數(shù)學(xué)初二（上）期中（2021-2022）四中含答案

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2021-2022學(xué)年北京四中八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）1．（2分）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，將于2022年02月04日～2022年02月20日在中華人民共和國(guó)北京市和張家口市聯(lián)合舉行．在會(huì)徽的圖案設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)者常常利用對(duì)稱性進(jìn)行設(shè)計(jì)，下列四個(gè)圖案是歷屆會(huì)徽?qǐng)D案上的一部分圖形，其中不是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）下列運(yùn)算正確的是（）A．m+3m＝3m2 B．3m3?2m2＝6m6 C．（3m）2＝9m2 D．m6÷m6＝m3．（2分）如圖，點(diǎn)B，D，E，C在同一條直線上，若△ABD≌△ACE，∠AEC＝110°，則∠DAE的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°4．（2分）某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了3塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最少要帶第（）塊去玻璃店就可以買到完全一樣的玻璃．A．① B．② C．③ D．①②③5．（2分）在正方形網(wǎng)格中，∠AOB的位置如圖所示，到∠AOB兩邊距離相等的點(diǎn)應(yīng)是（）A．點(diǎn)M B．點(diǎn)N C．點(diǎn)P D．點(diǎn)Q6．（2分）如圖1，將長(zhǎng)為（x+1），寬為（x﹣1）的長(zhǎng)方形沿虛線剪去一個(gè)寬為1的小長(zhǎng)方形（陰影部分），得到兩個(gè)長(zhǎng)方形，再將這兩個(gè)長(zhǎng)方形拼成圖2所示圖形．這兩個(gè)圖能解釋下列哪個(gè)等式（）A．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1 B．x（x﹣1）＝x2﹣x C．（x+1）2＝x2+2x+1 D．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣17．（2分）如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)M為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作MD⊥AB于點(diǎn)D，延長(zhǎng)CB使得BF＝AM，連接MF交AB于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)為（）A． B．1 C． D．28．（2分）設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，定義*的一種運(yùn)算如下：a*b＝（a+b）2，則下列結(jié)論有：①a*b＝0，則a＝0且b＝0②a*b＝b*a③a*（b+c）＝a*b+a*c④a*b＝（﹣a）*（﹣b）正確的有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）9．（2分）計(jì)算：（π﹣2）0＝．10．（2分）計(jì)算：（﹣3a2b）3＝；a6÷a3＝．11．（2分）如圖，已知∠1＝∠2，請(qǐng)你添上一個(gè)條件：，使△ABC≌△ADC．12．（2分）如圖，在△ABC中，BD是邊AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于點(diǎn)E，DE＝4，BC＝10，則△BCE的面積為．13．（2分）如圖，DE是△ABC中AC邊的垂直平分線，若BC＝4cm，AB＝5cm，則△EBC的周長(zhǎng)為．14．（2分）小明同學(xué)在學(xué)習(xí)了全等三角形的相關(guān)知識(shí)后發(fā)現(xiàn)，只用兩把完全相同的長(zhǎng)方形直尺就可以作出一個(gè)角的平分線．如圖：一把直尺壓住射線OB，另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點(diǎn)P，小明說(shuō)：“射線OP就是∠BOA的角平分線．”小明的做法，其理論依據(jù)是．15．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，則BC邊中線AD的取值范圍為．16．（2分）麗麗在做一道計(jì)算題目（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）的時(shí)候是這樣分析的：這個(gè)算式里面每個(gè)括號(hào)內(nèi)都是兩數(shù)和的形式，跟最近學(xué)的乘法公式作比較，發(fā)現(xiàn)如果添加兩數(shù)的差作為新的因式，就可以運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算，她嘗試添了因式（2﹣1），很快得到計(jì)算結(jié)果．①（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）＝；請(qǐng)參考麗麗的方法進(jìn)行運(yùn)算：②（5+1）（52+1）（54+1）…（52048+1）的值為．三、解答題（本大題共12小題，第17題14分，第23、25題每題8分，第24題6分，26題7分，其余每題5分，共68分）17．計(jì)算：（1）（﹣4x2）（3x+1）；（2）（m+2n）（3n﹣m）；（3）（12m3﹣6m2+3m）÷3m；（4）（2x+y+z）（2x﹣y﹣z）．18．課堂上，老師讓同學(xué)們計(jì)算（3a﹣b）（3a+b）﹣a（4a﹣1）．（3a﹣b）（3a+b）﹣a（4a﹣1）＝3a2﹣b2﹣4a2﹣a＝﹣a2﹣b2﹣a左邊是小朱的解題過(guò)程．請(qǐng)你判斷其是否正確？如果有錯(cuò)誤，請(qǐng)寫出正確的解題過(guò)程．19．如圖，已知∠AOB．