數(shù)列極限的幾種求解方法

數(shù)列極限的幾種求解方法張宇（渤海大學(xué)數(shù)學(xué)系遼寧錦州121000中國(guó)）摘要在高等數(shù)學(xué)中極限是一個(gè)重要的基本概念。高等數(shù)學(xué)中其他的一些重要概念，如微分、積分、級(jí)數(shù)等都是用極限來(lái)定義的。本文主要研究了求極限問(wèn)題的若干種方法。在紛繁眾多的求極限方法中，同學(xué)們往往在求解極限時(shí)不知如何下手。文章內(nèi)容包括對(duì)求解簡(jiǎn)單極限問(wèn)題的各種常用方法的總結(jié)：利用迫斂性；利用單調(diào)有界定理；利用柯西準(zhǔn)則證明數(shù)列極限；這些方法對(duì)解決一般數(shù)列極限問(wèn)題都很適用。還包括在此基礎(chǔ)上探索出來(lái)的解決各種復(fù)雜極限問(wèn)題的特殊方法，例如：利用數(shù)列的構(gòu)造和性質(zhì)求數(shù)列的極限；利用定積分定義求數(shù)列極限以及利用壓縮映射原理等特殊方法求數(shù)列極限，這些特殊方法對(duì)解決復(fù)雜極限有很重要的意義，而且還比較方便。在實(shí)際求解過(guò)程中，要靈活運(yùn)用以上各種方法。關(guān)鍵詞：數(shù)列，極限，概念，定理。SolutionofthelimitAbstract:Inthehighermathematicslimitisanimportantbasicconcepts.Inthehighermathematics,someimportantconceptsofother,suchasthedifferentialandintegration,seriesareusedtodefinethelimit.Thispapermainlystudiestheproblemofseverallimit.Inthenumerousandnumerouslimitmethod,studentsofteninsolvinglimitdoesn'tknowhowtostart.Thecontentsincludethelimitforsolvingallkindsofsimplemethodusingthesummary:popularizesforcedconvergenceproperty,MonotonehavedefinedDaniel,Usingtheproofofcauchycriterionsequencelimit,Thesemethodsofsolvingproblemsaregenerallysequencelimit.Alsoincludedonthebasisofexploringtheproblemsolvingcomplexlimitmethods,suchasspecialstructuresandpropertiesofinvariable;thesequencelimit,Usingtheintegraldefinitionforsequencelimitandusethebanachcotractionprincipleasaspecialmethod,thesespecialmethodsequencelimittosolvecomplexlimitisimportant,butalsomoreconvenient.Intheactualsolvingprocess,usingvariousabovemethods.Keywords:Series,limit,theconcept,thetheorem.極限的概念與運(yùn)算貫穿了高等數(shù)學(xué)的始終。因此，掌握好求極限的方法對(duì)學(xué)好高等數(shù)學(xué)是十分重要的。下面簡(jiǎn)單介紹一下求極限的幾種方法，不僅具有教材建設(shè)的現(xiàn)實(shí)意義而且具有深刻的理論意義。一、數(shù)列極限的基本概念及基本理論（一）、數(shù)列極限的定義①設(shè)E｝是一個(gè)數(shù)列，若存在確定的數(shù)a，對(duì)…0，珈>0，使當(dāng)nn>N時(shí)，都有Ia-aK，則稱數(shù)列｛a｝收斂于a，即為lima=a，否則ns稱數(shù)列｛a｝不收斂（或稱發(fā)散數(shù)列）。n對(duì)數(shù)列極限定義我們應(yīng)注意如下問(wèn)題，（i）￡的任意性；（ii）N的相應(yīng)性，最重要的是N的存在性；（iii）收斂于a的數(shù)列｛an｝，在a的任何領(lǐng)域內(nèi)含有｛a｝幾乎全體的項(xiàng)，此問(wèn)題可以從這句話“使得當(dāng)nnn>N時(shí)，都有|a-a<￡看出。（二）、數(shù)列極限的性質(zhì)1、 唯一性若數(shù)列｛a｝收斂，則它只有一個(gè)極限。n2、 有界性若數(shù)列｛an｝收斂，則存在正數(shù)M，使IaI<M（n=1,2......）。3、 保號(hào)性若lima廣a>0（或<0），則對(duì)任意一個(gè)滿足不等式nsa>a>0，（或0>a、a）的a'，都存在正數(shù)N，使當(dāng)n>N時(shí)，a>af（或a<a')。4、若lim4、若lima=a，limb=bns ns且a<b(n>N「，貝Va<b。5、迫斂性(兩邊夾)設(shè)lima=limb=a，且a<c<b(n>N)，n n nnn 0nT<8 nT<8則limc=a。nsn（三）、數(shù)列極限的四則運(yùn)算1、若lima=a，nsnnnT<8limb=b，貝Vlim(a土b)=1、若lima=a，nsnnnT<8n nn nn2、若lima=a，2、若lima=a，nsnlimb=b豐0nsn則lima=abbnsun（四）、常用公式1、有理式比anm+anm-i+ +an+alim m— 1 o…bnk+bnk-i+ +bn+bk k-1 1 02、2、limqn=0，其中IqI<1。ns3、3、4、lim(1+a)n=eansnlimnsinL=1。nsn（五）、充要條件1、柯西準(zhǔn)則②數(shù)列上｝收斂的充要條件是：對(duì)…0，總存在自然數(shù)n，使當(dāng)n,m>N，都有Ia廣am&2、子數(shù)列法則數(shù)列k｝收斂的充要條件是它的任一子列都收n斂于同一極限。（六）、單調(diào)數(shù)列任何有界的單調(diào)數(shù)列一定有極限。且單調(diào)遞增有界數(shù)列的極限為其上確界。單調(diào)遞減有界數(shù)列的極限為其下確界。

