平穩(wěn)時間序列預(yù)測法

關(guān)于平穩(wěn)時間序列預(yù)測法第一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一7.1概述

時間序列取自某一個隨機過程，則稱：

一、平穩(wěn)時間序列過程是平穩(wěn)的——隨機過程的隨機特征不隨時間變化而變化過程是非平穩(wěn)的——隨機過程的隨機特征隨時間變化而變化回總目錄回本章目錄第二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一

寬平穩(wěn)時間序列的定義：設(shè)時間序列，對于任意的t,k和m，滿足：

則稱寬平穩(wěn)。

回總目錄回本章目錄第三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一Box-Jenkins方法是一種理論較為完善的統(tǒng)計預(yù)測方法。他們的工作為實際工作者提供了對時間序列進行分析、預(yù)測，以及對ARMA模型識別、估計和診斷的系統(tǒng)方法。使ARMA模型的建立有了一套完整、正規(guī)、結(jié)構(gòu)化的建模方法，并且具有統(tǒng)計上的完善性和牢固的理論基礎(chǔ)。ARMA模型是描述平穩(wěn)隨機序列的最常用的一種模型；回總目錄回本章目錄第四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一ARMA模型三種基本形式：自回歸模型（AR：Auto-regressive）；移動平均模型（MA：Moving-Average）；混合模型（ARMA：Auto-regressiveMoving-Average）?；乜偰夸浕乇菊履夸浀谖屙摚菜氖?，編輯于2023年，星期一

如果時間序列滿足其中是獨立同分布的隨機變量序列,且滿足：

則稱時間序列服從p階自回歸模型。

二、自回歸模型回總目錄回本章目錄第六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一

自回歸模型的平穩(wěn)條件：滯后算子多項式

的根均在單位圓外，即

的根大于1。

回總目錄回本章目錄第七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一

如果時間序列滿足則稱時間序列服從q階移動平均模型。

或者記為。平穩(wěn)條件：任何條件下都平穩(wěn)。

三、移動平均模型MA(q)

回總目錄回本章目錄第八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一

四、ARMA(p,q)模型如果時間序列

滿足：則稱時間序列服從(p,q)階自回歸移動平均模型。

或者記為：回總目錄回本章目錄第九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一q=0，模型即為AR(p)；

p=0，模型即為MA(q)。ARMA(p,q)模型特殊情況：回總目錄回本章目錄第十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一例題分析

設(shè)，其中A與B為兩個獨立的零均值隨機變量，方差為1；為一常數(shù)。試證明：寬平穩(wěn)?；乜偰夸浕乇菊履夸浀谑豁摚菜氖?，編輯于2023年，星期一證明：均值為0，只與t-s有關(guān)，所以寬平穩(wěn)?；乜偰夸浕乇菊履夸浀谑摚菜氖?，編輯于2023年，星期一7.2時間序列的自相關(guān)分析

自相關(guān)分析法是進行時間序列分析的有效方法，它簡單易行,較為直觀，根據(jù)繪制的自相關(guān)分析圖和偏自相關(guān)分析圖，我們可以初步地識別平穩(wěn)序列的模型類型和模型階數(shù)。利用自相關(guān)分析法可以測定時間序列的隨機性和平穩(wěn)性，以及時間序列的季節(jié)性。一、自相關(guān)分析回總目錄回本章目錄第十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一（1）自相關(guān)函數(shù)的定義

滯后期為k的自協(xié)方差函數(shù)為：

則自相關(guān)函數(shù)為：

其中

回總目錄回本章目錄第十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一

當序列平穩(wěn)時，自相關(guān)函數(shù)可寫為：

（2）樣本自相關(guān)函數(shù)其中

回總目錄回本章目錄第十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一

樣本自相關(guān)函數(shù)可以說明不同時期的數(shù)據(jù)之間的相關(guān)程度，其取值范圍在-1到

1之間，值越接近于1，說明時間序列的自相關(guān)程度越高。回總目錄回本章目錄第十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一（3）樣本的偏自相關(guān)函數(shù)是給定了的條件下，與滯后k期時間序列之間的條件相關(guān)。定義表示如下：其中，

回總目錄回本章目錄第十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一

時間序列的隨機性，是指時間序列各項之間沒有相關(guān)關(guān)系的特征。使用自相關(guān)分析圖判斷時間序列的隨機性，一般給出如下準則：

若時間序列的自相關(guān)函數(shù)基本上都落入

置信區(qū)間，則該時間序列具有隨機性；若較多自相關(guān)函數(shù)落在置信區(qū)間之外，

則認為該時間序列不具有隨機性?；乜偰夸浕乇菊履夸浀谑隧?，共四十三頁，編輯于2023年，星期一

判斷時間序列是否平穩(wěn)，是一項很重要的工作。運用自相關(guān)分析圖判定時間序列平穩(wěn)性的準則是：

若時間序列的自相關(guān)函數(shù)在k>3時都落入置信區(qū)間，且逐漸趨于零，則該時間序列具有平穩(wěn)性；若時間序列的自相關(guān)函數(shù)更多地落在置信區(qū)間外面，則該時間序列就不具有平穩(wěn)性?；乜偰夸浕乇菊履夸浀谑彭摚菜氖?，編輯于2023年，星期一二、ARMA模型的自相關(guān)分析