按照以下步驟作圖：①以點(diǎn)O為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑作弧，分別交OA、OB于M、N兩點(diǎn)；②分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于MN的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C．則射線OC是∠AOB的平分線．根據(jù)上面的作法，完成以下問(wèn)題：（1）使用直尺和圓規(guī)，作出射線OC（請(qǐng)保留作圖痕跡）；（2）完成下面證明過(guò)程．（注：括號(hào)里填寫推理的依據(jù)）．連接MC，NC．在△OCM和△OCN中，∵，∴△OCM≌△OCN（），∴∠AOC＝（），即OC平分∠AOB．20．如圖，△ABC的頂點(diǎn)都是格點(diǎn)（平面直角坐標(biāo)系中橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)）．（1）請(qǐng)畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A'B'C'（其中A'，B'，C'分別是A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，不寫畫法）；（2）直接寫出A'，B'，C'三點(diǎn)的坐標(biāo)：A′，B′，C′．21．化簡(jiǎn)求值：若a2﹣3a＝1，求（2a﹣3）2﹣（a+2）（a﹣5）的值．22．已知：AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E、F，AE＝DF．求證：AB∥CD．23．計(jì)算：（1）已知10m＝2，10n＝3，求103m+2n的值；（2）已知（x+y）2＝16，（x﹣y）2＝4，求xy的值．24．如圖，已知AB＝AC，E為AB上一點(diǎn)，ED∥AC，ED＝AE．求證：BD＝CD．25．我們類比學(xué)習(xí)“三角形全等的判定”獲得的經(jīng)驗(yàn)與方法，對(duì)“四邊形全等的判定”進(jìn)行探究．根據(jù)全等形的定義，如果四邊形滿足四條邊分別相等，四個(gè)角分別相等，就能判定這兩個(gè)四邊形全等．【初步思考】一定要滿足四條邊分別相等，四個(gè)角也分別相等，才能保證兩個(gè)四邊形全等嗎？能否在上述八個(gè)條件中選擇部分條件，簡(jiǎn)捷地判定兩個(gè)四邊形全等呢？通過(guò)畫圖可以發(fā)現(xiàn)，滿足上述八個(gè)條件中的四個(gè)條件的兩個(gè)四邊形不一定全等，舉反例如圖1或圖2：【深入探究】滿足上述八個(gè)條件中的五個(gè)，能保證兩個(gè)四邊形全等嗎？小萍所在學(xué)習(xí)小組進(jìn)行了研究，她們認(rèn)為五個(gè)條件可分為以下四種類型：Ⅰ．一條邊和四個(gè)角分別相等；Ⅱ．二條邊和三個(gè)角分別相等；Ⅲ．三條邊和二個(gè)角分別相等；Ⅳ．四條邊和一個(gè)角分別相等．（1）小齊認(rèn)為“Ⅰ．一條邊和四個(gè)角分別相等”的兩個(gè)四邊形不一定全等，請(qǐng)你畫圖舉反例說(shuō)明，并寫出分別相等的一條邊和四個(gè)角．（2）小栗認(rèn)為“Ⅳ．四條邊和一個(gè)角分別相等”的兩個(gè)四邊形全等，請(qǐng)你結(jié)合下圖3進(jìn)行證明．已知：如圖，四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1中，AB＝A1B1，BC＝B1C1，CD＝C1D1，DA＝D1A1，∠B＝∠B1．求證：四邊形ABCD≌四邊形A1B1C1D1．（3）小熊認(rèn)為還可以對(duì)“Ⅱ．二條邊和三個(gè)角分別相等”進(jìn)一步分類，他以四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1為例，分為以下幾類：①AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1；②AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠D＝∠D1；③AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，∠D＝∠D1；④AB＝A1B1，CD＝C1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1．其中能判定四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1全等的是（填序號(hào)），概括可得一個(gè)“全等四邊形的判定方法”，這個(gè)判定方法是．26．已知：如圖1，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線．E是線段AD上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，點(diǎn)D重合），滿足∠ABE＝2∠ACE．（1）如圖2，若∠ACE＝18°，且EA＝EC，則∠DEC＝°，∠AEB＝°．（2）求證：AB+BE＝AC．（3）如圖3，若BD＝BE，請(qǐng)直接寫出∠ABE和∠BAC的數(shù)量關(guān)系．27．我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例．下面我們依次對(duì)（a+b）n展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n取正整數(shù)時(shí)可以單獨(dú)列成表中的形式：例如，在三角形中第二行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對(duì)應(yīng)（a+b）2＝a2+2ab+b2展開(kāi)式中的系數(shù)．（1）根據(jù)表中規(guī)律，寫出（a+b）5的展開(kāi)式；（2）寫出（a+b）12展開(kāi)式中含a10b2項(xiàng)的系數(shù)是．28．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，定義：①“直線y＝m”表示過(guò)點(diǎn)（0，m）且平行于x軸的直線；②若點(diǎn)P和點(diǎn)P1關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)P1和點(diǎn)P2關(guān)于直線l對(duì)稱，則稱點(diǎn)P2是點(diǎn)P關(guān)于直線l的二次對(duì)稱點(diǎn)．