求數(shù)列極限的方法(一)求數(shù)列極限的基本方法、利用定義求數(shù)列極限ns分析：欲證limx1+x2+…+xn=a，考慮例1設(shè)數(shù)列七｝收斂于ns分析：欲證limx1+x2+…+xn=a，考慮nT8x+x+…+xx—a+x—a+...+x—a.

I—1 2 n—aI=I—1 2 n In<—{x—aI+1x—aI+...+1x—aI}n1 2 n由于limx=a。當(dāng)n充分大時(shí)，Ix-aI就充分小，上述和式的構(gòu)nnT3成項(xiàng)I成項(xiàng)I氣-aI，Ix2-aI，，Ix-aI中后面的絕大部分項(xiàng)充分小，而前面不充分小的項(xiàng)則僅有少數(shù)幾項(xiàng)，被分母n除后亦會(huì)充分小。面不充分小的項(xiàng)則僅有少數(shù)幾項(xiàng)，被分母n除后亦會(huì)充分小。證明因?yàn)閘imx=a。 ｛v｝是有界數(shù)列。n”n n4-a｝也是有界數(shù)列，即存在正數(shù)M>0n使得Vn=1,2,...，4-a｝也是有界數(shù)列，即存在正數(shù)M>0n使得Vn=1,2,...，皆有Ix-aI<M。又V￡>0，叫>0，使得n>N1時(shí)￡干具Ix-aI<§。于是Ix—aI=^^Ix—aI+Ix—aI<NM+(n—N)—k k kk=1 k=1 k=%+11'2I1Ex—aI<1￡Ix-aI<nk=1 nk=1NM￡—1 +n2只要取N=max.2NM，nJ，n>N時(shí)必有I1/

nk=1x—a1<￡此即證得l，x+x+...+x

nnT8注1、證明過(guò)程中其實(shí)采用了一種分段技術(shù)，性質(zhì)不同的對(duì)象以不同的方法處理。2、為了簡(jiǎn)化證明的書(shū)寫(xiě)，不妨先設(shè)a=0，而對(duì)一般情形，

