2019屆大數(shù)學(xué)全國用講義第六章數(shù)列 6.1 數(shù)列的概念與簡單表示法 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§6。1數(shù)列的概念與簡單表示法最新考綱考情考向分析1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)。以考查Sn與an的關(guān)系為主，簡單的遞推關(guān)系也是考查的熱點．本節(jié)內(nèi)容在高考中以選擇、填空的形式進(jìn)行考查,難度屬于低檔。1．?dāng)?shù)列的定義按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列,數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．2．?dāng)?shù)列的分類分類原則類型滿足條件按項數(shù)分類有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限按項與項間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列an＋1__〉__an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1__<__an常數(shù)列an＋1＝an擺動數(shù)列從第2項起，有些項大于它的前一項,有些項小于它的前一項的數(shù)列

3.數(shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法．4．?dāng)?shù)列的通項公式如果數(shù)列{an｝的第n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子來表示,那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式．知識拓展1．若數(shù)列｛an}的前n項和為Sn，通項公式為an，則an＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(S1,n＝1，，Sn－Sn－1，n≥2，n∈N*.)）2．在數(shù)列{an}中，若an最大，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（an≥an－1，，an≥an＋1。)）若an最小,則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(an≤an－1，，an≤an＋1.)）3．?dāng)?shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個定義在非零自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)，當(dāng)自變量依次從小到大取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值，就是數(shù)列．題組一思考辨析1．判斷下列結(jié)論是否正確（請在括號中打“√”或“×”)（1）相同的一組數(shù)按不同順序排列時都表示同一個數(shù)列．(×）(2）所有數(shù)列的第n項都能使用公式表達(dá)．(×）（3)根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)列的通項公式可能不止一個．(√)（4）1,1,1，1，…，不能構(gòu)成一個數(shù)列．(×）(5)任何一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列．（×)(6)如果數(shù)列｛an}的前n項和為Sn，則對?n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn。（√)題組二教材改編2．［P33A組T4］在數(shù)列｛an｝中，a1＝1，an＝1＋eq\f（－1n,an－1）(n≥2),則a5等于（）A。eq\f(3,2） B。eq\f（5，3）C.eq\f(8,5) D.eq\f(2,3)答案D解析a2＝1＋eq\f(－12,a1)＝2，a3＝1＋eq\f(－13,a2）＝eq\f（1，2），a4＝1＋eq\f（－14,a3)＝3,a5＝1＋eq\f(－15，a4)＝eq\f(2，3）。3．［P33A組T5]根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點數(shù)，寫出點數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個通項公式an＝________.答案5n－4題組三易錯自糾4．已知an＝n2＋λn，且對于任意的n∈N*，數(shù)列｛an}是遞增數(shù)列，則實數(shù)λ的取值范圍是________．答案（－3,＋∞)解析因為{an｝是遞增數(shù)列,所以對任意的n∈N*，都有an＋1>an，即(n＋1)2＋λ(n＋1）〉n2＋λn，整理,得2n＋1＋λ>0,即λ〉－（2n＋1)．（*)因為n≥1,所以－(2n＋1）≤－3，要使不等式(＊）恒成立，只需λ〉－3.5．?dāng)?shù)列｛an}中，an＝－n2＋11n(n∈N*)，則此數(shù)列最大項的值是________．答案30解析an＝－n2＋11n＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（n－\f（11，2）))2＋eq\f（121,4)，∵n∈N＊,∴當(dāng)n＝5或n＝6時,an取最大值30。6．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋1，則an＝________.答案eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（2，n＝1，,2n－1，n≥2,n∈N＊)）解析當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2,當(dāng)n≥2時,an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[（n－1)2＋1］＝2n－1，故an＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（2，n＝1,，2n－1,n≥2,n∈N*.))

