2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)試題（全國通用）專題03平面向量Word版含解析

專題03平面向量一、一、核心先導(dǎo)二、考點(diǎn)再現(xiàn)二、考點(diǎn)再現(xiàn)【考點(diǎn)1】平面向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫作a與b的差a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0(1)結(jié)合律：λ(μa)＝λμa＝μ(λa)；(2)第一分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)第二分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb【考點(diǎn)2】共線向量定理、平面向量基本定理及應(yīng)用1．向量共線的判定定理和性質(zhì)定理(1)判定定理：a是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ使得b＝λa，則向量b與a共線．(2)性質(zhì)定理：若向量b與非零向量a共線，則存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.(3)A，B，C是平面上三點(diǎn)，且A與B不重合，P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若點(diǎn)C在直線AB上，則存在實(shí)數(shù)λ，使得________(如圖所示)．2．向量共線定理的應(yīng)用(1)證明點(diǎn)共線；(2)證明兩直線平行；(3)已知向量共線求字母的值．3．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一組基底．【考點(diǎn)3】平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用1．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，則a±b＝(x1±x2，y1±y2)．(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)．(3)若a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝(λx，λy)．2．向量平行的坐標(biāo)表示(1)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件為x1y2－x2y1＝0.(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三點(diǎn)共線的充要條件為(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0.a∥b的充要條件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因?yàn)閤2，y2有可能等于0.判斷三點(diǎn)是否共線，先求每兩點(diǎn)對應(yīng)的向量，然后再按兩向量共線進(jìn)行判定．【考點(diǎn)4】平面向量的垂直與夾角1．平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念(1)向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a和b，記eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a與b的夾角．(2)數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cosθ叫作a與b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.規(guī)定：0·a＝0.(3)數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的模|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．2．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b都是非零向量，e是與b方向相同的單位向量，θ是a與e的夾角，則(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)a⊥b?a·b＝0.(3)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝－|a||b|.特別地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(5)|a·b|≤|a||b|.3．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夾角為θ，則(1)a·b＝x1x2＋y1y2.(2)|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).(3)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).(4)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.x1y2－x2y1＝0與x1x2＋y1y2＝0不同，前者是兩向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共線的充要條件，后者是它們垂直的充要條件．【考點(diǎn)5】平面向量的模及其應(yīng)用求平面向量的模的公式(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a2)；(2)|a±b|＝eq\r(（a±b）2)＝eq\r(a2±2a·b＋b2)；(3)若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(x2＋y2).三、三、解法解密考向1平面向量在平面幾何中的應(yīng)用向量在幾何中的應(yīng)用(1)證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行(共線)的充要條件：a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0.(2)證明垂直問題，常用向量垂直的充要條件：a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.(3)求夾角問題，常用公式：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).