可以做平移變換吁=疽，即等價(jià)轉(zhuǎn)換為a=0的命題。3、a=+8或-8時(shí)，相應(yīng)結(jié)論應(yīng)成立，但證明須作一定修改，主要體現(xiàn)在對(duì)|1E氣I應(yīng)作反向的縮小。nk=1（2）、利用迫斂性求數(shù)列極限我們常說(shuō)的迫斂性或夾逼定理。當(dāng)我們面對(duì)一個(gè)數(shù)列L｝難以直n接處理時(shí)，不妨嘗試適當(dāng)?shù)姆趴s技術(shù)，去偽存真，去細(xì)存粗，抓住主要矛盾，使問(wèn)題得以解決。例2求極限例2求極限limnTsk2 +...+n2+n+2分析即c=E淮+"，易知|___L__|關(guān)于k單調(diào)遞增。k=1即得nvCn2+n+1 1當(dāng)nt+8時(shí)，上式左、右兩端各趨于0和1，似乎無(wú)法利用迫斂性，原因在于放縮太過(guò)粗糙，應(yīng)尋求更精致的放縮。解對(duì)2k各項(xiàng)的分母進(jìn)行放縮，而同時(shí)分子保持不變。n2+n+kk=1就得如下不等關(guān)系:,+1=2kvC<2k=*+1）、2（n+2）八n2+n+n n1n2+n+1 2'n2+n+1令n-+8時(shí)，上式左、右兩端各趨于2，得limn—8\（1 2 nlimn—8\ 7+ +…+ n2+n+1n2+n+2 n2+n+n）例3求證唱=°證因?yàn)?n=（1+1）n=C0+C1+C2++Cn

由于數(shù)列的分子是〃的一次幕，所以可以把上式右邊的第三項(xiàng)C2保留，其余全部甩掉以實(shí)現(xiàn)對(duì)分母的縮小，達(dá)到使整個(gè)分?jǐn)?shù)放大n的目的，即：0<—<—= —=二—0故有1血旦=0。2n Cn -n(n-1)n-1 i2n2用這種放大法下列極限為0,對(duì)所有的自然數(shù)上，有l(wèi)imm=0，只要n*2n將2〃的二項(xiàng)式展開(kāi)的第k+1項(xiàng)保留，其余甩掉，以實(shí)現(xiàn)整個(gè)數(shù)列的放大，找到一個(gè)無(wú)窮小七來(lái)控制它。進(jìn)一步，對(duì)所有的自然數(shù)k和所有的實(shí)數(shù)。>1，lim竺=0。nsan例4 設(shè)limx=a,0<a<1，求證：nsn①limxn=a, ②lim了=1。n nn—s n—s使當(dāng)n>N時(shí)，有使當(dāng)n>N時(shí)，有aa+1aa+12<Xn<~2~(a+1丫<xn<[-^1n<Xn<n令n—s，上述兩個(gè)結(jié)論成立用夾逼定理對(duì)數(shù)列進(jìn)行放大和縮小時(shí)要注意“正確”和“適當(dāng)”也就是說(shuō)一方面要進(jìn)行正確的不等式運(yùn)算，另一方面無(wú)論是放大還是縮小都要適當(dāng)，即要使放大和縮小所得數(shù)列都有相同的極限。、利用單調(diào)有界定理求數(shù)列極限在實(shí)數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限。不妨設(shè)｛a｝為有上界的遞增數(shù)列，由確界原理，數(shù)列｛a」有上確界，記a=sup｛an｝，事實(shí)上，任給￡>0。按上確界的定義，存在數(shù)列｛氣｝中某一項(xiàng)aN，使得a-s<a。又由｛q｝的遞增性，當(dāng)n頊時(shí)有o另一方面，N n Nn由于。是｛q｝的一個(gè)上界，故對(duì)于一切。都有1 所以當(dāng)n n n佇N時(shí)有a-^<a〈q+￡，就得到limo二a。同樣的有下界的遞減數(shù)列n nh—>oo也必有極限，且其極限為它的下確界。因而有界的數(shù)列必有極限。用這個(gè)知識(shí)，我們就可先判斷極限的存在然后求解它。例5設(shè)o<*w=f,。里+￡，證明：收斂，并求其極限。TOC\o"1-5"\h\z12"+12 2 n證明先用數(shù)學(xué)歸納法可證0<?<1 （n=1,2,3......） ①n再用數(shù)學(xué)歸納法證明a>a （n=1,2,3 ） ②n+1n顯然i>a,歸納假設(shè)白>a，則2 1 kk-1a-a=—^2-（22）=—G+a）G-a）>0fe+lk2kk-1 2kk-1kk-1從而②成立。由①，②知（J單調(diào)遞增有上界，n:.lima=I（存在）nn—>co：.1=-+-,注意到/vl,22lima=I=1—y>l—c°nn—>co（4）、利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限例6求limM、，其中2-1。looUn+1解若0=1,貝顯然有1血二=上；>00 +1 2