③若圖形T關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形為T1，圖形T1關(guān)于直線l對(duì)稱的圖形為T2，則稱T2是圖形T關(guān)于直線l的二次對(duì)稱圖形．例如：點(diǎn)Q（1，2）關(guān)于直線y＝1的二次對(duì)稱點(diǎn)是Q2（﹣1，0）．已知四點(diǎn)A（1，﹣1），B（﹣1，﹣3），C（﹣3，3），D（1，1）．（1）若點(diǎn)E是點(diǎn)A關(guān)于直線l1：y＝2的二次對(duì)稱點(diǎn)，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為；（2）點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于直線l2：y＝a的二次對(duì)稱點(diǎn)，則a的值為；（3）已知線段CD關(guān)于直線y＝b的二次對(duì)稱圖形C2D2與線段BD有交點(diǎn)，則b的取值范圍為．（4）已知△ABC關(guān)于直線y＝t的二次對(duì)稱圖形為△A2B2C2．若△A2B2C2與△BCD無(wú)交點(diǎn)，則t的取值范圍為．

2021-2022學(xué)年北京四中八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）1．（2分）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，將于2022年02月04日～2022年02月20日在中華人民共和國(guó)北京市和張家口市聯(lián)合舉行．在會(huì)徽的圖案設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)者常常利用對(duì)稱性進(jìn)行設(shè)計(jì)，下列四個(gè)圖案是歷屆會(huì)徽?qǐng)D案上的一部分圖形，其中不是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案，關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱圖形的概念．2．（2分）下列運(yùn)算正確的是（）A．m+3m＝3m2 B．3m3?2m2＝6m6 C．（3m）2＝9m2 D．m6÷m6＝m【分析】直接利用單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式以及積的乘方運(yùn)算法則、合并同類項(xiàng)法則、整式的除法運(yùn)算法則分別化簡(jiǎn)得出答案．【解答】解：A．m+3m＝4m，故此選項(xiàng)不合題意；B．3m3?2m2＝6m5，故此選項(xiàng)不合題意；C．（3m）2＝9m2，故此選項(xiàng)符合題意D．m6÷m6＝1，故此選項(xiàng)不合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式以及積的乘方運(yùn)算、合并同類項(xiàng)、整式的除法運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．3．（2分）如圖，點(diǎn)B，D，E，C在同一條直線上，若△ABD≌△ACE，∠AEC＝110°，則∠DAE的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ADB＝∠AEC＝110°，再利用鄰補(bǔ)角的定義計(jì)算出∠ADE＝∠AED＝70°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算∠DAE的度數(shù)．【解答】解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝110°，∴∠ADE＝∠AED＝180°﹣110°＝70°，∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝40°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．4．（2分）某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了3塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最少要帶第（）塊去玻璃店就可以買到完全一樣的玻璃．A．① B．② C．③ D．①②③【分析】根據(jù)全等三角形的判定，已知兩角和夾邊，就可以確定一個(gè)三角形．【解答】解：根據(jù)三角形全等的判定方法，根據(jù)角邊角可確定一個(gè)全等三角形，只有第三塊玻璃包括了兩角和它們的夾邊，只有帶③去才能配一塊完全一樣的玻璃，是符合題意的．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做題時(shí)要根據(jù)已知條件進(jìn)行選擇運(yùn)用．5．（2分）在正方形網(wǎng)格中，∠AOB的位置如圖所示，到∠AOB兩邊距離相等的點(diǎn)應(yīng)是（）A．點(diǎn)M B．點(diǎn)N C．點(diǎn)P D．點(diǎn)Q【分析】角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．【解答】解：觀察圖形可知點(diǎn)M在∠AOB的角平分線上，∴點(diǎn)M到∠AOB兩邊距離相等．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2分）如圖1，將長(zhǎng)為（x+1），寬為（x﹣1）的長(zhǎng)方形沿虛線剪去一個(gè)寬為1的小長(zhǎng)方形（陰影部分），得到兩個(gè)長(zhǎng)方形，再將這兩個(gè)長(zhǎng)方形拼成圖2所示圖形．這兩個(gè)圖能解釋下列哪個(gè)等式（）A．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1 B．x（x﹣1）＝x2﹣x C．（x+1）2＝x2+2x+1 D．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1【分析】用代數(shù)式分別表示出圖1和圖2中兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積的和，由此得出等量關(guān)系即可．