線性代數(shù)各通用講例題初等變換秩演示文稿

線性代數(shù)各版通用講例題初等變換秩演示文稿當(dāng)前1頁(yè)，總共37頁(yè)。1（優(yōu)選）線性代數(shù)各版通用講例題初等變換秩當(dāng)前2頁(yè)，總共37頁(yè)。2稱(chēng)為矩陣A的伴隨矩陣.

A*

是用方陣A的元素的代數(shù)余子式組成的矩陣.當(dāng)前3頁(yè)，總共37頁(yè)。3AA﹡=A﹡A=｜A｜E｜A｜≠０A(

A﹡)=(

A﹡)A

=E引理2.1(基本公式)A為n階方陣當(dāng)前4頁(yè)，總共37頁(yè)。4設(shè)

A

為數(shù)域

F

上

n

階方陣,則1.A

可逆｜A｜≠02.A

可逆時(shí),

A-1=定理2.2從而|A|

0.必要性得證.證若A可逆,則當(dāng)前5頁(yè)，總共37頁(yè)。5故矩陣A可逆,且在|A|0時(shí),若

|A|0,則由

也可逆當(dāng)前6頁(yè)，總共37頁(yè)。6

｜A｜=0

時(shí),稱(chēng)

A為奇異陣｜A｜≠0

時(shí),稱(chēng)

A為非奇異陣當(dāng)前7頁(yè)，總共37頁(yè)。7例1討論并求

2

階矩陣的逆矩陣解

當(dāng)時(shí)A

可逆,利用伴隨矩陣求逆矩陣當(dāng)前8頁(yè)，總共37頁(yè)。8求滿(mǎn)足矩陣方程AX=B的矩陣X,

解X=A-1B=還可以用初等變換求解例2其中當(dāng)前9頁(yè)，總共37頁(yè)。9已知A為

n

階方陣,滿(mǎn)足矩陣方程證明A

和A-2E

都可逆,并求逆矩陣.證例3當(dāng)前10頁(yè)，總共37頁(yè)。10例4已知

A為方陣且證明證因?yàn)樗?/p>

可逆，而且當(dāng)前11頁(yè)，總共37頁(yè)。11解設(shè)設(shè),計(jì)算則例5當(dāng)前12頁(yè)，總共37頁(yè)。12當(dāng)前13頁(yè)，總共37頁(yè)。13設(shè)A,B是三階方陣，則解例6由當(dāng)前14頁(yè)，總共37頁(yè)。14例7設(shè)A是三階方陣，且解由當(dāng)前15頁(yè)，總共37頁(yè)。15設(shè)A為3階方陣,A*為A的伴隨矩陣,且|A|=1/2,則|(3A)-1-2A*|的值為().(A)16/27(B)-4/3(C)5(D)-16/27|(3A)-1

-2A*|=|(1/3)A-1

-2|A|A-1|=|(1/3)A-1-A-1|=|(-2/3)A-1|=(-2/3)3|A-1|=(-8/27)2=-16/27.例8解A

A*=A*A=|A|E，A可逆,且A*=|A|A-1當(dāng)前16頁(yè)，總共37頁(yè)。16設(shè)A是n階方陣，的伴隨矩陣,試證:證由下面分三種情況討論:(1)若則(2)若且則顯然結(jié)論成立:有例9當(dāng)前17頁(yè)，總共37頁(yè)。17(3)若而下面證明反證:若則可逆,所以這與矛盾.當(dāng)前18頁(yè)，總共37頁(yè)。18例10設(shè)A、B、C均為n階方陣,且ABC=E,則有().(A)ACB=E;(B)CBA=E;(C)BAC=E;(D)BCA=E.分析矩陣和它的逆矩陣是乘法可交換的.由題設(shè)知A,AB,ABC,C,BC等都是可逆陣.解因?yàn)锳BC=E,即A(BC)=E,所以有(BC)

A=E,

即BCA=E.而(A),(B),(C)中各項(xiàng)都沒(méi)有交換律.D當(dāng)前19頁(yè)，總共37頁(yè)。19

總結(jié)關(guān)于方陣A

:A可逆

|A|0AA*=A*A=|A|E在|A|0時(shí),求逆公式:當(dāng)前20頁(yè)，總共37頁(yè)。20這個(gè)求逆方法用起來(lái)真不方便!有好用點(diǎn)的嗎?有,不過(guò)說(shuō)來(lái)話長(zhǎng),只能下面講.當(dāng)前21頁(yè)，總共37頁(yè)。21本節(jié)內(nèi)容提要

矩陣的初等變換

矩陣的等價(jià)矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形2.4矩陣的初等變換當(dāng)前22頁(yè)，總共37頁(yè)。22解線性方程組的過(guò)程中經(jīng)常用到:問(wèn)題的引入1.互換兩個(gè)方程的位置.2.用一個(gè)非零常數(shù)乘某個(gè)方程.3.把一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程上去.

