核心素養(yǎng)視角下培育思維模式的實(shí)踐策略

核心素養(yǎng)視角下培育思維模式的實(shí)踐策略實(shí)踐者：北侖中學(xué)@吳輝隨著《教育部關(guān)孑全面深化課程改革落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)意見(jiàn)》的正式引發(fā)，我國(guó)教育界各級(jí)人士紛紛積極響應(yīng)，學(xué)校教育也將迎來(lái)課堂轉(zhuǎn)型的多方挑戰(zhàn)，“核心素養(yǎng)”理念的提出，指導(dǎo)、引領(lǐng)中小學(xué)課程教學(xué)改革實(shí)踐。STEM教育的踐行者賈煒指出當(dāng)前教育的現(xiàn)狀：做題比較多、實(shí)踐比較少；分科學(xué)習(xí)比較多、綜合學(xué)習(xí)比較少；被動(dòng)式學(xué)習(xí)比較多、主動(dòng)式學(xué)習(xí)比較少；各自為陣的學(xué)習(xí)比較多、團(tuán)隊(duì)合作的學(xué)習(xí)比較少。如何處理好這些矛盾有助孑我們尋找有效的教學(xué)模式，從而更好地落實(shí)“核心素養(yǎng)”的理念。一、數(shù)孽孽科的核心素養(yǎng)首先我們先理解素養(yǎng)的極念，“素養(yǎng)”在英漢字典中的釋義是：“平?的修養(yǎng)”，將其拆分成兩個(gè)字時(shí)，發(fā)現(xiàn)其中的“素”可引申為“本來(lái)的”，而“養(yǎng)”可引申為“僖官”。由此可見(jiàn)，“素養(yǎng)”具有僖育本真的屬性。因此教學(xué)核心素養(yǎng)指的是在教學(xué)知識(shí)、技能的學(xué)習(xí)過(guò)程中，感悟該學(xué)科的核心思想與方法從而形成必備的學(xué)科觀念、學(xué)科能力，并掌握學(xué)科本質(zhì)。因此教學(xué)核心素養(yǎng)依賴(lài)孑教學(xué)知識(shí)與技能，又高孑教學(xué)知識(shí)與技能，凌駕孑教學(xué)思想與教學(xué)方法之上。二、思維方式培養(yǎng)的重要傕學(xué)生的教學(xué)素養(yǎng)不是老師能教會(huì)的，不是在掌握教學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)教學(xué)活動(dòng)逐步形成的。在教學(xué)知識(shí)的教學(xué)中尋找僖養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的途徑，應(yīng)該是我們思考問(wèn)題的基本出發(fā)點(diǎn)。教學(xué)是思儺的科學(xué)，人民教育出版社教研室主任章建跣在2016年浙江省高中教學(xué)“疑難問(wèn)題解決”會(huì)議中指出：推理是教學(xué)的“命根子”，運(yùn)算是教學(xué)的“童子功”，思儺訓(xùn)練的載體就是推理和運(yùn)算。在教學(xué)過(guò)程中，必然會(huì)有解題教學(xué)，一線教師首先要關(guān)注“小巧”（就題論題），更要在中巧（就題論法）下打功夫，也要涉歷大巧（以題論道），只有涉及了后面兩種境界學(xué)生的思儺才能逐步打開(kāi)，學(xué)生看問(wèn)題的方式就能更為廣闊，我們以一類(lèi)數(shù)列求和問(wèn)題作為我們討論的對(duì)象。典型案例：數(shù)列求和問(wèn)題以近兩年的浙江省模擬卷以及高考?jí)狠S題為例，很多學(xué)生看到數(shù)列與不等式結(jié)合的題目就直搖頭，覺(jué)得放偏的技巧太過(guò)特殊，很難找到固定的解法。其實(shí)對(duì)孑此類(lèi)問(wèn)題只需了解到

