全等三角形學(xué)習(xí)

全等三角形學(xué)習(xí)第1頁/共94頁下列各組圖形的形狀與大小有什么特點？觀察第2頁/共94頁下列各組圖形的形狀與大小有什么特點？觀察第3頁/共94頁下列各組圖形的形狀與大小有什么特點？觀察第4頁/共94頁下列各組圖形的形狀與大小有什么特點？思考:他們能完全重合嗎?觀察第5頁/共94頁下列各組圖形的形狀與大小有什么特點？思考:他們能完全重合嗎?觀察第6頁/共94頁每組的兩個圖形有什么特點?完全重合觀察第7頁/共94頁

把一塊三角板按在紙上，畫下圖形，照圖形剪下紙板。剪下的紙板與三角板大小、形狀完全相同嗎？他們能夠完全重合嗎？想一想第8頁/共94頁形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合。能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形概念第9頁/共94頁第10頁/共94頁全等形包括規(guī)則圖形和不規(guī)則圖形全等第11頁/共94頁兩個圖形全等，它們的形狀一定相同，大小一定相等！形狀相同大小相同觀察下面三組圖形，它們是不是全等圖形？為什么？第12頁/共94頁形狀不同觀察第13頁/共94頁大小不同觀察第14頁/共94頁下列兩三角形是怎樣由一個三角形得到另一個三角形？它們有什么特點？思考BACNPMACBDE第15頁/共94頁下列兩三角形是怎樣由一個三角形得到另一個三角形？它們有什么特點？思考ABCDCBADE第16頁/共94頁下列兩三角形是怎樣由一個三角形得到另一個三角形？它們有什么特點？思考BDC

一個三角形經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、翻折后所得到的三角形與原三角形全等。第17頁/共94頁ABCEDF1、能夠完全重合的兩個三角形,叫全等三角形EDF2、把兩個三角形重合到一起．重合的頂點叫做對應(yīng)頂點，重合的邊叫做對應(yīng)邊，重合的角叫做對應(yīng)角。全等三角形的概念對應(yīng)頂點是點A和點D，點B和點E，點C和點F；對應(yīng)邊是AB和DE，AC和DF，BC和EF;對應(yīng)角是∠A和∠D，∠B和∠E,∠C和∠F第18頁/共94頁A

BCEDF“全等”用符號“≌”表示圖中的△ABC和△DEF全等，記作:△ABC≌△DEF讀作:△ABC全等于△DEF全等三角形的表示

你能否直接從記作?ABC≌?DEF中判斷出所有的對應(yīng)頂點、對應(yīng)邊和對應(yīng)角？第19頁/共94頁ABCDEF≌?≌!注意記兩個三角形全等時，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上。第20頁/共94頁SOTDCNMOAB兩個全等三角形的位置變化了，對應(yīng)邊、對應(yīng)角的大小有沒有變化？由此你能得到什么結(jié)論？尋找各圖中兩個全等三角形的對應(yīng)元素。觀察與思考EADCBF第21頁/共94頁全等三角形的對應(yīng)邊相等，全等三角形的對應(yīng)角相等.

如圖：∵△ABC≌△DFE∴AB=DF,BC=FE,AC=DE幾何語言：∵△ABC≌△DFE∴∠A=∠D,∠B=∠F,∠C=∠EDEFABC圖形語言：全等三角形的性質(zhì)第22頁/共94頁例題講解，掌握新知如圖,△ABC≌△DCB，指出所有的對應(yīng)邊和對應(yīng)角。ODCBA解：∵△ABC≌△DCB∴AB與DC，BC與CB，AC與BD是對應(yīng)邊∠A與∠D，∠ABC與∠DCB，∠ACB與∠DBC是對應(yīng)角第23頁/共94頁例題講解，掌握新知ODCBA圖中△ABO≌△DCO，試寫出這兩個三角形中相等的邊和相等的角。解：∵△ABO≌△DCO∴AB=DC，BO=CO，AO=DO∠A=∠D，∠ABO=∠DCO，∠AOB=∠DOC第24頁/共94頁ABCDEF∵△ACB≌△DEF∴AB=DF,CB=EF,AC=DE.∴∠A=∠D,∠CBA=∠F,∠C=∠DEF.

