初中數(shù)學(xué)人教新課標版八年級上數(shù)學(xué)全冊一教案

八年級數(shù)學(xué)上冊教案備課人：余

發(fā)輝

全等三角形11.1

教學(xué)內(nèi)容：全等三角形

1.理解全等三角形及相關(guān)概念，能夠從圖形中尋找全等三角形，探索并掌握全等三角形的性

教學(xué)質(zhì)。

目標2.在圖形變換以及實際操作的過程中發(fā)展學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直覺。

3.使學(xué)生在觀察、發(fā)現(xiàn)生活中的全等形和實際操作中獲得全等三角形的體念數(shù)學(xué)的樂趣，并

能夠利用性質(zhì)解決簡單的問題。

重點探索全等三角形的性質(zhì)

難點三角形全等的表示方法與準確找出全等三角形中的對應(yīng)元素

教學(xué)教師準備三角形模板、剪刀是否需課件備課已

準備學(xué)生準備小剪刀、兒張較硬的紙要課件另外準備

教學(xué)過程設(shè)計留白：

一、提出問題，創(chuàng)設(shè)情境（供教師個性化設(shè)

計）

AA[

」二

BCB[C]

問題：你能發(fā)現(xiàn)這兩個三角形有什么美妙的關(guān)系嗎？

形狀與大小都完全相同

要是把兩個圖形放在一起，能夠完全重合，就可以說明這兩個圖形的形狀、大

小相同.

二、動手操作，體驗全等

讓學(xué)生們把兩張紙疊在一起，用小剪刀隨意剪出一個圖形，擺在桌子上觀察

兩個圖形，體驗全等。再用同樣的方法剪出兩個?樣的銳角三角形、直角三角形、

鈍角三角形。

叫學(xué)生閱讀課本第2頁概括全等形的準確定義:能夠完全重合的兩個圖形叫

做全等形.請同學(xué)們類推得出全等三角形的概念。

三、導(dǎo)入新課

用同學(xué)們所剪的三角形進行演示：

將4ABC沿直線BC平移得aDEF（圖甲）：將4ABC沿BC翻折180°得到△

DBC（圖乙）；將aABC旋轉(zhuǎn)180°得4AED（圖丙）.

議一議：各圖中的兩個三角形全等嗎？

啟示：一個圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒有

改變，所以平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，這也是我們通過運動的方法尋求

全等的一種策略.

觀察與思考：

請同學(xué)們閱讀課本第3頁的第二段回答小黑板上的問題。

1、兩個全等三角形中，重合的頂點叫做,重合的邊叫做，

重合的角叫做。

2、如圖，2ABC和ADEF全等,如何用符號表示它們

3、在表示的過程中應(yīng)該注意什么問題？.

4、在上圖中AB的對應(yīng)邊是,AC的對應(yīng)邊是,BC的對應(yīng)邊

是,ZA的對應(yīng)角是,ZB的對應(yīng)角是,ZC的對應(yīng)角

是。

同學(xué)們自己總結(jié)全等三角形的性質(zhì)：

全等三角形的對應(yīng)邊相等；全等三角形的對應(yīng)角相等。

四、例題講解

［例1］如圖，ZXOCA絲△(??,C和B,A和D是對應(yīng)頂點，說出這兩個三角形中

相等的邊和角。

問題：aOCA名△OBD,說明這兩個三角形可以重合，思考通過怎樣變換可以使

兩三角形重合？

將△OCA翻折可以使aOCA與AOBD而合.因為C和B、A和D是對應(yīng)頂點，所

以C和B重合，A和D重合.

解題過程略

［例2］如圖，已知△ABEgZ\ACD,NADE=NAED,ZB=ZC,指出其他的對應(yīng)邊

和對應(yīng)角.

AAA

BDECBEDC

分析：通過拆分三角形找對應(yīng)邊和對應(yīng)角，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)規(guī)律(對應(yīng)角所對的

邊是對應(yīng)邊，對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊，兩條對

應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角)

注意：所寫出的對應(yīng)元素必須是兩個全等三角形中的邊與角。解答過程略

［例3］已知，AABC^ADEF,AB=5cm,BC=6cm,

AC=4cm,求aDEF的周長。(寫在小黑板反面)

D

二」

BCE卜

解：因為aABC名ZXDEF,所以

DE=AB=5cm,EF=BC=6cm,DF=AC=4cm,

所以4DEF的周長=DE+EF+DF=5+6+4=15(cm)。

五、課時小結(jié)

通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，我們了解了全等的概念，發(fā)現(xiàn)了全等三角形的性質(zhì)，探索了找

兩個全等三角形對應(yīng)元素的方法，并且利用性質(zhì)解決簡單的問題。

找對應(yīng)元素的常用方法有三種：

(-)從運動角度看

1.平移法：沿某一方向推移使兩三角形重合來找對應(yīng)元素.

2.翻轉(zhuǎn)法：找到中心線，沿中心線翻折后能相互重合，從而發(fā)現(xiàn)對應(yīng)元素.

3.旋轉(zhuǎn)法：三角形繞某一點旋轉(zhuǎn)一定角度能與另-三角形重合，從而發(fā)現(xiàn)對應(yīng)

元素.

