?yàn)槭菕佄锞€上的動(dòng)點(diǎn)，到軸的距離為，到圓上動(dòng)點(diǎn)的距離為，所以要使最小，即到拋物線的焦點(diǎn)與到圓的圓心的距離最小，連接，則的最小值為減去圓的半徑，再減去拋物線焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，即，所以的最小值為，故答案為：4．（2022·河南平頂山）已知拋物線，為該拋物線上一點(diǎn)，B為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)__________.【答案】3【解析】由題意得：,拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，則,當(dāng)A,F,C三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，而，故的最小值為，故答案為：35．（2022·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為．過(guò)點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)，由拋物線的定義可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)為線段與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故答案為：.6．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知P為拋物線上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，為平面內(nèi)一定點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】5【解析】由題意，拋物線的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，則，當(dāng)共線時(shí)，和最小；過(guò)點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，則，所以最小值為5.故答案為：5.題組二題組二直線與拋物線的位置關(guān)系1．（2022·安徽·高三開(kāi)學(xué)考試）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，若，則的傾斜角（

）A． B．或 C．或 D．或【答案】D【解析】因?yàn)榻裹c(diǎn)，設(shè)，令，由，消可得，，所以，所以所以，解得：所以的斜率為，則的傾斜角或故選：D.2．（2022·浙江·高三開(kāi)學(xué)考試）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)，則直線恒過(guò)（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示：設(shè)直線方程為：，，聯(lián)立方程得，有.，，，故中點(diǎn)，即圓心C的坐標(biāo)為直徑.因?yàn)橐詾橹睆降膱A經(jīng)過(guò)，故有，即，化簡(jiǎn)得：，故直線方程為：，當(dāng)時(shí)，，即直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).故選：D3．（2022·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）已知直線l過(guò)點(diǎn)，且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線l的方程可以是______．（寫(xiě)出一個(gè)符合題意的直線方程即可）【答案】（答案不唯一）【解析】由題意知直線l的斜率存在，設(shè)其方程為，當(dāng)時(shí)，，易知直線過(guò)點(diǎn)，且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意．當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，可得，．當(dāng)時(shí)，，解得或，此時(shí)直線l的方程為或，即或，易知直線和直線都過(guò)點(diǎn)，且與拋物線都只有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意．故直線l的方程可以是或或．故答案為：（答案不唯一）4．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)且被拋物線截得的弦長(zhǎng)為的直線有且僅有兩條，寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的拋物線的方程______．【答案】（答案不唯一，滿足即可）【解析】設(shè)直線的方程為，且直線與拋物線交于，，聯(lián)立，可得，所以，所以，取等號(hào)時(shí)，所以拋物線過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)最短為，又因?yàn)楸粧佄锞€截得的弦長(zhǎng)為的直線有且僅有兩條，所以，所以，取，此時(shí)拋物線方程為．故答案為：（答案不唯一，滿足即可）5．（2022·山東）已知拋物線C的方程為，直線l過(guò)定點(diǎn)，若拋物線C與直線l只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線l的方程．【答案】或或【解析】由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線的斜率為k．當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，此時(shí)直線l與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸平行，顯然只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，設(shè)直線l的方程為，由，得，因?yàn)閽佄锞€C與直線l只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，解得或，所以直線l的方程為或，即或．綜上，直線l的方程為或或．題組三題組三弦長(zhǎng)1．（2022·陜西·渭南市華州區(qū)咸林中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試（文））已知拋物線，過(guò)的焦點(diǎn)且斜率為的直線交于兩點(diǎn)，若，則__________.【答案】4【解析】由題意，拋物線，可得，則直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，則，因?yàn)榍?，所以，即，所以，可得，因?yàn)椋?故答案為：.2．（2022·廣東·深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三階段練習(xí)）若直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，則線段AB的長(zhǎng)為_(kāi)_____.【答案】8【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則其斜率存在，設(shè)的方程為，，則由得，，，又，所以，即，，所以．故答案為：8．3．（2022·海南）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)，到直線的距離之和最小時(shí)，線段的長(zhǎng)度為_(kāi)_____【答案】【解析】由拋物線可得，設(shè)直線的方程為，由，可得，設(shè)，，則，所以，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，到直線的距離為，則點(diǎn)，到直線的距離之和，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)，故答案為：.4（2022·長(zhǎng)寧區(qū)）已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，則______．【答案】16【解析】聯(lián)立，得：，即，設(shè)，，則，，所以.故答案為：16.題組四題組四綜合運(yùn)用1．（2022·湖南湘潭·高三開(kāi)學(xué)考試）（多選）已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)是，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】設(shè)，由得，所以，所以，又點(diǎn)在直線l上，所以，所以A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)橹本€l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，所以，所以C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，所以D錯(cuò)誤，故選:AC．2．（2022·浙江·高三開(kāi)學(xué)考試）（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與交于點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)是點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若在以為直徑的圓上，則D．若直線與與拋物線都相切，則【答案】ACD【解析】設(shè)方程為，由得，，，，A．由得得，所以直線過(guò)點(diǎn)，A正確；B．，由，當(dāng)時(shí)，，，B錯(cuò)誤；C．，，，，即，所以，，，C正確；D．設(shè)（或）方程為，由上面推理過(guò)程得，，代入得，，不妨設(shè)，，則，所以直線過(guò)點(diǎn)，D正確．故選：ACD．3．（2022·全國(guó)·單元測(cè)試）（多選）已知：的焦點(diǎn)為，斜率為且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則（