先寫出全等式，再指出它們的對應(yīng)邊和對應(yīng)角探究交流第25頁/共94頁ABCD∵△ABC≌△ABD∴AB=AB,BC=BD,AC=AD.∴∠BAC=∠BAD,∠ABC=∠ABD∠C=∠D.規(guī)律一：有公共邊的，公共邊是對應(yīng)邊

先寫出全等式，再指出它們的對應(yīng)邊和對應(yīng)角探究交流第26頁/共94頁ACDB∵△AOC≌△BOD∴AO=BO,AC=BD,OC=OD.∴∠A=∠B,∠C=∠D,∠AOC=∠BOD.規(guī)律二：有對頂角的，對頂角是對應(yīng)角o

先寫出全等式，再指出它們的對應(yīng)邊和對應(yīng)角探究交流第27頁/共94頁ABCDE∵△ABC≌△ADE∴AB=AD,AC=AE,BC=DE∴∠A=∠A,∠B=∠D,∠ACB=∠AED.規(guī)律三：有公共角的，公共角是對應(yīng)角先寫出全等式，再指出它們的對應(yīng)邊和對應(yīng)角探究交流第28頁/共94頁

先寫出全等式，再指出它們的對應(yīng)邊和對應(yīng)角∵△ABC≌△FDE∴AB=FD,AC=FE,BC=DE∴∠A=∠F,∠B=∠D,∠ACB=∠FED.規(guī)律五：一對最大的角是對應(yīng)角一對最小的角是對應(yīng)角ABCFDE規(guī)律四：一對最長的邊是對應(yīng)邊一對最短的邊是對應(yīng)邊探究交流第29頁/共94頁3.有公共角的，公共角一定是對應(yīng)角。4.對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角．5.在兩個全等三角形中最長邊對最長邊，最短邊對最短邊，最大角對最大角，最小角對最小角。1.有公共邊的，公共邊一定是對應(yīng)邊。2.有對頂角的，對頂角一定是對應(yīng)角。規(guī)律第30頁/共94頁找出下列全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角ABCD△ABD≌△CBD課堂練習(xí)第31頁/共94頁找出下列全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角ABCDO△AOD≌△COD課堂練習(xí)第32頁/共94頁找出下列全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角ABDCE△ABC≌△ADE課堂練習(xí)第33頁/共94頁找出下列全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角△ADE≌△CBFBFCDAE課堂練習(xí)第34頁/共94頁找出下列全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角ABMNC△ABN≌△ACM△ABM≌△ACN課堂練習(xí)第35頁/共94頁找出下列全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角ABCD△AOB≌△DOC△ABC≌△DCBO課堂練習(xí)第36頁/共94頁如圖,△ABD≌△EBCDABCE2、如果AB=3cm,BC=5cm,求BE、BD的長.

∴BE=3cm,BD=5cm解：∵△ABD≌△EBC∴AB=EB，BC=BD∵AB=3cm,BC=5cm1、請找出對應(yīng)邊和對應(yīng)角。

AB與EB、BCBD、ADEC，∠A∠BEC、∠D∠C、∠ABD∠EBC課堂練習(xí)第37頁/共94頁如圖,△EFG≌△NMH2、如果EF=2.1cm,EH=1.1cm,HN=3.3cm,求NM、HG的長.∴HG=EG-HG=3.3-1.1=2.2解：∵△EFG≌△NMH∴NM=EF=2.1,EG=HN=3.31、請找出對應(yīng)邊和對應(yīng)角。

NMFGEH課堂練習(xí)第38頁/共94頁△ABD≌△ACE，若∠ADB=100°，∠B=30°，說出△ACE中各角的大??？ABCDE解：∵△ABD≌△ACE，

∴∠AEC=∠ADB=1000，

∠C=∠B=300，又∵∠A+∠AEC+∠C=180°∴∠A=1800-∠AEC-∠C=1800-1000-300=500課堂練習(xí)第39頁/共94頁如圖,已知△AOC≌△BOD求證：AC∥BD能力提高第40頁/共94頁

把四邊形ABCD紙片沿EF折疊使點C落在四邊形ABCD內(nèi)部，如圖,則∠C與∠1+∠2之間的一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，這個規(guī)律是()∠C=∠1+∠22∠C=∠1+∠23∠C=∠1+∠23∠C=2(∠1+∠2)ABCD12EFC′B能力提高第41頁/共94頁互相重合的角叫做＿＿＿互相重合的邊叫做＿＿＿＿

其中：互相重合的頂點叫做＿＿＿2.

