北師大八上數學平方根導學案

平方根學習目標、重點、難點【學習目標】1、了解平方根的概念、開平方的概念．2、明確算術平方根與平方根的區(qū)別與聯系．3、進一步明確平方與開方是互為逆運算．【重點難點】1、平方根的概念、性質、運算．2、平方根與算術平方根的區(qū)別和聯系．知識概覽圖平方根概念：一般地，如果一個數x的平方等于a，即x2＝a，那么這個數x就叫做a的平方根(也叫做二次方根)平方根性質算術平方根概念：一般地，如果一個正數x的平方等于a，即x2＝a，那么這個正數x就叫做a的算術平方根，記為“”，讀作“根號a”算術平方根性質新課導引【問題鏈接】某農場有一塊長30米、寬20米的長方形場地，現要在這塊場地上建一個正方形的魚池，使它的面積為場地面積的一半，這樣的正方形魚池能否建成?若能建成，魚池的邊長為多少米?【點撥】要判斷魚池能否建成，就要看魚池的邊長與場地的寬的大小關系．因此需要先求出符合題意的魚池的邊長再進行比較，在解答這種能否建成(或是否存在等)的問題時，我們可先假設能建成，在此假設之下求出所需的數據，再看求得的數據是否符合題意．若符合，則說明能建成，反之則不能．假設魚池能建成，且邊長為x米，根據題意，得x2＝×30×20．x2＝300，x＝±≈±17．32．因為魚池的邊長為正數，所以只取x≈17．32．因為17．32＜20，所以魚池能建成，且邊長約為17．32米．教材精華知識點1算術平方根一般地，如果一個正數x的平方等于a,即x2=a,那么這個正數x就叫做a的算術平方根，記為“”，讀作“根號a”．特別地，我們規(guī)定0的算術平方根是0，即＝0．拓展算術千方根有如下性質：(1)一個正數a有一個算術平方根，就是．(2)0有一個算術平方根，就是0．(3)負數沒有算術平方根．(4)只要有意義，就表示一個非負數，即≥o．(5)中的a是一個非負數，即a≥0．知識點2平方根一般地，如果一個數x的平方等于a，即x2＝a，那么這個數x就叫做a的平方根(也叫做二次方根)．拓展平方根的性質：(1)一個正數a有兩個平方根，一個是a的算術平方根“”，另一個是“-”，它們互為相反數，合起來記作“±”，讀作“正、負根號a”．例如：5的平方根是±．(2)0的平方根是0．(3)負數沒有平方根．開平方：求一個數a的平方根的運算，叫做開平方．知識點3平方根與算術平方根的區(qū)別與聯系(1)區(qū)別．①定義不同；②個數不同：一個正數有兩個平方根，它們互為相反數，而一個正數的算術平方根只有一個；③表示方法不同：正數a的平方根表示為±，正數a的算術平方根表示為；④取值范圍不同：正數的算術平方根一定是正數，正數的平方根是一正、一負．(2)聯系．①具有包含關系：平方根包含算術平方根，算術平方根是平方根中的正的那個；②存在條件相同：平方根和算術平方根都只有非負數才有；③o的平方根與算術平方根都是0．拓展必須明確，當a≥0時,,-，±的區(qū)別，表示一個非負數的算術平方根，-表示一個非負數算術平方根的相反數，±表示一個非負數的平方根．知識點4兩個重要公式(1)＝|a|，即當a≥0時，＝a，當a＜0時，＝-a．(2)()2=a(a≥0)．拓展兩個重要公式的區(qū)別：(1)a的取值范圍不同，公式(1)中a的取值可以是正數，可以是負數，也可以是0．而公式(2)中a的取值是非負數．(2)運算順序不同，公式(1)是a先平方再開平方，而公式(2)中是a先開平方再平方．課堂檢測基本概念題1、判斷下列說法是否正確．(對的打“√”，錯的打“×”)(1)5是(-5)2的算術平方根．()(2)4是2的算術平方根．()(3)6是的算術平方根．()(4)49的平方根是7．()(5)的平方根是±3．()(6)平方根等于本身的數是0和1．()基礎知識應用題2、求下列各數的平方根與算術平方根．(1)；(2)104；(3)|-169|；(4)(3-π)2．3、求下列各式中的x.(1)x2＝225；(2)9(x2+1)＝10；(3)25(x+2)2-36＝0．綜合應用題4、已知y=+2x，求xy的值．5、已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，且a，b滿足+b2-6b+9＝0，求c的取值范圍．