(-)根據(jù)位置元素來推理

1.全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊；兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊.

2.全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角；兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角.

(三)根據(jù)經(jīng)驗來判斷

1.大邊對應(yīng)大邊，大角對應(yīng)大角

2.公共邊是對應(yīng)邊，公共角是對應(yīng)角

六、作業(yè)

課本習(xí)題n.1第1-4題。

附：板書設(shè)計§11.1全等三角形

…、概念

二、全等三角形的性質(zhì)

三、性質(zhì)應(yīng)用

例1:（運動角度看問題）

例2：（根據(jù)位置來推理）

例3：（性質(zhì)的應(yīng)用）

四、小結(jié)：找對應(yīng)元素的方法

運動法：翻折、旋轉(zhuǎn)、平移.

位置法：對應(yīng)用二對應(yīng)邊，對應(yīng)邊f(xié)對應(yīng)角.

經(jīng)驗法：大邊一大邊，大角一大角.公共邊是對應(yīng)邊，公共角是對應(yīng)角。

教后反思：留白：（供心得體會與反思）

授課時間：年

月一日

三角形全等的判定（一）

湖城學(xué)校楊賢

教學(xué)目標

1.三角形全等的“邊邊邊”的條件.

2.經(jīng)歷探索二角形全等條件的過程，體會利用操作、歸納獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過程.

教學(xué)重點

三角形全等的條件.

教學(xué)難點

尋求三角形全等的條件.

教學(xué)過程

I.創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

回憶前面研究過的全等三角形.

已知△ABC冬4A'B'C',找出其中相等的邊與角.

圖中相等的邊是：AB=A'B、BC=B'C'、AC=A'C.

相等的角是：NA=NA'、NB=NB'、ZC=ZCZ.

提出問題：你能畫一個三角形與它全等嗎？怎樣畫？

（可以先量出三角形的各邊長和各個角的度數(shù)，再作出個三角形使它的邊、角分別和已知的三角形

的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等.這樣作出的三角形一定與已知的三角形全等）.

這是利用了全等三角形的定義來作圖.那么是否?定需要六個條件呢？條件能否盡可能少呢？現(xiàn)在我

們就來探究這個問題.

探究1：先任意畫一個ZABC,再畫一個/A'B'C',使ZABC與/A'B，。滿足上述六個條件

中的一個或兩個，你畫出的/ABC與ZIA'B'C一定重合嗎？

n.導(dǎo)入新課

i.只給一個條件（-組對應(yīng)邊相等或一-組對應(yīng)角相等），畫出的兩個三角形?定全等嗎？

2.給出兩個條件畫三角形時，有幾種可能的情況，每種情況下作出的三角形一定全等嗎？分別按下列

條件做一做.

①三角形一內(nèi)角為30°,一條邊為3cm.

②三角形兩內(nèi)角分別為30。和50°.

③三角形兩條邊分別為4cm、6cm.

學(xué)生分組討論、探索、歸納，最后以組為單位出示結(jié)果作補充交流.

結(jié)果展示：

1.只給定一條邊時:

只給定一個角時:

②300500

6cm6an

可以發(fā)現(xiàn)按這些條件畫出的三角形都不能保證一定全等.

給出三個條件畫三角形，你能說出有幾種可能的情況嗎？

歸納：有四種可能.即：三內(nèi)角、三條邊、兩邊一內(nèi)角、兩內(nèi)有一邊.

在剛才的探索過程中，我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)三內(nèi)角不能保證三角形全等.下面我們就來逐一探索其余的三種

情況.

探究2：先任意畫出一個AABC,再畫一個AA'B'C,使A'B'=AB,A'C=AC,B'C'=BC.你

能畫出這個三角形嗎？把你畫好的B'C'剪卜,與AABC進行比較，它們?nèi)葐?？作圖方法：

1.先畫一線段B'C=BC.

2.分別以B'C'為圓心，線段AB,AC為半徑畫弧，兩弧交于點A'.

3.連接A'B，,A'C.

這反映了一個規(guī)律：

三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“SSS”.

用上面的規(guī)律可以判斷兩個三角形全等.判斷兩個三角形全等的推理過程，叫做證明三角形全等.所

以“SSS”是證明三角形全等的個依據(jù).請看例題.

［例］如圖，△ABC是一個鋼架，AB=AC,AD是連結(jié)點A與BC中點D的支架.

求證：名ZXACD.

［分析］要證aABD當△ACD,可以看這兩個二角形的三條邊是否對應(yīng)相等.

證明：因為D是BC的中點

所以BD=DC

'AB=AC

<BD=CD

在AABD和中公共邊）

所以△ABD-ZXACD<SSS).

生活實踐的有關(guān)知識：用三根木條釘成三角形框架，它的大小和形狀是固定不變的，而用四根木條釘

成的框架，它的形狀是可以改變的.三角形的這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.所以日常生活中常利用三角

形做支架.就是利用三角形的穩(wěn)定性.例如屋頂?shù)娜俗至?、大橋鋼架、索道支架?

