2023-2024新課標(biāo)卷極坐標(biāo)與參數(shù)方程選做題

2023-2023新課標(biāo)卷極坐標(biāo)與參數(shù)方程選做題【試題】1．[2023新課標(biāo)3卷理科]（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線(xiàn)l2的參數(shù)方程為．設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P，當(dāng)k變化時(shí)，P的軌跡為曲線(xiàn)C．（1）寫(xiě)出C的普通方程；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：ρ(cosθ+sinθ)-=0，M為l3與C的交點(diǎn)，求M的極徑．2．[2023年新課標(biāo)1卷理科]（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線(xiàn)l的參數(shù)方程為.（1）若a=-1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為，求a.3．[2023新課標(biāo)2卷理科]（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為．（1）M為曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線(xiàn)段OM上，且滿(mǎn)足,求點(diǎn)P的軌跡的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，點(diǎn)B在曲線(xiàn)上，求面積的最大值．4．【2023新課標(biāo)2卷理科】（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為（x+6）2+y2=25.（Ⅰ）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）直線(xiàn)l的參數(shù)方程是QUOTE（t為參數(shù)），l與C交于A，B兩點(diǎn)，∣AB∣=QUOTE10，求l的斜率.5．【2023新課標(biāo)1卷理科】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為QUOTE（t為參數(shù)，a＞0）.在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C2：ρ=4cosθ.（Ⅰ）說(shuō)明C1是哪種曲線(xiàn)，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）直線(xiàn)C3的極坐標(biāo)方程為θ=α0，其中α0滿(mǎn)足tanα0=2，若曲線(xiàn)C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a.6．【2023年新課標(biāo)3卷理科】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）寫(xiě)出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q在上，求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo).7．2023年新課標(biāo)1卷文科在直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)，圓，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（Ⅰ）求的極坐標(biāo)方程.（Ⅱ）若直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，設(shè)的交點(diǎn)為，求的面積.8．2023年新課標(biāo)2卷理科在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)（為參數(shù)，），其中，在以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)，曲線(xiàn)．（Ⅰ）．求與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（Ⅱ）．若與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，求的最大值．9．2023年新課標(biāo)1卷理科已知曲線(xiàn)，直線(xiàn)：（為參數(shù)）.（=1\*ROMANI）寫(xiě)出曲線(xiàn)的參數(shù)方程，直線(xiàn)的普通方程；（=2\*ROMANII）過(guò)曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)作與夾角為的直線(xiàn)，交于點(diǎn)，的最大值與最小值．10．2023年新課標(biāo)2卷理科在直角坐標(biāo)系xoy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為，.（1）求C的參數(shù)方程；（2）設(shè)點(diǎn)D在C上，C在D處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，根據(jù)（1）中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標(biāo).2023-2023新課標(biāo)卷極坐標(biāo)與參數(shù)方程選做題【參考答案】1．[2023新課標(biāo)3卷理科]（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線(xiàn)l2的參數(shù)方程為．設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P，當(dāng)k變化時(shí)，P的軌跡為曲線(xiàn)C．（1）寫(xiě)出C的普通方程；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：ρ(cosθ+sinθ)-=0，M為l3與C的交點(diǎn)，求M的極徑．【來(lái)源】2023年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（全國(guó)卷3正式版）【答案】（1）C的普通方程為.（2）與C的交點(diǎn)M的極徑為.【解析】（1）消去參數(shù)t得l1的普通方程；消去參數(shù)m得l2的普通方程設(shè)P（x,y）,由題設(shè)得，消去k得.所以C的普通方程為（2）C的極坐標(biāo)方程為聯(lián)立得.故，從而代入得，所以交點(diǎn)M的極徑為.2．[2023年新課標(biāo)1卷理科]（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線(xiàn)l的參數(shù)方程為.（1）若a=-1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為，求a.【來(lái)源】2023年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（全國(guó)卷1正式版）【答案】（1）或.（2）或.【解析】（1）曲線(xiàn)的普通方程為.當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的普通方程為.由解得或.