2019版數(shù)學(xué)題組訓(xùn)練：第13章第4講 二項(xiàng)分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第四講二項(xiàng)分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布題組1二項(xiàng)分布及其應(yīng)用1.[2015新課標(biāo)全國Ⅰ,4,5分］[理］投籃測試中,每人投3次,至少投中2次才能通過測試。已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0。6,且各次投籃是否投中相互獨(dú)立,則該同學(xué)通過測試的概率為（）A.0.648 B.0.432 C.0.36 D。0。3122。[2014新課標(biāo)全國Ⅱ,5，5分]［理］某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0。6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是(）A。0.8 B。0.75 C.0.6 D.0。453。[2017全國卷Ⅱ，13,5分][理]一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件數(shù),則DX=.

4.［2015廣東，13,5分］[理］已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p）.若E（X)=30，D（X)=20,則p=.

5。[2016全國卷Ⅱ,18,12分］［理]某險種的基本保費(fèi)為a(單位：元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:上年度出險次數(shù)01234≥5保費(fèi)0.85aa1。25a1.5a1。75a2a設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下:一年內(nèi)出險次數(shù)01234≥5概率0。300。150.200.200.100.05（Ⅰ）求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率;（Ⅱ)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi),求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率；(Ⅲ)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值.6。［2015湖南,18,12分］［理］某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎。每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個球.在摸出的2個球中,若都是紅球,則獲一等獎；若只有1個紅球,則獲二等獎；若沒有紅球,則不獲獎.(Ⅰ)求顧客抽獎1次能獲獎的概率；（Ⅱ)若某顧客有3次抽獎機(jī)會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。題組2正態(tài)分布7.［2015山東，8,5分］[理]已知某批零件的長度誤差（單位:毫米)服從正態(tài)分布N(0，32），從中隨機(jī)取一件，其長度誤差落在區(qū)間（3，6）內(nèi)的概率為（)(附:若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2）,則P(μ—σ<ξ<μ+σ)=68.26％,P(μ-2σ<ξ〈μ+2σ)=95。44％。）A。4。56％ B.13。59％ C。27。18% D。31.74%8.［2015湖北，4,5分]［理］設(shè)X~N(μ1,σ12），Y～N（μ2,σ22），這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖13—4-1所示.下列結(jié)論中正確的是圖13—4—1A。P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1）B。P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.對任意正數(shù)t，P（X≤t）≥P（Y≤t）D。對任意正數(shù)t,P（X≥t)≥P(Y≥t)9.[2014新課標(biāo)全國Ⅰ，18,12分］[理］從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件,測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,由測量結(jié)果得頻率分布直方圖13—4-2:圖13-4—2（Ⅰ)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；（Ⅱ)由直方圖可以認(rèn)為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2），其中μ近似為樣本平均數(shù)x，σ2近似為樣本方差s2.