小波分析考試題及答案

一、敘述小波分析理論發(fā)展的歷史和研究現(xiàn)狀它是整個時間域內(nèi)的積分，沒有局部化分析信號的功能，完全不具備時域信息，的。這樣在信號分析中就面臨一對最基本的矛盾——時域和頻域的局部化矛盾。時頻譜，這就是所謂的時頻分析，亦稱為時頻局部化方法。Gabor變換、小波變換Randon-Wigner變換、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換、線形調(diào)頻小波變換、是因傳統(tǒng)的傅立葉變換不能夠滿足信號處理的要求而產(chǎn)生的。而短時傅立葉變換在信號分析上還是存在著不可逾越的缺陷。分析（Multi-resolution）的特點(diǎn)，而且在時頻兩域都具有表征信號局部特征的能正常信號中夾帶的瞬態(tài)反常現(xiàn)象并展示其成分，所以被譽(yù)為分析信號的顯微鏡。小波分析最早應(yīng)用在地震數(shù)據(jù)壓縮中,得了傳統(tǒng)方法根本無法達(dá)到的效果.科學(xué)等方面,小波分析已成為國際研究熱點(diǎn).無論是傅里葉分析還是小波分析均以線性變換為基礎(chǔ),按非線性傅立葉分析提出了非線性小波變換,這種非線性小波變換處理非線性問題更為有效.二、分析小波的基本定義小波小是指它波則是指它的波動性，其振幅正負(fù)相間的震蕩形式。與Fourier空間算對信號函數(shù)逐步進(jìn)行多尺度細(xì)化，最終達(dá)到高頻處時間細(xì)分，低頻處頻率細(xì)分，能自動適應(yīng)時頻信號分析的要求，從而可聚焦到信號的任意細(xì)節(jié)，解決了Fourier變換的困難問題，成為繼Fourier變換以來在科學(xué)方法上的重大突破。有和較低的時間分辨率，在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率。正是這種特性，是小波變換具有對信號的自適應(yīng)性。將廣泛地應(yīng)用于信號處理、圖像處理、量子場論、地震勘探、語音識別與合成、音樂、雷達(dá)、CT成像、彩色復(fù)印、流體湍流、天體識別、機(jī)器視覺、機(jī)械故障和頻域同時具有良好的局部化性質(zhì)。設(shè)tLR（LR22其傅立葉變換為滿足允許條件（AdmissibleCondition2CdRtMotherWavelett經(jīng)伸縮和平移后，就可以得到一個小波序列。對于連續(xù)的情況，小波序列為1tb.;abRa0a,baa其中，a為伸縮因子，b為平移因子。對于離散的情況，小波序列為22tkj/2jjkZ,j,k對于任意的函數(shù)ftLR的連續(xù)小波變換為2btWa,bf,a1/2ftdtfa,bRa其逆變換為11tbftWa,bdadbCaaR2fRt形ba,ba/a,/a，窗口中心為b,/a，000時窗寬和頻窗寬分別為a和/ab僅僅影響窗口在相平面時間軸上的位置，而不僅影響窗口在頻率軸上的位置，也影響窗口的形狀。這樣小波變換a葉變換具有更好的時頻窗口特性。三、小波分析是傅立葉分析思想方法的發(fā)展與延拓，二者相輔相成，試對小波分析和傅立葉變換進(jìn)行比較答：和3，w的awδ以-a6f無。四、闡述多分辨分析的思想并給出MALLAT算法的表達(dá)式答：Meyer于1986年創(chuàng)造性地構(gòu)造出具有一定衰減性的光滑函數(shù)，其二進(jìn)制伸縮與平移構(gòu)成的規(guī)范正交基，才使小波得到真正的發(fā)展。1988年S.MallatLR2在構(gòu)造正交小波基時提出了多分辨分析（Multi-Resolution）的概念，從Mallat算法。Mallat算法在小波分析中的地位相當(dāng)于快速傅立葉變換算法在經(jīng)典傅立葉分析中的地位。