《線段的垂直平分線》第1課時示范公開課PPT教學課件【八年級數(shù)學下冊北師大版】

線段的垂直平分線第1課時北師大版八年級數(shù)學下冊學習目標準備好了嗎？一起去探索吧！線段的垂直平分線1.證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理，探索并證明線段垂直平分線的判定定理，進一步發(fā)展推理能力.2.能運用線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理解決問題.3.能用尺規(guī)做出已知線段的垂直平分線.4.經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，進一步體會證明的必要性，增強證明意識和能力.重點難點復習回顧線段的垂直平分線具有什么特征？

垂直且平分一條線段的直線是這條線段的垂直平分線.

如圖，MN是線段AB的垂直平分線，交AB于點O，則MN⊥AB，且AO=OB.ABMNO等腰三角形頂角平分線有哪些性質(zhì)？復習回顧

由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得頂角平分線垂直底邊，并且平分底邊．

如圖，在△ABC中，AB=AC

，∠BAC的平分線AD所在的直線即線段BC的垂直平分線．ABC∟D

我們曾經(jīng)用上面折紙的辦法得到：線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.你能證明這一結論嗎？試一試.合作探究BB′EFEFB(B′)

拿出準備好的紙，按照下圖的樣子進行對折，并比較對折之后的折痕EB和EB′，F(xiàn)B和FB′的關系.可以發(fā)現(xiàn)折痕EB=EB′，

FB=FB′.合作探究

已知：如圖，直線MN⊥AB，垂足是點C，且AC=BC，P是MN上的任意一點.

求證：PA=PB.

要證明PA=PB，只需證明△PCA≌△PCB.

注意：如果點P與點C重合，那么結論顯然成立，因此證明過程中的點P與點C不重合.

要證明一個圖形上每一點都具有某種性質(zhì)，只需在圖形上任取一點作代表.合作探究

已知：如圖，直線MN⊥AB，垂足是點C，且AC=BC，P是MN上的任意一點.

求證：PA=PB.證明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°.∵AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）.∴PA=PB(全等三角形的對應邊相等).歸納線段垂直平分線的性質(zhì)定理

線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.幾何語言:

如圖，直線MN⊥AB，垂足是點C，且AC=BC，P是MN上的點，則PA=PB.應用:

經(jīng)常用來證明兩條線段相等.

你能寫出上面這個定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？如果是，請你證明它.

逆命題：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.真命題

運用轉(zhuǎn)化的思想，先找到原命題的條件和結論，把命題寫成“如果……那么……”的形式，然后再寫出它的逆命題，最后再對命題的形式進行整理.想一想

已知：如圖，

線段AB，PA=PB.

求證：點P在線段AB的垂直平分線上.

證明：∵過點P作直線MN⊥AB，垂足為點C，則PC是△PAB的高.

∵

PA=PB，∴△PAB是等腰三角形.∴PC是△PAB的中線(三線合一).∴AC=BC.∴直線MN是線段AB的垂直平分線.∴點P在線段AB的垂直平分線上.想一想ABPNCM歸納線段垂直平分線的判定定理：

到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.

如圖，線段AB，PA=PB，則點P在線段AB的垂直平分線上(即PC⊥AB且AC=CB)．幾何語言：ABPNCM應用:

經(jīng)常用來證明點在直線上或直線經(jīng)過某一點.典型例題AD

由已知AB=AC，OB=OC，結合線段垂直平分線的判定定理，可以分別證出點A和點O為線段BC垂直平分線上的點，從而證出結論.

例

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC內(nèi)一點，且OB=OC.

求證：直線AO垂直平分線段BC.典型例題AD

例

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC內(nèi)一點，且OB=OC.

求證：直線AO垂直平分線段BC.

證明：∵AB=AC，

∴點A在線段BC的垂直平分線上(到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上).

同理，點O在線段BC的垂直平分線上.

∴直線AO是線段BC的垂直平分線(兩點確定一條直線).你還有其他的證明方法嗎？典型例題AD

方法2：可以用全等三角形證明:設AO交BC于點D，先依據(jù)基本事實SSS證明△ABO≌△ACO得到∠BAO=∠CAO，再證明△ABD≌△ACD，從而使問題得證.

例

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC內(nèi)一點，且OB=OC.

求證：直線AO垂直平分線段BC.D典型例題AD

例

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC內(nèi)一點，且OB=OC.

求證：直線AO垂直平分線段BC.

方法2：

證明：延長AO交BC于點D，

∵AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC，

∴△ABO≌△ACO(SSS).∴∠BAO=∠CAO，

∵AB=AC，AD=AD，

∴△ABD≌△ACD(SAS).

∴BD＝CD，∠ADB=∠ADC=90°.

即直線AO垂直平分線段BC.D

對比一下哪種證明方法更好呢？AD

(1)用尺規(guī)做出線段AB的垂直平分線.

做一做已知:線段AB，如圖.求作:線段AB的垂直平分線.作法:1.分別以點A和B為圓心，以大于線段AB長度的一半為半徑作弧，兩弧交于點C和D.CD2.作直線CD.則直線CD就是線段AB的垂直平分線.AB與線段AB的交點就是AB的中點,所以我們也用這種方法作線段的

(2)請你就尺規(guī)作線段AB的垂直平分線方法的正確性給出證明，并與同伴進行交流.

做一做

證明：

∵AC=BC

∴點C

在線段AB的垂直平分線上(到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上).

同理，點D在線段AB的垂直平分線上.

∴直線CD是線段AB的垂直平分線(兩點確定一條直線).CD注：CD與線段AB的交點就是AB的中點，所以我們也用這種方法作線段的中點.AB隨堂練習1.如圖，已知AB是線段CD的垂直平分線，E是AB上的一點，如果EC=7cm，那么ED=

cm；如果∠ECD=60°，那么∠EDC=

°.760EDABC2.如圖，AC＝AD，BC＝BD，則有(

)A．AB垂直平分CD

B．CD垂直平分ABC．AB與CD互相垂直平分D．以上都不正確隨堂練習ACBDA3.如圖，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分線DE分別交AB，AC于點E，D.(1)若△BCD的周長為8，求BC的長；(2)若BC＝4，求△BCD的周長．隨堂練習

解：∵DE是AB的垂直平分線，∴AD＝BD.∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5.(1)∵△BCD的周長為8，∴BC＝△BCD的周長－(BD＋CD)＝8－5＝3.(2)∵BC＝4，∴△BCD的周長＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.EDACB線段垂直平分線的判定定理：線段的垂直平分線線段垂直平分線的性質(zhì)定理：

線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.幾何語言:

如圖，直線MN⊥AB，垂足是點