(4)求線段的長度，可以用向量的線性運(yùn)算，向量的模|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x2＋y2)或|AB|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).考向2平面向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用與三角函數(shù)相結(jié)合考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及其應(yīng)用是高考熱點(diǎn)問題．解此類問題，除了要熟練掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式、向量模、夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式外，還應(yīng)掌握三角恒等變換的相關(guān)知識(shí)．四、四、考點(diǎn)解密題型一:平面向量的基礎(chǔ)應(yīng)用例1．（1）、（2020·山西太原·模擬預(yù)測）已知平面向量，若與垂直，則λ＝（）A．-2B．2C．-1D．1【答案】C【分析】求出向量的模，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算可得關(guān)于的方程，求得答案【詳解】因?yàn)?，故，由題意與垂直，∴，即，解得，故選：C【變式訓(xùn)練1-1】、（2007·重慶·高考真題（理））與向量的夾角相等，且模為1的向量是（）A．B．或C．D．或【答案】B【分析】先設(shè)定所求向量的坐標(biāo)，根據(jù)條件求解即可.【詳解】設(shè)所求向量為，依題意則有，又，即，，聯(lián)立方程，解得或；故選：B.題型二:平面向量的綜合應(yīng)用例2．（1）、（2007·福建·高考真題（理））已知，點(diǎn)C在內(nèi)，且.設(shè)，則等于（）A．B．3C．D．【答案】B【分析】由題意可得,建立坐標(biāo)系，由已知條件可得，進(jìn)而可得，即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，所?又因?yàn)辄c(diǎn)C在內(nèi)，且，建立如圖所示的坐標(biāo)系：則,,又因?yàn)?，所以，所以，所?故選：B.（2）、（2022·湖北·房縣第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知平面向量，滿足，，則的取值范圍為________.【答案】【分析】利用向量的模的計(jì)算公式，化簡即可得到向量的終點(diǎn)的軌跡方程，進(jìn)而利用數(shù)形結(jié)合，即可求解.【詳解】設(shè)，則，，即為，則在平面坐標(biāo)系中向量的終點(diǎn)的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，圓心到原點(diǎn)的距離為，則.故答案為：【變式訓(xùn)練2-1】、（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知平面向量滿足：，若對滿足條件的任意向量，恒成立，則的最小值是______________．【答案】【分析】建立直角坐標(biāo)系，將向量用坐標(biāo)表示，根據(jù)題意計(jì)算即可.【詳解】由題意設(shè)，，由，，化簡得恒成立，所以，，，，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取到等號(hào)；故答案為：.【變式訓(xùn)練2-2】、（2022·吉林長春·模擬預(yù)測（理））已知中，，，，點(diǎn)P為邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A．-4B．-2C．2D．4【答案】A【分析】結(jié)合向量運(yùn)算以及二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】設(shè),,所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為.故選：A題型三:平面向量在平面幾何中的應(yīng)用例3．（1）、（2022·江蘇常州·模擬預(yù)測）我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示．在“趙爽弦圖”中，若，，則實(shí)數(shù)（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【分析】依據(jù)題給條件利用列出關(guān)于的方程，解之即可求得實(shí)數(shù)的值【詳解】由，可得，又則又，，則即則即，整理得解之得，或（舍）故選：B（2）、（2022·全國·模擬預(yù)測）在中，已知，，，，，點(diǎn)在邊上，則的最大值為（）A．3B．2C．D．【答案】C【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，將向量用坐標(biāo)表示，又可將轉(zhuǎn)化為，即可求出的最大值【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，.連接，設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，則，.連接，，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以，又，，所以，所以的最大值為.故選：C【變式訓(xùn)練3-1】、（2022·北京·高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，表示出，，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)?，所以在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，所以，，所以，其中，，因?yàn)?，所以，即；故選：D【變式訓(xùn)練3-2】、（2022·安徽·馬鞍山二中模擬預(yù)測（理））已知向量滿足，，若向量，且，則的最大值為（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】先判斷出，設(shè)，，，，得到.設(shè)，判斷出A，B，C三點(diǎn)共線，由等面積法得，利用基本不等式求出最大值.【詳解】由得，所以．如圖：設(shè)，，，，由可知，，所以，即，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào).設(shè)，由，可知A，B，C三點(diǎn)共線，由可知，所以，由等面積法可得：，得，所以的最大值為．故選：B．題型四:平面向量在其他知識(shí)中的應(yīng)用例4．（1）、（2022·江蘇無錫·模擬預(yù)測）八角星紋是大汶口文化中期彩陶紋樣中具有鮮明特色的花紋．