求和方法 新高考 數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)提升精講精練 （含答案解析）

6.4求和方法（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一公式法求和【例1】（2022·江蘇江蘇·高三期末）已知數(shù)列滿足.(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【解析】(1)由可知，，即，由可知，，所以是以12為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以的通項(xiàng)公式為.(2)由（1）知，，所以,又符合上式,所以,所以，所以的前20項(xiàng)和.【一隅三反】1．（2022·全國·模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.(1)求；(2)證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】(1)(2)見解析【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，即，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，即，(2)由，得，則，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等，得證.2．（2022·湖南·一模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】(1)，，∴，故數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為2；(2)由(1)可知，∴，.3．（2022·廣東深圳·一模）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)由，得，又，故，故，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．(2)由（1）可知，所以，

所以．考點(diǎn)二裂項(xiàng)相消求和【例2-1】（2022·遼寧·鞍山一中模擬預(yù)測）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，公差，且___________.從①為與等比中項(xiàng)，②等比數(shù)列的公比為，這兩個(gè)條件中，選擇一個(gè)補(bǔ)充在上面問題的橫線上，使得符合條件的數(shù)列存在并作答.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】(1)選擇條件見解析，(2)證明見解析【解析】(1)若選①，為與的等比中項(xiàng)，則，由為等差數(shù)列，，得，∴，把代入上式，可得，解得或（舍）∴，；若選②，為等比數(shù)列的公比，且，可得，即，即有，即；又，可得，即，解得，此時(shí)；(2)∵，∴；∴，得證【例2-2】（2022·廣東肇慶·模擬預(yù)測）已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和，并證明：.【答案】(1)(2)，證明見解析.【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比是q，首項(xiàng)是.由，可得.由，可得，所以，所以；(2)證明：因?yàn)?，所?又，所以.【例2-3】（2022·廣東梅州·二模）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，___________.①，；②數(shù)列為等差數(shù)列，且的前項(xiàng)和為.從以上兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在橫線處，并求解：(1)求；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)條件選擇見解析，(2)【解析】(1)解：選條件①：，，得，所以，，即數(shù)列、均為公差為的等差數(shù)列，于是，又，，，所以；選條件②：因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，且的前項(xiàng)和為，得，所以，所以的公差為，得到，則，當(dāng)，.又滿足，所以，對任意的，.(2)解：因?yàn)?，所?【例2-4】（2022·廣東茂名·二模）已知數(shù)列滿足，，．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)由得：，又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.(2)由（1）得：，則，，，…，，各式作和得：，又，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；綜上所述：.【一隅三反】1．（2022·廣東梅州·二模）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，___________.①，；②數(shù)列為等差數(shù)列，且的前項(xiàng)和為.從以上兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在橫線處，并求解：(1)求；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)條件選擇見解析，(2)【解析】(1)解：選條件①：，，得，所以，，即數(shù)列、均為公差為的等差數(shù)列，于是，又，，，所以；選條件②：因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，且的前項(xiàng)和為，得，所以，所以的公差為，得到，則，當(dāng)，.又滿足，所以，對任意的，.(2)解：因?yàn)椋?2．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【解析】(1)解：由，可得，即，所以當(dāng)時(shí)，，，，，將上述式子進(jìn)行累加得，-將代入可得，即.當(dāng)時(shí)也滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)解：由（1）得，則.3．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，給出以下三個(gè)條件：①，；②；③，.從這三個(gè)條件中任選一個(gè)解答下面的問題.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分【答案】(1)(2)【解析】(1)若選①：由，得.令，，可得.當(dāng)時(shí)，，，…，，累加得.又，則，則.又也適合上式，所以.若選②：由，可得.又是正項(xiàng)數(shù)列，所以，所以，則.當(dāng)時(shí)，.又也適合上式，所以.若選③：由得，當(dāng)時(shí)，，兩式作差得，整理得.由于，故，即是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以.(2)由（1）得，，則，所以.4．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)數(shù)列{}中，，是其前n項(xiàng)和，且滿足(1)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式：(2)已知數(shù)列{}滿足，設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，求的最小值.【答案】(1)(2)【解析】(1)正項(xiàng)數(shù)列{}，，滿足，所以，所以數(shù)列{}是以1為首項(xiàng)1為公差的等差數(shù)列，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)也成立，所以.(2)因?yàn)樗?，所以?dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，由{}遞增，得，所以的最小值為.考點(diǎn)三錯(cuò)位相減求和【例3】（2022·廣東茂名·二模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)由可得，由得，所以，即，所以，，所以數(shù)列是公差為1，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列.(2)由（1），得，所以，，兩式相減得，所以.【一隅三反】1．（2022·廣東廣東·一模）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，得即，即所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故．(2)由（1）知，則

