2022年高考藝術(shù)生專用數(shù)學(xué)講義-第38講橢圓（教師版）

第38講橢圓

1、橢圓的定義

平面內(nèi)一個動點P到兩個定點片、工的距離之和等于常數(shù)（歸耳|+|「瑪|=2a>陽可），這個動點

P的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距.

注意：若|尸耳則動點尸的軌跡為線段環(huán)尸

\+\PF2|=|F,F2|,2；

若|P￡|+|p居|<|F,F2|,則動點P的軌跡無圖形.

2、橢圓的簡單幾何性質(zhì)

2222

橢圓：0+==1（。>方>0）與4+J=1（a>b>0）的簡單幾何性質(zhì)

a2b2a2b2

2222

二十二=1(a>b>0)

標(biāo)準(zhǔn)方程十一11"/>。>0)

crb~a~b-

______Il_______

y\

8,

<7

圖形

X

居J

C

焦點F1(-c,0),F2(,O)片(0,—c),F2(0,C)

焦距1K居|=2cIK居|=2c

范圍|x\<a,|y\<b1*1",|y

對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點對稱

性質(zhì)頂點(±?,0),(0,±b)(0,±a),(地0)

軸長長軸長=2a,短軸長=2萬長半軸長=。，短半軸長=》（注意看清題目）

離心率e=—(0<e<1)

a

AX|=|A2K\=a-c-從外|=2G|=〃+C；Q_C4|PF}|WQ+c；

（P是橢圓上一點）（不等式告訴我們橢圓上一點到焦點距離的范1圍)

3、橢圓相關(guān)計算

（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個量a,4c的幾何意義=人2+。2

2

（2）通徑:過焦點且垂直于長軸的弦,其2長b竺焦點弦：橢圓過焦點的弦。

a

2b2

最短的焦點弦為通經(jīng)絲，最長為2a。

a

（3）最大角：P是橢圓上一點，當(dāng)P是橢圓的短軸端點時，/耳尸尼為最大角。

（4）橢圓上一點和兩個焦點構(gòu)成的三角形稱為焦點三角形。

,0

焦點三角形的面積S.F/2=btan2,其中。=（注意公式的推導(dǎo)）

題型一：橢圓定義

1.（2021?烏蘇市第一中學(xué)高二月考）若橢圓1+y2=l上一點A到焦點耳的距離為2,則點A到焦點K的

距離為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【詳解】

由橢圓方程知:。=3,又|A耳+|A8|=2a,|然|=2,

AIAF21=2a-\AFt|=6-2=4.

故選：I）

r22

2.（2021?全國高二課時練習(xí)）設(shè)尸是橢圓二+二v=1上的點，尸到該橢圓左焦點的距離為2,則P到右

259

焦點的距離為（）

A.2B.4C.8D.16

【答案】C

【詳解】

設(shè)該橢圓左焦點為6,右焦點為心，由題可知a=5,所以|P￡|+|P周=2a=10,而|P4|=2,所以忸閭=8.

故選：C.

3.（2021?福建省連城縣第一中學(xué)高二月考）已知AABC的頂點8,C在橢圓上+丁=1上，頂點A是橢圓

3

的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則的周長是（）

A.2A/3B.6C.4D.4G

【答案】D

【詳解】

\AC]+\CF2\+\F2B\+\BFl\=2a+2a=4a=4yf3.

故選：D.

4.（2021?吉林長春十一高高二月考）若橢圓＜+V=1上一點A到焦點K的距離為2,8為Ag的中點,

。是坐標(biāo)原點，則I1的值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【詳解】

因為橢圓總+丁=1，所以。=3,設(shè)橢圓的另一個焦點為鳥，則座|=%一2=6-2=4,

而08是aAK鳥的中位線，所以|0用=用=2.

故選：B.

5.（2021?廣東光明?高三月考）已知直線/：y=*+l與曲線C：V+ltf相交于兩點，尸（0,-1）,

2

則AABE的周長是（）

A.2B.2近C.4D.4」

【答案】D

【詳解】

v2

依題意橢圓X2+*1—=1，a=\l2yb=l,c=1?

2

橢圓的焦點為（0,1）,（O,T）,

所以廠是橢圓的焦點，且直線/過橢圓的另一個焦點（。,1）.

所以AAM的周長為4a=4及.

故選：D

6.（2021?渝中?重慶巴蜀中學(xué)高二開學(xué)考試）若橢圓1+4=1上一點尸到橢圓一個焦點的距離為4,則

2516

產(chǎn)到另一個焦點的距離為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【詳解】

設(shè)點P到另一個焦點的距離為d，

由橢圓方程可知/=25,為=10,

則4+d=10,所以d=6.

故選：D

7.（2021?全國高三專題練習(xí)（理））已知定點6,招，且|大61=8,動點P滿足IP"|+|「工|=8,則

動點P的軌跡是（）

A.橢圓B.圓C.直線D.線段

【答案】D

【詳解】

因為"1+%1=1E川，所以動點〃的軌跡是線段ER.

故選：D

8.（2021?全國高三專題練習(xí)（理））已知“ABC的頂點8,C在橢圓三+/=1上，頂點A是橢圓的一個

3

焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則AABC的周長是（）

A.2>/3B.40C.4D.6

【答案】B

【詳解】

_丫2

柚M—Fy2=1>則〃=,

3

由題意可得AABC的周長為|AC|+|C閭+后回+|防|=2?+2a=4?=4G.

故選：B

9.（2021?六安市裕安區(qū)新安中學(xué)高二開學(xué)考試（理））已知P橢圓W+￡=l上的動點，則P到該橢圓

164

兩焦點的距離之和為（）

A.2#>B.4C.4GD.8

【答案】D

【詳解】

根據(jù)橢圓方程嶗+}=1可得。=4,

164

所以戶到該橢圓兩焦點的距離之和為2a=8.

故選：D.

10.（2021?山西省長治市第二中學(xué)校高二期末（文））已知橢圓二+f=l上一點尸到橢圓一個焦點的距

3616

離是3,則點P到另一個焦點的距離為（）

A.9B.7C.5D.3

【答案】A

【詳解】

由橢圓定義知，點〃到另一個焦點的距離為2X6-3=9.

故選：A

題型二：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程

1.（2021?全國）以雙曲線1-4=1的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓方程是（）

109

【答案】C

【詳解】

雙曲線1-4=1的焦點為（―5,0）,（5,0）,頂點為（T,o）,（4,0）,

169

所以橢圓的焦點坐標(biāo)為（7,0）,（4,0）,頂點為（-5,0）,（5,0）,

所以從—a2—c2=25—16=9,

所依橢圓的方程為E+片=1.

259

故選：C

22

2.（2021?沙坪壩?重慶八中高二月考）已知曲線」一+工=1表示橢圓，則山的取值范圍為（）

3-mm-\

A.（1,+8）B.（y，3）c.（1,3）D.（1,2）U（2,3）

【答案】D

【詳解】

3-/H>0

由題意可得,解得1<〃7<3且相。2,

3一mw機(jī)一1

所以0的取值范圍為（1，2）U（2,3）.

故選：1）

22

3.（2021?全國高二課時練習(xí)）已知方程」L+上.=1表示橢圓，則實數(shù)上的取值范圍是（）

3+k2—女

A./B.13T卜卜；,2）

C.（2次）D.（一》,一3）

【答案】B

【詳解】

由于方程上+上=1表示橢圓，

3+k2-k

3+k>0

所以<2-上>0

3+k*2-k

故選：B

2

4.（2021?全國高二課時練習(xí)）橢圓工+工-=1的焦距是2,則加的值為（）

m、

A.5B.3C.5或3D.20

【答案】C

【詳解】

因為焦距是2,所以c=l,

當(dāng)焦點在工軸時，cr=m,tr=4,.*.c2=a2-b2=m-4=\

解得，m=5,

2222

當(dāng)焦點在。軸時,a=4,〃2=m,:.c=a-b=4一加=I

解得，加二3,

故選：C.

5.（2021?全國高二課時練習(xí)）焦點坐標(biāo)為（0,-4）,（0,4）,且長半軸。=6的橢圓方程為（)

【答案】B

【詳解】

V-2V2

因為C=4,〃=6,所以〃=〃2一Q2=2（）,而焦點在y軸上，所以橢圓方程為一+^-=1.

2036

故選：B.

2222

6.（2021?全國）橢圓工+與=1與雙曲線二-^=1有相同的焦點，則實數(shù)。等于（）

4a-a-2

A.1B.-1C.1D.一1或1

【答案】D

【詳解】

22

因為雙曲線鼻-匕=1的焦點在橫軸上，

a22

所以山題意可得：4—<72=<72+2=>672=1=>?=±1.

故選：D

7.（2021?江蘇廣陵?揚州中學(xué)高二月考）橢圓V+2y2=4的焦點坐標(biāo)為（）

A.（V2.0）,（-72,0）B.（0,72）,（0,-72）

C.（V6,o）,（-76,0）D.（0,76）,（0,-76）

【答案】A

【詳解】

由題得方程可化為，—+^=1

42

所以/=4,6=2,c?=4-2=2

所以焦點為（土灰,0）

故選：A.

8.（2021?全國）已知橢圓冷+?=1的一個焦點坐標(biāo)為（0,2）,則我的值為（）

A.1B.3C.9D.81

【答案】A

【詳解】

22

由橢圓矗+=1的一個焦點坐標(biāo)為（°，2），則半焦距U2,

于是得（2+2）+2?=7,解得2=1,

所以A的值為1.

故選：A

題型三：離心率

1.（2021?畢節(jié)市實驗高級中學(xué)高二月考（文））若橢圓的兩個焦點與它的短軸的兩個端點是一個正方形

的四個頂點，則橢圓的離心率為（)

A./D.男

B.—U.--

2233

【答案】B

【詳解】

由題意：橢圓的兩個焦點與它的短軸的兩個端點是一個正方形的四個頂點，

所以b=c.

則a=y/b2+c2=~j2c，

所以離心率e=￡

a2

故選：B

22

2.（2021?泉州鯉城北大培文學(xué)校高二期中）橢圓上+上=1的離心率為（）

168

A.-B.1C.BD.—

3222

【答案】D

【詳解】

22

解：因為橢圓方程為：工+工=1,所以/=16,〃=8,所以。=4,又c2=/-b2,所以c=2&，所以

168

離心率6=工=也=也

。42

故選：D

3.（2021?全國高二課時練習(xí)）已知橢圓。:￡+a=1（">方>0）的離心率為遮，則（）

A.a=2h~B.a=2bC.3a2=4b2D.3a=46

【答案】B

【詳解】

e=&,得e=Jl-《=①,得。2=4〃，即

2\a22

故選：B

22

4.（2021?貴溪市實驗中學(xué)高三模擬預(yù)測）橢圓土V-+匕V=1的離心率為2；（）

943

A.對B.錯

【答案】B

【詳解】

對丁棉I圜萬+、■=1,6?=3,c=\la2—b2=\j9—4=V5>

所以離心率為e=￡=好.

a3

故選：B

22

5.（2021?全國高三專題練習(xí)（文））設(shè)橢圓a=+4=l（a>"0）的左、右焦點分別為K，K，過人的

a-b

直線與C交于A5兩點，若AAB片為等邊三角形，則。的離心率為（）

A.BB.—C.—D.7

3232

【答案】A

【詳解】

由于AABK為等邊三角形，根據(jù)橢圓的對稱性可知AB1Ff2,

在RtZiA片苞中，ZAFtF2=片名=1:2:百，

2c百_6

所以e=

2a-1+2-3

故選：A

6.（2021?林芝市第二高級中學(xué)高二期末（文））橢圓工+二=1的離心率為（）

49

A.—B.-C.更D.—

3333

【答案】C

【詳解】

由橢圓方程可知儲=9,從=4,所以＜?=半-62=5,

橢圓的離心率e=￡=些.

a3

故選：C

22

7.（2021?黑龍江實驗中學(xué)高三模擬預(yù)測（文））已知拋物線G：丁=-軟的焦點與橢圓C,:「+匯=1（。＞0）

a3

的一個焦點重合，則G的離心率為（）

A.-B.；C.-D.正

4242

【答案】B

【詳解】

02

拋物線C:y2=-4x的焦點為（T0）,則橢圓C2：5+E=l（a＞0）的一個焦點為（—1,0）,則儲=3+1=4,

a3

解得a=2,所以G的離心率為e=；.