由前面的結(jié)論還可以得到作?個角等于已知角的

方法

巳知：ZAOB

求作：NA'O'B'=ZA0B

作法：

①以0點為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA,0B于點C,D；

②畫一條射線O'A',以點0,為圓心，0C長為半徑畫弧，交0,A,于點一；

③以點。為圓心，CD長為半徑畫弧，與②中所畫弧交于D'：

④過點D'畫射線O'B',則NA'O'Bz=ZA0B

m.課時小結(jié)

本節(jié)課我們探索得到了三角形全等的條件，發(fā)現(xiàn)了證明三角形全等的一個規(guī)律SSS.并利用它可以證

明簡單的三角形全等問題.

W.布置作業(yè)

1.課本P15頁習(xí)題112中的第1,2題

教后反思:

三角形全等的判定（二）

教學(xué)目標

1.三角形全等的“邊角邊”的條件.

2.經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程，體會利用操作、歸納獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過程.

3.能運用“SAS”證明簡單的三角形全等問題.

教學(xué)重點

三角形全等的條件.

教學(xué)難點

尋求三角形全等的條件.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)提問

1.怎樣的兩個三角形是全等三角形？

2.全等三角形的性質(zhì)？

3.三角形全等的判定I的內(nèi)容是什么？

二、導(dǎo)入新課

1.?:角形全等的判定（二）

（1）我們L,經(jīng)知道三條邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，那么除此之外還有沒有其它方法可以判定兩個三

角形全等？我們來看下面的問題：

如圖2,AC、BD相交于0,AO,BO,CO,DO的長度如圖所標,ZXABO和△CDO是否能完全重合呢?

不難看出，這兩個三角形有三對元素是相等的：

AO=CO,ZA0B=ZC0D,BO=DO.

如果把△OAB繞著0點順時針方向旋轉(zhuǎn)，因為OA=OC,所以可以使0A與0C重合；又因為NAOB=Z

COD,OB=OD,所以點B與點D重合.這樣△ABO與△?（?就完全重合.

從上面的例子可以引起我們猜想：如果兩個三角形有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等，那么這兩個三%形

全等.

2.上述猜想是否正確呢？不妨作如下的實驗：

探究3：先任意畫出一個AABC,再畫一個4A，B'C,使A'B'=AB,A'C=AC,NA'=ZA（即使有

兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等）你能畫出這個三角形嗎？把你畫好的4A'B'C'剪下與AABC進行比較，它

們?nèi)葐幔?/p>

畫一個AA'B'C,使A'B'=AB,A'C=AC,NA'=ZA

作圖方法：

①畫NDAE=NA：

②在射線A，1）上截取A1Bz=AB,在射線A，E上截取A，C=AC；

③連結(jié)B'C'.

把畫好的AA'B'C'剪下后可以發(fā)現(xiàn)它能與AABC完全重合，這樣我們就仃：

3.邊角邊公理.

有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（簡稱“邊角邊”或“SAS”）

三、隨堂練習(xí)

1.填空：

（1）如圖3,已知AD/7BC,AD=CB,要用邊角邊公理證明aABC空ZXCDA,需要三個條件，這三個條件中,

已具有兩個條件，一是AD=CB（已知），二是；還需要一個條件一_（這個條件可以

證得嗎？）.

（2）如圖4,已知AB=AC,AD=AE,Z1=Z2,要用邊角邊公理證明△ABDgACE,需要滿足的三個條件

中，已具有兩個條件：-_（這個條件可以證得嗎？）.

2、已知：AB=AC、AD=AE、N1=N2（圖4）.求證：△ABDMzXACE.

四、探究：

探究4：我們知道，兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，由“兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等”

的條件能判定兩個三角形全等嗎？為什么？

學(xué)生討論，教師歸納

可通過畫圖來回答這個問題，如圖，圖中AABD與AABC滿足兩邊及其中邊的對角對應(yīng)相等，但顯然

這兩個三角形不全等

這說明有兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等

五、小結(jié)：

1.根據(jù)邊角邊公理判定兩個三角形全等，要找出兩邊及夾角對應(yīng)相等的三個條件.

2.我使結(jié)論成立所需條件，要充分利用已知條件（包括給出圖形中的隱含條件，如公共邊、公共角等），

并要善于運用學(xué)過的定義、公理、定理.

六.布置作業(yè)

L課本P15頁習(xí)題11.2中的第3,4題

教后反思:

三角形全等的條件（三）

教學(xué)目標

1,三角形全等的條件：角邊角、角角邊.

2.三角形全等條件小結(jié).

3.能運用全等三角形的條件，解決簡單的推理證明問題.

教學(xué)重點

已知兩角一邊的三角形全等探究.

教學(xué)難點

靈活運用三角形全等條件證明.

教學(xué)過程

I.提出問題，創(chuàng)設(shè)情境

1.復(fù)習(xí)：（1）三角形中已知一:個元素，包括哪幾種情況？

三個角、三個邊、兩邊一角、兩角一邊.

（2）到目前為止，可以作為判別兩三角形全等的方法有幾種？各是什么？

三種:①定義；②SSS；③SAS.

2.在三角形中，已知三個元素的四種情況中，我們研究了三種，今天我們接著探究已知兩角一邊是否

可以判斷兩三角形全等呢？

n.導(dǎo)入新課

問題1：三角形中已知兩角一邊有兒種可能？

i.兩角和它們的夾邊.