從而與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，.（2）直線(xiàn)的普通方程為，故上的點(diǎn)到的距離為.當(dāng)時(shí)，的最大值為.由題設(shè)得，所以；當(dāng)時(shí)，的最大值為.由題設(shè)得，所以.綜上，或.3．[2023新課標(biāo)2卷理科]（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為．（1）M為曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線(xiàn)段OM上，且滿(mǎn)足,求點(diǎn)P的軌跡的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，點(diǎn)B在曲線(xiàn)上，求面積的最大值．【來(lái)源】2023年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（全國(guó)卷2正式版）【答案】⑴的直角坐標(biāo)方程為⑵△OAB面積的最大值為【解析】（1）設(shè)P的極坐標(biāo)為，M的極坐標(biāo)為，由題設(shè)知由得的極坐標(biāo)方程因此的直角坐標(biāo)方程為（2）設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為,由題設(shè)知,于是△OAB面積當(dāng)時(shí)，S取得最大值所以△OAB面積的最大值為4．2023新課標(biāo)2卷理科在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為（x+6）2+y2=25.（Ⅰ）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）直線(xiàn)l的參數(shù)方程是QUOTE（t為參數(shù)），l與C交于A，B兩點(diǎn)，∣AB∣=QUOTE10，求l的斜率.【來(lái)源】2023年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)2卷精編版）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）利用，可得C的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）先將直線(xiàn)的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程，再利用弦長(zhǎng)公式可得的斜率．試題解析：（Ⅰ）由可得圓的極坐標(biāo)方程（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的極坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.設(shè)所對(duì)應(yīng)的極徑分別為將的極坐標(biāo)方程代入的極坐標(biāo)方程得于是由得，所以的斜率為或.【考點(diǎn)】圓的極坐標(biāo)方程與普通方程互化，直線(xiàn)的參數(shù)方程，弦長(zhǎng)公式【名師點(diǎn)睛】極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化時(shí)注意：在將點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時(shí)，一定要注意點(diǎn)所在的象限和極角的范圍，否則點(diǎn)的極坐標(biāo)將不唯一；在將曲線(xiàn)的方程進(jìn)行互化時(shí)，一定要注意變量的范圍，注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性.5．2023新課標(biāo)1卷理科在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為QUOTE（t為參數(shù)，a＞0）.在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C2：ρ=4cosθ.（Ⅰ）說(shuō)明C1是哪種曲線(xiàn)，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）直線(xiàn)C3的極坐標(biāo)方程為θ=α0，其中α0滿(mǎn)足tanα0=2，若曲線(xiàn)C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a.【來(lái)源】2023年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)1卷精編版）【答案】（Ⅰ）圓，；（Ⅱ）1【解析】試題分析：（Ⅰ）把化為直角坐標(biāo)方程，再化為極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）聯(lián)立極坐標(biāo)方程進(jìn)行求解.試題解析：解：（Ⅰ）消去參數(shù)得到的普通方程.是以為圓心，為半徑的圓.將代入的普通方程中，得到的極坐標(biāo)方程為.（Ⅱ）曲線(xiàn)的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組若，由方程組得，由已知，可得，從而，解得（舍去），.時(shí)，極點(diǎn)也為的公共點(diǎn)，在上.所以.【考點(diǎn)】參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化及應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】“互化思想”是解決極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程問(wèn)題的重要思想,解題時(shí)應(yīng)熟記極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的互化公式及應(yīng)用.6．2023年新課標(biāo)3卷理科在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）寫(xiě)出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q在上，求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo).【來(lái)源】2023年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)3卷精編版）【答案】（Ⅰ）的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為；（Ⅱ）．【解析】試題分析：（Ⅰ）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系中的平方關(guān)系化曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為普通方程，利用公式與將曲線(xiàn)C2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）利用參數(shù)方程表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式建立的三角函數(shù)表達(dá)式，最后求出最值與相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)即可．試題解析：（Ⅰ）的普通方程為.