八角星紋常繪于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈紅色底襯，然后在上面繪并列的八角星形的單獨(dú)紋樣．八角星紋以白彩繪成，黑線勾邊，中為方形或圓形，具有向四面八方擴(kuò)張的感覺．八角星紋延續(xù)的時(shí)間較長，傳播范圍亦廣，在長江以南的時(shí)間稍晚的崧澤文化的陶豆座上也屢見刻有八角大汶口文化八角星紋星紋．圖2是圖1抽象出來的圖形，在圖2中，圓中各個(gè)三角形為等腰直角三角形，中間陰影部分是正方形且邊長為2，其中動(dòng)點(diǎn)P在圓上，定點(diǎn)A、B所在位置如圖所示，則最大值為（）A．9B．10C．D．【答案】C【分析】由題意可得，，，，設(shè)的夾角為，的夾角為，則=-,分在所對的優(yōu)弧上和在所對的劣弧上兩種情況計(jì)算即可得答案.【詳解】解：如圖所示：連接，因?yàn)橹虚g陰影部分是正方形且邊長為2，所以可得，，，所以，在中由余弦定理可得，所以，設(shè)的夾角為，的夾角為，==-,當(dāng)在所對的優(yōu)弧上時(shí)，，所以，，=,所以=-＝＝,（其中）所以最大值為；當(dāng)在所對的劣弧上時(shí)，，所以，，=,所以=-＝＝,（其中）所以最大值為；綜上所述：最大值為.故選：C.（2）、（2022·浙江嘉興·模擬預(yù)測）平面向量滿足，則的最小值為_________．【答案】【分析】設(shè)，利用平面向量的幾何意義及平面向量等和線定理進(jìn)行求解.【詳解】解析：幾何意義+等和線由題記，則由，得，且．作圖，如右圖所示：為正三角形，，由，得C在直線上，又∵，∴，即點(diǎn)D在以點(diǎn)E為圓心，為半徑的圓上，∴．故答案為：．【變式訓(xùn)練4-1】、（2022·湖南師大附中三模）藝術(shù)家們常用正多邊形來設(shè)計(jì)漂亮的圖案，我國國旗上五顆耀眼的正五角星就是源于正五邊形，正五角星是將正五邊形的任意兩個(gè)不相鄰的頂點(diǎn)用線段連接，并去掉正五邊形的邊后得到的圖形，它的中心就是這個(gè)正五邊形的中心.如圖，設(shè)O是正五邊形ABCDE的中心，則下列關(guān)系錯(cuò)誤的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由平面向量的運(yùn)算對選項(xiàng)逐一判斷【詳解】對于A，，故A正確，對于B：因?yàn)?，，所以，故B正確，對于C：由題意是的外心，不是的重心設(shè)中點(diǎn)為，則，，故C錯(cuò)誤，對于D：，故D正確．故選：C【變式訓(xùn)練4-2】、（2022·全國·模擬預(yù)測）已知，滿足，，則的最大值為______．【答案】4【分析】，，得到，，從而畫圖，點(diǎn)A，B在以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓上，作出平行四邊形，利用差向量與和向量分別為平行四邊形的兩條對角線向量，結(jié)合三角函數(shù)有關(guān)公式和性質(zhì)求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，如圖，圓O的半徑為，點(diǎn)A，B在圓上，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，設(shè)，，則，．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為4，此時(shí)，的最大值為4．故答案為：4.五、五、分層訓(xùn)練A組基礎(chǔ)鞏固1．（2022·河南·模擬預(yù)測（理））如圖，在中，，，直線AM交BN于點(diǎn)Q，，則（）A．B．C．D．【答案】C【分析】把用表示，然后由三點(diǎn)共線可得．【詳解】由題意得，，因?yàn)镼，M，A三點(diǎn)共線，故，化簡整理得．故選：C．2．（2022·四川省遂寧市教育局模擬預(yù)測（文））在中，，，為線段的中點(diǎn)，，為線段垂直平分線上任一異于的點(diǎn)，則（）A．B．4C．7D．【答案】C【分析】先根據(jù)題意得為直角三角形，，進(jìn)而得，再根據(jù)，，得.【詳解】解：因?yàn)樵谥校瑸榫€段的中點(diǎn)，所以，即，因?yàn)椋?，，所以，即，因?yàn)?，所以，即，所以，，即，所以，因?yàn)椋?，即為直角三角形，所以因?yàn)闉榫€段垂直平分線上任一異于的點(diǎn)，所以，，，所以故選：C3．（2022·四川雅安·模擬預(yù)測（理））如圖，在等腰直角中，斜邊，為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為（）A．B．C．4D．6【答案】B【分析】設(shè)，然后可得，然后根據(jù)二次函數(shù)的知識(shí)可得答案.【詳解】因?yàn)樵诘妊苯侵?，斜邊，所以，因?yàn)椤?，所以，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故選：B4．（2022·四川省綿陽南山中學(xué)模擬預(yù)測（理））如圖，在中，已知，，，BC、AC邊上的兩條中線AM、BN相交于點(diǎn)P，則在上的投影為（）A．B．C．D．【答案】A【分析】結(jié)合向量運(yùn)算以及向量投影的計(jì)算公式計(jì)算出正確答案.【詳解】，由于是三角形的中線，所以是三角形的重心，所以,則，，，.所以在上的投影為.故選：A5．（2022·全國·大化瑤族自治縣高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知點(diǎn)A?B在單位圓上，，若，則的最小值是（）A．2B．3C．D．4【答案】A【分析】由結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算可化為二次函數(shù)，即可求最小值.【詳解】，因此.故選：A.6．（2022·全國·清華附中朝陽學(xué)校模擬預(yù)測）已知平面向量，，滿足，且，，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】D【分析】建立直角坐標(biāo)系，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算，得點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而根據(jù)相似以及三角形邊的關(guān)系即可結(jié)合圖形求解.【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，故點(diǎn)在以為圓心，半徑為1的圓上，如圖：取點(diǎn),則,且,因此,所以,故,由于,當(dāng)三點(diǎn)共線且點(diǎn)在線段上時(shí)，等號(hào)取到，因此，故選：D7．（2021·江西·模擬預(yù)測（文））如圖，在中，，，P為上一點(diǎn)，且滿足，若，，則的值為（）A．