定義：空間L(R)中的多分辨分析是指L(R)滿足如下性質(zhì)的一個空間序列22V：jZ（1）調(diào)一致性：VV，對任意jZjj1（2）漸進(jìn)完全性：IV，UVL(R)2jjZZ（3）伸縮完全性：ft)Vft)Vjj1（4）平移不變性：kZ,(2)tV(2tk)Vj/2j/2jjj（5）Riesz基存在性：存在t)V，使得(2tk)|kZ構(gòu)成V的Risezj/20jj基。關(guān)于Riesz的具體說明如下：若t)是V的Risez基，則存在常數(shù)A，B，且，使得：0222ctkBc()Ack2kk22對所有雙無限可平方和序列c，即k2c2成立。ck2kkZt)生成一個多分辨分析，那么稱t)為一個尺度函數(shù)。關(guān)于多分辨分析的理解，我們在這里以一個三層的分解進(jìn)行說明，其小波分解樹如圖所示。SD1AD22A3D3從圖可以明顯看出，多分辨分析只是對低頻部分進(jìn)行進(jìn)一步分解，而高SADDD1321里只是以一個層分解進(jìn)行說明，如果要進(jìn)行進(jìn)一步的分解，則可以把低頻部分A分解成低頻部分A和高頻部分D，以下再分解以此類推。344在理解多分解分析時，我們必須牢牢把握一點(diǎn)：其分解的最終目的是力求構(gòu)造一個在頻率上高度逼近LR空間的正交小波基，這些頻率分辨率不2構(gòu)圖可以看出，多分辨分析只對低頻空間進(jìn)行進(jìn)一步的分解，使頻率的分辨率變得越來越高。MALLAT算法中包括兩個主要的過程，這就是分解過程和重構(gòu)過程。對于一個多分辨分析V}，以及信號fgggfV，其中jZ12nn0ftCtVjjkj,kjigtdtVjjkj,kjij,n1、分解算法由于以及，故有：tWVtVV01012ptktkk2qtktkk信號分析和處理是，常常需要知道它在各個閉子空間的小波系數(shù)。首先由其采樣值，經(jīng)計算得其中的系數(shù)，同時：cj1ackjl2klldj1bckjl2kll其中cj1和dj1都是使用分解序列在偶整數(shù)點(diǎn)的抽樣，這稱為向下抽cjkk樣。dN1dcN2dcNMccN1N2NNM小波分解2、重構(gòu)算法空間是空間和的值和，故有：VWV1002xkbxkxa2k2kkxk2xlaxkbl2kl2kk則數(shù)列c}、d}、c}具有如下公式：jjj1kkZkkZkkZcpcj1qdj1jkk2llk2lldcdcNM1NMdcN1NM1N1cNNM小波重構(gòu)五、基于MATLAB，請自行選擇一個一維信號，采用DB3小波函數(shù)，進(jìn)行3尺度分解與重構(gòu)。要求：（1）附上源程序；（2）繪出原始信號以及分解、重構(gòu)的結(jié)果圖。答：loadleleccum;S=leleccum(1:1000);w=db3;Subplot(621);plot(s);原始信號；Dwtmode;[cazpd,cdzpd]=dwt(s,w);Lxtzpd=2*length(cazpd)Xzpd=idwt(cazpd,cazpd,w,lx);Subplot(622);plot(xzpd);zpd模式重構(gòu)圖)；Dwtmode;[casym,cdsym]=dwt(s,w);Lxtzpd=2*length(caspd)Xsym=idwt(casym,cdsym,w,lx);Subplot(625);plot(xsym);sym模式重構(gòu)圖)；Dwtmodespd;[casym,cdsym]=dwt(s,w);Lxtzpd=2*length(caspd)Xsym=idwt(caspd,cdspd,w,lx);Subplot(626);plot(xspd);spd模式重構(gòu)圖)；六、給出一個小波分析的應(yīng)用實(shí)例對于一給定的信號（信號序列文件名為leleccum.mat時段信號分析答：源程序如下：Loadleleccum;s=leleccum;db3;[c,1]=wavedec(s,5,w);For