【解答】解：圖1的面積為：（x+1）（x﹣1），圖2中拼成圖形的面積為：x2﹣1，∴（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方差公式的幾何背景，利用兩個(gè)長(zhǎng)方形面積的和不變列出等式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．7．（2分）如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)M為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作MD⊥AB于點(diǎn)D，延長(zhǎng)CB使得BF＝AM，連接MF交AB于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)為（）A． B．1 C． D．2【分析】作FN⊥AB，交直線AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接MN，DF，由BF＝AM，再根據(jù)全等三角形的判定定理得出△FNB≌△MDA，再由NF＝DM，BN＝AD且FN∥DM，可知四邊形FDMN是平行四邊形，進(jìn)而可得出NB+BD＝AD+BD＝AB，DE＝AB，由等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3可得出DE＝即可．【解答】解：作FN⊥AB，交直線AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接MN，DF，如圖：又∵M(jìn)D⊥AB于點(diǎn)D，∴∠FNB＝∠MDA＝90°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠FBN＝60°，在FNB和△MDA中，，∴△FNB≌△MDA（AAS），∴NF＝DM，BN＝AD且FN∥DM，∴四邊形FDMN是平行四邊形，∴DE＝ND，∵D＝NB+BD＝AD+BD＝AB，∴DE＝AB，又∵AB＝3，∴DE＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，能推出兩三角形全等是解此題的關(guān)鍵．8．（2分）設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，定義*的一種運(yùn)算如下：a*b＝（a+b）2，則下列結(jié)論有：①a*b＝0，則a＝0且b＝0②a*b＝b*a③a*（b+c）＝a*b+a*c④a*b＝（﹣a）*（﹣b）正確的有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)新定義的運(yùn)算的意義，將其轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的運(yùn)算，根據(jù)常見(jiàn)的運(yùn)算的性質(zhì)逐個(gè)做出判斷．【解答】解：∵a*b＝0，a*b＝（a+b）2，∴（a+b）2＝0，即：a+b＝0，∴a、b互為相反數(shù)，因此①不符合題意，a*b＝（a+b）2，b*a＝（b+a）2，因此②符合題意，a*（b+c）＝（a+b+c）2，a*b+a*c＝（a+b）2+（a+c）2，故③不符合題意，∵a*b＝（a+b）2，（﹣a）*（﹣b）＝（﹣a﹣b）2，∵（a+b）2＝（﹣a﹣b）2，∴a*b＝（﹣a）*（﹣b）故④符合題意，因此正確的個(gè)數(shù)有2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】考查完全平方公式的特點(diǎn)和應(yīng)用，新定義一種運(yùn)算關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可．二、填空題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）9．（2分）計(jì)算：（π﹣2）0＝1．【分析】根據(jù)非零的零次冪等于，可得答案．【解答】解：（π﹣2）0＝1，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了零指數(shù)冪，非零的零次冪等于1．10．（2分）計(jì)算：（﹣3a2b）3＝﹣27a6b3；a6÷a3＝a3．【分析】利用積的乘方的法則，同底數(shù)冪的除法的法則對(duì)各式進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：（﹣3a2b）3＝（﹣3）3×（a2）3b3＝﹣27a6b3；a6÷a3＝a6﹣3＝a3．故答案為：﹣27a6b3；a3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查同底數(shù)冪的除法，積的乘方，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．11．（2分）如圖，已知∠1＝∠2，請(qǐng)你添上一個(gè)條件：∠B＝∠D或∠ACB＝∠ACD或AB＝AD（答案不唯一），使△ABC≌△ADC．【分析】在△ABC與△ADC中，已知∠1＝∠2，AC是公共邊，具備了一組角、一組邊對(duì)應(yīng)相等，所以添加∠B＝∠D、∠ACB＝∠ACD、AB＝AD均可．【解答】解：添加∠B＝∠D、∠ACB＝∠ACD、AB＝AD后可分別根據(jù)AAS、ASA、SAS判定△ABC≌△ADC．故答案為：∠B＝∠D或∠ACB＝∠ACD或AB＝AD（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法；判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加時(shí)注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，不能添加，根據(jù)已知結(jié)合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關(guān)鍵．12．（2分）如圖，在△ABC中，BD是邊AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于點(diǎn)E，DE＝4，BC＝10，則△BCE的面積為20．