若Ial<1，則由liman=0得nsan limanlim-^= ——=0；n.san+1liman+1ns若1al>1，則anlim =limnT8an+1an例7.lim必+"nnsvn+2—\：nlimns=limns(、：n+1—-vn)(?*n+1+xn)(%?n+2+\n)

(n+2—n)(n+2+n)(n+1+=limns=limns\：=limns\：n+2+、；n

2(*；n+1+打)=limns;1+2+1\n, 1一2(,1+-+1)Yn注意：用運(yùn)算法則時(shí)，要求各等式號(hào)右邊的極限都存在。（5）、利用Cauchy收斂準(zhǔn)則單調(diào)有界定理只是數(shù)列收斂的充分條件，而在實(shí)數(shù)系中，Cauchy收斂準(zhǔn)則是數(shù)列收斂的充分必要條件。它的內(nèi)容：數(shù)列｛an｝收斂的充要條件是，對(duì)于任給的e>0,總存在某一個(gè)自然數(shù)N，使得當(dāng)n,m>N時(shí)有a廣am|<e.柯西收斂準(zhǔn)則求極限與定義不同，最大的區(qū)別是不用事先知道極限的存在.這個(gè)定理從理論上完全解決了數(shù)列極限的存在問(wèn)題，它反映這樣的事實(shí)：收斂數(shù)列各項(xiàng)的值愈到后面，彼此愈是接近，以至充分后面的任何兩項(xiàng)之差的絕對(duì)值可小于預(yù)先給定的任意小正數(shù)。因

而用Cauchy收斂準(zhǔn)則可先判斷或證明數(shù)列的收斂性，然后在求出其極限，并且我們知道在實(shí)數(shù)完備性的六個(gè)基本定理：確界原理，單調(diào)有界定理，區(qū)間套定理，有限覆蓋定理，聚點(diǎn)定理，柯西（Cauchy）收斂準(zhǔn)則中任意知道一個(gè)可以推出其他五個(gè)命題的。因而它在求解數(shù)列極限方式上和單調(diào)有界定理是類同的，都要確定數(shù)列的極限是存在的然后求解它，當(dāng)然所有的數(shù)列首先必須有極限我們才能想辦法求出它，對(duì)于一些極限不是很明顯看出存在的數(shù)列，我們當(dāng)然就要先確定它的極限存在性了。補(bǔ)充一句并不是利用Cauchy收斂準(zhǔn)則判斷收斂的數(shù)列的極限值都能求出來(lái)的，因?yàn)橛械臄?shù)列的極限值可能難求出具體的數(shù)值,但用Cauchy收斂準(zhǔn)則我們起碼判斷其收斂或發(fā)散性。知道其極限存在與否。如：例8應(yīng)用柯西準(zhǔn)則證明｛,｝收斂：a=1+2-+1+...+-1。證明對(duì)旌>0，取N=]2]，則對(duì)Vn">N，有IaIa-a1=1 1 1E+E2+-+品1 + 1 ++ 1m(m+1)(m+1)(n+2) (n-1)n1 1 2=一一_<一

mnm而由m>2知-<￡，故Ia-a也。由柯西收斂準(zhǔn)則知Z｝收斂。n（二）、求數(shù)列極限的特殊方法（1）、利用斯托茲（Stolz）定理求極限

I" 10)斯托茲定理與洛比達(dá)法則是數(shù)學(xué)分析中處理「竺）型及f0）I" 10)限的兩個(gè)重要工具，它們分別適用于變量為“離散的”和“連續(xù)的”情形。1、[0型）設(shè)十是趨于零的數(shù)列勺是遞減趨于零的數(shù)列，則當(dāng)1、lim"廣七1存在或?yàn)?3時(shí)，lim%也存在或?yàn)?3，且i+8b-b n*3bTOC\o"1-5"\h\znn+1 nlim土=liman-amibb—bn^+3 n^+3n n n+12、[3型)設(shè)b<b(n=1,2,...)且limb=+3，如果lim常一氣存在"3)nn+1 n"n n*bn+i-、或?yàn)?3時(shí)，則lima也存在或?yàn)?3，且lima=lim%1一氣。n^+3b n^+3b nr+3b bn n n+1 n例9令xe（0,1）x-x（1-x）（z=1,2...），試證：limnx=11 n+1 nn nn^+3證明xe（0,1）,x-x（1-x），則說(shuō)明匕｝為單調(diào)遞減的，1 2 1 1 n而且是有下界數(shù)列，因此根據(jù)單調(diào)有界定理可知limx存在，nT+3設(shè)limx=x在xn+1-xn（1-xn）兩邊取n—+3的極限，nT+3n可得到x-x（-x）則可得x-0。1所以limx-0設(shè)b- ，n=1,2,...則limb=+3，有nT+3n nx nT+3nnb<b (n-1,2,...)nnnn+1一n 1n 1nT+3 nT+3 nr+3'_] nr+3〔_〔xnxn+1 xn xn+1 'nlimnx-lim-lim ；--lim

