線性系統(tǒng)的頻域分析終稿演示文稿

線性系統(tǒng)的頻域分析終稿演示文稿當(dāng)前1頁(yè)，總共111頁(yè)。（優(yōu)選）線性系統(tǒng)的頻域分析終稿當(dāng)前2頁(yè)，總共111頁(yè)。5.1頻率特性引例——RC電路對(duì)于下圖所示的RC電路，其傳遞函數(shù)為式中，τ=RC。當(dāng)前3頁(yè)，總共111頁(yè)。設(shè)輸入電壓為正弦信號(hào)，其時(shí)域和復(fù)域描述為所以有將其進(jìn)行部分分式展開(kāi)后再拉氏反變換當(dāng)前4頁(yè)，總共111頁(yè)。uo(t)表達(dá)式中第一項(xiàng)是暫態(tài)分量，第二項(xiàng)是穩(wěn)態(tài)分量。顯然上述RC電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為結(jié)論：當(dāng)電路輸入為正弦信號(hào)時(shí)，其輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)（頻率響應(yīng)）也是一個(gè)正弦信號(hào)，其頻率和輸入信號(hào)相同，但幅值和相角發(fā)生了變化，其變化取決于ω。當(dāng)前5頁(yè)，總共111頁(yè)。若把輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和輸入正弦信號(hào)用復(fù)數(shù)表示，并求其復(fù)數(shù)比，可以得到式中頻率特性G(jω)：上述電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入正弦信號(hào)的復(fù)數(shù)比，且G(jω)=G(s)|s=jω。幅頻特性A(ω)：輸出信號(hào)幅值與輸入信號(hào)幅值之比。相頻特性(ω)：輸出信號(hào)相角與輸入信號(hào)相角之差。當(dāng)前6頁(yè)，總共111頁(yè)。2.控制系統(tǒng)在正弦信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)輸出對(duì)于n階LTI的閉環(huán)傳遞函數(shù)

其中為n個(gè)互異的閉環(huán)特征根。設(shè)輸入正弦信號(hào)為當(dāng)前7頁(yè)，總共111頁(yè)。因此有，拉氏反變換得ct(t)和cs(t)分別為系統(tǒng)的暫態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量。當(dāng)前8頁(yè)，總共111頁(yè)。對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng)，其極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部，有則系統(tǒng)在正弦信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)輸出為其中，因?yàn)镚(s)是實(shí)系數(shù)有理函數(shù)，則有當(dāng)前9頁(yè)，總共111頁(yè)。從而有式中，穩(wěn)態(tài)輸出的振幅和相位分別為由此可見(jiàn)，LTI系統(tǒng)在正弦輸入下，輸出的穩(wěn)態(tài)值是和輸入同頻率的正弦信號(hào)。輸出振幅是輸入振幅的|G(jω)|倍，輸出相位與輸入相位相差∠G(jω)度。當(dāng)前10頁(yè)，總共111頁(yè)。3.頻率特性的定義幅頻特性：LTI系統(tǒng)在正弦輸入作用下，穩(wěn)態(tài)輸出振幅與輸入振幅之比，用A(ω)表示。相頻特性：穩(wěn)態(tài)輸出相位與輸入相位之差，用(ω)表示。幅頻A(ω)和相頻

(ω)統(tǒng)稱幅相頻率特性。當(dāng)前11頁(yè)，總共111頁(yè)。關(guān)于頻率特性的幾點(diǎn)說(shuō)明：頻率特性不只是對(duì)系統(tǒng)而言，其概念對(duì)控制元件、部件等均適用。頻率特性只適用于定常模型，否則不能用拉氏變換求解，也不存在這種穩(wěn)態(tài)對(duì)應(yīng)關(guān)系。前面在推導(dǎo)頻率特性時(shí)假設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，則動(dòng)態(tài)過(guò)程c(t)最終不可能趨于穩(wěn)態(tài)振蕩cs(t)。當(dāng)前12頁(yè)，總共111頁(yè)?？刂葡到y(tǒng)微分方程傳遞函數(shù)頻率特性s=ps=jωjω=p頻率特性、傳遞函數(shù)和微分方程三種系統(tǒng)描述之間的關(guān)系頻率特性是傳遞函數(shù)的特例，是定義在復(fù)平面虛軸上的傳遞函數(shù)，因此頻率特性與系統(tǒng)的微分方程、傳遞函數(shù)一樣反映了系統(tǒng)的固有特性。當(dāng)前13頁(yè)，總共111頁(yè)。4.頻率特性的幾何表示法在工程分析和設(shè)計(jì)中，通常把線性系統(tǒng)的頻率特性畫(huà)成曲線，再運(yùn)用圖解法進(jìn)行研究。常用的頻率特性曲線:幅相特性曲線----極坐標(biāo)圖(Nyquist圖)對(duì)數(shù)頻率特性曲線----Bode圖當(dāng)前14頁(yè)，總共111頁(yè)。5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性用頻域分析法研究控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)，是根據(jù)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性進(jìn)行的，而控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性通常是由若干典型環(huán)節(jié)的頻率特性組成的。本節(jié)介紹七種常用的典型環(huán)節(jié)的頻率特性。當(dāng)前15頁(yè)，總共111頁(yè)。一、極坐標(biāo)圖(Nyquist圖)極坐標(biāo)圖是將頻率ω作為參變量，在直角坐標(biāo)或極坐標(biāo)平面上，當(dāng)ω

