第四章受彎構(gòu)件三

第四章受彎構(gòu)件§4-1截面的幾何性質(zhì)一、靜矩和形心形心坐標(biāo)：靜矩和形心坐標(biāo)之間的關(guān)系：例：計算由拋物線、y軸和z軸所圍成的平面圖形對y軸和z軸的靜矩，并確定圖形的形心坐標(biāo)。解：例：確定圖圖示圖形形形心C的位位置。解：例：求圖示示陰影部分分的面積對對y軸的靜靜矩。解：二、慣性性矩、極慣慣性矩和慣慣性積1、慣性矩矩工程中常把把慣性矩表表示為平面面圖形的面面積與某一一長度平方方的乘積，，即分別稱為平平面圖形對對y軸和z軸的慣性半半徑2、極慣性性矩例：求圖示示矩形對對對稱軸y、、z的慣性性矩。解：例：求圖示示圓平面對對y、z軸軸的慣性矩矩。3、慣性積積如果所選的的正交坐標(biāo)標(biāo)軸中，有有一個坐標(biāo)標(biāo)軸是對稱稱軸，則平平面圖形對對該對坐標(biāo)標(biāo)軸的慣性性積必等于于零。幾個主要定定義:(1)主慣性軸當(dāng)平面圖形形對某一對對正交坐標(biāo)標(biāo)軸y0、z0的慣性積Iy0z0=0時，則則坐標(biāo)軸y0、z0稱為主慣性性軸。因此，具有有一個或兩兩個對稱軸軸的正交坐坐標(biāo)軸一定定是平面圖圖形的主慣慣性軸。(2)主慣性矩平面圖形對對任一主慣慣性軸的慣慣性矩稱為為主慣性矩矩。(3)形心主慣性性軸過形心的主主慣性軸稱稱為形心主主慣性軸。?？梢宰C明:任意平面面圖形必定定存在一對對相互垂直直的形心主主慣性軸。。(4)形心主慣性性矩平面圖形對對任一形心心主慣性軸軸的慣性矩矩稱為形心心主慣性矩矩。三、平行行移軸公式式平行移軸公公式：§4-2-1平平面彎曲的的概念當(dāng)作用在桿桿件上的載荷和支反反力都垂直直于桿件軸軸線時，桿件的的軸線因變變形由直線線變成了曲曲線，這種種變形稱為為彎曲變形。工程中以彎彎曲變形為為主的桿件件稱為梁§4-2受彎構(gòu)件的的內(nèi)力縱向?qū)ΨQ面面：梁的軸線線與橫截面面的對稱軸軸所構(gòu)構(gòu)成成的平面CL7TU1平面彎曲：當(dāng)作用在在梁上的載載荷和支反反力均位于于縱向?qū)ΨQ稱面內(nèi)時，，梁的軸線線由直線彎彎成一條位位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的的曲線?！?-2-2受受彎構(gòu)件的的內(nèi)力及計計算一、桿件的的簡化用梁的軸線線來代替實實際的梁折桿或曲桿桿用中心線線代替二、載荷的的分類1.集中中載荷2.分布布載荷3.集中中力偶三、支座的的分類根據(jù)支座對對梁在載荷荷平面內(nèi)的的約束情況況，一般可可以簡化為為三種基本本形式：1.固定定鉸支座2.可動動鉸支座3.固定定端支座CL7TU2四、靜定梁梁的基本形形式1.簡支梁梁2.外伸梁梁3.懸臂梁梁CL7TU3五剪力力和彎矩的的符號規(guī)定定CL7TU4剪力Q的符符號規(guī)定：：彎矩M的符符號規(guī)定：：CL7TU5左上右下為正正上壓下拉(上凹下凸凸)為正CL7TU6例：求圖示梁梁1-1、2-2、3-3、4-4截面上的剪力和彎矩。?！?-3剪剪力圖和彎彎矩圖4-3-1利利用剪力方程程和彎矩方程程作梁的內(nèi)力力圖一、剪力方程程和彎矩方程程二、剪力和彎彎矩作圖規(guī)定定1、剪力作圖圖規(guī)定：上正正下負(fù)2、彎矩作圖圖規(guī)定：畫在在受拉側(cè)（上上負(fù)下正）三、用截面法法求指定截面面內(nèi)力先計算左截面面的內(nèi)力，可可取截面1以以左隔離體進進行分析。PPPP1.5aMZ1NZ1QZ1MU1NU1QU12Pa計算右截面的的內(nèi)力,也可可取截面1以以左隔離體進進行分析。在在這個隔離體體上有集中力力矩2Pa，三個未知力為為：P2Pa1a1.5a1.5aP計算如圖所示示結(jié)構(gòu)截面1的內(nèi)力力PP1.5a根據(jù)靜力平衡衡條件求截面面未知力：aM2N2Q2aP1.5a1.5a2PaPPP123(a)PP1.5a(d)1.5a22PaPN2M2Q2N3PaPQ3M3現(xiàn)取截面2左邊的隔隔離體進行分分析，根據(jù)三三個平衡條件件就可得出截截面2上上的三個未知知力：此時應(yīng)取截面面3以上上的隔離體進進行分析比較較簡單。計算截面2的內(nèi)力也可取截面2右邊隔隔離體計算計算截面3的內(nèi)力4-3-1、荷載、內(nèi)力力之間的關(guān)系系（平衡條件的的幾種表達方方式）q(x)d

