數(shù)學(xué)建模中的最優(yōu)化理論探討

數(shù)學(xué)建模中的最優(yōu)化理論探討摘要：自從1946年上第一臺(tái)電子數(shù)字計(jì)算機(jī)誕生以來(lái)，計(jì)算機(jī)技術(shù)便以一種勢(shì)不可擋的速度開(kāi)始發(fā)展，與之伴隨的是數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用，不僅在工程技術(shù)、天然科學(xué)等等領(lǐng)域，數(shù)學(xué)的應(yīng)用發(fā)揮著無(wú)與倫比的主要作用，而且在廣度和深度上還浸透到了新的領(lǐng)域中，如醫(yī)學(xué)、地質(zhì)、交通燈、經(jīng)濟(jì)、生物、環(huán)境、人口、金融等等。因此說(shuō)，在現(xiàn)代高新技術(shù)中，數(shù)學(xué)技術(shù)已經(jīng)成為一個(gè)不可替代的主要構(gòu)成部分。在本文中，筆者對(duì)最優(yōu)化的理論在求解數(shù)學(xué)模型中的應(yīng)用做了扼要的討論。本文關(guān)鍵詞語(yǔ)：最優(yōu)化理論；數(shù)學(xué)；建模一、在具體表現(xiàn)出數(shù)學(xué)應(yīng)用的方式中，數(shù)學(xué)建模是不可忽視的一種所謂數(shù)學(xué)建模，指的是以數(shù)學(xué)語(yǔ)言為工具，對(duì)實(shí)際現(xiàn)象進(jìn)行描繪敘述的經(jīng)過(guò)。在這一經(jīng)過(guò)中，要以“建〞為中心，使學(xué)生的創(chuàng)造性思維在“建〞的經(jīng)過(guò)中被激發(fā)出來(lái)。能夠建立不同的實(shí)際模型來(lái)對(duì)同一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行解決，進(jìn)而能夠得到不同的“最優(yōu)解〞，所以說(shuō)，模型的獨(dú)特之處是建立模型的關(guān)鍵，在數(shù)學(xué)模型中沒(méi)有最好，只要更好。以下為數(shù)學(xué)模型建立的大致步驟：第一、模型預(yù)備。對(duì)問(wèn)題的實(shí)際背景進(jìn)行了解，使建模的目的得到明確，進(jìn)而使需要的數(shù)據(jù)資料被采集、把握到。第二、模型假設(shè)。提出假設(shè)，這些假設(shè)必需與客觀實(shí)際相符合。第三、模型建立。進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型的建立，以實(shí)際問(wèn)題的特征為根據(jù)，決定使用的數(shù)學(xué)構(gòu)造、數(shù)學(xué)工具的類(lèi)型。通常，以能夠到達(dá)預(yù)期的目的為前提，選擇的越簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具進(jìn)行建模越好。第四、模型求解。模型建立者需要對(duì)上述經(jīng)過(guò)中獲取的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行利用，計(jì)算模型中的參數(shù)，對(duì)模型進(jìn)行求解。在需要時(shí)，能夠使用計(jì)算機(jī)為輔助工具。第五、模型分析、檢驗(yàn)。對(duì)模型的結(jié)果在數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)上與實(shí)際情形進(jìn)行比較，進(jìn)而對(duì)模型的合理性、精確性、適用性進(jìn)行驗(yàn)證。假如吻合，則進(jìn)行解釋、應(yīng)用，假如不吻合，則修改、重建?，F(xiàn)實(shí)中的問(wèn)題是撲朔迷離的，必定的因果關(guān)系與偶爾的因果關(guān)系都存在其中，所以，我們必需將重要原因從雜亂無(wú)章的現(xiàn)象中尋找出來(lái)，對(duì)變量進(jìn)行確定，并使變量之間的內(nèi)在聯(lián)絡(luò)顯現(xiàn)出來(lái)。二、以最優(yōu)化理論看待數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵在于一個(gè)“建〞字，但一旦數(shù)學(xué)模型建立起來(lái)之后，對(duì)于它的求解就顯得很主要了。