(i)利用該正態(tài)分布，求P（187。8〈Z〈212。2);（ii)某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品,記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù)。利用(i）的結(jié)果，求EX。附：150≈12.2。若Z~N(μ,σ2），則P(μ—σ〈Z<μ+σ）=0.6826,P(μ-2σ<Z<μ+2σ）=0.9544.A組基礎(chǔ)題1。［2018石家莊市重點(diǎn)高中高三摸底，3］某種電路開關(guān)閉合后會出現(xiàn)紅燈或綠燈閃爍，已知開關(guān)第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為12，兩次閉合后都出現(xiàn)紅燈的概率為15，則開關(guān)在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為（A.110 B。15 C。25 D2。[2018惠州市二調(diào)，5］設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（4，3)，若P（ξ〈a—5）=P(ξ〉a+1),則實(shí)數(shù)a等于（）A。7 B。6 C.5 D.43.[2018洛陽市尖子生第一次聯(lián)考,14]已知隨機(jī)變量X～B（2,p）,Y~N（2，σ2）,若P（X≥1)=0。64，P（0〈Y〈2）=p，則P(Y>4)=。

4。[2018陜西省部分學(xué)校高三摸底檢測,18］一個盒子中裝有大量形狀、大小一樣但質(zhì)量不盡相同的小球,從中隨機(jī)抽取50個作為樣本，稱出它們的質(zhì)量（單位:克）,質(zhì)量分組區(qū)間為[5，15]，（15，25],(25，35］，（35,45］，由此得到樣本的質(zhì)量頻率分布直方圖(如圖13-4-3).（1)求a的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù),試估計盒子中小球質(zhì)量的眾數(shù)與平均數(shù);(2）從盒子中隨機(jī)抽取3個小球,其中質(zhì)量在[5，15]內(nèi)的小球個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.（以直方圖中的頻率作為概率）圖13-4-35。［2018唐山市五校聯(lián)考,18]某籃球隊(duì)在某賽季已結(jié)束的8場比賽中，隊(duì)員甲得分統(tǒng)計的莖葉圖如圖13-4-4.圖13—4—4(1）根據(jù)這8場比賽，估計甲每場比賽中得分的均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ;（2)假設(shè)甲在每場比賽的得分服從正態(tài)分布N(μ，σ2）,且各場比賽間相互沒有影響，依此估計甲在82場比賽中得分在26分以上的平均場數(shù)(結(jié)果保留整數(shù)）.參考數(shù)據(jù):32≈5.66，32.25≈5。68，32.5正態(tài)總體N（μ,σ2)在區(qū)間（μ—2σ,μ+2σ）內(nèi)取值的概率約為0。954。B組提升題6。［2017甘肅二診，3］拋擲兩枚骰子,記事件A為“朝上的2個數(shù)之和為偶數(shù)",事件B為“朝上的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B｜A）=(）A.18 B.14 C.257。［2018遼寧省五校聯(lián)考，18]某商場決定從2種服裝、3種家電、4種日用品中，選出3種商品進(jìn)行促銷活動.（1)試求選出的3種商品中至少有一種是家電的概率;（2）該商場對選出的某商品采用抽獎方式進(jìn)行促銷,即在該商品現(xiàn)價的基礎(chǔ)上將價格提高60元，規(guī)定購買該商品的顧客有3次抽獎機(jī)會，若中獎一次,則獲得數(shù)額為n元的獎金;若中獎兩次，則獲得數(shù)額為3n元的獎金；若中獎三次，則獲得數(shù)額為6n元的獎金。假設(shè)顧客每次抽獎中獎的概率都是14，請問：該商場將獎金數(shù)額n8.［2018南寧市高三摸底聯(lián)考，18］某省高考改革實(shí)施方案指出：該省高考考生總成績將由語文、數(shù)學(xué)、外語3門統(tǒng)一高考成績和學(xué)生自主選擇的學(xué)業(yè)水平等級性考試科目成績共同構(gòu)成，該省教育廳為了解正在讀高中的學(xué)生家長對高考改革方案所持的態(tài)度,從中隨機(jī)抽取了100名城鄉(xiāng)家長作為樣本進(jìn)行調(diào)查,調(diào)查結(jié)果顯示樣本中有25人持不贊成意見,如圖13—4—5是根據(jù)樣本的調(diào)查結(jié)果繪制的等高條形圖。圖13—4-5（1）根據(jù)已知條件與等高條形圖完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷我們能否有95%的把握認(rèn)為“對高考改革方案的態(tài)度與城鄉(xiāng)戶口有關(guān)”？贊成不贊成合計城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計(2）用樣本的頻率估計概率，若隨機(jī)在全省不贊成高考改革方案的家長中抽取3個,記這3個家長中是城鎮(zhèn)戶口的人數(shù)為X，試求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）。注:K2=n(adP（K2≥k0)0。100。050。005k02。7063.8417。8799.[2018益陽市、湘潭市高三調(diào)考，18]某乒乓球俱樂部派甲、乙、丙三名運(yùn)動員參加某運(yùn)動會的單打資格選拔賽，本次選拔賽只有出線和未出線兩種情況.規(guī)定一名運(yùn)動員出線記1分，未出線記0分。假設(shè)甲、乙、丙出線的概率分別為23,34，3（1）求在這次選拔賽中,這三名運(yùn)動員至少有一名出線的概率；（2)記在這次選拔賽中,甲、乙、丙三名運(yùn)動員的得分之和為隨機(jī)變量ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望。答案1.A由題意得所求概率P=C32×0.62×(1-0。6）+C33×0.63=0.2。A根據(jù)條件概率公式P（B|A)=P(AB)P(A),可得所求概率為03.1.96依題意知，X～B(100,0。02）,所以DΧ=100×0。02×（1-0.02）=1。96。4。13由np=30,np5.(Ⅰ)設(shè)A表示事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”，則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1，故P（A)=0。20+0.20+0.10+0。05=0。55.(Ⅱ)設(shè)B表示事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60％”,則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于3,故P(B）=0.10+0。05=0。15.又P（AB）=P（B)，故P(B｜A）=P(AB)P(A)因此所求概率為311(Ⅲ）記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為X,則X的分布列為X0.85aa1。25a1。5a1。75a2aP0.300。150。200.200.100。05EX=0。85a×0。30+a×0。15+1。25a×0.20+1.5a×0.20+1。75a×0。10+2a×0.05=1。23a。因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為1.23.6.(Ⅰ）記事件A1={從甲箱中摸出的1個球是紅球},A2=｛從乙箱中摸出的1個球是紅球｝,B1=｛顧客抽獎1次獲一等獎}，B2={顧客抽獎1次獲二等獎｝，C=｛顧客抽獎1次能獲獎}。由題意，A1與A2相互獨(dú)立，A1A2與A1A2互斥，B1與B2互斥，且B1=A1A2,B2=A1A2+A1A2,C=B因?yàn)镻（A1）=410=25,P（A2)=510P（B1）=P（A1A2）=P(A1)P（A2)=25×12=P（B2)=P(A1A2+A1A2)=P（A1A2）+P（A1A2)=P(A1）P（A2）+P(A1)P(A2)=P（A1)(1-P(A2)）+（1—P(A1））P（A2)=25×（1-12)+(1故所求概率為P(C）=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2）=15+12=(Ⅱ）顧客抽獎3次可視為3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，由(Ⅰ）知，顧客抽獎1次獲一等獎的概率為15,所以X~B(3，15于是P（X=0）=C30（15)0(45)P(X=1)=C31（15)1（45)P(X=2）=C32(15)2(45)P（X=3）=C33(15)3（45）故X的分布列為X0123P6448121X的數(shù)學(xué)期望為E（X）=3×15=37.B由已知μ=0，σ=3，所以P(3〈ξ<6)=12［P（-6<ξ<6)-P（—3〈ξ<3）]=12（95。44%-68.26％）=12×27.18％=13.598.C由正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì)可知,X~N(μ1，σ12)，Y～N（μ2，σ22)的密度曲線分別關(guān)于直線x=μ1,x=μ2對稱，因此結(jié)合題中所給圖象可得μ1<μ2，所以P（Y≥μ2)〈P（Y≥μ1),A錯誤.又X~N(μ1,σ12）的密度曲線較Y～N(μ2,σ22）的密度曲線“瘦高”,所以σ1〈σ2，所以P(X≤σ2)〉P(X≤σ1),B錯誤。對任意正數(shù)t，P(X≤t)≥P(Y≤t)，P（X≥t)≤P9.（Ⅰ)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2分別為x=170×0.02+180×0。09+190×0.22+200×0。33+210×0。