xQ

Q+d

Q

MM+d

M（1）微分關(guān)關(guān)系qd

x（2）增量關(guān)關(guān)系Q

Q+

Q

MM+

Md

xPm（3）積分關(guān)關(guān)系q(x)QA

QB

MAMB由dQ=–q·dx由dM=Q·dx水平桿件下側(cè)側(cè)受拉為正；豎向桿件右側(cè)側(cè)受拉為正。載荷集度、剪剪力和彎矩的的微分關(guān)系:幾種典型彎矩矩圖和剪力圖圖l/2l/2ml/2l/2Plq1、集中荷載載作用點M圖有一夾角角，荷載向下下夾角亦向下下；Q圖有一突突變，荷載向向下突變亦向向下。2、集中力矩矩作用點M圖有一突變變，力矩為順順時針向下突突變；Q圖沒有變變化。3、均布荷載載作用段M圖為拋物線線，荷載向下下曲線亦向下下凸；Q圖為斜直直線，荷載向向下直線由左左向右下斜§4-3-2分段疊加加法作彎矩圖圖MAMBqM+qPABqMBNAYAYBNBMAMAMBqMBMAMMMBMAMAMBMMM分段疊加法的的理論依據(jù)：：假定：在外荷載作作用下，結(jié)構(gòu)構(gòu)構(gòu)件材料均均處于線彈性性階段。ABO圖中：OA段段即為線彈性性階段AB段為非線線性彈性階段段3m3m4kN4kN·m4kN·m4kN·m2kN·m4kN·m6kN·m3m3m8kN·m2kN/m4kN·m2kN·m4kN·m4kN·m6kN·m4kN·m2kN·m（1）集中荷荷載作用下（2）集中力力偶作用下（3）疊加得得彎矩圖（1）懸臂段段分布荷載作作用下（2）跨中集集中力偶作用用下（3）疊加得得彎矩圖分段疊加法作作彎矩圖的方方法：（1）選定外外力的不連續(xù)續(xù)點（集中力力作用點、集集中力偶作用用點、分布荷荷載的始點和和終點）為控控制截面，首首先計算控制制截面的彎矩矩值；（2）分段求求作彎矩圖。。當(dāng)控制截面面間無荷載時時，彎矩圖為為連接控制截截面彎矩值的的直線；當(dāng)控控制截面間存存在荷載時，，彎矩圖應(yīng)在在控制截面彎彎矩值作出的的直線上在疊疊加該段簡支支梁作用荷載載時產(chǎn)生的彎彎矩值。1m1m2m2m1m1mq=4kN/mABCP=8kNm=16kN.mDEFG例：利用疊加加法求作圖示示梁結(jié)構(gòu)的內(nèi)內(nèi)力圖。[分析]該梁為簡支梁梁，彎矩控制制截面為：C、D、F、、G疊加法求作彎彎矩圖的關(guān)鍵鍵是計算控制制截面位置的的彎矩值解：（1）先計算算支座反力kNkN（2）求控制制截面彎矩值值取AC部分為隔離體體，可計算得得：取GB部分為隔離體體，可計算得得：kNkN1m1m2m2m1m1mq=4kN/mABCP=8kNm=16kN.mDEFGABCDEFGABCDEFG17AC1713P=8kNADm=16kN.mGB4267GB782315308M圖（kN.m）1797+_Q圖（kN）掌握：表6-1內(nèi)力圖圖繪制的規(guī)律律性總結(jié)Pmq=常數(shù)q=0無外力梁段dFs（x）dx=q(x)=0dM（x）dx=Fs(x),斜直線Q>0；Q<0梁上外力情況剪力圖（Q圖）彎矩圖（M圖）dFs（x）dx=q＜0dFs（x）dx=q＞0d2M（x）dx2=q(x)=const,拋物線q>0q<0Q(x)=0處，M取極值P力作用處Fs有突變，突變值為PPP力作用處M會有轉(zhuǎn)折m作用處Fs無變化m作用處，M突變，突變量為mm靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力力[例]外伸梁如圖所所示，已知q=5kN/m，P=15kN，試試畫出該梁的的內(nèi)力圖。