2.兩角和其中一角的對邊.

問題2：

探究5：先任意畫出一個AABC,再畫一個aA'B'C',使A'B'=AB,NA'=/A,/B'=ZB（即使有

兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等）你能畫出這個三角形嗎？把你畫好的△.?B'C'剪下與AABC進行比較，它

們?nèi)葐幔?/p>

兩個三角形中有兩個內(nèi)角分別對應(yīng)相等，它們的夾邊也相等，觀察它們是不是全等，你能得出什么規(guī)

律？

畫一個AA'B'C',使A'B'=AB,NA'=ZA,NB'=ZB；

畫法：

①畫AzB（=AB；

②在A'B'的同旁畫NDA'B'=ZA,NEB'A'=NB,A'D,B'E交于點C'

將所得三角形重疊在?起，發(fā)現(xiàn)完全重合，這說明這兩個三角形全等.

由此我們可提煉規(guī)律：

兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.

思考：在一個三角形中兩角確定，第三個角一定確定.我們是不是可以不作圖，用“ASA”推出“兩角

和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩三角形全等”呢？

探究問題4：

如圖，在aABC和ADEF中，NA=ND,ZB=ZE,BC=EF,△ABC與ADEF全等嗎？能利用角邊角條件證

明你的結(jié)論嗎？

BCEF

證明：VZA+ZB4-ZC=ZD+ZE+ZF=18015

ZA=ZD,ZB=ZE

，/A+/B=/D+/E

ZC=ZF

在AABC和ADEF中

<BC=EF

NC=NF

A△?\BC^ADEF(ASA).

這也就是說明：兩個角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）.

［例］如卜.圖，D在AB上，E在AC上，AB=AC,ZB=ZC.

求證：AD=AE.

［分析］AD和AE分別在AADC和△AEB中，所以要證AD=AE,只需證

明△ADC名ZXAEB即可.

證明：在AADC和△AEB中

乙4=/月

<AC=AB

NC=NB

所以△ADC注ZiAEB（ASA）

所以AI）=AE.

m.課時小結(jié)

至此，我們有五種判定三角形全等的方法:

i.全等二角形的定義

2.判定定理：邊邊邊（SSS）邊角邊（SAS）角邊角（ASA）角角邊（AAS）

推證兩三角形全等時，要善于觀察，尋求對應(yīng)相等的條件，從而獲得解題途徑.

IV布置作業(yè)

1.課本P15--I6頁習(xí)題11.2中的第6,11題

教后反思:

三角形全等的判定-一直角三角形全等的判定（四）

教學(xué)目標

1、經(jīng)歷探索直角三角形全等條件的過程，體會利用操作、歸納獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過程；

2、掌握直角三角形全等的條件，并能運用其解決一些實際問題；

3、在探索直角三角形全等條件及其運用的過程中，能夠進行有條理的思考并進行簡單的推理。

教學(xué)重點

運用直角三角形全等的條件解決一些實際問題。

教學(xué)難點

熟練運用直加三角形全等的條件解決一些實際問題。

教學(xué)過程

I.提出問題，復(fù)習(xí)舊知

1、如圖，RtaABC中，直角邊是、,斜邊是.

2,如圖，AB_LBE于C,DE_LBE于E,

（1）若NA=/D,AB=DE,則AABC與ADEF

（填“全等”或“不全等”），根據(jù)（用簡寫法）

（2）若NA=ND,BC=EF,貝嶼ABC與aDEF_（填

“全等”或“不全等”），根據(jù)（用簡寫法）

（3）若AB=DE,BC=EF,則△ABC與ADEF

（填“全等”或“不全等”），根據(jù)（用簡寫法）

（4）若AB=DE,BC=EF,AC=DF,贓ABCiaADEF（填“全等”或“不全等”）,廨（用

簡寫法）

n.導(dǎo)入新課

我們在前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了幾種三角形全等的判定方法，那么這節(jié)課我們來研究一種特殊的三角形全等的

判定方法——直角三角形全等的判定

由三角形全等的條件可知，對于兩個直角三角形，滿足邊?銳角對應(yīng)相等，或兩直角邊對應(yīng)相等，

這兩個直角三角形就全等「那么如果滿足斜邊和?條直角邊對應(yīng)相等，這兩個直角三角形全等嗎？

（-）探索練習(xí)：（動手操作）：已知線段a,c（a<c）和一個直角a,利用尺規(guī)作一個Rtz^ABC,使

NC=Na,AB=c,CB=a

1、按步驟作圖：w

____________________________①作/MCN=/a=90".

②在射線CM上截取線段CB=a,

③以B為圓心，C為半徑畫弧，交射線CN于點A,

a

④連結(jié)AB

2、與同桌重疊比較，是否重合？從中你發(fā)現(xiàn)了什么？

斜邊與一直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等.（HL）

（二）鞏固練習(xí)：

1、判斷題:

（1）一個銳角和這個銳角的對邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（）

（2）一個銳角和銳角相鄰的一直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（)