叫全等三角形。1.能夠重合的兩個圖形叫做

。全等形4.全等三角形的

和

相等對應(yīng)邊對應(yīng)角對應(yīng)頂點課堂小結(jié)

能夠完全重合的兩個三角形3.“全等”用符號“

”來表示，讀作“

”對應(yīng)邊對應(yīng)角5.書寫全等式時要求把對應(yīng)字母放在對應(yīng)的位置上全等于≌第42頁/共94頁再見學(xué)習(xí)幾何的關(guān)鍵是要開動腦筋第43頁/共94頁12.1全等三角形的判定

第十二章全等三角形人民教育出版社義務(wù)教育教科書八年級數(shù)學(xué)（上冊）第44頁/共94頁全等三角形的性質(zhì)是？全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等反過來成立嗎？第45頁/共94頁第46頁/共94頁本節(jié)就來討論這個問題先任意畫出一個△ABC，再畫一個△A’B’C’，使△ABC與△A’B’C’滿足上六個條件中的一個或兩個。你畫出的△A’B’C’與△ABC一定全等嗎？兩個直角三角形，有一個角相等，它們?nèi)葐?？探?第47頁/共94頁有一條邊相等的兩個三角形全等嗎？一邊、一角相等的兩個三角形全等嗎？第48頁/共94頁通過畫圖我們可以發(fā)現(xiàn)，滿足上述六個條件中的一個或兩個，△ABC與△A’B’C’不一定全等。滿足三個條件呢？能保證他們?nèi)葐幔课覀儊矸智闆r討論。先任意畫一個△ABC再畫一個△A’B’C’，使A’B’=AB，B’C’=BC，C’A’=CA。把畫好的△A’B’C’剪下，放到△ABC上，它們?nèi)葐幔刻骄?第49頁/共94頁畫一個△A’B’C’，使A’B’=AB，A’C’=AC，B’C’=BC；1、畫線段B’C’=BC；2、分別以B’、C’為圓心，線段AB，AC為半徑畫弧，兩弧交于點A’；3、連接線段A’B’，A’C’；CAA’BC’B’第50頁/共94頁

探究2反應(yīng)了什么規(guī)律？三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(可簡寫成SSS)你能寫出它的符號語言嗎？第51頁/共94頁

在△ABC與△A’B’C’中，∵AB=A’B’，BC=B’C’，AC=A’C’∴△ABC≌△A’B’C’CAA’BC’B’符號語言第52頁/共94頁我們曾經(jīng)作過這樣的實驗，將三根木條釘成一個三角形木架，這個三角形木架的形狀、大小就不變了。就是說三角形的形狀大小也就確定了，這里用到的就是上面的結(jié)論。用上面的結(jié)論可以判斷兩個三角形全等，判斷兩個三角形全等的過程，叫做證明三角形全等。第53頁/共94頁例1如圖，△ABC是一個鋼架，AB=AC，AD是連接點A與BC中點D的支架。求證△ABC≌△ACDCABD第54頁/共94頁分析：要證△ABC≌△ACD，可以看這兩個三角形三邊是否_______它們相等嗎？相等CABD第55頁/共94頁CABD證明：∵D是BC的中點，∴BD=CD﹛AB=AC，在△ABD與△ACD中BD=CD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD(SSS）(公共邊)(已證)(已知)第56頁/共94頁你學(xué)會了嗎？從例1可以看出，證明是由題設(shè)(已知)出發(fā)，經(jīng)過一步步推理，最后推出結(jié)論(求證)正確的過程。第57頁/共94頁已知AC=FE，BC=DE，點A、D、B、F在一條直線上，AD=FB。要用“邊邊邊”證明△ABD≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以還應(yīng)該有什么條件？怎樣才能得到這個條件？ABCDEF第58頁/共94頁工人師傅常用角尺平分一個任意角。做法如下：如圖，∠AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M，N重合，過角尺頂點C的射線OC便是∠AOB的平分線。為什么？練習(xí)第59頁/共94頁先任意畫一個△ABC，再畫一個△A’B’C’，使A’B’=AB，∠A’=∠A，AC=A’C’，(即使有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等)，把畫好的△A’B’C’

剪下，放到△ABC上，它們?nèi)葐?？探?第60頁/共94頁CAA’BC’B’畫一個△A’B’C’，使A’B’=AB，A’C’=AC，∠A’=∠A；1、畫∠DA’E=∠A；2、在射線A’D上截取A’B’=AB，在射線A’E上截取A’C’=AC；3、連接線段B’C’；第61頁/共94頁

探究3反應(yīng)了什么規(guī)律？兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(可簡寫成SAS)你能寫出它的符號語言嗎？第62頁/共94頁CAA’BC’B’符號語言