b_b_1_1_ 1 _1_1-1+X_1〃+1 nXXXG-X)XX(1_X)1_Xn+1nnnnnn n所以limnX_limG-x）=1nT+8nnT+8 n3、（竺型斯托茲（Stolz）定理的推廣）：設(shè)T為正常數(shù)，若8g(x)f(x)xG",+8)滿足:（1）（2）（3）g（1）（2）（3）g(x+T)>g(x)Xg(a,+8〕；limg(x)=+8,f(X),g(X鬼[a,+8)的任意子區(qū)間上有界;XT8「f(x+T)_f(X)7lim7EF=l，XT8g+ g\^/則lim罕=1。XT8g板）4、（0型斯托茲（stolz）定理的推廣）：設(shè)T為正常數(shù)，若函數(shù)00<g(X+T)<g(X)XGa,0<g(X+T)<g(X)XGa,+8)；limg(x)=0,limf(x)=0；XT8 XT8「f(x+T)_f(X)7】氣(x+t頃)=l，XT8g+ g（2）（3）（1）（2）（3）則lim孚=l，|f(x)_人|vE。TOC\o"1-5"\h\zX”R 氣12例10設(shè)fn。)=弟(n=1,2,...)，數(shù)列｛*｝滿足：(】)y=c>0，(2) "jyn+1f(x)dx=y(n=1,2...)，求limy1 n+1n nn0 ns— 一，、—」—、解由條件(2)二jy?+1f(x)dx=y，所以n由_1=y，n+10 n n [ \n^n,x=lnG+x)y=nx，n n+1 nnn因?yàn)閤1=y1=c>0，貝Vx=ln(1+x)>0,x因?yàn)閤1=y1=c>0，2 1 3 2 n

為x>0時(shí)，lnG+x）vx，則x=］n（1+x）vx，所以｛x｝是單調(diào)遞減且有界的，所以極限存在。n設(shè)limx廣a在、廣ln（+x〃）兩邊取n…時(shí)的極限nsa=lnG+a），所以a=0，即｛J是嚴(yán)格遞減的且趨于0所以｛_!］是嚴(yán)格遞增且趨于無(wú)窮的?！瞲JTOC\o"1-5"\h\z由定理limy=limnx=lim,，ns ns nsXn「nn+1-n 1 1lim^p=lim =lim 1 =lim 1 ^。ns ns _ ns xT0 / 、__xxx InU+x)x InU+x)x=limxln。+x)、=/+x)+亡=臨x+G+x?nG+x)xT0x-ln。+x)xT0 1—] xT0 x1+lnG+x1+lnG+x）+1

=lim =2。XT0 1（2）、利用壓縮映像原理求數(shù)列極限壓縮映像原理設(shè)0Vrv1，以及A是兩個(gè)常數(shù)，｛x｝是一個(gè)給n定數(shù)列，只要數(shù)列｝滿足下述條款之一:n（1） Ix—xl<rIx—xI（2） |x—AI<rIx—AI那么數(shù)列?｝必收斂。在（2）條款之下，limx廣A。ns推論1：設(shè)fQ是a,b］上的壓縮映射且f（UbDu",對(duì)，則fQ在a,b］上存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)c。推論2：設(shè)f。在a,b］上連續(xù)，在偵》）內(nèi)可導(dǎo)，且存在0<kv1，