YDYB2m2m2mDBCAPq10kN5kN10kN（-）（-）（+）Q圖M圖RB=(15*2+5*2*5)/4=20kNRD=(15*2-5*2*1)/4=5kN10kN·m10kN·m靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力力§4-4梁梁的應(yīng)力與與強度計算從三方面考慮慮：1、變形幾何何關(guān)系用較易變形的的材料制成的的矩形截面等等直梁作純彎彎曲試驗:變形幾何關(guān)系系物理關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系一、梁的正應(yīng)應(yīng)力CL8TU3觀察到以下變變形現(xiàn)象:(1)aa、、bb彎成弧弧線，aa縮縮短，bb伸伸長(2)mm、、nn變形后后仍保持為直直線，且仍與與變?yōu)榛』【€的aa，，bb垂直(3)矩形截截面的寬度變變形后上寬下下窄梁在純彎曲時時的平面假設(shè)：梁的各個橫截截面在變形后后仍保持為平平面，并仍垂垂直于變形后后的軸線，只只是橫截面繞繞某一軸旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)了一個角度度。再作單向受力力假設(shè)：假設(shè)設(shè)各縱向纖維維之間互不擠擠壓。于是各各縱向纖維均均處于單向受受拉或受壓的的狀態(tài)。推論：梁在彎曲變形形時，上面部部分縱向纖維維縮短，下面面部分縱向纖纖維伸長，必必有一層縱向向纖維既不伸伸長也不縮短短,保持原來來的長度，這這一縱向纖維維層稱為中性層。中性層與橫截截面的交線稱稱為中性軸中性層中性軸中性層CL8TU3-1CL8TU3-22、物理關(guān)系系3、靜力學(xué)關(guān)系系中性軸過截面面形心中性層的曲率率公式：正應(yīng)力計算公公式：橫截面上的最最大正應(yīng)力：CL8TU4當(dāng)中性軸是橫橫截面的對稱稱軸時：Wz稱為抗抗彎截面模量量CL8TU5CL8TU6§4.4正應(yīng)力強度計計算上式是在平面假設(shè)和單向受力假設(shè)設(shè)的基礎(chǔ)上推導(dǎo)導(dǎo)的，實驗證證明在純彎曲曲情況下這是是正確的。對于橫力彎曲曲，由于剪力力的存在，橫橫截面產(chǎn)生剪剪切變形，使使橫截面發(fā)生生翹曲，不再再保持為平面面。一、梁的正應(yīng)應(yīng)力強度計算算彈性力學(xué)精確確分析結(jié)果指指出：當(dāng)梁的的跨度大于梁梁的橫截面高高度5倍(即即l>5h)時，剪應(yīng)力力和擠壓應(yīng)力力對彎曲正應(yīng)應(yīng)力的影響甚甚小，可以忽忽略不計。因因此由純彎曲曲梁導(dǎo)出的正正應(yīng)力計算公公式，仍可以以應(yīng)用于橫力力彎曲的梁中中。二、梁的正應(yīng)應(yīng)力強度條件件利用上式可以以進行三方面面的強度計算算：①已知外力、、截面形狀尺尺寸、許用應(yīng)應(yīng)力，校核梁梁的強度度②已知外力、、截面形狀、、許用應(yīng)力，，設(shè)計梁的截截面尺寸寸③已知截面形形狀尺寸、許許用應(yīng)力，求求許可載荷例：兩矩形截截面梁，尺寸寸和材料的許許用應(yīng)力均相相等，但放置置如圖(a)、(b)。。按彎曲正應(yīng)應(yīng)力強度條件件確定兩者許許可載荷之比比P1／P2＝？CL8TU7解：§4-4-2彎曲剪應(yīng)應(yīng)力和強度校校核一、矩形截面面梁的剪應(yīng)力力CL8TU16二、工字形截截面梁的剪應(yīng)應(yīng)力腹板CL8TU17翼緣在腹板上：在翼緣上，有有平行于Q