∞時(shí)，將幅頻與相頻特性同時(shí)表示在復(fù)數(shù)平面上。ω01/2τ1/τ2/τ3/τ4/τ5/τ∞A(ω)10.890.7070.450.320.240.20(ω)°0-26.6-45-63.5-71.5-76-78.7-90當(dāng)前16頁(yè)，總共111頁(yè)。(1)比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的頻率特性為顯然，它與頻率無(wú)關(guān)。當(dāng)前17頁(yè)，總共111頁(yè)。(2)積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的頻率特性為其幅頻特性和相頻特性為幅頻特性與角頻率ω成反比，相頻特性恒為－90°當(dāng)前18頁(yè)，總共111頁(yè)。(3)微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)的頻率特性為其幅頻特性和相頻特性為微分環(huán)節(jié)的幅頻特性等于角頻率ω，而相頻特性恒為90°。當(dāng)前19頁(yè)，總共111頁(yè)。(4)慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的頻率特性寫(xiě)成實(shí)部和虛部形式，即幅頻特性和相頻特性慣性環(huán)節(jié)的Nyquist圖是圓心在(0.5,0)，半徑為0.5的半圓。當(dāng)前20頁(yè)，總共111頁(yè)。當(dāng)前21頁(yè)，總共111頁(yè)。(5)一階微分環(huán)節(jié)頻率特性幅頻特性和相頻特性為當(dāng)前22頁(yè)，總共111頁(yè)。(6)二階振蕩環(huán)節(jié)頻率特性

幅頻特性和相頻特性當(dāng)前23頁(yè)，總共111頁(yè)。頻率特性的端點(diǎn)取值當(dāng)前24頁(yè)，總共111頁(yè)。(7)延遲環(huán)節(jié)頻率特性幅頻特性和相頻特性當(dāng)前25頁(yè)，總共111頁(yè)。二、對(duì)數(shù)頻率特性——Bode圖在工程實(shí)際中，常常將頻率特性畫(huà)成對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖形式，這種對(duì)數(shù)頻率特性曲線又稱Bode圖，由對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性組成。Bode圖的橫坐標(biāo)按lgω分度（10為底的常用對(duì)數(shù)），即對(duì)數(shù)分度，單位為弧度/秒（rad/s）對(duì)數(shù)幅頻曲線的縱坐標(biāo)按線性分度，單位是分貝（dB）。對(duì)數(shù)相頻曲線縱坐標(biāo)按(ω)線性分度，單位是度。由此構(gòu)成的坐標(biāo)系稱為半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系。當(dāng)前26頁(yè)，總共111頁(yè)。對(duì)數(shù)分度和線性分度