對(duì)Vxe(a,b)使得|廣G*k，則fG)是",b]上的壓縮映射。例11設(shè)fG)=x±2，數(shù)列｛x｝由如下遞推公式定義:x-1 nx=1,x=f(x)(n=0,1,2...)。求證：limx=%2?！?n*' n nsn證明由x=1，x=Xn+=1+—i—>1,(n=0,1,2...) ①0 n+1 x+1x+1iff(x)i=i-x11)k2但x>1)。.,」x一x1=1f(x)-f(x)l=lf，C)|.|x一xI<-2Ix-xI則數(shù)列｛x｝為壓縮數(shù)列，.limx=l，則由①得n n-snl=1+，即12=2，l+1l=、.：2或l=—、2(舍去)此即limx=<2。nn—s例12設(shè)x=、ca,x=弋a(chǎn)+ia,...,x=.]a+x...,a>1。試證數(shù)列｛x｝1 2 n+1 n 4 n收斂并求極限。解考察函數(shù)f(x)=.3+x,xe[0,+s)，且在R+s]上有，I八I八)=12\.a+x因此fG)在R+s)是壓縮的。xf』0,+s)x+1=f(x)。由壓縮映射原理，數(shù)列｛x｝收斂且極限為方程x=f(x)=.a+x的解，解之得：nTOC\o"1-5"\h\z1="v1+4alimx= 。2n—s J、求形如x=f(x)數(shù)列的極限n+1 n例13設(shè)xn+1=土，其中k與x1為正數(shù)，則數(shù)列｛xj收斂于nx2+x=k的正根。

則數(shù)列｛x｝是一n若x-x1<則數(shù)列｛x｝是一n若x-x1<0，則x-x=Mq^>0，考察n+1 nU+x71+x7-XnL|7n-1由于G+x)1+x)>1+xG+x)=1+k，故IIk - (k Y-1Ix一xl< 1x一xl<...< n+1 n1+k n-1 nk1+k)瑟1瑟1xn+1-xnn=1I收斂，從而數(shù)列｛x｝收斂，由于xn>0，貝himx=x>0，在nsn0等式x+1=上兩邊取極限，得x：+x0=k，故x0是方程x2+x=k的正根。n（4）、根據(jù)遞推關(guān)系寫(xiě)出通項(xiàng)公式，進(jìn)而求數(shù)列極限例14設(shè)x例14設(shè)x=a,x=b,xn+1x+(2n-1)x2n求limx。nsn解由遞推關(guān)系x-xn+1 ix-xn+1 ix一xn+1n—(x

2n1-1(x2nn-x)n-1-x)=x=n-1 2nn-1-xn-27=…=32n.2「-1)...2(x1-x07(-(-1)1() —\x-xJ2n于是有(-1)1/七+1—Xn—2n ~n!.1―^0(-1)-1 1 ("n-Xn-1 E*一％x一x=x一x10 10可得xn+1xn+1-x0=11 1 1 1 1 (-1) 11一一+ ?—一 ?一+...+2 22 2! 23 3! ?—2nn!(x-x)limxlimx-a=U(一1)-!-^-(b-a)=e~2(b-a)n”n+1 2kk!k=1k=0故limx=a+e~2(一a)nsn、利用定積分定義求數(shù)列極限由定積分的定義我們知道，定積分是某一個(gè)和式的極限。如果關(guān)于n的某一和數(shù)可以表示一積分和形式，則可利用定積分的值求出這一和數(shù)的極限值，而要利用定積分求極限，其關(guān)鍵在于將和數(shù)化成某一積分和的形式。例15求limf-^+-^+...+-^'n—sln+1n+2 n+n/解11