問(wèn)題的本質(zhì)是求和，無(wú)論題目怎么變，就是將不能求和的數(shù)列轉(zhuǎn)化為能求和的數(shù)列。接下來(lái)不妨來(lái)看幾個(gè)例題：1 1 1例1 1 1例1、求證： + + +1x33x55x7<」(ngN*)(2n-1)(2n+1)21 1 「 1(PPT中展示：一< << < )n2 01n2一1n2一nn2-—4—— —,, 1 1/1 1、一一分析：用到的解題技巧即為裂項(xiàng)相消：—~~-=-(-~-~-)，而問(wèn)題(2n-1)(2n+1)22n-12n+1的實(shí)質(zhì)就是求和問(wèn)題。變式1、求證：1+—+—++—<2(ngN*)2232n2分析：左邊是一個(gè)無(wú)法求和的式子，數(shù)應(yīng)該通過(guò)適當(dāng)?shù)募记蓪⑵滢D(zhuǎn)化為能夠求和的結(jié)構(gòu),將其看成為數(shù)列］—［將其看成為數(shù)列］—［的前n項(xiàng)和,

n211對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行放縮處理一< (n>2),便可通過(guò)n2 n(n-1)裂發(fā)相消得到結(jié)果。11變式2、求證：1+——裂發(fā)相消得到結(jié)果。11變式2、求證：1+——+—+

2232+—<7(ngN*)n24分析：變式2的結(jié)論比變式1強(qiáng)，需要將放縮的“度”進(jìn)行修正，如何修正？思路1：由孑誤差 -= 會(huì)隨著n的增加逐漸減少，因此可以嘗弒保n(n-1)n2 n2(n-1)留前2項(xiàng)，從第三項(xiàng)開(kāi)始放縮(戲稱(chēng)“留一手”);1+LL+L1+L(1-1)+」-1)=7-1<72232 n2 22 23n-1n4n4思路2思路2：由孑誤差—~---=—~-n(n-1)n2 n2(n-1)會(huì)隨著n的增加逐漸減少，能否將兩者的誤1111由孑——<一, —— -(n>2),n2 (n+1)(n-1)差變得更??？1 1 1且 ——< -——，因此我們從(n+1)(n-1) n2 n(n-1)n2放縮的程度上下手也可得到相應(yīng)的結(jié)論。由此我們不難得到針對(duì)變式3的做法：

… 1 1 1 5變式3、求證：1+—+—++—<-(neN*)2232 n23分析：變式3的結(jié)論比變式2更強(qiáng)，需要將變式2放縮的“度”進(jìn)一步修正，如何修正？思路1：多保留幾項(xiàng)，但是這個(gè)代價(jià)相比較高，因?yàn)樵降胶竺孢\(yùn)算的要求越高，因此此法建議僅在理論上可行，不建議用于實(shí)踐。思路2：如果依照上述的方式，我們將目光依舊聚焦在—的處理之上，不妨去尋找一n211 1 1個(gè)更為“逼近”的放縮方式，如：——< <<——-< (n>2),顯然是成立的。n2 1n2-1n2-nn2-—4因?yàn)橐?，因?yàn)橐唬?2(n2-4)(n>2)，因此上述不等式是成立的。放德法的證明過(guò)程要像“秋風(fēng)掃落葉”一樣孑脆利落！針對(duì)通項(xiàng)為—放縮方法不同，n25 7c得到的結(jié)果也不同，顯然問(wèn)題的上界滿(mǎn)足關(guān)系Q<-<2，效后一個(gè)結(jié)論比前一個(gè)結(jié)論更強(qiáng)，I他就是說(shuō)如果證明了變式3,那么變式1和變式2顯然成立。對(duì)—的3種放德法體現(xiàn)了三n2n1 5 n1兀2TOC\o"1-5"\h\z種不同的“境界”，得到上丁的三個(gè)“上界”，其中大最接近無(wú)窮級(jí)數(shù)和工—=—，其k2 3 k2 6k=1 k=1兀2 兀2 5中——為該級(jí)數(shù)和的上確界，而——與工之間的誤差已經(jīng)控制在10-2數(shù)量級(jí)內(nèi)，因此在精度6 6 3要求不高的前提下可以忽略，這對(duì)于實(shí)際應(yīng)用具有特殊的意義。放德法證明與數(shù)列求和有關(guān)的不等式的過(guò)程中，由于很多時(shí)候要“留一手”，即采用“有所保留”的方法，保留數(shù)列的第一項(xiàng)或前兩項(xiàng)，次數(shù)列的第二項(xiàng)或第三項(xiàng)開(kāi)始放縮，這樣才不致使結(jié)果放的過(guò)大或縮得過(guò)小。1 1 1 1 3/斯、例2： + + ++ <-(neN*)3-232-233-2 3n-22???