-3B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線求出，然后把當(dāng)基底表示出和，從而求的值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即，所以，又,所以.故選：C.8．（2022·四川·模擬預(yù)測（理））八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念，圖1是八卦模型圖，其平面圖形為圖2中的正八邊形，其中，給出下列結(jié)論：①與的夾角為；②；③；④向量在向量上的投影向量為（其中是與同向的單位向量）.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】利用正八邊形的特征，結(jié)合向量的線性運(yùn)算及投影向量的定義逐一分析各個(gè)命題即可求解.【詳解】對于①，因?yàn)榘诉呅螢檎诉呅?，所以，所以與的夾角為，①錯(cuò)誤；對于②，，顯然不成立，②錯(cuò)誤；對于③，，所以，，所以，③正確；對于④，，向量在向量上的投影向量為，④正確，故選：B.9．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（理））已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，AB為圓的直徑，P為圓上的點(diǎn)，則（）A．4B．C．8D．【答案】C【分析】利用圓柱的軸截面性質(zhì)，求得圓柱的高與底面圓半徑，根據(jù)平面向量的線性性質(zhì)，把所求數(shù)量積轉(zhuǎn)化為直角三角形中的兩個(gè)向量數(shù)量積，利用數(shù)量積的定義求解即可.【詳解】解：設(shè)圓柱的高為，底面半徑為若圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，則：，因?yàn)锳B為圓的直徑，P為圓上的點(diǎn)，所以在中，為AB中點(diǎn)又在中，，且，則如圖：為圓柱的一個(gè)軸截面所以故選：C.10．（2022·上海松江·二模）已知正方形的邊長為4，點(diǎn)、分別在邊、上，且，，若點(diǎn)在正方形的邊上，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算及二次函數(shù)求值域即可得解.【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，當(dāng)在上時(shí)，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)在上時(shí)，設(shè)，則，，知，當(dāng)在上時(shí)，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)在上時(shí)，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即.綜上可得，，故選：C11．（2022·江西·上饒市第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知向量，，若，則（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示可得，再由數(shù)量積公式可得答案.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，，所以，，所?故選：C.12．（2022·浙江·樂清市知臨中學(xué)模擬預(yù)測）平面向量滿足，則與夾角最大值時(shí)為（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)條件對兩邊平方即可得出,從而可求出,進(jìn)而即可得出然后根據(jù)基本不等式即可得出求出向量夾角的最大值,判斷出，.【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄繚M足，所以，所以，所以.由夾角公式，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立）.因?yàn)?，所以，即時(shí)最大.此時(shí).故選：D13．（2022·安徽省舒城中學(xué)三模（理））已知平面向量，，，，若，，則的最小值是________.【答案】##【分析】令，，即可得到且，令，，，，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示及三角不等式計(jì)算可得；【詳解】解：令，，則，故，且，令，，，，所以根據(jù)已知條件有，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是故答案為：14．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））在中，為的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)（異于端點(diǎn)），，則的最小值為______．【答案】##【分析】本題首先可根據(jù)題意得出，然后根據(jù)三點(diǎn)共線得出，最后通過基本不等式即可求出最值.【詳解】如圖，結(jié)合題意繪出圖象，因?yàn)?，為邊的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即、時(shí)取等號(hào)，故的最小值為，故答案為：.15．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，已知點(diǎn)O，A，B，C（順時(shí)針排列）在半徑為2的圓E上，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，則的最大值為_________．【答案】16【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算公式和數(shù)量積運(yùn)算公式化簡，即可求其最大值.【詳解】如圖，作于G，于H，由題可得，∴．當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號(hào)成立，故答案為：16．16．（2022·海南省直轄縣級(jí)單位·三模）已知平面向量，滿足，且，，則__________.【答案】【分析】根據(jù)已知結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算法則求得，再利用向量模的計(jì)算求得答案.【詳解】由得：，故，故答案為：B組能力提升17．（2022·山東煙臺(tái)·三模）如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓，為圓上任一點(diǎn)，若，則的最大值為（）A．B．2C．D．