當(dāng)前27頁(yè)，總共111頁(yè)。幾點(diǎn)說(shuō)明：對(duì)數(shù)頻率特性采用ω的對(duì)數(shù)分度實(shí)現(xiàn)了橫坐標(biāo)的非線性壓縮，便于在較大頻率范圍反映頻率特性的變化情況。采用對(duì)數(shù)幅頻特性則將幅值的乘除運(yùn)算化為加減運(yùn)算，可以簡(jiǎn)化曲線的繪制過(guò)程；ω=0不可能在橫坐標(biāo)上表示出來(lái)；橫坐標(biāo)上表示的最低頻率由所感興趣的頻率范圍確定。當(dāng)前28頁(yè)，總共111頁(yè)。(1)比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的頻率特性為顯然，它與頻率無(wú)關(guān)。對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為K<1情況如何？當(dāng)前29頁(yè)，總共111頁(yè)。(2)積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的頻率特性為其對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為對(duì)數(shù)幅頻特性為一條斜率為－20dB/dec的直線，此線通過(guò)L(ω)=0，ω=1的點(diǎn)。如果是n個(gè)積分環(huán)節(jié)串連，情況又如何？當(dāng)前30頁(yè)，總共111頁(yè)。積分環(huán)節(jié)L(ω)①G(s)=1s②G(s)=10s1③G(s)=5s100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20][-20][-20]當(dāng)前31頁(yè)，總共111頁(yè)。(3)微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)的頻率特性為其對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為其對(duì)數(shù)幅頻特性為一條斜率為20dB/dec的直線，它與0dB線交于ω=1點(diǎn)。當(dāng)前32頁(yè)，總共111頁(yè)。①G(s)=s②G(s)=2s③G(s)=0.1s100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[+20][+20][+20]微分環(huán)節(jié)L(ω)當(dāng)前33頁(yè)，總共111頁(yè)。對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為低頻段：高頻段：慣性環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線為下圖的漸近線。ω＝1/T是兩條漸近線的交點(diǎn)，稱為叫轉(zhuǎn)折頻率。(4)慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的頻率特性當(dāng)前34頁(yè)，總共111頁(yè)。低通濾波特性！當(dāng)前35頁(yè)，總共111頁(yè)。兩點(diǎn)說(shuō)明：慣性環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線漸近線和精確曲線的誤差0.10.20.512510－0.04－0.17－0.97－3.01－0.97－0.17－0.04由表可知，在轉(zhuǎn)折頻率處誤差達(dá)到最大值。(ω)是關(guān)于ω＝1/T,(ω)=-45°點(diǎn)中心對(duì)稱的。0.10.130.20.250.330.512345810-6-7-11-14-18-27-45-63-72-76-79-83-84當(dāng)前36頁(yè)，總共111頁(yè)。①G(s)=10.5s+1100②G(s)=s+5100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100慣性環(huán)節(jié)L(ω)[-20][-20]26dB0o-30o-45o-60o-90o當(dāng)前37頁(yè)，總共111頁(yè)。(5)一階微分環(huán)節(jié)頻率特性對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為高頻放大！抑制噪聲能力的下降！當(dāng)前38頁(yè)，總共111頁(yè)。①G(s)=0.5s+10.3②G(s)=(0.25s+0.1)L(ω)dB100.2210.1ω0dB2040-40-2020100一階微分L(ω)0o+30o+45o+60o+90o[+20][+20]當(dāng)前39頁(yè)，總共111頁(yè)。(6)二階振蕩環(huán)節(jié)頻率特性 對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為低頻段：高頻段：當(dāng)前40頁(yè)，總共111頁(yè)。當(dāng)前41頁(yè)，總共111頁(yè)。低頻段和高頻段的兩條直線相交處的轉(zhuǎn)折頻率為ω=1/T，稱為振蕩環(huán)節(jié)的無(wú)阻尼自然振蕩頻率。在轉(zhuǎn)折頻率附近，對(duì)數(shù)幅頻特性與漸近線存在一定的誤差，其值取決于阻尼比ζ的值，阻尼比越小，則誤差越大。其相頻特性關(guān)于ω＝1/T,(ω)=-90°點(diǎn)中心對(duì)稱。

當(dāng)前42頁(yè)，總共111頁(yè)。z

wT0.10.20.40.60.811.251.662.55100.10.0860.3481.483.7288.09413.988.0943.7281.480.3480.0860.20.080.3251.363.3056.3457.966.3453.3051.360.3250.080.30.0710.2921.1792.6814.4394.4394.4392.6811.1790.2920.0710.50.0440.170.6271.1371.1370.001.1371.1370.6270.170.0440.70.0010.000.08-0.47-1.41-2.92-1.41-0.470.080.000.0011-0.086-0.34-1.29-2.76-4.30-6.20-4.30-2.76-1.29-0.34-0.086二階振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線漸近線和精確曲線的誤差（dB）當(dāng)前43頁(yè)，總共111頁(yè)。(7)延遲環(huán)節(jié)頻率特性對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性當(dāng)前44頁(yè)，總共111頁(yè)。一、控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的典型環(huán)節(jié)分解設(shè)其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)由若干個(gè)典型環(huán)節(jié)相串聯(lián)其開(kāi)環(huán)頻率特性5.3

控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性曲線的繪制

當(dāng)前45頁(yè)，總共111頁(yè)。所以，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅頻和相頻分別為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性為當(dāng)前46頁(yè)，總共111頁(yè)。二、Nyquist圖的繪制繪制Nyquist圖有時(shí)并不需要繪制得十分準(zhǔn)確只需要繪出Nyquist圖的大致形狀和幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的準(zhǔn)確位置（如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)）就可以了。開(kāi)環(huán)系統(tǒng)典型環(huán)節(jié)分解和典型環(huán)節(jié)幅相曲線的特點(diǎn)是繪制概略開(kāi)環(huán)幅相曲線的基礎(chǔ)。當(dāng)前47頁(yè)，總共111頁(yè)。1.系統(tǒng)開(kāi)環(huán)Nyquist曲線的起點(diǎn)取決于積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)v。 v=0(0型系統(tǒng))，起點(diǎn)(ω