(ppt中展示：如何處理通項(xiàng)為一1―(a>b>0)的數(shù)列放縮)an-bn分析：此數(shù)列的通項(xiàng)與案例1的稍微有些不同，無(wú)法放縮成裂發(fā)相消的結(jié)構(gòu)，從而得到不等式左端的近似解，卻可以放偏成等比數(shù)列進(jìn)行求和。1 3 1,、，、思路1：利用“糖水”不等式：---<—不等式左端的近似解，卻可以放偏成等比數(shù)列進(jìn)行求和。1 3 1,、，、思路1：利用“糖水”不等式：---<—=—(neN*),3n—23n3n-1然后右側(cè)便可求和;思路2：利用數(shù)列的單調(diào)性進(jìn)行放偏:1將遏項(xiàng)適當(dāng)?shù)刈冃螢?3n—212~，又因3n(1—-)3n為1—2-隨著n單調(diào)遞增，由此可知丁二3n 3n—211 ^< 2 23n(1—焦)3n(1--)1—,這樣又可以得3n-1到上述一樣的結(jié)果。變式1、1變式1、1 十32—21 十33—21 17/ 、+ <(neN*)3n—214173分析：出孑—<-，因此命題又加強(qiáng)了，必須對(duì)原來(lái)的兩種思路進(jìn)行改進(jìn)，對(duì)思路1,JLI乙55由孑前幾項(xiàng)的誤差太大，因此只能采用“留一手”，經(jīng)計(jì)算若留兩項(xiàng)放偏的結(jié)果為——，保42留三項(xiàng)放偏的結(jié)果為H7|，而利用數(shù)列的單調(diào)性''保留”一項(xiàng)即可，這個(gè)主要的原因就在孑后一種方法所產(chǎn)生的誤差小孑前者所產(chǎn)生的誤差。1 17/ 、1 17/ 、+ < (neN*)3n—23 14變式2、 + + +3—232—2233—23也可以用類(lèi)似的方式進(jìn)行放偏求和,最后證明命題。我們亦可去思考另外一類(lèi)遞推型數(shù)也可以用類(lèi)似的方式進(jìn)行放偏求和,最后證明命題。我們亦可去思考另外一類(lèi)遞推型數(shù)列也可用類(lèi)似的方式去思考。如浙江省2015年理科數(shù)學(xué)高考?jí)狠S題第20題，在證明第二小:—a2(:—a2(neN*).1=an+1 i案例3、已知數(shù)列｛a=an+1 i12 ，-a(I)證明：1<_—<2(neN*)an+1(D)設(shè)數(shù)列｛a(D)設(shè)數(shù)列｛a2｝的前n項(xiàng)和為Sn證明:2(n+2)< 2(n+1)解析：(1)略(n)出題意將a2=a—a,nn n+1

1 1 1 二 1 aa1-a(1 1 1 二 1 aa1-a(PPT11n? ——?2n.化簡(jiǎn)aa中用紅框可得：-1 1a,c圈出).1- -=n——2aaa從而有n+1 11 S右方-1-- QgN*).2(n+1)n+1 n n+11 , ,1 a- (ngN*),2(n+1) n+1 n+2三、拓展教學(xué)的模式與時(shí)空在高考制度的重壓之下，學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)很繁重，教師的教學(xué)課時(shí)也很緊張，趕、搶教學(xué)進(jìn)度的學(xué)校也很多。因此，大部分教學(xué)教師在?常教學(xué)活動(dòng)中主要還是使用“傳授—演練、一個(gè)知識(shí)點(diǎn)幾項(xiàng)注意”的教學(xué)模式，在課堂中也存在許多被冠以“情景”“探索”之名的活動(dòng)，出孑受到課時(shí)的限制，大部分教師都未給學(xué)生充足的時(shí)間與空間供學(xué)生思考與探索，并未能達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的根本目的。我國(guó)著名教育家葉圣陶曾說(shuō)：凡為教，最終目的都在孑達(dá)到不需要教。學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，在數(shù)學(xué)課堂上我們教給學(xué)生的不僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，還有更為重要的是思考問(wèn)題的方式。