題型一由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項公式1．?dāng)?shù)列0，eq\f(2，3）,eq\f(4,5),eq\f（6,7)，…的一個通項公式為（)A．a(chǎn)n＝eq\f(n－1，n＋2)（n∈N*）B．a(chǎn)n＝eq\f(n－1，2n＋1）(n∈N*）C．a(chǎn)n＝eq\f（2n－1，2n－1)（n∈N*）D．a(chǎn)n＝eq\f（2n,2n＋1）(n∈N*)答案C解析注意到分子0，2，4,6都是偶數(shù)，對照選項排除即可．2．?dāng)?shù)列－eq\f(1,1×2)，eq\f(1，2×3），－eq\f(1，3×4），eq\f（1，4×5），…的一個通項公式an＝________.答案（－1)neq\f(1,nn＋1）解析這個數(shù)列前4項的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項為負(fù)，偶數(shù)項為正,所以它的一個通項公式為an＝(－1）neq\f(1，nn＋1）。思維升華由前幾項歸納數(shù)列通項的常用方法及具體策略(1)常用方法：觀察（觀察規(guī)律）、比較（比較已知數(shù)列）、歸納、轉(zhuǎn)化（轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想（聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法．（2）具體策略：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項的變化特征；③拆項后的特征;④各項的符號特征和絕對值特征；⑤化異為同，對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破，或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系;⑥對于符號交替出現(xiàn)的情況，可用（－1)k或(－1)k＋1，k∈N*處理．（3)如果是選擇題,可采用代入驗證的方法．題型二由an與Sn的關(guān)系求通項公式典例（1)已知數(shù)列｛an｝的前n項和Sn＝3n2－2n＋1（n∈N＊)，則其通項公式為________________．答案an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，，6n－5，n≥2,n∈N＊）)解析當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3（n－1)2－2(n－1)＋1］＝6n－5，顯然當(dāng)n＝1時，不滿足上式．故數(shù)列的通項公式為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,6n－5,n≥2，n∈N＊。))（2）若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝eq\f(2，3)an＋eq\f(1,3)(n∈N*），則{an}的通項公式an＝________。答案(－2)n－1解析由Sn＝eq\f（2,3)an＋eq\f(1，3），得當(dāng)n≥2時，Sn－1＝eq\f（2,3）an－1＋eq\f(1,3）,兩式相減，整理得an＝－2an－1，又當(dāng)n＝1時，S1＝a1＝eq\f(2,3)a1＋eq\f（1,3)，∴a1＝1,∴｛an｝是首項為1，公比為－2的等比數(shù)列，故an＝(－2）n－1.思維升華已知Sn,求an的步驟（1)當(dāng)n＝1時，a1＝S1.(2)當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1。（3)跟蹤訓(xùn)練(1)(2017·河南八校一聯(lián)）在數(shù)列｛an｝中，Sn是其前n項和，且Sn＝2an＋1,則數(shù)列的通項公式an＝________.答案－2n－1解析由題意得Sn＋1＝2an＋1＋1，Sn＝2an＋1，兩式相減得Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an，又S1＝2a1＋1＝a1，因此a1＝－1,所以數(shù)列{an｝是以a1＝－1為首項、2為公比的等比數(shù)列，所以an＝－2n－1。(2)已知數(shù)列{an｝的前n項和Sn＝3n＋1，則數(shù)列的通項公式an＝________.答案eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(4,n＝1，,2·3n－1，n≥2）)解析當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝3＋1＝4，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n＋1－3n－1－1＝2·3n－1。顯然當(dāng)n＝1時，不滿足上式．∴an＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(4，n＝1，,2·3n－1，n≥2.））題型三由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式典例根據(jù)下列條件，確定數(shù)列｛an}的通項公式．（1)a1＝2，an＋1＝an＋lneq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（1＋\f(1,n）））；(2）a1＝1,an＋1＝2nan；(3)a1＝1,an＋1＝3an＋2。