=0+)是在實(shí)軸上； v=1(Ⅰ型系統(tǒng))，起點(diǎn)是在相角為-90o，幅值為無(wú)窮大處； v=2(Ⅱ型系統(tǒng))，起點(diǎn)是在相角為-180o，幅值為無(wú)窮大處。2.系統(tǒng)開(kāi)環(huán)Nyquist曲線的終點(diǎn)取決于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)(n-m)的值。n-m＝1，特性曲線的終點(diǎn)(ω∞)是以－90°進(jìn)入原點(diǎn)；n-m＝2，特性曲線的終點(diǎn)是以－180°進(jìn)入原點(diǎn)；n-m＝3，特性曲線的終點(diǎn)是以－270°進(jìn)入原點(diǎn)。依次類(lèi)推。當(dāng)前48頁(yè)，總共111頁(yè)。當(dāng)前49頁(yè)，總共111頁(yè)。例：已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制開(kāi)環(huán)幅相圖并求出與實(shí)軸的點(diǎn)頻率與交點(diǎn)值。當(dāng)前50頁(yè)，總共111頁(yè)。3.Nyquist圖繪制方法寫(xiě)出A(ω)和(ω)的表達(dá)式；分別求出ω=0和ω=+∞

時(shí)的G(jω)；求Nyquist圖與實(shí)軸的交點(diǎn)；如果有必要，可求Nyquist圖與虛軸的交點(diǎn)，交點(diǎn)可利用G(jω)的實(shí)部Re[G(jω)]=0的關(guān)系式求出，也可利用∠G(jω)=n·90°(其中n為正整數(shù))求出；必要時(shí)畫(huà)出Nyquist圖中間幾點(diǎn)；勾畫(huà)出大致曲線。當(dāng)前51頁(yè)，總共111頁(yè)。例已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，繪制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)Nyquist圖并求與實(shí)軸的交點(diǎn)。Nyquist圖與實(shí)軸相交時(shí)當(dāng)前52頁(yè)，總共111頁(yè)。三、開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線的繪制（Bode圖）

1.Bode圖繪制的概述和例題分析

回顧前面的討論可見(jiàn)，開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性等于各環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性之和；系統(tǒng)開(kāi)環(huán)相頻等于各環(huán)節(jié)相頻之和。將各環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性用其漸近線代替，以及對(duì)數(shù)運(yùn)算的優(yōu)點(diǎn)（乘除運(yùn)算對(duì)數(shù)化后變?yōu)榧訙p），可以很容易繪制出開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性。當(dāng)前53頁(yè)，總共111頁(yè)。例繪制開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的Bode圖。

解系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性分別當(dāng)前54頁(yè)，總共111頁(yè)。例5-5的Bode圖當(dāng)前55頁(yè)，總共111頁(yè)。實(shí)際上，在熟悉了對(duì)數(shù)幅頻特性的性質(zhì)后，不必先一一畫(huà)出各環(huán)節(jié)的特性，然后相加，而可以采用更簡(jiǎn)便的方法。由上例可見(jiàn)，零型系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻段為20lgK的水平線，隨著ω

的增加，每遇到一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率，對(duì)數(shù)幅頻特性就改變一次斜率。當(dāng)前56頁(yè)，總共111頁(yè)。例設(shè)Ⅰ型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的Bode圖。

解系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性分別為當(dāng)前57頁(yè)，總共111頁(yè)。當(dāng)前58頁(yè)，總共111頁(yè)。2.系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性有如下特點(diǎn)低頻段的斜率為－20νdB/dec，ν為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)中所包含的串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目。低頻段直線（若存在小于1的轉(zhuǎn)折頻率時(shí)則為其延長(zhǎng)線）在ω

＝1處的對(duì)數(shù)幅值為201gK。在典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率處，對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線的斜率要發(fā)生變化，變化的情況取決于典型環(huán)節(jié)的類(lèi)型如遇到G(s)＝(1+Ts)±1的環(huán)節(jié)，交接頻率處斜率改變±20dB/dec；如遇二階振蕩環(huán)節(jié)，在交接頻率處斜率就要改變－40dB/dec，等等。當(dāng)前59頁(yè)，總共111頁(yè)。3.繪制對(duì)數(shù)幅頻特性的步驟歸納如下

(1)將開(kāi)環(huán)頻率特性分解為典型環(huán)節(jié)相乘形式（時(shí)間常數(shù)形式）；(2)求出各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率（各環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)的倒數(shù)），將其從小到大排列為ω1，ω2

ω3…，并標(biāo)注在ω

軸上；(3)繪制低頻漸近線（ω1左邊的部分），這是一條斜率為-20νdB/dec的直線；當(dāng)前60頁(yè)，總共111頁(yè)。(4)隨著ω的增加，每遇到一個(gè)典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，就按上述方法改變一次斜率；(5)必要時(shí)可用漸近線和精確曲線的誤差表，對(duì)轉(zhuǎn)折頻率附近的曲線進(jìn)行修正，以求得更精確曲線。(6)對(duì)數(shù)相頻特性可以由各個(gè)典型環(huán)節(jié)的相頻特性相加而得，也可以利用相頻特性函數(shù)(ω)直接計(jì)算。當(dāng)前61頁(yè)，總共111頁(yè)。四、最小相位系統(tǒng)

1.定義最小相位對(duì)象：復(fù)平面右半平面既無(wú)零點(diǎn)也無(wú)極點(diǎn)的傳遞函數(shù)所表示的對(duì)象。否則，稱為非最小相位對(duì)象。注意：最小相位的概念是根據(jù)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)分布情況定義的，而不限定系統(tǒng)是開(kāi)環(huán)還是閉環(huán)。含有延時(shí)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，以及包含不穩(wěn)定零極點(diǎn)的傳遞函數(shù)都不是最小相位對(duì)象。當(dāng)前62頁(yè)，總共111頁(yè)。2.

有關(guān)結(jié)論對(duì)幅頻特性相同的系統(tǒng)，最小相位系統(tǒng)的相頻特性函數(shù)的絕對(duì)值是最小的，即輸出正弦信號(hào)相當(dāng)于輸入正弦信號(hào)的相移量最小。對(duì)于最小相位系統(tǒng)，對(duì)數(shù)幅頻特性與相頻特性之間存在著唯一的對(duì)應(yīng)關(guān)系。在響應(yīng)開(kāi)始階段，非最小相位系統(tǒng)的啟動(dòng)性能不好，所以該系統(tǒng)的響應(yīng)緩慢。

當(dāng)前63頁(yè)，總共111頁(yè)。例設(shè)有一最小相位系統(tǒng)，其頻率特性為另有一非最小相位系統(tǒng)，其頻率特性繪制兩者的Bode圖

bode([11],[1001])holdonbode([-11],[1001])當(dāng)前64頁(yè)，總共111頁(yè)。最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的Bode圖當(dāng)前65頁(yè)，總共111頁(yè)。例繪制開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為的Bode圖。

解系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性分別為可見(jiàn)，此系統(tǒng)的幅頻特性與慣性環(huán)節(jié)相同，而其相頻特性卻比慣性環(huán)節(jié)多了一項(xiàng)-τω

。顯然，它的遲后相角增加很快。當(dāng)前66頁(yè)，總共111頁(yè)。當(dāng)前67頁(yè)，總共111頁(yè)。補(bǔ)充：根據(jù)最小相位對(duì)象的Bode圖，求其傳遞函數(shù)當(dāng)前68頁(yè)，總共111頁(yè)。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的優(yōu)點(diǎn)圖解法、幾何判據(jù)，簡(jiǎn)單、直觀、計(jì)算量?。▌谒?赫爾維茨判據(jù)是代數(shù)判據(jù)）。可以不必知道系統(tǒng)的微分方程和傳遞函數(shù)，而只依靠解析法或?qū)嶒?yàn)法獲得的開(kāi)環(huán)頻率特性便可應(yīng)用。有助于建立相對(duì)穩(wěn)定性的概念。Nyquist判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：復(fù)變函數(shù)論中的映射定理，又稱幅角定理。5.4Nyquist穩(wěn)定判據(jù)

當(dāng)前69頁(yè)，總共111頁(yè)。一、幅角定理（映射定理）

1.s平面和F(s)平面之間的映射關(guān)系設(shè)有一復(fù)變函數(shù)s為復(fù)變量，以s復(fù)平面上的s=σ+jω表示。F(s)為復(fù)變函數(shù)，記F(s)＝U+jV。假設(shè)s平面上除了有限奇點(diǎn)之外的任一點(diǎn)s，復(fù)變函數(shù)F(s)為解析函數(shù)。當(dāng)前70頁(yè)，總共111頁(yè)。因此，如果在s平面畫(huà)一條封閉曲線Γs，并使其不通過(guò)F(s)的任一奇點(diǎn)，則在F(s)平面上必有一條對(duì)應(yīng)的映射曲線ΓF，如下圖所示s