這三種變換不改變方程組的解,且對(duì)應(yīng)與矩陣的三種變換.當(dāng)前23頁(yè)，總共37頁(yè)。23

矩陣的三種初等行變換:

換法變換:

rirj

倍法變換：ri

(0)ri

消法變換:

krj+riri

矩陣的三種初等列變換：

換法變換:

cicj倍法變換：ci(0)ci

消法變換：kcj+cici

矩陣的初等變換當(dāng)前24頁(yè)，總共37頁(yè)。24問(wèn)題如果矩陣A經(jīng)過(guò)初等變換變?yōu)锽,那么A與B之間究竟有何種關(guān)系?定義

矩陣的三種初等行變換和三種初等

列變換統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的初等變換.初等變換可逆.第三種初等變換保持行列式值不變.初等變換保持矩陣可逆性不變.當(dāng)前25頁(yè)，總共37頁(yè)。25

性質(zhì):

自反性A與

A等價(jià);對(duì)稱(chēng)性若A與B等價(jià)，則B與A等價(jià);傳遞性若A與B等價(jià)，B與C等價(jià)，則A與C等價(jià).初→若A

B，則稱(chēng)A與

B等價(jià).矩陣的等價(jià)

A與B等價(jià)A與B同形且等秩.當(dāng)前26頁(yè)，總共37頁(yè)。262.4.3矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形定義

滿(mǎn)足下面兩個(gè)條件的矩陣稱(chēng)為行階梯形矩陣或階梯形矩陣:(1)

零行全部位于非零行下方,(2)非零行的左起第一個(gè)非零元素的列數(shù)由上至下嚴(yán)格遞增.

例1行階梯形當(dāng)前27頁(yè)，總共37頁(yè)。27行最簡(jiǎn)形定義如果階梯形矩陣A滿(mǎn)足:

(1)非零行左起第一個(gè)非零元素都是1,(2)非零行左起第一個(gè)非零元所在列只有一個(gè)非零元.則稱(chēng)矩陣A為行最簡(jiǎn)形矩陣.例2當(dāng)前28頁(yè)，總共37頁(yè)。28矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形注任意矩陣A都可以經(jīng)過(guò)一系列初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形式：A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形定義

如果一個(gè)矩陣的左上角為單位矩陣,其余元素都是零.則稱(chēng)這個(gè)矩陣為

標(biāo)準(zhǔn)形矩陣（唯一）.

當(dāng)前29頁(yè)，總共37頁(yè)。29的矩陣都是標(biāo)準(zhǔn)形矩陣.

用分塊矩陣的表示方法,形如:當(dāng)前30頁(yè)，總共37頁(yè)。30結(jié)論

1任一矩陣A都可經(jīng)初等行變換化成行階梯形;2任一矩陣A都可經(jīng)初等行變換化成行最簡(jiǎn)形;3任一矩陣A都可經(jīng)初等變換化成標(biāo)準(zhǔn)形.A

階梯形行→行→A最簡(jiǎn)形→A標(biāo)準(zhǔn)形初當(dāng)前31頁(yè)，總共37頁(yè)。31

32345931021501326106468122432345901324400002600000010-10010/301320-8000013000000100000010000001000000000行→行→列→行階梯形行最簡(jiǎn)形標(biāo)準(zhǔn)形E3

00

0=例3

化簡(jiǎn)當(dāng)前32頁(yè)，總共37頁(yè)。322.5矩陣的秩本節(jié)內(nèi)容提要矩陣的秩的概念

矩陣的秩的求法當(dāng)前33頁(yè)，總共37頁(yè)。33

矩陣的秩的概念定義

矩陣A的子方陣的行列式稱(chēng)為矩陣A

的一個(gè)子式.

1子矩陣定義

劃去A的某些行或列后剩下的元素，按原順序構(gòu)成的矩陣稱(chēng)為矩陣A的一個(gè)子矩陣.

2子式當(dāng)前34頁(yè)，總共37頁(yè)。34子矩陣子行列式例1當(dāng)前35頁(yè)，總共37頁(yè)。353矩陣秩的定義A的非零子式的最高階數(shù)r.記作:

r(A)=r并規(guī)定:r(0)=0.,

例23階子式只有一個(gè)，且,所以秩(A)=rA中存在一個(gè)r階非零子式,但其中任意r+1階子式都等于零.

r(A)=2.

A的秩: