多元函數(shù)極值和其求法

多元函數(shù)極值和其求法一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值定義設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈,為D的內(nèi)點(diǎn).若存在的某個(gè)鄰域,使得對(duì)于該鄰域內(nèi)異于P0的任何點(diǎn)(x,y)，都有則稱(chēng)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0

,y0)有極大值f(x0

,y0)，點(diǎn)(x0

,y0)稱(chēng)為函數(shù)f(x,y)的極大值點(diǎn).()(極小值)(極小值點(diǎn))例如都有即有極小值都有即有極大值,(1)極值點(diǎn)與極值不同；說(shuō)明(2)在空間直角坐標(biāo)系中，函數(shù)z=f(x,y)表示一個(gè)曲面，如果f(x0,y0)是函數(shù)f(x,y)的極大值，則在點(diǎn)(x0,y0)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)必有：

f(x,y)<f(x0,y0)所以，在點(diǎn)(x0

,y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)，點(diǎn)(x0

,y0

,f(x0,y0))

為曲面的最高點(diǎn).(極小值)(最低點(diǎn))定理1(必要條件)

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0

,y0)處具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)(x0

,y0)有極值，則有：

證明:不妨設(shè)按定義得：存在點(diǎn)，使得對(duì)該鄰域內(nèi)的異于的任意點(diǎn)都有.取定,因而應(yīng)有即有這表明:由一元函數(shù)極值的必要條件得因而,[]=0=同理可證:說(shuō)明(1)幾何上,定理1意味著:極值點(diǎn)切平面平行于坐標(biāo)平面.在曲面上,所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處的(2)定理1的逆命題不成立.反例:經(jīng)計(jì)算得:但點(diǎn)不是的極值點(diǎn).(3)使同時(shí)成立的點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)的駐點(diǎn).(4)不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是極值點(diǎn).例如:在點(diǎn)處,偏導(dǎo)數(shù)不存在但點(diǎn)是的極小值點(diǎn).由定理1及上面的(3)(4),我們得到結(jié)論:函數(shù)的極值點(diǎn)只可能是:函數(shù)的駐點(diǎn),或不可導(dǎo)點(diǎn).又由上面的(2),我們知道:這兩種點(diǎn)不一定就是極值點(diǎn).因此,這兩種點(diǎn)到底是否為極值點(diǎn),還需繼續(xù)討論.定理2（充分條件）如果在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，.令,,記,那么(1)若,則在點(diǎn)有極值,且時(shí),有極大值;時(shí),有極小值.(2)若,則在點(diǎn)沒(méi)有極值.(3)若,不能判定.(不證)求極值的步驟第一步求得全部駐點(diǎn);在每個(gè)駐點(diǎn)處，求出二階偏導(dǎo)數(shù)，第二步分別計(jì)算的值：再計(jì)算的值根據(jù)極值的充分條件，第三步對(duì)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，以及是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)作出判斷。例1求函數(shù)的極值.解定義域:整個(gè)平面解得:即駐點(diǎn)為:，，在點(diǎn)處，=72>0又在點(diǎn)處，<0在點(diǎn)處，<0在點(diǎn)處，=72>0又問(wèn):對(duì)于不可導(dǎo)點(diǎn),怎樣判斷它是否為極值點(diǎn)?最值問(wèn)題(1)一般問(wèn)題較復(fù)雜為有界閉區(qū)域在上連續(xù)求在上的最大值和最小值。假定內(nèi)只有有限個(gè)駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)在解法：求出在內(nèi)的所有駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)處的函數(shù)值：求出的邊界上的最大值和最小值：通過(guò)比較，得到在在上的最大值和最小值。(2)實(shí)際問(wèn)題根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的性質(zhì)，可知函數(shù)的最值(最大值或最小值)一定在D的內(nèi)部取到，而函數(shù)在D內(nèi)又只有一個(gè)駐點(diǎn)，那么，可以斷定函數(shù)在該駐點(diǎn)處的值就是函數(shù)在D上的最值(最大值或最小值).較簡(jiǎn)單例2某廠要用鐵板做成一個(gè)體積為2立方米的有蓋水箱，問(wèn)：當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取多少時(shí)，才能使得用料最?。拷庠O(shè)水箱的長(zhǎng)、寬、高分別為（米）則水箱的表面積為=，=0=0即(1)(2)由(1)(2)得代入(1),得即：內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，又由實(shí)際問(wèn)題知：內(nèi)一定有最小值點(diǎn)就是A的最小值點(diǎn).此時(shí),高為=當(dāng)水箱的長(zhǎng)、寬、高均為米時(shí),用料最省.在二、條件極值求的極值無(wú)條件極值問(wèn)題問(wèn)題：求表面積為而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積.設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為求在附加條件下的最大值.條件極值問(wèn)題怎樣求條件極值？有些可以化為無(wú)條件極值問(wèn)題來(lái)求。例如上面的問(wèn)題：求在附加條件下的最大值.由附加條件解得代入的表達(dá)式，得再求它的無(wú)條件極值就行了.但是，在很多情形，條件極值問(wèn)題不能或很難化為無(wú)條件極值問(wèn)題，(比如，從附加條件不能將其中一個(gè)變量由其余變量表示出來(lái))，這時(shí)，上述方法就行不通了.可是，實(shí)際中又有大量這類(lèi)問(wèn)題需要解決，為此，下面給大家介紹一種直接求條件極值的方法，即：拉格朗日乘數(shù)法.這是一種間接求條件極值的方法.求函數(shù)在附加條件下的極值.(1)(2)若函數(shù)在附加條件(2)下在點(diǎn)處取得極值，顯然(3)問(wèn)題：我們來(lái)研究一下：該點(diǎn)必須滿足什么條件？假定在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且.由隱函數(shù)存在定理１得：方程(2)可確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，代入(1)得到函數(shù)在附加條件(2)下在點(diǎn)處取得極值，相當(dāng)于在處取得極值一元函數(shù)一元函數(shù)(4)由一元函數(shù)極值的必要條件，得由(4)式得：從而這樣，(5)(5)式變?yōu)?6)由(2)式用隱函數(shù)求導(dǎo)法得代入(6)式得＝0即(7)(3)、(7)式就是函數(shù)(1)在附加條件(2)下在點(diǎn)取得極值的必要條件,即為了方便記憶，做如下變形.令則上述必要條件變?yōu)椋鹤鬏o助函數(shù)＋則上面三式即這樣，我們就得到拉格朗日乘數(shù)法：要找函數(shù)在附加條件下的可能極值點(diǎn)，可以先作輔助函數(shù)(或拉格朗日函數(shù))＋再求出它的各偏導(dǎo)數(shù)，使之為0，并與附加條件聯(lián)立解出則點(diǎn)即為可能極值點(diǎn)，說(shuō)明(1)這種方法可推廣到自變量為兩個(gè)以上、例如求函數(shù)在附加條件下的極值.作輔助函數(shù)＋為一個(gè)以上的情形。而條件和＋聯(lián)立解出點(diǎn)即為可能極值點(diǎn)(2)這種方法只是求出了條件極值的可能極值點(diǎn)．至于它到底是否為條件極值點(diǎn)，還要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題來(lái)定．例3求表面積為而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積．解設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為則它的體積且即本題即：求函數(shù)在條件下的最大值．用拉格朗日乘數(shù)法．＋作輔助函數(shù)＋＋＋＋＋＋=0=0=0(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)即(5)(6)(7)(8)(9)(8)(9)代入(4)得點(diǎn)是可能極值點(diǎn)由實(shí)際問(wèn)題知：表面積為而體積為最大的長(zhǎng)方體一定存在，又可能極值點(diǎn)只有一個(gè)，所以，可以斷言：最大值就在該點(diǎn)取到．即在表面積為的所有長(zhǎng)方體中，長(zhǎng)、寬、高均為的那個(gè)體積最大，最大體積例4求函數(shù)在附加條件，下的極值．，解本題即：求函數(shù)，在附加條件下的極值．用拉格朗日乘數(shù)法．作輔助函數(shù)=0=0=0(1)(2)(3)(4)由(1)(2)得由(2)(3)得(5)(6)(5)(6)代入(4)得點(diǎn)是唯一的可能極值點(diǎn)下面來(lái)判斷其是否為極值點(diǎn)。設(shè)由附加條件確定了隱函數(shù)代入目標(biāo)函數(shù)得下面判定點(diǎn)的無(wú)條件極值點(diǎn)。是否為函數(shù)由隱函數(shù)求導(dǎo)法，得，又＝＝＝＝＝＝又點(diǎn)的極小值點(diǎn)。是函數(shù)點(diǎn)是條件極小值點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)，在附加條件下在點(diǎn)取到極小值＝三、最大值與最小值的應(yīng)用例5