故選:B.

8.（2021?吉林（文））已知，”是1和9的等比中項，則圓錐曲線￡+反=1的離心率為（）

m

A.見B.逅或2C.2叵D."或2叵

33333

【答案】B

【詳解】

山，"是1和9的等比中項，可得m=±3,

當(dāng)機(jī)=3時，曲線方程為/+?=1,該曲線為焦點在＞軸上的橢圓，離心率6=后=當(dāng)，

當(dāng)〃?=-3時，，曲線方程為V=1,該曲線為焦點在X軸上的雙曲線，離心率e=VTd=2,

3

故選：B.

9.（2021?貴州高三模擬預(yù)測（理））已知橢圓C:《+片=l（，〃＞4）的離心率為立，則橢圓C的長軸長

m43

為（)

A.nB.6C.2瓜D.12

【答案】C

【詳解】

由題意可知：、但m=4,解得m=6,所以橢圓長軸長為：2限.

Vm3

故選：C.

10.（2021?寧夏吳忠中學(xué)高二月考（文））橢圓/+±=1的離心率為（）

4

A.&B.3C.45D.由

22

【答案】B

【詳解】

解：因為/+匯=1,所以/=4,廿=1,即a=2,b=l,又因為02=/_廿=3,所以c=G

4

所以離心率e=￡=——

a2

故選：B

題型四：焦點三角形

1.（2021?廣東光明?高三月考）已知直線/：y=x+l與曲線GY+2_=1相交于A5兩點，尸（0,-1）,

2

則AAB尸的周長是（）

A.2B.2A/2C.4D.4及

【答案】1）

【詳解】

依題意橢圓/+匕=1，a=\/2,b=\,c=\，

2

橢圓的焦點為（0,1）,（0,-1），

所以F是橢圓的焦點，且直線/過橢圓的另一個焦點（0,1）.

所以“ABF的周長為4〃=40.

故選：D

2.（2021?全國高三專題練習(xí)（理））已知A4BC的頂點8,C在橢圓工+尸=［上，頂點A是橢圓的一

3

個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則A4BC的周長是（）

A.B.4A/3C.4D.6

【答案】B

【詳解】

山題意可得A43C的周長為|AC|+|Cg|+優(yōu)卻+怛用=2a+%=4a=4g.

故選：B

2

3.（2021?全國）已知△A8C的頂點8、C在橢圓工+丁=1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外

3

一個焦點在8c邊上，則A4BC的周長為（）

A.2B.2&

C.4D.4yli

【答案】D

【詳解】

由橢圓方程知：2a=2石，又IA8I+IB且|=|AC|+|CFJ=2a,|BF|=|BF2\+\CF2\,

/.△ABC的周長為4a=4y/3,

故選：D.

4.（2021?林芝市第二高級中學(xué)高三月考（文））已知片，尸2是橢圓C：《+y2=i的兩個焦點，若點尸是

4

橢圓C上的一個動點，則AP耳鳥的周長是（）

A.4+273B.4+26C.8D.10

【答案】A

【詳解】

丫2

由橢圓C：—+V=1知，

4

a=1，b=l,°=y/a2—tr=A/3（

所以出閭=2后,

由橢圓的定義知,\PF}\+\PF2\=2a=4,

則△/岑瑪?shù)闹荛L為：|「制+|P閭+忸閶=4+2石.

故選：A.