）A． B．為線段的中點(diǎn)C． D．【答案】AB【解析】易知，由題意可得直線的方程為．由，消去并整理，得，解得，．由，得，∴．過(guò)點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，易知，∴，∴．.∵，∴為線段的中點(diǎn)．故選：AB．4．（2022福建）（多選）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則（

）A．以線段為直徑的圓與直線相切B．以線段為直徑的圓與軸相切C．當(dāng)時(shí)，D．的最小值為6【答案】ACD【解析】由拋物線方程知，準(zhǔn)線方程為，由題意可知，直線的斜率存在，可設(shè)：，設(shè)，．對(duì)于選項(xiàng)A，易知，∵為的中點(diǎn)，∴點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，∴以線段為直徑的圓與直線相切，A正確；對(duì)于B，由，得，，，，∴，∴，設(shè)的中點(diǎn)為，則，，∵不恒成立，∴以線段為直徑的圓與軸未必相切，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，不妨設(shè)，，∵，∴，，則，，∴，C正確；對(duì)于D，∵，∴當(dāng)時(shí)，，D正確．故選:ACD．5．（2022·湖北·高三開(kāi)學(xué)考試）（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，分別過(guò)兩點(diǎn)作的切線，且相交于點(diǎn)，則（

）A． B．點(diǎn)在直線上C．為直角三角形 D．面積的最小值為16【答案】BCD【解析】由題可知，拋物線的焦點(diǎn)，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，，，聯(lián)立，消去并整理得，，，由得，，，故切線的方程為：①故切線的方程為：②聯(lián)立①②得，對(duì)于A，，，不正確，故A不正確；對(duì)于B，，顯然點(diǎn)在直線上，故B正確；對(duì)于C，，，，，將，，且，，代入上式化簡(jiǎn)得：，，為直角三角形，故C正確；對(duì)于D，到直線的距離為：，，，當(dāng)時(shí)，，故D正確.故選：BCD6．（2022·全國(guó)·）（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，直線過(guò)點(diǎn)且與拋物線交于，兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則（

）A． B．拋物線的方程為C．直線的方程為 D．【答案】ACD【解析】因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，根據(jù)拋物線的定義可知，故A正確故拋物線的方程為，焦點(diǎn)，故B錯(cuò)誤則，．又是的中點(diǎn)，則，所以，即，所以直線的方程為．故C正確由，得．故D正確故選：ACD．7．（2022·湖南·高三開(kāi)學(xué)考試）（多選）已知是拋物線上兩動(dòng)點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，則（

）A．直線過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，最小值為4B．直線過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角為時(shí)（點(diǎn)在第一象限），C．若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則最大值為8D．點(diǎn)坐標(biāo)，且直線斜率之和為與拋物線的另一交點(diǎn)為，則直線，方程為：【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，直線過(guò)焦點(diǎn)，當(dāng)垂直于軸時(shí)，取最小值，故正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由題意，作圖如下：則，軸，軸，即，，，，即，，，，，，故錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由于為兩動(dòng)點(diǎn)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)直線過(guò)焦點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，故正確；對(duì)于D選項(xiàng)，依題意，，故，即，由題意，，同理可得，故直線方程為，故正確.故選：ACD.8．（2022·湖南）（多選）已知直線：過(guò)拋物線：（）的焦點(diǎn)，且與拋物線交于A，兩點(diǎn)，過(guò)A，兩點(diǎn)分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂線分別為，，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．拋物線的方程為 B．線段的長(zhǎng)度為C． D．線段的中點(diǎn)到軸的距離為【答案】BD【解析】由題意不妨設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)上方，直線：與x軸交點(diǎn)，又經(jīng)過(guò)的焦點(diǎn)，故，可得，即拋物線方程為：，A正確．由，可得，解得或，可得，，所以，B錯(cuò)誤．由以上分析可知，，，，可得，則，即，C正確．因?yàn)椋?，故線段的中點(diǎn)為，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為，D錯(cuò)誤，故選：BD．9．（2022·河北）（多選）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