解（1）∵an＋1＝an＋lneq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1＋\f(1，n）))，∴an－an－1＝lneq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1＋\f（1,n－1)))＝lneq\f(n，n－1）（n≥2），∴an＝（an－an－1）＋(an－1－an－2)＋…＋（a2－a1）＋a1＝lneq\f（n，n－1）＋lneq\f（n－1,n－2）＋…＋lneq\f(3,2）＋ln2＋2＝2＋lneq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（n,n－1）·\f（n－1,n－2）·…·\f(3,2)·2))＝2＋lnn(n≥2)．又a1＝2適合上式，故an＝2＋lnn（n∈N＊)．(2)∵an＋1＝2nan，∴eq\f（an，an－1）＝2n－1(n≥2)，∴an＝eq\f（an,an－1)·eq\f(an－1，an－2)·…·eq\f（a2，a1)·a1＝2n－1·2n－2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋（n－1)＝.又a1＝1適合上式，故an＝（n∈N＊)．(3)∵an＋1＝3an＋2,∴an＋1＋1＝3(an＋1），又a1＝1，∴a1＋1＝2，故數(shù)列{an＋1｝是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，∴an＋1＝2·3n－1，故an＝2·3n－1－1（n∈N*)．引申探究在本例(2)中，若an＝eq\f（n－1,n）·an－1(n≥2，且n∈N＊），其他條件不變,則an＝________。答案eq\f(1,n）解析∵an＝eq\f（n－1，n）an－1（n≥2)，∴an－1＝eq\f（n－2，n－1)an－2，…,a2＝eq\f(1,2）a1。以上（n－1)個式子相乘得an＝a1·eq\f(1，2)·eq\f(2,3)·…·eq\f（n－1,n）＝eq\f（a1,n）＝eq\f(1，n）。當(dāng)n＝1時也滿足此等式，∴an＝eq\f(1，n）.思維升華已知數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式的典型方法(1）當(dāng)出現(xiàn)an＝an－1＋m時，構(gòu)造等差數(shù)列．（2）當(dāng)出現(xiàn)an＝xan－1＋y時,構(gòu)造等比數(shù)列．(3)當(dāng)出現(xiàn)an＝an－1＋f(n）時，用累加法求解．(4）當(dāng)出現(xiàn)eq\f(an，an－1)＝f（n)時，用累乘法求解．跟蹤訓(xùn)練(1)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1（n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式an＝______________.答案3×2n－1－2解析由an＋2＋2an－3an＋1＝0，得an＋2－an＋1＝2（an＋1－an)，∴數(shù)列｛an＋1－an｝是以a2－a1＝3為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴an＋1－an＝3×2n－1，∴當(dāng)n≥2時，an－an－1＝3×2n－2，…,a3－a2＝3×2，a2－a1＝3，將以上各式累加,得an－a1＝3×2n－2＋…＋3×2＋3＝3（2n－1－1),∴an＝3×2n－1－2（當(dāng)n＝1時,也滿足）．（2）在數(shù)列{an｝中,a1＝3，an＋1＝an＋eq\f（1，nn＋1)，則通項公式an＝________.答案4－eq\f(1,n)解析原遞推公式可化為an＋1＝an＋eq\f（1，n)－eq\f（1，n＋1),則a2＝a1＋eq\f(1，1）－eq\f(1，2），a3＝a2＋eq\f（1，2)－eq\f(1，3)，a4＝a3＋eq\f（1，3）－eq\f(1，4)，…,an－1＝an－2＋eq\f（1，n－2)－eq\f（1,n－1）,an＝an－1＋eq\f（1,n－1）－eq\f(1,n），逐項相加得an＝a1＋1－eq\f(1，n),故an＝4－eq\f（1,n）.題型四數(shù)列的性質(zhì)命題點1數(shù)列的單調(diào)性典例已知an＝eq\f（n－1,n＋1),那么數(shù)列{an｝是（）A．遞減數(shù)列 B．遞增數(shù)列C．常數(shù)列 D．?dāng)[動數(shù)列答案B解析an＝1－eq\f(2,n＋1），將an看作關(guān)于n的函數(shù),n∈N＊，易知｛an｝是遞增數(shù)列．命題點2數(shù)列的周期性典例數(shù)列{an}滿足an＋1＝eq\f(1,1－an），a8＝2，則a1＝_______________________________________。答案eq\f（1,2）解析∵an＋1＝eq\f（1,1－an），∴an＋1＝eq\f(1，1－an)＝eq\f(1，1－\f（1,1－an－1））＝eq\f(1－an－1，1－an－1－1)＝eq\f(1－an－1，－an－1）＝1－eq\f（1，an－1）＝1－eq\f（1，\f（1，1－an－2)）＝1－（1－an－2)＝an－2，n≥3,∴周期T＝(n＋1)－（n－2)＝3?！郺8＝a3×2＋2＝a2＝2。而a2＝eq\f（1,1－a1),∴a1＝eq\f(1，2).命題點3數(shù)列的最值典例數(shù)列{an}的通項an＝eq\f(n,n2＋90)，則數(shù)列{an}中的最大項是（)A．3eq\r（10) B．19C。eq\f（1，19） D。eq\f（\r(10),60）答案C解析令f（x）＝x＋eq\f（90，x）(x〉0)，運(yùn)用基本不等式得f（x)≥2eq\r（90）,當(dāng)且僅當(dāng)x＝3eq\r（10)時等號成立．