一般的數(shù)學(xué)模型所牽涉的問(wèn)題都是一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題，即在一些約束的條件下，怎樣使得模型的解到達(dá)最優(yōu)？一般的數(shù)學(xué)模型中抽象出來(lái)的最優(yōu)化問(wèn)題具有如下的形式：minf〔X〕s.t.AX≥b.這種問(wèn)題根據(jù)目的函數(shù)和約束函數(shù)的特點(diǎn)可分為許多類(lèi)，都是運(yùn)籌學(xué)的分支，如線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、圖論、目的規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題等等。無(wú)論如何，假如一個(gè)數(shù)學(xué)模型不能用初等的數(shù)學(xué)理論解決，也不能用常微分方程理論解決的話(huà)，那它一定就是用最優(yōu)化的理論來(lái)解決。最優(yōu)化理論廣泛地應(yīng)用于管理科學(xué)、科學(xué)技術(shù)和生活理論中，而線性規(guī)劃問(wèn)題由于有普遍適用的單純形法，故而其理論和應(yīng)用都非常完善。所以當(dāng)前研究較多的當(dāng)屬非線性規(guī)劃理論和其它的優(yōu)化問(wèn)題。類(lèi)似于高等數(shù)學(xué)中一切非線性的函數(shù)都盡量對(duì)它進(jìn)行部分線性化的思想使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，非線性規(guī)劃問(wèn)題求解的總體思想也是如此。盡量將非線性規(guī)劃問(wèn)題部分線性化來(lái)解決。下面我們?cè)倏匆粋€(gè)用匈牙利算法求解指派問(wèn)題的例子。例：有甲、乙、丙、丁四人完成A、B、C、D四項(xiàng)任務(wù)，他們完成各項(xiàng)任務(wù)的時(shí)間見(jiàn)右表，問(wèn)應(yīng)怎樣布置，使所需總時(shí)間起碼？ABCD甲215134乙1041415丙9141613丁78119這類(lèi)問(wèn)題一建立模型后，我們應(yīng)清楚地知道我們碰到了一個(gè)指派問(wèn)題，而求解指派問(wèn)題的最簡(jiǎn)單的方法就是匈牙利算法。否則，若不能認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，用一般的方法建立模型求解，可能會(huì)用到求解整數(shù)規(guī)劃的分枝定界法或是求解0-1規(guī)劃的隱枚舉法，那都將是很復(fù)雜的。下面我們用匈牙利算法求解：這樣很快得到最優(yōu)的布置是甲→D、乙→B、丙→A、丁→C。以上通過(guò)兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子，我們討論了求解數(shù)學(xué)模型的簡(jiǎn)單方法。數(shù)學(xué)建模的“建〞完成之后，關(guān)鍵一步就是模型的求解，而最優(yōu)化理論的把握水平，能否具有厚、博、精的優(yōu)化理論知識(shí)對(duì)能否完好地求解此模型起到了非常主要的作用。綜上所述，在數(shù)學(xué)建模和最優(yōu)化理論之間，二者是相輔相成的關(guān)系。生活和理論是數(shù)學(xué)模型的源泉，在實(shí)際生活中，模型將會(huì)隨著層見(jiàn)疊出的問(wèn)題而越來(lái)越龐大、越來(lái)越復(fù)雜，因此，最優(yōu)化理論的發(fā)展會(huì)不斷地在模型的建立經(jīng)過(guò)中挑戰(zhàn)、發(fā)展。從另外一個(gè)角度看，在這個(gè)不斷得到豐富、完善的最優(yōu)化理論的影響下，數(shù)學(xué)模型的求解也會(huì)得到不斷地促進(jìn)而越來(lái)越優(yōu)化，為實(shí)際問(wèn)題的發(fā)展帶來(lái)突破性。以下為參考文獻(xiàn)：[1]高德寶：數(shù)學(xué)模型在最優(yōu)化方法中的應(yīng)用綜述[J].牡丹江教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，〔04〕.[2]周義倉(cāng)：數(shù)學(xué)