（1）

（2）（1）－（2）得所以2．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項(xiàng)和為，若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，由①，得②，①②得，又是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，；（2）由，得，所以，，兩式相減得，所以，由得恒成立，即恒成立，時(shí)不等式恒成立；時(shí)，，得；時(shí)，，得；所以.3．（2021·全國·高考真題（理））記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項(xiàng)公式．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）[方法一]：由已知得,且，,取,由得,由于為數(shù)列的前n項(xiàng)積，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差等差數(shù)列;[方法二]【最優(yōu)解】：由已知條件知

①于是．

②由①②得．

③又，

④由③④得．令，由，得．所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．[方法三]：

由，得，且，，．又因?yàn)椋?，所以．在中，?dāng)時(shí)，．故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．[方法四]：數(shù)學(xué)歸納法

由已知，得，，，，猜想數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，且．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．當(dāng)時(shí)顯然成立．假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，即．那么當(dāng)時(shí)，．綜上，猜想對任意的都成立．即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）可得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，,,當(dāng)n=1時(shí)，,當(dāng)n≥2時(shí),,顯然對于n=1不成立,∴.考點(diǎn)四分組轉(zhuǎn)化求和【例4-1】（2022·全國·模擬預(yù)測（理））已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【解析】(1)時(shí)，，又，解得，由得，時(shí)，，兩式相減得，，又，所以，是等差數(shù)列，所以；(2)由（1），，，為偶數(shù)時(shí)，，為奇數(shù)時(shí)，，所以．【例4-2】（2022·山東日照·模擬預(yù)測）已知數(shù)列中，，，（），，，，成等差數(shù)列．(1)求k的值和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)【解析】(1)解：，，成等差數(shù)列，所以，得，得，因?yàn)?，所以，所以，得?2)由（1）知，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n＝2k，可得，即；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n＝2k－1，可得，即．綜上所述，.【一隅三反】1．（2022·安徽·高三期末（理））已知數(shù)列的前n項(xiàng)和．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【解析】(1)解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，上式也成立，所以；(2)解：，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.2．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前2n項(xiàng)的和【答案】(1)(2)【解析】(1)∵，，，∴，∴，∴，，，…，，將上述式子左右分別相乘得，∴．∵滿足上式，∴．(2)∵，令，，的前項(xiàng)和為，的前項(xiàng)和為，∴，，∴．3．（2022·湖南·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，，令.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前14項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，又，得，由①得②，①②兩式相除可得，則，且，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故.(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，.所以數(shù)列的前14項(xiàng)和為.考點(diǎn)五周期數(shù)列【例5】（2022·江西贛州·一模）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，是數(shù)列的前項(xiàng)和，求.【答案】(1)(2)【解析】(1)解：當(dāng)時(shí)，，所以，又，故；當(dāng)時(shí)，，而，兩式相減得，整理得，因?yàn)?，所以，故是以為公差的等差?shù)列，從而.(2)解：，設(shè)，其中，所以.【一隅三反】1．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，，其前項(xiàng)和為，則______．【答案】1010【解析】，周期故答案為：2．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前項(xiàng)和為，則＝________.【答案】【解析】，，，，又的周期為，故答案為：考點(diǎn)六倒序相加法【例6】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列滿足，則（

）A．2018 B．2019 C．4036 D．4038【答案】A【解析】∵，∴．又∵，∴．令，則，兩式相加得，∴．故選：A【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的值為（

）A．1 B．2 C．2020 D．2021【答案】C【解析】函數(shù)