（3）一個銳角與一斜邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（）

（4）兩直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（）

（5）兩邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（）

（6）兩銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（）

（7）一個銳角與一邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（）

（8）一直角邊和斜邊上的高對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（）

2,如圖，ZD=ZC=90°,請你再添加一個條件，使△ABDMZXBAC,并在

添加的條件后的（）內(nèi)寫出判定全等的依據(jù)。

(1)()

(2)()

(3)()

(4)()

m.課時小結(jié)

至此，我們有六種判定三角形全等的方法：

1.全等二角形的定義

2.邊邊邊（SSS）

3.邊角邊（SAS）

4.角邊角（ASA）

5.角角邊（AAS）

6.HL（僅用在直角三角形中）

IV布置作業(yè)

1.課本P16--17頁習(xí)題11.2中的第7,8,12,13題

教后反思:

八年級數(shù)學(xué)上冊教案備課人:

余發(fā)輝

角平分線的性質(zhì)11.3

教學(xué)內(nèi)容：角平分線的性質(zhì)（一）

1.掌握角乎分線的畫法及角平分線的性質(zhì)。

教學(xué)2.在探索角的平分線的畫法和性質(zhì)中培養(yǎng)學(xué)生探究問題的興趣，增強解決問題的信心。

目標3.在利用尺規(guī)作圖的過程中，培養(yǎng)學(xué)生動手操作能力與探索精神。

重點利用尺規(guī)作已知角的平分線。

難點角的平分線性質(zhì)的應(yīng)用。

教學(xué)教師準備自制教具——平分角的儀器小黑板、折紙是否需

準備學(xué)生準備折紙、小剪刀、直尺、圓規(guī)、三角板要課件

教學(xué)過程設(shè)計留白：

一、創(chuàng)設(shè)情境復(fù)習(xí)導(dǎo)入（供教師個性化設(shè)

老師出示下列問題：計）

問題1:三角形中有哪些重要線段？你能作出這些線段嗎？

學(xué)生能由老師的引導(dǎo)認真的思考老師所出示的問題，并能找出正確的答案：

三角形中有三條重要線段，它們分別是：三角形的高，三角形的中線，三角形的

角平分線。

過三角形的頂點作這個頂點的對邊的垂線，交對邊于一點，頂點與垂足之間

的線段就是這個三角形的高。

取三角形一邊的中點，此中點與這個邊對著頂點的連線就是1區(qū)個三角形的一

條中線。

用量角器量出三角形?個角的大小，畫出這個角的平分線，：這個角的平分線

與對邊相交，這個角的頂點與對邊交點的線段就是這個三角形的角平分線。

注意：三角形的角平分線是一條線段，而一個已知角的平分線是一條射線，

這兩個概念是有區(qū)別的。

問題2:如果老師手里只有直尺和圓規(guī)，你能幫我設(shè)計一個作角的-平分線的操作方

案嗎？（學(xué)生思索）

二、嘗試活動探索新知

老師出示事先準備的自制教具——平分角的儀器，其中AB=AD,BC=DC.將點

A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條E林線AE,AE就

是角平分線.你能說明它的道理嗎？

老師引導(dǎo)分析其中的原理（運用逆向思維法分析）

欲證AC是/DAB的平分線

ZCAB=ZCAD/

△ABC^AADCz

AB=AD,BC=DC,AC=AC

并引導(dǎo)學(xué)生給出正確的證明

在AABC和4ADC中

ABC^AADC(SSS).

ZCAD=ZCAB.

即射線AC就是/DAB的平分線.

AB=AD

<BC=DC

AC^AC

老師出示問題：

通過上述探究，能否總結(jié)出尺規(guī)作已知角的平分線的?般方法

三、嘗試反饋理解新知

（一）老師出示小黑板上作已知角平分線的方法：

已知：ZAOB.

求作：NAOB的平分線.

作法：

（1）以O(shè)為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交OA、0B于M、N.

（2）分別以M、N為圓心，大于，MN的長為半徑畫弧.兩弧布/AOB內(nèi)部交

2

于點C.

（3）畫射線0C,射線0C即為所求.

1.在上面作法的第：步中，去掉“大了」MN的上”這個條件行嗎？

2

2.第二步中所作的兩弧交點一定在/AOB的內(nèi)部嗎？

學(xué)生討論后總結(jié)：

1、去掉“大于‘MN的長”這個條件，所作的兩弧可能沒仃交點，所以找

2

不到角的平分線。

2、若分別以M、N為圓心，大于」MN的長為半徑畫弧.兩弧的交點可能

2

在NAOB的內(nèi)部，也可能在NAOB的外部，而我們要找的是NAOB的內(nèi)部的交

點，否則兩弧交點與頂點連線得到的射線就不是NAOB的平分線了。

（二）如圖，將NAOB對折，再折出一個直角三角形,使第一條折痕為斜邊，然后

展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕,你能得出什么結(jié)論？

學(xué)生能由老師的引導(dǎo)LJ組內(nèi)的同學(xué)合作，進行有關(guān)的活動：

1、你與同伴用三角板檢測你們所折的折痕是否符合圖示要求.