1【答案】A【分析】等和線的問題可以用共線定理，或直接用建系的方法解決.【詳解】作BC的平行線與圓相交于點(diǎn)P，與直線AB相交于點(diǎn)E，與直線AC相交于點(diǎn)F，設(shè)，則，∵BC//EF，∴設(shè)，則∴，∴∴故選：A.18．（2022·安徽·合肥市第六中學(xué)模擬預(yù)測（理））如圖，在中，M，N分別是線段，上的點(diǎn)，且，，D，E是線段上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的的最小值是（）A．4B．C．D．2【答案】B【分析】根據(jù)平面向量共線定理可設(shè)，，，，再結(jié)合得，最后運(yùn)用基本不等式可求解.【詳解】設(shè)，，，，則，，，，.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.所以的的最小值是.故選：B19．（2022·廣西桂林·模擬預(yù)測（理））已知平面向量，，滿足，且，則最小值為（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)，得到，不妨設(shè)，利用坐標(biāo)法求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，又，所以，如圖所示：不妨設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以，即，表示點(diǎn)C在以為圓心，以2為半徑的圓上，所以最小值為，故選：D20．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知向量，滿足，，則的最小值為（）A．1B．C．D．2【答案】D【分析】利用向量的數(shù)量積公式和余弦函數(shù)的有界性即可求解.【詳解】∵，∴，其中為向量，的夾角，即，當(dāng)時(shí)，有最小值，故選:．21．（2022·湖南懷化·一模）已知平面向量滿足，且與的夾角為，則的最大值為（）A．2B．4C．6D．8【答案】C【分析】以，為鄰邊作平行四邊形，設(shè)，則，由題意，設(shè)，在中，根據(jù)正弦定理結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】解：以，為鄰邊作平行四邊形，設(shè)，，則，由題意，設(shè)，，在中，由正弦定理可得，，，即的最大值為6.故選：C．22．（2022·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測）在中，，分別是邊，上的點(diǎn)，且，，點(diǎn)是線段上異于端點(diǎn)的一點(diǎn)，且滿足，則_________．【答案】8【分析】用、表示出、，從而得到，再根據(jù)，，三點(diǎn)共線，得到，解得即可.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，，即，，因?yàn)?，所以，即，即，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，故，解得．故答案為：23．（2022·四川資陽·一模（理））已知平面向量，，滿足，且，則的最大值為______．【答案】【分析】由，可求得，再求解，結(jié)合向量模長的三角不等式，即得解.【詳解】由題意，，又，故，故，由向量模長的三角不等式，，即，解得：，則的最大值為.故答案為：24．（2020·天津·二模）已知是單位向量，.若向量滿足，則||的最大值是________.【答案】##【分析】法一，由由，得，借助于幾何作圖，作，確定點(diǎn)P的軌跡，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，即可求得答案;法二，由題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)條件確定確定點(diǎn)C在以(1,1)為圓心，1為半徑的圓上，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，可求得答案.【詳解】法一由，得.如圖所示，分別作,作，由于是單位向量,則四邊形OACB是邊長為1的正方形，所以,作，則,所以點(diǎn)P在以C為圓心，1為半徑的圓上.由圖可知，當(dāng)點(diǎn)O，C，P三點(diǎn)共線且點(diǎn)P在點(diǎn)P1處時(shí)，||取得最大值,故||的最大值是,故答案為：法二由，得，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，由，得，所以點(diǎn)C在以(1,1)為圓心，1為半徑的圓上.所以故答案為：25．（2022·北京市第十二中學(xué)三模）為等邊三角形，且邊長為，則與的夾角大小為，若，，則的最小值為___________.【答案】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別為、軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及余弦函數(shù)的有界性可求得的最小值.【詳解】因?yàn)槭沁呴L為的等邊三角形，且，則為的中點(diǎn)，故，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別為、軸的正方向建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則、、，設(shè)點(diǎn)，，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故答案為：.26．（2022·四川涼山·三模（理））中，角A，B，C對邊分別為a，b，c，點(diǎn)P是所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足（）．射線BP與邊AC交于點(diǎn)D．若，，則面積的最小值為______．【答案】##【分析】根據(jù)向量數(shù)乘與加法法則得是的平分線，從而得，由正弦定理表示出，利用得出的面積，并化為的函數(shù)，由三角函數(shù)恒等變換并利用換元法得出的函數(shù)，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)、不等式的性質(zhì)可得最小值．【詳解】是與同向的單位向量，是與同向的單位向量，設(shè)，由向量加法的平行四邊形法則，知是的平分線，由得，所以與共線，即是中的平分線，，則，，由正弦定理得，即，所以，同理，記，則，，設(shè)，則，，．，即時(shí)等號(hào)成立．故答案為：．C組真題實(shí)戰(zhàn)練27．（2019·天津·高考真題（文））O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則P的軌跡一定通過的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心【答案】B【分析】根據(jù)是以為始點(diǎn)，向量與為鄰邊的菱形的對角線對應(yīng)的向量，可知點(diǎn)軌跡，據(jù)此可求解.