的直角坐標(biāo)方程為.（Ⅱ）由題意，可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.因?yàn)槭侵本€(xiàn)，所以的最小值即為到的距離的最小值，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，此時(shí)的直角坐標(biāo)為.【考點(diǎn)】橢圓的參數(shù)方程，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程．【技巧點(diǎn)撥】一般地，涉及橢圓上的點(diǎn)的最值問(wèn)題、定值問(wèn)題、軌跡問(wèn)題等，當(dāng)直接處理不好下手時(shí)，可考慮利用橢圓的參數(shù)方程進(jìn)行處理，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，將其轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題進(jìn)行求解．7．2023年新課標(biāo)1卷文科在直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)，圓，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（Ⅰ）求的極坐標(biāo)方程.（Ⅱ）若直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，設(shè)的交點(diǎn)為，求的面積.【來(lái)源】2023年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)Ⅰ帶解析）【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）【解析】試題分析：（Ⅰ）用直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)互化公式即可求得，的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）將將代入即可求出|MN|，利用三角形面積公式即可求出的面積.試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?，∴的極坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)方程為.……5分（Ⅱ）將代入，得，解得=，=，|MN|=－=，因?yàn)榈陌霃綖?，則的面積=.考點(diǎn):直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)互化；直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系8．2023年新課標(biāo)2卷理科在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)（為參數(shù)，），其中，在以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)，曲線(xiàn)．（Ⅰ）．求與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（Ⅱ）．若與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，求的最大值．【來(lái)源】2023年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)Ⅱ帶解析）【答案】（Ⅰ）和；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為，曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為．聯(lián)立解得或所以與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為和．（Ⅱ）曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，其中．因此得到極坐標(biāo)為，的極坐標(biāo)為．所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為．考點(diǎn)：1、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化；2、三角函數(shù)的最大值．9．2023年新課標(biāo)1卷理科已知曲線(xiàn)，直線(xiàn)：（為參數(shù)）.（=1\*ROMANI）寫(xiě)出曲線(xiàn)的參數(shù)方程，直線(xiàn)的普通方程；（=2\*ROMANII）過(guò)曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)作與夾角為的直線(xiàn)，交于點(diǎn)，的最大值與最小值．【來(lái)源】2023年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)Ⅰ帶解析）【答案】（=1\*ROMANI）；（=2\*ROMANII）最大值為，最小值為.【解析】試題分析：（=1\*ROMANI）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)，得橢圓的參數(shù)方程為，消去參數(shù)即得直線(xiàn)的普通方程為；（=2\*ROMANII）關(guān)鍵是處理好與角的關(guān)系．過(guò)點(diǎn)作與垂直的直線(xiàn)，垂足為，則在中，，故將的最大值與最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為橢圓上的點(diǎn)，到定直線(xiàn)的最大值與最小值問(wèn)題處理．試題解析：（=1\*ROMANI）曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．直線(xiàn)的普通方程為．（=2\*ROMANII）曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)到的距離為．則．其中為銳角，且．當(dāng)時(shí)，取到最大值，最大值為．當(dāng)時(shí)，取到最小值，最小值為．【考點(diǎn)定位】1、橢圓和直線(xiàn)的參數(shù)方程；2、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式；3、解直角三角形．10．2023年新課標(biāo)2卷理科在直角坐標(biāo)系xoy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為，.（1）求C的參數(shù)方程；（2）設(shè)點(diǎn)D在C上，C在D處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，根據(jù)（1）中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標(biāo).【來(lái)源】2023年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（全國(guó)Ⅱ卷帶解析）【答案】（1）是參數(shù)，；（2）【解析】試題分析：本題第（1）問(wèn)，由極坐標(biāo)與普通方程的互化關(guān)系可得出C的普通方程為：，從而寫(xiě)出C的參數(shù)方程為是參數(shù)，.；對(duì)第（2）問(wèn)，可先設(shè)D點(diǎn)