2、按照折紙的順序畫出一個角的三條折痕，并度量所畫PD、PE是否等長？

拿出畫的較大的兩名同學(xué)的畫圖，請大家評?評。

3、你能用文字語言敘述所畫圖形的性質(zhì)嗎？

老師引導(dǎo)學(xué)生得出角的平分線的重要性質(zhì)：

角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等

如何對文字命題進行論證呢？如何對文字命題進行論證呢？

回顧三角形內(nèi)角和定理的證明，一般情況下，我們要證明文字證明題，通常

會按照以下三個步驟進行：

1、分析命題中的題設(shè)與結(jié)論，

2、根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號表示已知和求證，

3、經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。

師生共同寫好已知、求證、畫好圖形，并進行分析，然后讓學(xué)生自己完成證

明。

已知：如圖，0c平分NAOB,點P在OC上，PD，OA于點D,PE1OB于點E

求證：PD=PE

教師引導(dǎo)學(xué)生運用逆向思維法來進行分析：欲證PD=PE

U

△PD0也APE0

U

ZPD0=ZPEO,0P=0P,Z1=Z2

uu

PD10A,PE±OBOC平分/AOB

學(xué)生自己證明：???OC平分NAOB（已知）

Z1=Z2（角平分線的定義）

VPD±OA,PE±OB（已知）

ZPDO=ZPEO=90°（垂直的定義）

在△「口（□和△PEO中

p/PDO=ZPEO（已證）

-N1=Z2（已證）

OP=OP（公共邊）

APDO絲APEO（AAS）

，PD=PE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）

利用此性質(zhì)怎樣書寫推理過程？

：OC平分NAOB,點P在OC上，PD10A于點D,PE1OB于點E（已知）

；.PD=PE（角平分線上的點到角兩邊的距離相等。）

注意：應(yīng)用角平分線的性質(zhì)，就可以省去證明三角形全等的步驟，使問題

簡單化.所以若遇到有關(guān)角平分線，又要證線段相等的問題，我們可以直接利

用性質(zhì)解決問題.

四、解析、應(yīng)用與拓展

問題1：任意畫一個NAOB,作它的平分線。

問題2：/口，嫄I,BD是NABC的平分線，AB=BC,點P在BD上，PM_LAD,PN

J_CD.求證：PM=PN

分析：要證PM=PN,可以

證明點P在NADC的平分

線上，也就是要證4ABD

絲ACBDo

五、小結(jié)反思

本節(jié)課中我們利用已學(xué)過的三角形全等的知識，探究得到了角平分線儀器

的操作原理，由此歸納出角的平分線的尺規(guī)畫法，并探究了角平分線的性質(zhì)。

五、布置作業(yè)

教材習(xí)題11.3第1、2題。

附班：板書設(shè)計§II.3角的平分線的性質(zhì)（1）

一、情境引入

二、自主探究

1、角的平分線的畫法

2、角的平分線的性質(zhì)

3、角的平分線性質(zhì)的應(yīng)用

三、總結(jié)提高

1、小結(jié)

2、鞏固練習(xí)

教后反思:

留白：（供心得體會與反思）

授課時間：年月日

八年級數(shù)學(xué)上冊教案備課人：

余發(fā)輝

角平分線的性質(zhì)11.3

教學(xué)內(nèi)容：角平分線的性質(zhì)（二）

1.角的平分線的性質(zhì)

教學(xué)2.會敘述角的平分線的性質(zhì)及“到角兩邊距離相等的點在角的平分線上”.

目標能應(yīng)用這兩個性質(zhì)解決一些簡單的實際問題.

3.通過折紙、畫圖、文字一符號的翻譯活動，培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想、探索、概括歸納的能力，激

發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

重點角平分線的性質(zhì)及其應(yīng)用.

難點靈活應(yīng)用兩個性質(zhì)解決問題.

教學(xué)教師準備小黑板、折紙是否需

準備學(xué)生準備折紙、小剪刀要課件

教學(xué)過程設(shè)計留白：

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入（供教師個性化設(shè)

（見小黑板反面）如圖，^ABC的角平分線BM,CN相交于點P。計）

求證：點P至IJ三邊AB、BC、CA的距離相等。

證明：過點P作PD、PE、PF分別垂直于AB、BC、CA,垂足為D、E、F

；BM是aABC的角平分線，點P在BM上

/.PD=PE

（在角平分線上的點到角的兩邊的距離相等）

同理PE=PF.

二PD=PE=PF.

即點P到邊AB、BC、CA的距離相等

問題1：點P是否在NA的平分線上呢？也就是說角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相

等的點是否在角的平分線上呢？說明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？

二、嘗試活動探索新知

教師引導(dǎo)學(xué)生進行解決，利用全等三角形證明這個命題正確。可讓學(xué)生進行如下

操作：先畫圖，并寫出已知、求證，再加以證明。

已知：如圖,QD_LOA,QE±OB,

點D、E為垂足，QD=QE.

求證：點Q在/AOB的平分線上.

證明：：QDLOA,QE_L03（已知）,

ZQDO=ZQEO=9d°（垂直的

定義）

在Rt/^QDO和RtAQEO中

-QO=QO（公共邊）

:QD=QE

Rt/^QDO^Rt/\QEO（HL）

:.ZQOD=NQOE

...點Q在/AOB的平分線上

由此可得出：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在

角的平分線上。

利用此性質(zhì)怎樣書寫推理過程？

VQD±OA,QE±OB,QD=QE.