+...+

n+2n+nTOC\o"1-5"\h\z1 1 1 1++...+n1+1 1+2 1+nnn n11 Z—-—1+knn令f(x)=_jL_,o<x<1，則由定積分定義知JL=1M_4.1 ②o1+xI"_,knk=1〒——n又j—dr=1n2 ③o1+x由①②③得limf-^+工+...+工)=1n2n—sln+1n+2n+n/、利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限若級(jí)數(shù)黃〃收斂，則當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，它的一般項(xiàng)七必趨n=0近于零：limun=0。所以，若把所求之?dāng)?shù)列視為一個(gè)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)，如nS果能判別此級(jí)數(shù)收斂，則此數(shù)列之極限必為零。例16試證數(shù)列x=里竺二比燃。=1,2,3......)有極限并求n 2-5-8……V3n-1)此極限證明當(dāng)n>6時(shí)，可證把0<1。3n一1故匕｝當(dāng)n〉6時(shí)為單調(diào)減小，且有下界大于0，故1imx存在。n n—sn再考慮正項(xiàng)級(jí)數(shù)Ux，因?yàn)閘im曜=lim冬=_<1，n=1n n-S% …3〃+23由此可知級(jí)數(shù)黨x收斂，所以limx=0。n—sn=1、利用lim"+1]"*來(lái)求數(shù)列極限n—sln)用這種方法有一定的局限性，因?yàn)樗笏髷?shù)列和這種形式有一定的形似性。一般對(duì)于1s型的數(shù)列，1+1丫(n—s)的極限求法，或ln)推廣成求數(shù)列極限limG+u（n》七。仍有很大的方便性。

u\nukn）T8例17求下列極限（1）例17求下列極限（1）(1\nliml1-一nT^l n/（2）(1Anliml1+一nT^l n2J解（1）(1解（1）(1Aliml1-—nTsl nJ—limnTs\—limnTslimnTsllimnTsl1+n—1J（2）設(shè)七=1++則七＞0，lim—1>0nTslim1+—nTslim1+—nTsl n2J(1A—lim1+—nTsl n2J_r!([1A—lim*111+—n2JnT3（8）、利用函數(shù)的歸結(jié)原則來(lái)求數(shù)列的不定式極限對(duì)于數(shù)列的不定式極限，可利用函數(shù)極限的歸結(jié)原則，通過(guò)先求相應(yīng)形式的函數(shù)極限而得到結(jié)果。歸結(jié)原則有時(shí)稱海涅定理，它是說(shuō):設(shè)/在U。^）內(nèi)有定義，、小存在的充要條件是：對(duì)任何含于U0（;&）且以x為極限的數(shù)列｛x｝，極限limf（x）都存在且相等。0 0 n nnTs(1(1例18求數(shù)列極限liml1+nTs\TOC\o"1-5"\h\z解先求函數(shù)極限lim(1+1+上]'取對(duì)數(shù)后的極限為

xT+sl X X2J〔(11 1At ln(+x+x2)-lnx2limxln1+—+———lim xT+s lxx2JxT+s2x+1 2 —— ——lim1+x+1x—lim*2+*—1xT+s xT+sx2+x+1所以由歸結(jié)原則可得(1 1A/7 (11lim1+—+——=lim1+-+—=e。77—>00\""2Jxr+colX尤2J(9)、使用洛必達(dá)法則求數(shù)列極限因?yàn)閿?shù)列中的乃表示自然數(shù)，它不是連續(xù)變量。所以數(shù)列沒(méi)有導(dǎo)數(shù)。從而不能直接用洛必達(dá)法則求解數(shù)列極限。首先把數(shù)列極限轉(zhuǎn)化例19求極限lim〃en-1。n—>co[ /1-L. (, A 「1 -一衣為函數(shù)極限，然后利用歸結(jié)原則求數(shù)列極限。所以X X2±=limex=eo=1x—>+corilimnen-1—1。ns* J解先求limxex-1=lim—=lim——X—>+00k Jx—>+co_ x—>+co__(10)、利用子序列的極限與函數(shù)的極限等值定理，求數(shù)列極限將序列中的自然數(shù)〃換成連續(xù)變量歡求出形式相同的函數(shù)的極限，即得數(shù)列的極限。例20求下列極限：(1)limj質(zhì)(板-1)；n—>oo(2)lim( 1)〃2nsin—n)1Xx—1解：(1)limy[x\fx-V=lim〃一>+8 X—>+8X21.erln￥-1=lim =hm-上InxexVX2 X2)xT+coX2jtT+oo所以iim(n(n-1)=0所以iim(n(n-1)=0(2)limfxsin1'xJ=limxT+31+fxsin1-1xJ( 1 \令limx2xsin——1xJ1sinU-1limU sinU一U=lim UT0+UT0+=2lim。嚴(yán)('雙-1)=2lim￡=0x—+sVxcosU一1 一sinU=lim =lim UT0+UT0+3u2 ,一UT0+UT0+"f.1Vlimxsin—x—+s\xx—+s\limnlimnsinLnJn—s\數(shù)列x只能有一個(gè)上極限（下極限）。數(shù)列x只能有一個(gè)上極限（下極限）。n上、下極限運(yùn)算有下列簡(jiǎn)單性（11）、利用上、下極限來(lái)求數(shù)列的極限我們可以這樣理解：如果在實(shí)數(shù)數(shù)列｛xn｝（或變量xn）中，存在收斂于數(shù)a（有限數(shù)，+S，-s）的子數(shù)列｛xj，而且數(shù)列｛x.1中其他任何收斂數(shù)列收斂到不大于（不小于）「的數(shù)，那么數(shù)。稱為supx.(liminfx)。數(shù)列｛x｝的上極限（下極限）。記作limxfsupx.(liminfx)。質(zhì):若x<y若x<y，則limx<limy，n—s n—slimxn—s<limy；n—s若｛x」、｛y」的上、下極限的存在有限，則TOC\o"1-5"\h\zlimx+limy<lim(x+y)<limx+limyn n nn n nn—s n—s n—s n—s n—slimx+limy<limG+y)<limx+limy，又若x,y>0，貝Vn n nn n n nnn—s n—s n—s n—s n—s