因為an＝eq\f(1,n＋\f（90,n)），所以eq\f（1,n＋\f(90，n）)≤eq\f（1,2\r（90)），由于n∈N＊,不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)n＝9或n＝10時,an＝eq\f(1,19)最大．思維升華(1)解決數(shù)列的單調(diào)性問題可用以下三種方法①用作差比較法，根據(jù)an＋1－an的符號判斷數(shù)列{an｝是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列．②用作商比較法，根據(jù)eq\f(an＋1,an)(an＞0或an＜0）與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷．③結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷．（2）解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值．（3)數(shù)列的最值可以利用數(shù)列的單調(diào)性或求函數(shù)最值的思想求解．跟蹤訓(xùn)練（1)數(shù)列{an｝滿足an＋1＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(2an，0≤an≤\f(1，2），，2an－1，\f(1,2）＜an＜1，）)a1＝eq\f(3，5),則數(shù)列的第2018項為________．答案eq\f(1，5)解析由已知可得，a2＝2×eq\f（3，5）－1＝eq\f（1，5)，a3＝2×eq\f（1,5）＝eq\f(2,5)，a4＝2×eq\f(2,5）＝eq\f（4,5）,a5＝2×eq\f(4，5）－1＝eq\f(3,5)，∴｛an}為周期數(shù)列且T＝4，∴a2018＝a504×4＋2＝a2＝eq\f（1,5).(2）（2017·安徽名校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的首項為2，且數(shù)列｛an}滿足an＋1＝eq\f(an－1，an＋1)，數(shù)列{an}的前n項的和為Sn，則S2016等于（)A．504 B．588C．－588 D．－504答案C解析∵a1＝2，an＋1＝eq\f（an－1,an＋1），∴a2＝eq\f(1,3）,a3＝－eq\f(1,2)，a4＝－3，a5＝2，…,∴數(shù)列{an}的周期為4，且a1＋a2＋a3＋a4＝－eq\f(7，6)，∵2016÷4＝504，∴S2016＝504×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（7，6）））＝－588，故選C。解決數(shù)列問題的函數(shù)思想典例(1）數(shù)列{an｝的通項公式是an＝（n＋1）·eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（10,11）)）n，則此數(shù)列的最大項是第________項．(2）若an＝n2＋kn＋4且對于n∈N*，都有an＋1〉an成立，則實數(shù)k的取值范圍是__________．思想方法指導(dǎo)(1）可以將數(shù)列看成定義域為正整數(shù)集上的函數(shù)；（2)數(shù)列的最值可以根據(jù)單調(diào)性進(jìn)行分析．解析(1）∵an＋1－an＝（n＋2）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（10,11）））n＋1－（n＋1)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(10，11））)n＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（10,11）)）n×eq\f(9－n,11）,當(dāng)n〈9時，an＋1－an〉0，即an＋1〉an；當(dāng)n＝9時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；當(dāng)n>9時，an＋1－an<0，即an＋1〈an，∴該數(shù)列中有最大項,且最大項為第9,10項．（2）由an＋1〉an知該數(shù)列是一個遞增數(shù)列，又∵通項公式an＝n2＋kn＋4，∴(n＋1)2＋k（n＋1）＋4>n2＋kn＋4，即k>－1－2n,又n∈N＊,∴k〉－3.答案(1）9或10(2）(－3，＋∞)1．(2017·湖南長沙一模)已知數(shù)列的前4項為2，0,2，0，則依此歸納該數(shù)列的通項不可能是（)A．a(chǎn)n＝（－1）n－1＋1B．a(chǎn)n＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（2，n為奇數(shù)，，0，n為偶數(shù)))C．a(chǎn)n＝2sineq\f（nπ,2)D．a(chǎn)n＝cos（n－1）π＋1答案C解析對n＝1,2,3，4進(jìn)行驗證，知an＝2sineq\f（nπ，2）不合題意,故選C.2．(2018·葫蘆島質(zhì)檢)數(shù)列eq\f（2，3）,－eq\f（4,5），eq\f（6,7)，－eq\f（8，9），…的第10項是（）A．－eq\f(16,17） B．－eq\f(18,19)C．－eq\f（20，21) D．－eq\f（22,23)答案C解析所給數(shù)列呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)形式,且正負(fù)相間，求通項公式時，我們可以把每一部分進(jìn)行分解：符號、分母、分子．很容易歸納出數(shù)列{an｝的通項公式an＝（－1）n＋1·eq\f（2n,2n＋1），故a10＝－eq\f（20,21）。3．