二點Q在NAOB的平分線上.

問題1得以解決：點P在/A的平分線上;

三角形的三條角平分線相交于一點，

并且這點到三邊的距離相等。

三、應(yīng)用新知解決問題

例1（見小黑板）如圖所示，要在S區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路、鐵路距離

相等，離公路與鐵路交叉處500m,這個集貿(mào)市場應(yīng)建在何處（在圖匕標出它的

位置，比例尺為1:20000）?

教師分析：應(yīng)該運用第二個性質(zhì)，這個集貿(mào)市場應(yīng)該建在公路與鐵路形成的角的

平分線上，并且要求離角的頂點500m處，在紙上畫圖時，我們經(jīng)常以厘米為單

位，而題中距離又是以米為單位，這就涉及一個單位換算問題，1米=100厘米，

比例尺為1:20000,就是1厘米表示200米。

學(xué)生自己解決。

解：500m=50000cm

例2如圖，在AABC中，D是BC的中點，DE±AB,DF1AC,垂足分別是

E,F,且BE=CF。

求證：AD是aABC的角平分線。

證明：YD是BC的中點.*.BD=CD

VDE_LAB,DF±AC,垂足分別是E,F

:.NBED=ZCFD=90"

在RtABED和RtACFD中

rBE=CF

iBD=CD

:.RIBBEDgRtACFD(HL)

DE=DF(全等三角形對應(yīng)邊相等)

■:DE1AB,DF±AC,垂足分另U是E,F

AAD是aABC的角平分線。

四、總結(jié)提高

1、角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

用數(shù)學(xué)語言表示為：

,:QD_LOA,QE_LOB,點Q在NAOB的平分線上

QD=QE

2、角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的

平分線上。

用數(shù)學(xué)語言表示為：

VQD±OA,QE1OB,QD=QE.

...點Q在/AOB的平分線上.

五、布置作業(yè)

1、教材P22中的第3、4題.

2、同學(xué)們發(fā)現(xiàn)“角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等”與“角的內(nèi)部到角

的兩邊的距離相等的點在角的平分線上''這兩個命題的題設(shè)與結(jié)論有什么關(guān)系？

以前學(xué)過這樣的一對命題嗎？

附：板書設(shè)計§11.3角的平分線的性質(zhì)（2）

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

二、嘗試活動探索新知

三、應(yīng)用新知解決問題

四、總結(jié)提高

教后反思：

留白：（供心得體會與反思）

授課時間：年

月日

§12.1軸對稱（一）

教學(xué)目標

1.在生活實例中認識軸對稱圖.2.分析軸對稱圖形，理解軸對稱的概念.

教學(xué)重點:軸對稱圖形的概念.

教學(xué)難點:能夠識別軸對稱圖形并找出它的對稱軸.

教師準備:

學(xué)生準備:

教學(xué)過程（師生活動）個性設(shè)計

I.創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

我們生活在一個充滿對稱的世界中，許多建筑物都設(shè)計成對稱形，藝術(shù)作品的創(chuàng)作往往也

從對稱角度考慮，自然界的許多動植物也按對稱形生長，中國的方塊字中些也具有對稱性……

對稱給我們帶來多少美的感受！初步掌握對稱的奧妙，不僅可以幫助我們發(fā)現(xiàn)一些圖形的特征,

還可以使我們感受到自然界的美與和諧.

n.導(dǎo)入新課

出示課本的圖片，觀察它們都有些什么共同特征.

這些圖形都是對稱的.這些圖形從中間分開后，左右兩部分能夠完全重合.

小結(jié)：對稱現(xiàn)象無處不在，從自然景觀到分子結(jié)構(gòu)，從建筑物到藝術(shù)作品，甚至日常生活

用品，人們都可以找到對稱的例子.現(xiàn)在同學(xué)們就從我們生活周圍的事物中來找一些具有對稱

特征的例子.

我們的身體，還有飛機、汽車、楓葉等都是對稱的.

如課本的圖12.1.1,把一張紙對折，剪出一個圖案（折痕處不要完全剪斷），再打開這

張對折的紙，就剪出了美麗的窗花.觀察得到的窗花和圖12.1.1中的圖形，你能發(fā)現(xiàn)它們有

什么共同的特點嗎？

窗花可以沿折痕對折，使折痕兩旁的部分完全重合.不僅窗花可以沿一條直線對折，使直

線兩旁重合，上面圖12.I.I中的圖形也可以沿?條直線對折，使直線兩旁的部分重合.

結(jié)論：如果一個圖形沿一直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對

稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.這時，我們也說這個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱.

取一張質(zhì)地較硬的紙，將紙對折，并用小刀在紙的中央隨意刻出一個圖案，將紙打開后鋪

平，你得到兩個成軸對稱的圖案了嗎？與同伴進行交流.

結(jié)論：位于折痕兩側(cè)的圖案是對稱的，它們可以互相重合.