【分析】過(guò)E作EF⊥BC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE＝EF＝4，根據(jù)三角形的面積公式求出面積即可．【解答】解：過(guò)E作EF⊥BC于F，∵BD是邊AC上的高，CE平分∠ACB，EF⊥BC，∴DE＝EF，∵DE＝4，∴EF＝4，∵BC＝10，∴△BCE的面積為＝，故答案為：20．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)和三角形的面積，能根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE＝EF是解此題的關(guān)鍵．13．（2分）如圖，DE是△ABC中AC邊的垂直平分線，若BC＝4cm，AB＝5cm，則△EBC的周長(zhǎng)為9cm．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EC，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【解答】解：∵DE是△ABC中AC邊的垂直平分線，∴EA＝EC，∴△EBC的周長(zhǎng)＝BE+EC+BC＝BE+EA+BC＝BA+BC，∵BC＝4cm，AB＝5cm，∴△EBC的周長(zhǎng)＝BA+BC＝9（cm），故答案為：9cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．14．（2分）小明同學(xué)在學(xué)習(xí)了全等三角形的相關(guān)知識(shí)后發(fā)現(xiàn)，只用兩把完全相同的長(zhǎng)方形直尺就可以作出一個(gè)角的平分線．如圖：一把直尺壓住射線OB，另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點(diǎn)P，小明說(shuō)：“射線OP就是∠BOA的角平分線．”小明的做法，其理論依據(jù)是在角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．【分析】過(guò)兩把直尺的交點(diǎn)P作PE⊥AO，PF⊥BO，根據(jù)題意可得PE＝PF，再根據(jù)角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上，可得OP平分∠AOB．【解答】解：如圖所示：過(guò)兩把直尺的交點(diǎn)P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵兩把完全相同的長(zhǎng)方形直尺，∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB（角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上），故答案為：在角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上．15．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，則BC邊中線AD的取值范圍為1＜AD＜4．【分析】如圖，首先倍長(zhǎng)中線AD至E，連接CE，因此可以得到△ABD≌△ECD，這樣就有CE＝AB，然后在△ACE中利用三角形的三邊的關(guān)系即可求解．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)AD至E，使DE＝AD，連接CE，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，∵∠ADB＝∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE＝AB，在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE，而AB＝3，AC＝5，∴5﹣3＜AE＜5+3，∴2＜2AD＜8，即1＜AD＜4．故答案為：1＜AD＜4．【點(diǎn)評(píng)】此題既考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，也考查了三角形的三邊的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用已知條件構(gòu)造全等三角形，然后利用三角形的三邊的關(guān)系解決問(wèn)題．16．（2分）麗麗在做一道計(jì)算題目（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）的時(shí)候是這樣分析的：這個(gè)算式里面每個(gè)括號(hào)內(nèi)都是兩數(shù)和的形式，跟最近學(xué)的乘法公式作比較，發(fā)現(xiàn)如果添加兩數(shù)的差作為新的因式，就可以運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算，她嘗試添了因式（2﹣1），很快得到計(jì)算結(jié)果．①（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）＝232﹣1；請(qǐng)參考麗麗的方法進(jìn)行運(yùn)算：②（5+1）（52+1）（54+1）…（52048+1）的值為＝．【分析】①配上因式（2﹣1），連續(xù)利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可；②配上因式（5﹣1），連續(xù)利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：①原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）＝（28﹣1）（28+1）（216+1）＝（216﹣1）（216+1）＝232﹣1，故答案為：232﹣1；②原式＝（5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）…（52048+1）＝（52﹣1）（52+1）（54+1）…（52048+1）＝（54﹣1）（54+1）…（52048+1）＝（58﹣1）（58+1）…（52048+1）＝……＝（54096﹣1）＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平方差公式，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的前提，配上適當(dāng)?shù)囊蚴绞钦_計(jì)算的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共12小題，第17題14分，第23、25題每題8分，第24題6分，26題7分，其余每題5分，共68分）17．