24+220×0.08+230×0.02=200,s2=(—30)2×0。02+（-20）2×0。09+(—10)2×0.22+0×0。33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.（Ⅱ）(i)由（Ⅰ）知，Z~N（200,150）,從而P（187.8<Z〈212。2)=P（200-12。2〈Z<200+12.2)=0。6826。(ii)由(i)知，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間（187。8，212.2)的概率為0。6826,依題意知X～B(100,0.6826)，所以EX=100×0。6826=68.26.A組基礎(chǔ)題1.C設(shè)“開關(guān)第一次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事件A,“開關(guān)第二次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事件B,則“開關(guān)兩次閉合后都出現(xiàn)紅燈”為事件AB，“開關(guān)在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合后出現(xiàn)紅燈"為事件B｜A，由題意得P（B|A)=P(AB)2.B由隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(4，3）可得正態(tài)分布密度曲線的對稱軸為直線x=4.∵P(ξ〈a—5）=P(ξ〉a+1）,∴x=a—5與x=a+1關(guān)于直線x=4對稱，∴（a-5)+(a+1）=8，即a=6。選B。3.0。1因?yàn)殡S機(jī)變量X~B(2,p)，Y～N（2,σ2），P（X≥1）=0。64,所以P(X≥1)=P（X=1)+P(X=2)=C21p(1—p）+C22p2=0。64，解得p=0。4或p=1.6(舍去)，所以P（0<Y〈2)=p=0。4，P（Y〉4)=12（1-0.4×2）4。(1)由題意，得(0.02+0。032+a+0。018）×10=1,解得a=0。03。由頻率分布直方圖可估計盒子中小球質(zhì)量的眾數(shù)為20克,而50個樣本中小球質(zhì)量的平均數(shù)為x=0。2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24。6（克）。故由樣本估計總體，可估計盒子中小球質(zhì)量的平均數(shù)為24。6克。(2)由題意知,該盒子中小球質(zhì)量在[5,15]內(nèi)的概率為15,則X～B(3,15X的可能取值為0，1,2，3，則P（X=0)=C30（15)0×（45)P(X=1）=C31(15)1×（45)P（X=2)=C32(15）2×(45）P(X=3)=C33（15)3×(45）0∴X的分布列為X0123P6448121∴E（X）=0×64125+1×48125+2×12125+3×1(或者E（X）=3×15=35.（1)由題圖可得μ=18（7+8+10+15+17+19+21+23)=σ2=18[（—8）2+(—7)2+(-5)2+02+22+42+62+82］=32。25，所以σ≈5.68所以估計甲每場比賽中得分的均值μ為15,標(biāo)準(zhǔn)差σ為5。68。（2）設(shè)甲每場比賽中的得分為隨機(jī)變量X,由(1）得甲在每場比賽中得分在26分以上的概率P(X≥26）≈12[1—P(μ—2σ<X〈μ+2σ)]≈12（1—0。954)=0設(shè)在82場比賽中,甲得分在26分以上的次數(shù)為Y,則Y～B（82，0.023).Y的均值E（Y）=82×0。023≈2。由此估計甲在82場比賽中得分在26分以上的平均場數(shù)為2。B組提升題6。D解法一事件AB包括：（2，2)，(2,4）,(2,6)，（4,2)，（4，4),（4,6),(6,2）,（6，4)，(6,6),共9個。事件A包括:(1,1），（1,3）,（1,5），（2,2),（2，4),(2，6），（3,1），（3，3),(3,5）,（4,2），（4，4），（4,6）,（5,1)，(5，3）,（5,5），(6,2），(6,4）,（6，6),共18個。由題意,得P(AB)=936=14，P（A）=1836=12,由條件概率公式,得P(B|A）=P解法二由題意，得P（A)=C31C31+C31C31C61C61=12,7。（1)設(shè)“選出的3種商品中至少有一種是家電”為事件A,從2種服裝、3種家電、4種日用品中，選出3種商品，共有C9選出的3種商品中，沒有家電的選法有C6所以選出的3種商品中至少有一種是家電的概率為P(A)=1-C63C93=1(2）設(shè)顧客三次抽獎所獲得的獎金總額(單位：元)為隨機(jī)變量ξ，則其所有可能的取值為0，n，3n，6n.當(dāng)ξ=0時,表示顧客在三次抽獎中都沒有中獎,所以P(ξ=0）=C30（14）0（1—14)P（ξ=n）=C31(14)1(1—14)P(ξ=3n)=C32（14)2（1—14)P(ξ=6n）=C33(14）3(1—14)所以顧客在三次抽獎中所獲得的獎金總額的期望值是E(ξ)=0×2764+n×2764+3n×964+6n×1由15n16≤60，解得n所以該商場將獎金數(shù)額n最高定為64元，