平面與F(s)平面的映射關(guān)系當(dāng)前71頁(yè)，總共111頁(yè)。兩點(diǎn)說(shuō)明：若在s平面上的封閉曲線Γs是沿著順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)的，則在F(s)平面上的映射曲線ΓF的運(yùn)動(dòng)方向可能是順時(shí)針的，也可能是逆時(shí)針的，這取決于F(s)函數(shù)的特性;

我們感興趣的不是映射曲線ΓF的形狀，而是它包圍坐標(biāo)原點(diǎn)的次數(shù)和運(yùn)動(dòng)方向，因?yàn)檫@兩者與系統(tǒng)的穩(wěn)定性密切相關(guān)（都與F(s)的相角變化有關(guān)系）。當(dāng)前72頁(yè)，總共111頁(yè)。2.復(fù)變函數(shù)F(s)的相角表示及其變化

復(fù)變函數(shù)F(s)的相角可表示為封閉曲線包圍z1時(shí)的映射情況當(dāng)前73頁(yè)，總共111頁(yè)。若s平面上的封閉曲線Γs包圍著F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)，則在F(s)平面上的映射曲線ΓF將按順時(shí)針?lè)较驀@著坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)Z周；用類(lèi)似分析方法可以推論，若s平面上的封閉曲線Γs包圍了F(s)的P個(gè)極點(diǎn)，則當(dāng)s沿著Γs順時(shí)針移動(dòng)一周時(shí)，在F(s)平面上的映射曲線ΓF將按逆時(shí)針?lè)较驀@著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)P周。當(dāng)前74頁(yè)，總共111頁(yè)。3.幅角定理（映射定理）幅角定理：設(shè)s平面上的封閉曲線Γs包圍了復(fù)變函數(shù)F(s)的P個(gè)極點(diǎn)和Z個(gè)零點(diǎn)，并且此曲線不經(jīng)過(guò)F(s)的任一零點(diǎn)和極點(diǎn)，則當(dāng)復(fù)變量s沿封閉曲線Γs順時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)一周時(shí)，在F(s)平面上的映射曲線ΓF按逆時(shí)針?lè)较虬鼑鴺?biāo)原點(diǎn)P－Z周?？梢?jiàn)，F(xiàn)平面上曲線繞原點(diǎn)的周數(shù)和方向與s平面上封閉曲線包圍F(s)的零極點(diǎn)數(shù)目有關(guān)。

當(dāng)前75頁(yè)，總共111頁(yè)。二、Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)

1.輔助函數(shù)設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)稱如下F(s)為輔助函數(shù)當(dāng)前76頁(yè)，總共111頁(yè)。輔助函數(shù)特點(diǎn)：輔助函數(shù)是閉環(huán)與開(kāi)環(huán)特征多項(xiàng)式之比。F(s)的零點(diǎn)為系統(tǒng)特征方程的根（閉環(huán)極點(diǎn)）s1、s2、…sn，而F(s)的極點(diǎn)則為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)p1、p2、…pn。

F(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)個(gè)數(shù)相同。

F(s)與開(kāi)環(huán)傳函只差1。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是，特征方程的根，即F(s)的零點(diǎn)，都位于s

平面的左半部。當(dāng)前77頁(yè)，總共111頁(yè)。2.乃氏回線為了判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，需要檢驗(yàn)F(s)是否有位于s平面右半部的零點(diǎn)。Nyquist回線(簡(jiǎn)稱乃氏回線)：一條包圍整個(gè)s

平面右半部的按順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)的封閉曲線。當(dāng)前78頁(yè)，總共111頁(yè)。如此定義的封閉曲線肯定包圍了F(s)的位于s平面右半部的所有零點(diǎn)和極點(diǎn)。當(dāng)前79頁(yè)，總共111頁(yè)。3.Nyquist穩(wěn)定判據(jù)設(shè)復(fù)變函數(shù)F(s)在s平面的右半部有Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)。根據(jù)映射定理，當(dāng)s

沿著s平面上的乃氏回線順時(shí)針移動(dòng)一周時(shí)，在F(s)平面上的映射曲線CF將按逆時(shí)針?lè)较驀@坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)N=P－Z周。由于閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，F(xiàn)(s)在s

平面右半部無(wú)零點(diǎn)，即Z＝0。因此可得以下的穩(wěn)定判據(jù):當(dāng)前80頁(yè)，總共111頁(yè)。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)（第一種表述方法）:如果在s平面上，s沿著乃氏回線順時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)一周時(shí)，在F(s)平面上的映射曲線CF

圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)N=P周，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的（P為不穩(wěn)定開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的數(shù)目）。如果N≠P，說(shuō)明閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)分布在右半s平面的極點(diǎn)數(shù)Z＝P-N。如果開(kāi)環(huán)穩(wěn)定，即P=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是：映射曲線CF

圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)的圈數(shù)為N=0。當(dāng)前81頁(yè)，總共111頁(yè)。根據(jù)系統(tǒng)閉環(huán)特征方程有F(s)的映射曲線CF圍繞原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況，相當(dāng)于G(s)H(s)的封閉曲線CGH圍繞(－1，j0)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況。乃氏曲線映射在F(s)平面和G(s)H(s)平面上當(dāng)前82頁(yè)，總共111頁(yè)。繪制映射曲線CGH的方法是：對(duì)應(yīng)于C1的映射曲線：令s＝j(luò)ω代入G(s)H(s)，得到開(kāi)環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)，畫(huà)出Nyquist圖，再畫(huà)出其對(duì)稱于實(shí)軸的、ω

從0變到－∞的那部分曲線。對(duì)應(yīng)于的映射曲線：由于在實(shí)際系統(tǒng)中n≥m，當(dāng)n＞m時(shí)G(s)H(s)趨近于零，n＝m時(shí)G(s)H(s)為實(shí)常數(shù)。因此，繪制出ω從－∞變化到＋∞的開(kāi)環(huán)頻率特性，就構(gòu)成了完整的映射曲線CGH。當(dāng)前83頁(yè)，總共111頁(yè)。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)（第二種表述方法）：閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是，當(dāng)ω

從－∞變化到＋∞時(shí)，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)按逆時(shí)針?lè)较虬鼑?－1,j0)點(diǎn)N＝P周，P為位于s平面右半部的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)目。如果N≠P，說(shuō)明閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)分布在右半s平面的極點(diǎn)數(shù)Z＝P-N。如果開(kāi)環(huán)穩(wěn)定，即P=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是：映射曲線CGH圍繞(－1,j0)的圈數(shù)為N=0。當(dāng)前84頁(yè)，總共111頁(yè)。例已知開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制K=5時(shí)的乃氏圖，并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當(dāng)前85頁(yè)，總共111頁(yè)。三、虛軸上有開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的Nyquist穩(wěn)定判據(jù)虛軸上有開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的情況通常出現(xiàn)在系統(tǒng)中有串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的時(shí)候，即在s平面的坐標(biāo)原點(diǎn)有開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。這時(shí)不能直接應(yīng)用前面給出的乃氏回線。（因?yàn)橛成涠ɡ硪蟠嘶鼐€不經(jīng)過(guò)F(s)的奇點(diǎn)?。榱嗽谶@種情況下應(yīng)用乃氏判據(jù)，可以選擇新的乃氏回線。當(dāng)前86頁(yè)，總共111頁(yè)。虛軸上有開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的乃氏回線

虛軸上無(wú)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的乃氏回線當(dāng)前87頁(yè)，總共111頁(yè)。半徑無(wú)窮小半圓對(duì)應(yīng)的G(s)H(s)曲線當(dāng)s沿著上述小半圓移動(dòng)時(shí)，有當(dāng)ω從0-沿小半圓變到0+時(shí)，s按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)了180°。

G(s)H(s)在其平面上的映射為ν

為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)數(shù)目。當(dāng)前88頁(yè)，總共111頁(yè)?？梢?jiàn)，當(dāng)s沿著小半圓從ω=0-變化到ω=0+時(shí)，θ角從－90°經(jīng)0°變化到＋90°，這時(shí)在G(s)H(s)平面上的映射曲線將沿著半徑為無(wú)窮大的圓弧按順時(shí)針?lè)较驈?0ν°經(jīng)過(guò)0°轉(zhuǎn)到－90ν°。即

ω：0-→0+；

θ：－90°→0°→＋90°；

(ω)

：＋90ν°→0°→－90ν°

當(dāng)前89頁(yè)，總共111頁(yè)。例繪制開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為的Nyquist圖，并判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

因?yàn)閟

平面右半部開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)P＝0，且乃氏曲線順時(shí)針包圍(－1,j0)點(diǎn)2次，即N=－2，則Z＝P－N=2，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)在s平面右半部。當(dāng)前90頁(yè)，總共111頁(yè)。例繪制開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為的乃氏圖，并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

因?yàn)閟

平面右半部的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)P＝0，且乃氏曲線順時(shí)針包圍(－1，j0)點(diǎn)2次，即N=－2，則Z＝P－N=2，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)在s

平面右半部。當(dāng)前91頁(yè)，總共111頁(yè)。四、對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)

對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)是乃氏判據(jù)的另一種形式，即利用開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的伯德圖來(lái)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1.系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性的Nyquist圖和Bode圖之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系Nyquist圖上以原點(diǎn)為圓心的單位圓