計(jì)算：（1）（﹣4x2）（3x+1）；（2）（m+2n）（3n﹣m）；（3）（12m3﹣6m2+3m）÷3m；（4）（2x+y+z）（2x﹣y﹣z）．【分析】（1）根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則計(jì)算即可；（3）根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則計(jì)算即可；（4）根據(jù)平方差公式與完全平方公式計(jì)算即可．【解答】解：（1）（﹣4x2）（3x+1）＝﹣12x3﹣4x2；（2）（m+2n）（3n﹣m）＝3mn﹣m2+6n2﹣2mn＝mn﹣m2+6n2；（3）（12m3﹣6m2+3m）÷3m＝4m2﹣2m+1；（4）（2x+y+z）（2x﹣y﹣z）＝[2x+（y+z）][2x﹣（y+z）]＝（2x）2﹣（y+z）2＝4x2﹣（y2﹣2yz+z2）＝4x2﹣y2﹣2yz﹣z2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．18．課堂上，老師讓同學(xué)們計(jì)算（3a﹣b）（3a+b）﹣a（4a﹣1）．（3a﹣b）（3a+b）﹣a（4a﹣1）＝3a2﹣b2﹣4a2﹣a＝﹣a2﹣b2﹣a左邊是小朱的解題過(guò)程．請(qǐng)你判斷其是否正確？如果有錯(cuò)誤，請(qǐng)寫出正確的解題過(guò)程．【分析】根據(jù)平方差公式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，以及整式的加減進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：不正確，原式＝9a2﹣b2﹣4a2+a＝5a2﹣b2+a，即正確答案為：5a2﹣b2+a．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平方差公式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，以及整式的加減，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征以及去括號(hào)、合并同類項(xiàng)是得出正確答案的前提．19．如圖，已知∠AOB．按照以下步驟作圖：①以點(diǎn)O為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑作弧，分別交OA、OB于M、N兩點(diǎn)；②分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于MN的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C．則射線OC是∠AOB的平分線．根據(jù)上面的作法，完成以下問(wèn)題：（1）使用直尺和圓規(guī)，作出射線OC（請(qǐng)保留作圖痕跡）；（2）完成下面證明過(guò)程．（注：括號(hào)里填寫推理的依據(jù)）．連接MC，NC．在△OCM和△OCN中，∵，∴△OCM≌△OCN（SSS），∴∠AOC＝∠BOC（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等），即OC平分∠AOB．【分析】（1）根據(jù)題意作圖即可；（2）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)即可完成證明．【解答】（1）解：如圖，射線OC即為所求；（2）證明：連接MC，NC．在△OCM和△OCN中，，∴△OCM≌△OCN（SSS），∴∠AOC＝∠BOC（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等），即OC平分∠AOB．故答案為：SSS，∠BOC，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．20．如圖，△ABC的頂點(diǎn)都是格點(diǎn)（平面直角坐標(biāo)系中橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)）．（1）請(qǐng)畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A'B'C'（其中A'，B'，C'分別是A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，不寫畫法）；（2）直接寫出A'，B'，C'三點(diǎn)的坐標(biāo)：A′（2，2），B′（3，0），C′（﹣2，﹣2）．【分析】（1）（2）利用關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫出A'，B'，C'三點(diǎn)的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可．【解答】解：（1）如圖，△A'B'C'為所作；（2）A'（2，2），B'（3，0），C'（﹣2，﹣2）．故答案為：（2，2），（3，0），（﹣2，﹣2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣軸對(duì)稱變換：幾何圖形都可看作是由點(diǎn)組成，我們?cè)诋嬕粋€(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形時(shí)，也是先從確定一些特殊的對(duì)稱點(diǎn)開(kāi)始的．21．化簡(jiǎn)求值：若a2﹣3a＝1，求（2a﹣3）2﹣（a+2）（a﹣5）的值．【分析】原式利用完全平方公式，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，去括號(hào)合并得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把已知等式變形后代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：原式＝4a2﹣12a+9﹣（a2﹣3a﹣10）＝4a2﹣12a+9﹣a2+3a+10＝3a2﹣9a+19＝3（a2﹣3a）+19，∵a2﹣3a＝1，∴原式＝3×1+19＝22．