在△ABC與△A’B’C’中，∵AB=A’B’，AC=A’C’，∠A’=∠A∴△ABC≌△A’B’C’第63頁/共94頁例2如圖有一池塘，要測池塘兩端A、B的距離，可先在平地上取一個可以直接到達(dá)A和B的點C，連接AC并延長到D,使CA=CD；連接BC并延長到E，使CE=CB，連接DE，量出DE的長就是A、B的距離，為什么？第64頁/共94頁分析：如果能證明△ABC≌△DEC，就可以得到AB____DE=在△ABC與△DEC中，CA=CD，CB=CE，∠1=∠2△ABC≌△DEC還差一個條件是：_________________第65頁/共94頁證明：﹛CA=CD，在△ABC與△DEF中∠1=∠2，CB=CE，∴△ABC≌△DEF(SAS）(已知)(對頂角相等)(已知)第66頁/共94頁你學(xué)到了什么？從例2可以看出，因為全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，所以證明分別屬于兩個三角形的線段相等或者角相等的問題，常通過證明這兩個三角形全等來解決。第67頁/共94頁探究4我們知道，兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。由“兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等”的條件能判定兩個三角形全等嗎？為什么？第68頁/共94頁可以通過畫圖來回答，還可以通過實驗來回答把一長一短的兩根細(xì)木棍的一端用螺釘鉸合在一起，使長木棍的另一端與射線BC的端點B重合，適當(dāng)調(diào)整好長木棍與射線BC所成的角后，固定住長木棍，把短木棍擺起來動動手第69頁/共94頁練習(xí)1、如圖，兩車從路段AB的一端A出發(fā)，分別向東，向西行進(jìn)相同的距離，到達(dá)C、D兩地，此時C、D到B的距離相等嗎？為什么？ADCB第70頁/共94頁2、如圖，點E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求證：∠A=∠DADCBFE第71頁/共94頁探究5先任意畫一個△ABC，再畫一個△A’B’C’，使A’B’=AB，∠A’=∠A，∠B’=∠B，(即兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等)，把畫好的△A’B’C’

剪下，放到△ABC上，它們?nèi)葐?？?2頁/共94頁畫一個△A’B’C’，使A’B’=AB，∠A’=∠A,∠B’=∠B；1、畫A’B’=AB；2、在A’B’同旁畫∠DA’B’=∠A，∠EB’A’=∠B，A’D，B’E交于點C’；ABCA’B’C’E’D’第73頁/共94頁兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(可簡寫成ASA)你能寫出它的符號語言嗎？CAA’BC’B’

在△ABC與△A’B’C’中，∵∠A’=∠A，AB=A’B’，∠B’=∠B，∴△ABC≌△A’B’C’第74頁/共94頁探究6

在△ABC與△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，

BC=EF，△ABC與△DEF全等嗎？能利用角邊角的條件證明你的結(jié)論嗎？CADBFE第75頁/共94頁兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(可簡寫成AAS)CAA’BC’B’

在△ABC與△A’B’C’中，∵∠A’=∠A，∠B’=∠B，BC=B’C’，∴△ABC≌△A’B’C’第76頁/共94頁例3如圖，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求證AD=AEABCDE第77頁/共94頁ABCDE分析：如果能證明△ABE_____△ACD，就可以得到AB____DE≌=﹛AB=AC，在△ABE與△ACD中∠B=∠C，∠A=∠A，∴△ABE≌△ACD(ASA）(已知)()(已知)證明：公共角∴AD=AE()全等三角形對應(yīng)邊相等第78頁/共94頁探究7三角對應(yīng)相等的兩個三角形全等嗎？現(xiàn)在我們學(xué)了哪些判定全等的方法？第79頁/共94頁判定兩個三角形全等的方法1、SSS：三邊對應(yīng)相等2、SAS兩邊及夾角對應(yīng)相等3、ASA兩角夾邊對應(yīng)相等4、AAS兩角及一角的對邊對應(yīng)相等第80頁/共94頁1、如圖，要測量河兩岸相對兩點A，B兩點的距離，可以在AB的垂線BF上取兩點C，D，使BC=CD，再定出BF的垂線DE，使A，C，E在一條直線上，這時測得DE的長就是AB的長，為什么？ABCDEF第81頁/共94頁2、如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2，求證AB=AD12ABCD分析：如果能證明△ABC_____△ACD，就可以得到AB____AD≌=第82頁/共94頁對于兩個直角三角形，除了直角相等的條件外，還要滿足幾個條件，這兩個直角三角形就全等了？討論ABCDEF第83頁/共94頁由三角形全等的條件判斷，對于兩個直角三角形，滿足一邊一銳角對應(yīng)相等，或兩直角邊對應(yīng)相等，這兩個直角三角形全等嗎？如果滿足斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等，這兩個直角三角形全等嗎？第84頁/共94頁探究８先任意畫一個ＲＴ△ABC，使∠Ｃ＝９０°，再畫一個ＲＴ△A’B’