limxlimy<lim(xy)<limxlimy；n n nn n nns ns nlimxlimy<lim(xy)<limxlimy；n n nn n nns ns nT3 nT3"T3⑶若limx存在有限，則對(duì)任何｛y｝有l(wèi)im(x+y)=limx+limy，

n n nn n nns ns ns nslimGy)=limxlimynn n nn—s nT3nT8定理limx=A（有限或無(wú)窮大）=Hmx=limx=AnnT3nns利用本定理證明數(shù)列極限存在的方法通常是根據(jù)條件證明limx<limx。isnn—sn例21設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù)列中任何兩項(xiàng)都滿足不等式氣頓<『求證序列｛*廠｝當(dāng)n—s時(shí)有有限極限。n證若｛.｝中有某個(gè)匕=0。則由a,<0.a=0可知對(duì)任何n>p。恒有a=0,從而lim0=0。故不妨設(shè)a>0(Vn)，令b=lna，則n n n n nn—sbm+n<b+bn固定自然數(shù)p，對(duì)任一自然數(shù)n，令n=mp+r=bmp+r<mbp+bbmbb―n< p——+rnmp+rmp+r所以lim—b<-p。、nn—s由上式知，limtn是一個(gè)有限數(shù)或者-s，在上式中令p—s兩邊、nn—s去取下極限，得limfnn—s去取下極限，得limfnn—sb<lim?一pp—s則lim匕=limbn—sn所以lim所以lim匕存在有限或者等于-s，、nn—s從而lim0=lim次存在有限。n—snn—s（12）、利用幕級(jí)數(shù)的和函數(shù)求數(shù)列極限當(dāng)數(shù)列本身就是某個(gè)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列時(shí)，求該數(shù)列的極限就成了求相應(yīng)級(jí)數(shù)的和，此時(shí)常?？梢暂o助性地構(gòu)造一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（通常是幕級(jí)數(shù)，有時(shí)是傅立葉級(jí)數(shù)）使得要求的極限恰好是該函數(shù)

例22求極限例22求極限iim1+—+—^ F—is"332 3n一1/解若構(gòu)造幕級(jí)數(shù)工nxn_1，則所求極限恰好是此級(jí)數(shù)的和函數(shù)在n=1x=1x=1初的值?？紤]幕級(jí)數(shù)工nxn-1，由于3n=1故當(dāng)xG(-1,1)時(shí)，該級(jí)數(shù)收斂limnTsnsn設(shè)s(x)=zLnxn-1,于是有n=1、' 、's(x)=黨xn=x= ，xG(-1，1)I)"1-xJ (1-x)2n=1從而原式=工二=s(3)=9。3n-1 4n=1、利用反常積分的結(jié)論求數(shù)列的極限在討論定積分時(shí)有兩個(gè)最基本的限制：積分區(qū)間的有窮性和被積函數(shù)的有界性，但在很多問(wèn)題時(shí)往往需要突破這些限制，所以我們有了相應(yīng)的兩類反常積分。眾所周知，如果fG)在a,b］上正?？煞e，則\bfQdx=lim2Lf8，其中8=b—a，f=f(