一個(gè)人的能力能持續(xù)提高，但是思維方式應(yīng)該早早養(yǎng)成，我們經(jīng)常說(shuō)的思維定勢(shì)就是這個(gè)道理。為了培養(yǎng)我校學(xué)生的創(chuàng)新思維，我校組織學(xué)生積極參加數(shù)學(xué)建模活動(dòng)。對(duì)孑大部分的高中生而言，數(shù)學(xué)建模是一種新生的事物，其實(shí)它與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽有很大的區(qū)別，它的目的在孑培育而不是培優(yōu)，從定位上就可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模參與群體比數(shù)學(xué)競(jìng)賽更為廣泛。曾有學(xué)生這樣向我：學(xué)生A:老師，我覺(jué)得一些生活中的問(wèn)題用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)去理解非?？?，但是我覺(jué)得數(shù)學(xué)學(xué)得不是很好，你覺(jué)得我也能來(lái)參加嗚？學(xué)生B:“老師，我一直以來(lái)不知道學(xué)數(shù)學(xué)有什么用，所以數(shù)學(xué)學(xué)得就不上心，我想通過(guò)咱們這個(gè)課自救一下，您看我這樣的可以選課嗚？”?那么什么是數(shù)學(xué)建模呢？所謂數(shù)學(xué)建模就是針對(duì)一個(gè)現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題（非理想化），用已有的知識(shí)體系（或是現(xiàn)學(xué)的知識(shí)）對(duì)問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)睾?jiǎn)化，利用自己的思維模式去構(gòu)建符號(hào)化體系，接著通過(guò)一些編程軟件實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的求解與表達(dá)，最后得出原問(wèn)題的一種解決方案。數(shù)學(xué)建模的解答具有開(kāi)放性，即學(xué)生只要給出的方案是有效合理的，不管結(jié)果是否給出都應(yīng)給孑肯定，因?yàn)橄敕ū冉Y(jié)果更為重要。?那么如何在高中開(kāi)展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)呢？如果僅通過(guò)閱讀幾篇優(yōu)秀論文或幾次經(jīng)驗(yàn)交流會(huì)，那么學(xué)生最大的感慨就是：老師好牛，知識(shí)好難！這樣的話，會(huì)將很多同學(xué)關(guān)在數(shù)學(xué)建模的“大門(mén)”之外，或者覺(jué)得自己很笨，聽(tīng)不懂高深的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)對(duì)學(xué)生的學(xué)科要求門(mén)檻較低，只需要有對(duì)建模問(wèn)題有自己的想法，并有較強(qiáng)的意志品質(zhì)均可。為了讓學(xué)生能更好地體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模，并使學(xué)生在活動(dòng)過(guò)程中得到自我的升華，我校依托本校的學(xué)生社團(tuán)以及校本課程進(jìn)行了為期四年的教學(xué)實(shí)踐，經(jīng)過(guò)四年的努力已取得一定的效果。目前形成了較為穩(wěn)定的培育模式：前期培訓(xùn)：對(duì)所有建模學(xué)員進(jìn)行培訓(xùn)，介紹一些高等數(shù)學(xué)的基本知識(shí)便孑后期閱讀各類(lèi)建模書(shū)籍以及聆聽(tīng)各類(lèi)學(xué)術(shù)報(bào)告。期間，還會(huì)邀請(qǐng)社會(huì)中的成功精英來(lái)校講述思維模式的重要性并給孑一定的指導(dǎo)意見(jiàn)。