AR(p)模型的偏自相關(guān)函數(shù)是以p步截尾的，自相關(guān)函數(shù)拖尾；

MA(q)模型的自相關(guān)函數(shù)具有q步截尾性，偏自相關(guān)函數(shù)拖尾；（可用以上兩個性質(zhì)來識別AR和MA模型的階數(shù)）

ARMA(p,q)模型的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)都是拖尾的?；乜偰夸浕乇菊履夸浀诙摚菜氖?，編輯于2023年，星期一7.3單位根檢驗和協(xié)整檢驗

一、單位根檢驗

利用迪基—福勒檢驗（Dickey-FullerTest）和菲利普斯—佩榮檢驗（Philips-PerronTest），也可以測定時間序列的隨機性，這是在計量經(jīng)濟學(xué)中非常重要的兩種單位根檢驗方法，與前者不同的是，后一個檢驗方法主要應(yīng)用于一階自回歸模型的殘差不是白噪聲，而且存在自相關(guān)的情況?；乜偰夸浕乇菊履夸浀诙豁?，共四十三頁，編輯于2023年，星期一（1）隨機游動

如果在一個隨機過程中，的每一次變化均來自于一個均值為零的獨立同分布，即隨機過程滿足：

其中

獨立同分布，并且：

稱這個隨機過程是隨機游動。它是一個非平穩(wěn)過程。

回總目錄回本章目錄第二十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一

（2）單位根過程

設(shè)隨機過程

滿足：

其中

為一個平穩(wěn)過程并且

回總目錄回本章目錄第二十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一（3）

協(xié)整關(guān)系

如果兩個或多個非平穩(wěn)的時間序列，其某個線性組合后的序列呈平穩(wěn)性，這樣的時間序列間就被稱為有協(xié)整關(guān)系存在；這是一個很重要的概念，我們利用Engle-Granger兩步協(xié)整檢驗法和Johansen協(xié)整檢驗法可以測定時間序列間的協(xié)整關(guān)系。回總目錄回本章目錄第二十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一7.4ARMA模型的建模

一、模型階數(shù)的確定

（1）基于自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)的定階方法

對于ARMA(p,q)模型，可以利用其樣本的自相關(guān)函數(shù)和樣本偏自相關(guān)函數(shù)的截尾性判定模型的階數(shù)。回總目錄回本章目錄第二十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一具體方法如下：對于每一個q,計算

….（M取為或者），考察其中滿足

或者的個數(shù)是否占M個的68.3%或者95.5%。如果

，都明顯地異于零，而

(轉(zhuǎn)下頁)回總目錄回本章目錄第二十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一….均近似于零，并且滿足上述不等式之一的

的個數(shù)達到其相應(yīng)的比例，則可以近似地判定

是步截尾，平穩(wěn)時間序列

為

。,,,回總目錄回本章目錄第二十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一

類似，我們可通過計算序列其中滿足

，考察或者是否占M個的68.3%或者95.5%。即可以近似的個數(shù)地判定是步截尾，平穩(wěn)時間序列

為

?；乜偰夸浕乇菊履夸浀诙隧?，共四十三頁，編輯于2023年，星期一

如果對于序列

和截尾，即不存在上述的

來說，均不和判定平穩(wěn)時間序列

，則可以為ARMA模型。

回總目錄回本章目錄第二十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一（2）基于F

檢驗確定階數(shù)（3）利用信息準則法定階（AIC準則和BIC準則）此外常用的方法還有：回總目錄回本章目錄第三十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一二、模型參數(shù)的估計（1）初估計

AR(p)模型參數(shù)的Yule-Walker估計特例：一階自回歸模型AR(1)：

二階自回歸模型AR(2)：

回總目錄回本章目錄第三十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一MA(q)模型參數(shù)估計

特例：一階移動平均模型MA(1)：二階移動平均模型MA(2)：

回總目錄回本章目錄第三十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一ARMA(p,q)模型的參數(shù)估計

由于模型結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，比較困難，有幾種方法可以進行。一般利用統(tǒng)計分析軟件包完成。

回總目錄回本章目錄第三十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一（2）精估計ARMA(p,q)模型參數(shù)的精估計，一般采用極大似然估計，由于模型結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，無法直接給出參數(shù)的極大似然估計，只能通過迭代方法來完成，這時，迭代初值常常利用初估計得到的值?；乜偰夸浕乇菊履夸浀谌捻?，共四十三頁，編輯于2023年，星期一

三、ARMA(p,q)序列預(yù)報

設(shè)平穩(wěn)時間序列

是一個ARMA(p,q)過程，則其最小二乘預(yù)測為：

AR(p)模型預(yù)測回總目錄回本章目錄第三十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一

ARMA(p,q)模型預(yù)測其中：回總目錄回本章目錄第三十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一

預(yù)測誤差預(yù)測誤差為：

步線性最小方差預(yù)測的方差和預(yù)測步長有關(guān),而與預(yù)測的時間原點t無關(guān)。預(yù)測步長越大，預(yù)測誤差的方差也越大，因而預(yù)測的準確度就會降低。所以,一般不能用ARMA(p,q)作為長期預(yù)測模型。回總目錄回本章目錄第三十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一

預(yù)測的置信區(qū)間

預(yù)測的95%置信區(qū)間：

回總目錄回本章目錄第三十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一例題分析設(shè)為一AR(2)序列，其中。求的自協(xié)方差函數(shù)。?例1回總目錄回本章目錄第三十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期一