人教A版-5二維形式的柯西不等式教案2

二維形式的柯西不等式目的要求：認(rèn)識(shí)二維柯西不等式的兩種形式，理解它的幾何背景，并會(huì)證明二維柯西不等式．會(huì)利用二維柯西不等式證明三角不等式．會(huì)利用二維柯西不等式及三角不等式解決問題，體會(huì)運(yùn)用經(jīng)典不等式的一般方法——發(fā)現(xiàn)具體問題與經(jīng)典不等式之間的關(guān)系，經(jīng)過適當(dāng)變形，依據(jù)經(jīng)典不等式得到不等關(guān)系．重點(diǎn)：證明二維柯西不等式及三角不等式．利用二維柯西不等式解決問題．難點(diǎn)：理解二維柯西不等式幾何意義．如何經(jīng)過適當(dāng)變形，套用柯西不等式的形式．教學(xué)過程：一、探究：1．復(fù)習(xí)：（為實(shí)數(shù)）是我們非常熟悉的不等式，它反映了兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和與乘積的大小關(guān)系．它的推導(dǎo)過程是怎樣的？．2．探究：現(xiàn)在考慮乘積（為實(shí)數(shù)），它涉及到4個(gè)實(shí)數(shù)，并且形式上也與平方和有關(guān)，你能類比的推導(dǎo)過程，研究一下它的不等關(guān)系嗎？．二、講授新課：1.教學(xué)柯西不等式：①提出定理1（二維柯西不等式的代數(shù)形式）若a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。式中每個(gè)括號(hào)內(nèi)都是二項(xiàng)式．上式反映了4個(gè)實(shí)數(shù)的特定數(shù)量關(guān)系，不僅排列形式上規(guī)律明顯，具有簡(jiǎn)潔、對(duì)稱的美感，而且在數(shù)學(xué)和物理中有重要作用．②討論：二維形式的柯西不等式的其它證明方法？證法一：（比較法）=….=．證法二：（綜合法）．（要點(diǎn)：展開→配方）證法三：（向量法）設(shè)向量，，則，.∵，且，則.∴從而．證法四：（函數(shù)法）設(shè)，則≥0恒成立．∴≤0，即．③討論：二維形式的柯西不等式的一些變式？變式：或或．④提出定理2（柯西不等式的向量形式）設(shè)是兩個(gè)向量，則.當(dāng)且僅當(dāng)是零向量，或者共線時(shí)，等號(hào)成立．⑤練習(xí)：已知a、b、c、d為實(shí)數(shù)，求證．證法：（分析法）平方→應(yīng)用柯西不等式→討論：其幾何意義？（構(gòu)造三角形）證明：，所以．2.教學(xué)三角不等式：⑥觀察如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)，，根據(jù)的邊長(zhǎng)關(guān)系，你能發(fā)現(xiàn)這4個(gè)實(shí)數(shù)蘊(yùn)涵著何種大小關(guān)系嗎？根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式以及三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系，容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與原點(diǎn)在同一直線上，并且在原點(diǎn)兩旁時(shí)，等號(hào)成立．⑦定理3（二維形式的三角不等式）設(shè)，則.如何利用柯西不等式，從代數(shù)的角度證明．證明：，所以．證明中哪一步用了柯西不等式？⑧→變式：若，則結(jié)合以上幾何意義，可得到怎樣的三角不等式？由于定理3對(duì)于任何實(shí)數(shù)都成立，不妨用代，用代，用代，用代代入，得這個(gè)不等式的幾何意義是什么？三、典型例題：例1已知為實(shí)數(shù)，證明．證明：根據(jù)柯西不等式，有．例1中的哪4個(gè)數(shù)分別對(duì)應(yīng)柯西不等式中的？例2求函數(shù)的最大值？分析：如何變形？→構(gòu)造柯西不等式的形式→板演解：函數(shù)的定義域?yàn)椋遥?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即時(shí)函數(shù)取最大值．→變式：解：函數(shù)的定義域?yàn)?，且．．?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即時(shí)函數(shù)取最大值．→推廣：例3已知，且，求證：．證明：由于，根據(jù)柯西不等式，得．又，所以．四、小結(jié)：1．二維柯西不等式的代數(shù)形式、向量形式；2．三角不等式的兩種形式（兩點(diǎn)、三點(diǎn)）3．比較柯西不等式的形式，將目標(biāo)式進(jìn)行變形，注意湊配、構(gòu)造等技巧．五、鞏固練習(xí)：教材P36、P37習(xí)題求函數(shù)的最大值．寫出三維形式的柯西不等式和三角不等式．已知，求證．4．已知，求證．5．已知，，求證：．6．已知，求的最小值．解答要點(diǎn)：（湊配法）．討論：其它方法（數(shù)形結(jié)合法）7．設(shè)為正數(shù)，求的最小值．8．設(shè)，，且，求證．9．求函數(shù)的最大值．補(bǔ)充題10．已知：，,證明：．11．已知，，求證：。12．設(shè)，求證：．13．若，，求證：．分析：如何變形后利用柯西不等式？（注意對(duì)比→構(gòu)造）要點(diǎn)：…．討論：其它證法（利用基本不等式）14．已知、，求證：．15．已知