Bode圖對(duì)數(shù)幅頻特性的0分貝線單位圓以外L(ω)>0的部分單位圓內(nèi)部L(ω)<0的部分Nyquist圖上的負(fù)實(shí)軸

Bode圖上相頻特性的－180°線。當(dāng)前92頁(yè)，總共111頁(yè)。2.正穿越和負(fù)穿越幅相曲線沿ω增加方向繞(-1，j0)點(diǎn)的圈數(shù)也可以根據(jù)幅相曲線在(-∞,-1)的負(fù)實(shí)軸的穿越次數(shù)確定。開(kāi)環(huán)幅相特性曲線G(jω)H(jω)，沿ω增加方向，由上往下穿過(guò)(-∞,-1)的負(fù)實(shí)軸一次，稱為一個(gè)正穿越；由下往上穿過(guò)(-∞,-1)的負(fù)實(shí)軸一次，稱為一個(gè)負(fù)穿越;G(jω)H(jω)曲線從(-∞,-1)的負(fù)實(shí)軸開(kāi)始向下（向上）稱為半個(gè)正（負(fù)）穿越。

+1/2次穿越-1/2次穿越當(dāng)前93頁(yè)，總共111頁(yè)。3.對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，當(dāng)ω由0變到∞時(shí)，在開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性L(ω)≥0的頻段內(nèi)，相頻特性(ω)穿越－180°線的次數(shù)(正穿越與負(fù)穿越次數(shù)之差)為P/2。P為s平面右半部開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)目。注意，乃氏判據(jù)中，s沿著乃氏回線順時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)一周，故ω由－∞變到+∞，所以伯德圖中ω由0變到∞時(shí)，穿越次數(shù)為P/2，而不是P。當(dāng)前94頁(yè)，總共111頁(yè)。例系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試用對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判斷其穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在s平面右半部沒(méi)有極點(diǎn)，即P=0，而在L(ω)≥0的頻段內(nèi)，相頻特性(ω)不穿越－180°線，故閉環(huán)系統(tǒng)必然穩(wěn)定。當(dāng)前95頁(yè)，總共111頁(yè)。第四節(jié)系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性相對(duì)穩(wěn)定性：若系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)沒(méi)有右半平面的極點(diǎn)，且閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么乃氏曲線G(jω)H(jω)離(－1,j0)點(diǎn)越遠(yuǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越高；反之，G(jω)H(jω)離(－1,j0)點(diǎn)越近，則閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越低；如果G(jω)H(jω)穿過(guò)(－1,j0)點(diǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。穩(wěn)定裕度：衡量閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定程度的指標(biāo)，常用的有相角裕度γ和幅值裕度Kg。當(dāng)前96頁(yè)，總共111頁(yè)。相角裕度和增益裕度當(dāng)前97頁(yè)，總共111頁(yè)。1.相角裕度γ在頻率特性上對(duì)應(yīng)于幅值A(chǔ)(ω)＝1(即L(ω)=0)的角頻率稱為剪切頻率(截止頻率)，以ωc表示，在剪切頻率處，相頻特性距－180°線的相位差γ叫做相角裕度。即上圖(a)表示的具有正相角裕度的系統(tǒng)不僅穩(wěn)定，而且還有相當(dāng)?shù)姆€(wěn)定儲(chǔ)備，它可以在ωc的頻率下，允許相角再增加（遲后）γ度才達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)前98頁(yè)，總共111頁(yè)。2.幅值裕度Kg

在相頻特性等于－180°的頻率ωg（穿越頻率）處，開(kāi)環(huán)幅頻特性A(ωg)的倒數(shù)，稱為增益裕度，記做Kg。即在Bode圖上，幅值裕度改以分貝(dB)表示

當(dāng)前99頁(yè)，總共111頁(yè)。相角裕度和增益裕度當(dāng)前100頁(yè)，總共111頁(yè)。幾點(diǎn)說(shuō)明：對(duì)于—個(gè)穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)，其相角裕度應(yīng)為正值，增益裕度應(yīng)大于1；嚴(yán)格地講，應(yīng)當(dāng)同時(shí)給出相角裕度和增益裕度，才能確定系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。但在粗略估計(jì)系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)指標(biāo)時(shí)，主要對(duì)相角裕度提出要求。為使系統(tǒng)有滿意的穩(wěn)定儲(chǔ)備，以及得到較滿意的暫態(tài)響應(yīng)，在工程實(shí)踐中，一般希望當(dāng)前101頁(yè)，總共111頁(yè)。對(duì)于最小相位系統(tǒng)，開(kāi)環(huán)幅頻特性和相頻特性之間存在唯一的對(duì)應(yīng)關(guān)系。上述相角裕度