6、為了美化校園，學校購進200盆(盆的規(guī)格、大小一樣，盆為正方形)鮮花，并決定將其擺放成一個長度為寬度的2倍的矩形，且相鄰盆間無空隙，則應該擺放成多少行、多少列(行數大于列數)?探索創(chuàng)新題7、求使等式x·＝0成立的x的值．王強同學的解答過程如下：解：要使x·＝0，則x＝0，或＝0，即x＝0，或x＝1．∴當x＝0，或x＝1時，原式成立．該同學的解答過程是否正確?如果正確，說明每一步的理由；如果不正確，請指出錯誤的原因，并寫出正確的過程．體驗中考1、|a-2|++(c-4)2＝0，則a-b+c＝．2、已知一個正數的平方根是3x-2和5x+6，則這個數是.學后反思 附：課堂檢測及體驗中考答案課堂檢測1、分析此題要用算術平方根、平方根的定義及性質去判斷，注意區(qū)別以下三句舌：(1)a的算術平方根；(2)(a≥0)的算術平方根；(3)a2的算術平方根．答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×2、分析前三個是以不同形式告訴的幾個數，必須先化簡，如(1)中＝4，(2)中104=10000，(3)中|-169|＝169，然后再求它們的平方根，(4)題中特別注意判斷π與3的大小．解：(1)∵＝4，∴的平方根是±2，算術平方根是2.(2)∵104＝10000，∴104的平方根為±100，算術平方根為100．(3)∵|-169|＝169，∴|-169|的平方根為±13，算術平方根為13．(4)∵π＞3，∴π-3＞0．∴(3-π)2的平方根為±(3-π)，算術平方根為π-3．【解題策略】出現求類似(3-π)2形式的數的算術平方根時，注意判斷括號內數的正負．求一個式子的平方根與算術平方根時，應先求出這個式子的值，然后再求這個值的平方根或算術平方根．3、分析要求出各題中的x，其實就是求一個數的平方根的問題，注意(2)(3)中需先把等式化成x2＝a的形式．解：(1)∵(±15)2＝225，∴x＝±15．(2)∵9(x2+1)=10，∴x2+1=,∴x2=.又∵(±)2=，∴x=±.(3)∵25(x+2)2-36＝0，∴25(x+2)2＝36，∴(x+2)2＝．又∵(±)2＝，∴x+2＝±.當x+2=時，x=-；當x+2=-時，x=-.【解題策略】在第(3)小題中，由(x+2)2＝得到的是x+2＝±，不要誤認為是x＝±．4、分析要想求出x，y的值，可考慮由已知出發(fā)，因為，有意義，所以x-2≥0，且2-x≥0，得出x的值后，代入原式即可求出y的值．解：∵，有意義，∴x-2≥0，2-x≥0，∴x≥2，且x≤2，∴x=2，∴y＝4，∴xy=24＝16．5、分析本題考查的是非負數的性質、算術平方根的意義及三角形三邊關系定理．解：∵+b2-6b+9＝0，∴+(b-3)2＝0．又∵≥0，(b-3)2≥0，∴＝0，(b-3)2＝0，∴a＝2，b＝3，∴c的取值范圍是1＜c＜5．規(guī)律·方法若幾個非負數的和為零，則每一個非負數都為零．6、分析要讀懂題意，把實際問題轉化成數學問題．“相鄰盆間無空隙”且“花盆大小一樣”，可見橫、豎所放花盆個數關系即為長度與寬度的關系．解：設擺放成x行、y列，則x＝2y．∵總數為200盆，且各盆規(guī)格一樣，相鄰盆間無空隙，∴x·y＝2y·y＝2y2＝200，即y2＝100，∴y＝±10．又∵x＞0，y＞0,∴y=10,x=2y=20.即應擺放成20行、10列.【解題策略】解決本題的關鍵是把實際問題轉化為數學問題，解方程過程中，要把二次方程用求平方根的方法來解決，所得解要符合題意．7、分析此題中的x的取值必須同時符合兩個條件：一是x和中的某一個為零，二是使x和都有意義．顯然x＝1符合這兩個條件，當x＝0時，＝沒有意義．解：該同學的解答過程不正確，錯誤的原因是忽略了“負數沒有算術平方根”．要使x·＝0成立，則x＝0，或＝0，即x＝0，或x＝1，但當x＝0時，無意義，∴使x·＝0成立的x的值為1．【解題策略】具有雙重非負性：①被開方數a是非負數，即a≥0；②本身是非負