某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B,出售單價(jià)分別為10元與９元，生產(chǎn)x單位的產(chǎn)品A與生產(chǎn)y單位的產(chǎn)品B的總費(fèi)用為：400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2)(元)解：設(shè)L(x,y)表示產(chǎn)品A和B分別生產(chǎn)x單位和

y單位時(shí)所得的總利潤(rùn).求取得最大利潤(rùn)時(shí)，兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各多少？解得所以，當(dāng)x=120,y=80時(shí)，L(x,y)有極大值L(120,80)=320.x=120,y=80即駐點(diǎn)為：(120,80).在點(diǎn)(120,80)處即當(dāng)生產(chǎn)A產(chǎn)品120件，B產(chǎn)品80件時(shí)利潤(rùn)最大.例6

設(shè)某電視機(jī)廠生產(chǎn)一臺(tái)電視機(jī)的成本為c，每臺(tái)電視機(jī)的銷(xiāo)售價(jià)格為p，銷(xiāo)售量為x.假設(shè)該廠的生產(chǎn)處于平衡狀態(tài)，即電視機(jī)的生產(chǎn)量等于銷(xiāo)售量.根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，銷(xiāo)售量x與銷(xiāo)售價(jià)格p之間有下面的關(guān)系：其中M為市場(chǎng)最大需求量，a