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的混合運(yùn)算﹣化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．22．已知：AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E、F，AE＝DF．求證：AB∥CD．【分析】由AE⊥BC，DF⊥BC，得出∠AEB＝∠DFC＝90°，再由AE＝DF，AB＝DC得Rt△AEB≌Rt△DFC，即可得∠B＝∠C，即可得出結(jié)論．【解答】證明：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠AEB＝∠DFC＝90°，在Rt△AEB和Rt△DFC中，，∴Rt△AEB≌Rt△DFC（HL），∴∠B＝∠C，∴AB∥CD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，平行線的判定等知識(shí)；熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．23．計(jì)算：（1）已知10m＝2，10n＝3，求103m+2n的值；（2）已知（x+y）2＝16，（x﹣y）2＝4，求xy的值．【分析】（1）逆用同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方，即可得出答案；（2）利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：（1）103m+2n＝103m?102n＝（10m）3?（10n）2＝23×32＝8×9＝72；（2）∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝16①，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4②，∴①﹣②得，4xy＝12，∴xy＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方，完全平方公式，掌握（x+y）2＝x2+2xy+y2，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4是解題的關(guān)鍵．24．如圖，已知AB＝AC，E為AB上一點(diǎn)，ED∥AC，ED＝AE．求證：BD＝CD．【分析】由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得∠EAD＝∠DAC，由“SAS”可證△ADB≌△ADC，可得BD＝CD．【解答】證明：∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC，∵ED＝AE，∴∠EAD＝∠EDA，∴∠EAD＝∠DAC，在△ADB和△ADC中，∴△ADB≌△ADC（SAS），∴BD＝CD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，證明△ADB≌△ADC是本題的關(guān)鍵．25．我們類比學(xué)習(xí)“三角形全等的判定”獲得的經(jīng)驗(yàn)與方法，對(duì)“四邊形全等的判定”進(jìn)行探究．根據(jù)全等形的定義，如果四邊形滿足四條邊分別相等，四個(gè)角分別相等，就能判定這兩個(gè)四邊形全等．【初步思考】一定要滿足四條邊分別相等，四個(gè)角也分別相等，才能保證兩個(gè)四邊形全等嗎？能否在上述八個(gè)條件中選擇部分條件，簡(jiǎn)捷地判定兩個(gè)四邊形全等呢？通過(guò)畫圖可以發(fā)現(xiàn)，滿足上述八個(gè)條件中的四個(gè)條件的兩個(gè)四邊形不一定全等，舉反例如圖1或圖2：【深入探究】滿足上述八個(gè)條件中的五個(gè)，能保證兩個(gè)四邊形全等嗎？小萍所在學(xué)習(xí)小組進(jìn)行了研究，她們認(rèn)為五個(gè)條件可分為以下四種類型：Ⅰ．一條邊和四個(gè)角分別相等；Ⅱ．二條邊和三個(gè)角分別相等；Ⅲ．三條邊和二個(gè)角分別相等；Ⅳ．四條邊和一個(gè)角分別相等．（1）小齊認(rèn)為“Ⅰ．一條邊和四個(gè)角分別相等”的兩個(gè)四邊形不一定全等，請(qǐng)你畫圖舉反例說(shuō)明，并寫出分別相等的一條邊和四個(gè)角．（2）小栗認(rèn)為“Ⅳ．四條邊和一個(gè)角分別相等”的兩個(gè)四邊形全等，請(qǐng)你結(jié)合下圖3進(jìn)行證明．已知：如圖，四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1中，AB＝A1B1，BC＝B1C1，CD＝C1D1，DA＝D1A1，∠B＝∠B1．求證：四邊形ABCD≌四邊形A1B1C1D1．（3）小熊認(rèn)為還可以對(duì)“Ⅱ．二條邊和三個(gè)角分別相等”進(jìn)一步分類，他以四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1為例，分為以下幾類：①AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1；②AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠D＝∠D1；③AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，∠D＝∠D1；④AB＝A1B1，CD＝C1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1．其中能判定四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1全等的是①②③（填序號(hào)），概括可得一個(gè)“全等四邊形的判定方法”，這個(gè)判定方法是有一組鄰邊和三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)四邊形全等．【分析】（1）舉例正方形和矩形滿足條件但是不全等；（2）連接AC、A1C1，先證△ABC≌△A1B1C1，再證△ACD≌△A1C1D1，進(jìn)而得證；（3）①②③證法同（2），④舉反例同（1）．