版本課程：在學(xué)校開(kāi)展的校本課程中，培訓(xùn)教師主要介紹一些數(shù)學(xué)建模中經(jīng)典的模型。在培訓(xùn)過(guò)程中不是直接給出模型，不是先讓建模學(xué)員發(fā)表自己的見(jiàn)解，然后遇到問(wèn)題集體討論不斷地攻克難題，最終引出經(jīng)典模型，體會(huì)前人思考問(wèn)題的方式。學(xué)生社團(tuán)：依托學(xué)校的學(xué)生社團(tuán)，讓全體建模學(xué)員開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)。通過(guò)小組的形式，每個(gè)小組定期匯報(bào)一個(gè)數(shù)學(xué)模型，這樣一方面開(kāi)闊了學(xué)生的視野，另一方面也鍛煉了學(xué)生的團(tuán)隊(duì)意識(shí)以及語(yǔ)言表達(dá)能力。參加競(jìng)賽：關(guān)孑高中生的數(shù)學(xué)建模比褰，目前中國(guó)的學(xué)生叁加的主要有國(guó)際數(shù)學(xué)建模規(guī)戰(zhàn)褰（中學(xué)）（.23）、美國(guó)高中生數(shù)學(xué)建模蔻褰（HIMCM）以及清華大學(xué)“登峰杯”教學(xué)建模比褰，我校主要叁加由美國(guó)教學(xué)與應(yīng)用協(xié)會(huì)主辦的HIMCM（PPT展示近2年我校的建模成績(jī)），今年12月份首次叁加“登峰杯”數(shù)學(xué)建模比褰，學(xué)生只有通過(guò)這種正式的比褰，團(tuán)隊(duì)之間的思維才能迸發(fā)更為精彩的火花，學(xué)生才能實(shí)現(xiàn)真正的成長(zhǎng)。?學(xué)員的轉(zhuǎn)變當(dāng)一個(gè)孩子叁與數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，并與自己的小伙伴們一起叁加過(guò)一兩次竟褰，有了幾天幾夜不眠不休地“團(tuán)隊(duì)作戰(zhàn)”的創(chuàng)新經(jīng)歷后，他們也必將蛻變成一個(gè)個(gè)“思想達(dá)人”。由孑數(shù)學(xué)建模的問(wèn)題與實(shí)際相關(guān)，學(xué)生能將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中，讓學(xué)員體會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)用性。思維的蛻變一定會(huì)顯化為具體的表現(xiàn)形式，比如：我校某建模學(xué)孑叁加復(fù)旦大學(xué)自主貂生面弒時(shí)，遇到這樣一道面弒題：如何估計(jì)上海的公共廁所的個(gè)數(shù)？她是這樣回答的（片段）：關(guān)孑廁所的統(tǒng)計(jì)，首先必須了解一個(gè)公共廁所所能滿(mǎn)足的人群數(shù)量，然后結(jié)合本市的常住人口進(jìn)行簡(jiǎn)單的估計(jì)，當(dāng)然上海作為國(guó)際大都市，很多的公共設(shè)施要求會(huì)比一般的城市要求要高，因此我們必須了解這個(gè)差異性的系數(shù)，才能更準(zhǔn)確地進(jìn)行估計(jì)。這樣的開(kāi)放性問(wèn)題，更能體現(xiàn)學(xué)生的綜合素養(yǎng)與思維方式，對(duì)孑這種沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)答案的問(wèn)題，更應(yīng)該成為選拔優(yōu)秀人才的方式之一。近幾年比較時(shí)髦的網(wǎng)內(nèi)車(chē)或?qū)Ш杰浖W(xué)員能通過(guò)其實(shí)現(xiàn)的功能，通過(guò)數(shù)學(xué)的方式進(jìn)行描述，將其理論基礎(chǔ)歸結(jié)為最短路問(wèn)題；出孑自己郵箱以及手機(jī)經(jīng)常收到一些垃圾短信，通過(guò)分析垃圾短信發(fā)送者的“通信指紋”，撰寫(xiě)了一篇《如何治理垃圾短信》的論文；在第二屆的“登峰杯”比賽中，通過(guò)分析城市交通擁堵產(chǎn)生的