【詳解】，令，則是以為始點(diǎn)，向量與為鄰邊的菱形的對角線對應(yīng)的向量，即在的平分線上，，共線，故點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心，故選：B28．（2020·全國·高考真題）已知向量，滿足，，，則（）A．1B．C．D．【答案】D【分析】結(jié)合已知條件，首先對兩邊同時(shí)平方求出，然后利用求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，即，?故選：D.29．（2017·全國·高考真題（理））已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法結(jié)合向量數(shù)量積的公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】建立如圖所示的坐標(biāo)系，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，，，設(shè)，則，，，則當(dāng)，時(shí)，取得最小值，故選：．30．（2018·天津·高考真題（理））如圖，在平面四邊形ABCD中，若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A．B．C．D．【答案】A【詳解】分析：由題意可得為等腰三角形，為等邊三角形，把數(shù)量積分拆，設(shè)，數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，用函數(shù)可求得最小值。詳解：連接BD,取AD中點(diǎn)為O,可知為等腰三角形，而，所以為等邊三角形，。設(shè)=所以當(dāng)時(shí)，上式取最小值，選A.點(diǎn)睛：本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分，需要選擇合適的基底，再把其它向量都用基底表示。同時(shí)利用向量共線轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。31．（2018·天津·高考真題（文））在如圖的平面圖形中，已知,則的值為A．B．C．D．0【答案】C【詳解】分析：連結(jié)MN，結(jié)合幾何性質(zhì)和平面向量的運(yùn)算法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：如圖所示，連結(jié)MN，由可知點(diǎn)分別為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則，由題意可知：，，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算法則可得：.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用．32．（2016·天津·高考真題（理））是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，連接并延長到點(diǎn)，使得，則的值為（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】試題分析：設(shè)，，∴，，，∴.【考點(diǎn)】向量數(shù)量積【名師點(diǎn)睛】研究向量的數(shù)量積問題，一般有兩個(gè)思路，一是建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)研究向量數(shù)量積；二是利用一組基底表示所有向量，兩種實(shí)質(zhì)相同，坐標(biāo)法更易理解和化簡.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的引入為向量提供了新的語言——“坐標(biāo)語言”，實(shí)質(zhì)是將“形”化為“數(shù)”．向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來．33．（2015·福建·高考真題（理））已知，，，若點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值等于（）.A．B．C．D．【答案】A【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，即，所以，，因此，因?yàn)?，所以的最大值等于，?dāng)，即時(shí)取等號(hào)．考點(diǎn)：1、平面向量數(shù)量積；2、基本不等式．34．（2017·浙江·高考真題）如圖，已知平面四邊形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC與BD交于點(diǎn)O，記，，，則A．I１<I２<I３B．I１<I３<I２C．I３<I１<I２D．I２<I１<I３【答案】C【詳解】因?yàn)?，，，所以，故選C．【名師點(diǎn)睛】平面向量的計(jì)算問題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，涉及幾何圖形的問題，先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，可起到化繁為簡的妙用．利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關(guān)角度問題、線段長問題及垂直問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來解決．列出方程組求解未知數(shù)．本題通過所給條件結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算，易得，由AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，可求得，，進(jìn)而得到．35．（2011·全國·高考真題（理））設(shè)向量滿足，，，則的最大值等于A．4B．2C．D．1【答案】A【詳解】因?yàn)?，，所?.如圖所以，設(shè)，則,,.所以，所以，所以四點(diǎn)共圓.不妨設(shè)為圓M，因?yàn)?所以.所以,由正弦定理可得的外接圓即圓M的直徑為.所以當(dāng)為圓M的直徑時(shí)，取得最大值4.故選A.點(diǎn)睛:平面向量中有關(guān)最值問題的求解通常有兩種思路：①“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷；②“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識(shí)來解決．36．（2008·山東·高考真題（文））知為