【解答】解：（1）如圖1，在正方形ABCD和矩形EFGH中，滿足AB＝EH，且四對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，正方形ABCD和矩形EFGH不全等；∴一條邊和四個(gè)角分別相等；（2）證明：如圖2，連接AC、A1C1，∵AB＝A1B1，∠B＝∠B1，BC＝B1C1∴△ABC≌△A1B1C1（SAS），∴AC＝A1C1，∠BAC＝∠B1A1C1，∠BCA＝∠B1C1A1，又∵CD＝C1D1，DA＝D1A1，∴△ACD≌△A1C1D1（SSS），∴∠D＝∠D1，∠DAC＝∠D1A1C1，∠DCA＝∠D1C1A1，∴∠BAD＝∠B1A1D1，∠BCD＝∠B1C1D1，∴四邊形ABCD≌四邊形A1B1C1D1；（3）如圖3，AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1；②AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠D＝∠D1；③AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，∠D＝∠D1；④AB＝A1B1，CD＝C1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1．①連接BD，∵AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠A＝∠A1，∴△ABD≌△A1B1D1（SAS），∴∠ABD＝∠A1B1D1，BD＝B1D1，∵∠ABC＝∠A1B1C1，∴∠DBC＝∠D1B1C1，∵∠C＝∠C1，∴△BCD≌△B1D1C1（AAS），∴BC＝B1C1，CD＝C1D1，∴四邊形ABCD≌四邊形A1B1C1D1，故①正確，②同理①可得，∴△ABD≌△A1B1D1（SAS），再證得△BCD≌△B1D1C1，從而四邊形ABCD≌四邊形A1B1C1D1，故②正確；③根據(jù)四邊形的內(nèi)角是360°，∵∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，∠D＝∠D1，∴∠A＝∠A1，轉(zhuǎn)化到①，故③正確；如圖4，滿足AB＝A1B1，CD＝C1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，但兩個(gè)四邊形不全等，故答案是：①②③，有一組鄰邊和三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)四邊形全等．【點(diǎn)評(píng)】本題類比三角形全等的條件探究過(guò)程研究四邊形全等的過(guò)程，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為全等三角形的判定和性質(zhì)．26．已知：如圖1，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線．E是線段AD上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，點(diǎn)D重合），滿足∠ABE＝2∠ACE．（1）如圖2，若∠ACE＝18°，且EA＝EC，則∠DEC＝36°，∠AEB＝126°．（2）求證：AB+BE＝AC．（3）如圖3，若BD＝BE，請(qǐng)直接寫出∠ABE和∠BAC的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）由EA＝EC得∠CAE＝∠ACE＝18°，進(jìn)而求得結(jié)果；（2）在AC上截取AF＝AB，連接FE，可證得△BAE≌△AFE，從而∠AFE＝∠ABE，根據(jù)∠ABE＝2∠ACE可得△CEF是等腰三角形，進(jìn)一步可得證；（3）先推出∠DEC＝∠ACE，從而得出E是△ABC的內(nèi)心，進(jìn)而B(niǎo)E平分∠ABC，可根據(jù)三角形內(nèi)角和推出∠ABE和∠BAC的數(shù)量關(guān)系．【解答】（1）解：∵EA＝EC，∴∠CAE＝∠ACE＝18°，∴∠DEC＝∠CAE+∠ACE＝36°，∵∠ABE＝2∠ACE，∠ACE＝18°，∴∠ABE＝36°，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAE＝∠CAE＝18°，∴∠AEB＝180°﹣∠BAE﹣∠ABE＝180°﹣18°﹣36°＝126°，故答案是：∠DEC＝36°，∠AEB＝126°；（2）證明：如圖1，在AC上截取AF＝AB，連接FE，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAE＝∠CAE，∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEB（SAS），∴EF＝EB，∠AFE＝∠ABE，∵∠ABE＝2∠ACE，∴∠AFE＝2∠ACE，∵∠AFE＝∠ACE+∠CEF，∴2∠ACE＝∠ACE+∠CEF，∴∠ACE＝∠CEF，∴EF＝FC，∴FC＝BE，∴AC＝AF+FC＝AB+BE；（3）解：如圖2，設(shè)∠CAE＝∠BAE＝α，∠ACE＝β，∴∠ABE＝2β，∴∠DEB＝∠BAE+∠ABE＝α+2β，∵BE＝BD，∴∠ADB＝∠DEB＝α+2β，∵∠ADB＝∠CAE+∠ACD，∴2β＝α+（∠ACE+∠DCE），∴2β＝α+（β+∠ACD），∴∠ACD＝β，∴∠ACB＝2∠ACE＝∠ABE，∴CE是∠ACB的平分線，∵AD是∠CAB的平分線，∴E點(diǎn)△ABC的內(nèi)心，∴∠ABE＝∠CBE＝2β，∴∠ABC＝2∠ABE，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠BAC+2∠ABE+∠ABE＝180°，∴3∠ABE+∠BAC＝180°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)心等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是“截長(zhǎng)補(bǔ)短”以及內(nèi)心的性質(zhì)．27．我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例．下面我們依次對(duì)（a+b）n展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n取正整數(shù)時(shí)可以單獨(dú)列成表中的形式：例如，在三角形中第二行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對(duì)應(yīng)（a+b）2＝a2+2ab+b2展開(kāi)式中的系數(shù)．（1）根據(jù)