由此可以得到軸對稱圖形的特征：?個圖形沿一條直線折疊后，折痕兩側(cè)的圖形完全重合.

接下來我們來探討一個有關(guān)對稱軸的問題.有些軸對稱圖形的對稱軸只有一條，但有的軸

對稱圖形的對稱軸卻不止?條，有的軸對稱圖形的對稱軸甚至有無數(shù)條。

下列各圖，你能找出它們的對稱軸嗎？

（1）（2）（3）（4）（5）

結(jié)果：圖（1）有四條對稱軸；圖（2）有四條對稱軸：圖（3）有無數(shù)條對稱軸；圖（4）

有兩條對稱軸；圖（5）有七條對稱軸.

展示掛圖，大家想一想，你發(fā)現(xiàn)了什么？

A

像這樣，把個圖形沿著某條直線折；

疊，如果它能夠。另一個圖形重介，那么就,

說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應(yīng)點，叫做對稱

點.

m.隨堂練習(xí)

IV.課時小結(jié)

這節(jié)課我們主要認識了軸對稱圖形，了解了軸對稱圖形及有關(guān)概念，進步探討了軸對稱

的特點，區(qū)分了軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱.

v.作業(yè)

(―)課本習(xí)題12.1—1、2,6、7、8題.

VI.板書設(shè)計

VB.教學(xué)反思

§12.1軸對稱(二)

教學(xué)目標

1.了解兩個圖形成軸對稱性的性質(zhì)，了解軸對稱圖形的性質(zhì).

2.探究線段垂直平分線的性質(zhì).

3.經(jīng)歷探索軸對稱圖形性質(zhì)的過程，進一步體驗軸對稱的特點，發(fā)展空間觀察.

教學(xué)重點:1.軸對稱的性質(zhì).2.線段垂直平分線的性質(zhì).

教學(xué)難點:體驗軸對稱的特征.

教師準備：

學(xué)生準備：

教學(xué)過程（師生活動）______________________________個性設(shè)計

I.創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

上節(jié)課我們共同探討了軸對稱圖形，知道現(xiàn)實生活中由于有軸對稱圖形，而

使得世界非常美麗.那么大家想一想，什么樣的圖形是軸對稱圖形呢？----------

今天繼續(xù)來研究軸對稱的性質(zhì).

n.導(dǎo)入新課

觀看投影并思考.

如圖Z\ABC和AA'B'C關(guān)于直線MN對稱,

點A'、B'、C'分別是點A、B、C的對稱點，線

段AA'、BB'、CC'與直線MN有什么關(guān)系？

圖中A、A'是對稱點，AA'與MN垂直，BB'

和CC'也與MN垂直.

AA'、BB'和CC'與MN除了垂直以外還有什

么關(guān)系嗎？

△ABC與AA'B'C關(guān)于直線MN對稱，點

A'、B'、C'分別是點A、B、C的對稱點，設(shè)AA'

交對稱軸MN于點P川以ABC利4A'B'C沿MN對折后，點A與A'重合,

于是有AP=A'P,ZMPA=ZMPA;=90°.所以AA'、BB'和CC'與MN除

了垂直以外，MN還經(jīng)過線段AA'、BB'和CC'的中點.

對稱軸所在直線經(jīng)過對稱點所連線段的中點，并且垂直于這條線段.我們把經(jīng)

過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.

自己動手畫一個軸對稱圖形，并找出兩對稱點，看一下對稱軸和兩對稱點連線

的關(guān)系.

我們可以看出軸對稱圖形與兩個圖形關(guān)于直線對稱一樣，對稱軸所在直線經(jīng)

過對稱點所連線段的中點，并且垂直于這條線段.

歸納圖形軸對稱的性質(zhì)：

如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對稱點所連線段的

垂直平分線.類似地，軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對稱點所連線段的垂直平

分線.

卜面我們來探究線段垂直平分線的性質(zhì).

[探究1]

如下圖.木條與釘在一起，垂直平分…是上的

LABLAB,Pi，P2.P”L

點，分別量一量點Pi，P2,P3,…到A與B的距離，你有什么發(fā)現(xiàn)？

1.用平面圖將上述問題進行轉(zhuǎn)化，先作出線段AB,過AB中點作AB的垂

直平分線L,在L上取Pi、P2、P3…，連結(jié)AP|、AP2、BPi、BP2、CP1、CP2…

2.作好圖后，用直尺量出AP|、AP?、BP】、BP2、CP卜CP?…討論發(fā)現(xiàn)什么

樣的規(guī)律.

探究結(jié)果：

線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.即AP產(chǎn)BPi，

AP2=BP2,—

證明.

證法一：利用判定兩個三角形全等.

如下圖，在aAPC和aBPC中，

PC=PC

<ZPCA=ZPCB=RtN

AC=BC

=>AAPC^ABPC=>PA=PB.

證法二：利用軸對稱性質(zhì).

由于點C是線段AB的中點,將線段AB沿直線L對折,

線段PA與PB是重合的，因此它們也是相等的.

帶著探究1的結(jié)論我們來看下面的問題.

［探究2］

如右圖.用一根木棒和一根彈性均勻的橡皮筋，做一個

簡易的“弓”，“箭”通過木棒中央的孔射出