5.（2021?懷仁市第一中學(xué)校云東校區(qū)（文））橢圓1+1=1與y軸的交點為尸，兩個焦點為尸I，尸2,則

2516

△P冗行的面積為（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】D

【詳解】

I!1利同全+言=1可得a=5,〃=4,所以=,25-16=3,

令x=0可得y=±4,所以尸（0,±4）,

所以△尸耳苞的面積為gx|y/x比用=gx4x6=12,

故選：D

6.（2021?北京市育英學(xué)校高二期末）己知點耳,寫分別是橢圓《+亡=1的左、右焦點，點尸在此橢圓上,

259

“PF]=60,貝I]△/華工的面積等于

A.6B.36C.6石D.95/3

【答案】B

【詳解】

H:ll1?1——+—=1

259

則〃=25,加=9,所以1=16,

則|「用+|P周=2?=10,|叫|=2c=8

2

^+\PF2-\FF2[=1

由余弦定理可知cos/耳尸用

2\PFt\-PF2\2

代入化簡可得|p6|忖用=12,

則以印2=3閥HP閭-sinNKP耳=gxl2x*=3』,

故選：B.

7.（2021?深州長江中學(xué)）設(shè)M是橢圓卷+]=1上的一點，6,鳥為焦點，且N不明=9,則AMF內(nèi)的

25166

面積為

A.B.16（2+73）C.16（2-6）D.16

3

【答案】C

【詳解】

試題分析：設(shè)初耳=4用用=々,則為+々=1°，

所以山余弦定理得：cosZ/^MF,二匯芋”402='即迎涮,

2玉/217

所以人杵內(nèi)=；演々sin/-河鳥=16（2-6）.

8.（2021?黑龍江鶴崗一中高二月考）已知橢圓]+￡=1（。>匕>0）的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,A為橢

圓上一動點（異于左、右頂點），若“片E的周長為6,且面積的最大值為6,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

r222222

A.1=1B.F--=1C.Fy2=1D.Fy2=1

433224

【答案】A

【詳解】

由橢圓的定義可得2（〃+c）=6,

/.Q+C=3①，

當(dāng)點A為上頂點或下頂點時，△人月工的面積取得最大值為稅,

?**he=②.又/=/+A?③，

由①②③，得a=2,b=VJ,c=1,

???橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為蘭+反=1.

43

故選：A

22

9.（2021?全國）橢圓二+與=1（〃>8>0）的左、右焦點分別為K，K，A（0,8）,△然鳥的面積為g,

ab

且鳥=乙4耳瑪，則橢圓方程為（）

丫2丫22

A.—+/=1B.二+匕=1

334

【答案】D

由題意可得3-2c力=6，且b=Gc,a2=b2+c2,

解得a=2,b=y/3,c=l,所以橢圓的方程為三+爐=1,

43

故選：D.

22

10.（2021?全國高二課時練習(xí)）橢圓三+二=1的焦點為K，6，點P在橢圓上，如果線段尸片的中點在

123

y軸上，那么|「制：|尸閭的值為（）

98

A.7B.5C.-D.-

23

【答案】A

【詳解】

由二+乙=1可知/=12,〃=3,

123

所以c2=a2_/?2=]2-3=9，

所以E（—3,0）,4（3,0）,

???線段用的中點初在y軸上，且原點。為線段耳馬的中點，

所以戶乙//M。，所以尸乙，x軸，

.,?可設(shè)〃（3,6）,

把。（3,6）代入橢圓工+匯=1,得從

1234

二,期|=小6+；=苧,“|=6!=今

.四=H=7

,.IPKI@'

~2

故選：A.

11.（2021?全國高三專題練習(xí)（文））已知橢圓。:5+/=1（。>6>0）的左、右焦點分別是耳，外,直

線>與橢圓C交于A,8兩點，|A耳|=3忸用，且/耳A乙=60。，則橢圓C的離心率是（）

【答案】B

【詳解】

由橢圓的對稱性，得|A聞=|町|.設(shè)|A閭=m，則|A用=3".由橢圓的定義，^\AFt\+\AF2\=2a,即

m+3>m=2a,解得相=微，故|A月|=￥，周=:

在中，由余弦定理，得⑶入「=|A4『+|Ag「-2|A4|A周cos/4A￡,即

29/a23aa\la2c21V7

4c=---4-----2x—x-x-=,m則ile2=~=—，成e=—.

442224a2164

故選：B.

/2

12.（2021?全國）己知人,尸2是橢圓上+v二=1的左，右焦點，點A是橢圓上的一個動點，則