(2017·黃岡質(zhì)檢）已知在正項數(shù)列{an｝中,a1＝1，a2＝2，2aeq\o\al(2，n）＝aeq\o\al(2，n＋1）＋aeq\o\al(2,n－1）(n≥2)，則a6等于（)A．16 B．4C．2eq\r（2） D．45答案B解析由題意得aeq\o\al（2，n＋1）－aeq\o\al（2,n)＝aeq\o\al(2,n）－aeq\o\al(2,n－1)＝…＝aeq\o\al(2，2）－aeq\o\al(2,1)＝3,故{aeq\o\al(2，n)｝是以3為公差的等差數(shù)列,即aeq\o\al（2，n）＝3n－2。所以aeq\o\al（2，6）＝3×6－2＝16.又an>0，所以a6＝4。故選B。4．若數(shù)列{an｝滿足a1＝2,a2＝3,an＝eq\f(an－1,an－2）(n≥3且n∈N*)，則a2018等于（)A．3 B．2C。eq\f(1,2) D.eq\f(2，3）答案A解析由已知a3＝eq\f（a2，a1)＝eq\f（3,2）,a4＝eq\f(a3，a2)＝eq\f(1，2)，a5＝eq\f(a4,a3）＝eq\f（1，3)，a6＝eq\f（a5，a4)＝eq\f（2，3)，a7＝eq\f(a6,a5)＝2，a8＝eq\f(a7,a6）＝3，∴數(shù)列｛an｝具有周期性，且T＝6，∴a2018＝a336×6＋2＝a2＝3.5．(2018·長春調(diào)研)設(shè)an＝－3n2＋15n－18，則數(shù)列｛an｝中的最大項的值是（）A。eq\f（16,3） B。eq\f（13，3）C．4 D．0答案D解析∵an＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（n－\f(5，2））)2＋eq\f(3，4），由二次函數(shù)性質(zhì)，得當(dāng)n＝2或3時，an最大，最大為0.6．(2017·江西六校聯(lián)考)已知數(shù)列｛an｝滿足an＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(5－an－11,n≤5，，an－4，n〉5，））且｛an｝是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是()A．（1，5) B。eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（7，3），5）)C。eq\b\lc\［\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(7，3)，5）） D．(2,5）答案D解析∵an＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（5－an－11,n≤5,，an－4，n〉5，))且｛an}是遞增數(shù)列,∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(5－a〉0,，a〉1，,55－a－11〈a2，））解得2<a〈5，故選D.7．若數(shù)列{an}滿足關(guān)系an＋1＝1＋eq\f（1,an)，a8＝eq\f（34，21)，則a5＝________。答案eq\f（8,5)解析借助遞推關(guān)系,由a8遞推依次得到a7＝eq\f(21，13),a6＝eq\f（13,8),a5＝eq\f（8，5)。8．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋2n＋1（n∈N＊)，則an＝________.答案eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（4,n＝1，，2n＋1,n≥2))解析當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝4≠2×1＋1,因此an＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（4，n＝1，,2n＋1,n≥2。)）9．(2018·大慶模擬）已知數(shù)列｛an}的通項公式an＝(n＋2）·eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（6,7)))n，則數(shù)列｛an}的項取最大值時，n＝________.答案4或5解析假設(shè)第n項為最大項，則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，，an≥an＋1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＋2·\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(6,7）)）n≥n＋1·\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(6,7））)n－1,,n＋2·\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(6,7）)）n≥n＋3·\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（6,7)）)n＋1,）)解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（n≤5，，n≥4,）)即4≤n≤5，又n∈N＊，所以n＝4或n＝5，故數(shù)列{an｝中a4與a5均為最大項，且a4＝a5＝eq\f(65,74).10．(2017·太原模擬）已知數(shù)列｛an｝滿足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1（n∈N＊)，則an＝__________.答案eq\f(2,n2－n＋2)解析由an－an＋1＝nanan＋1，得eq\f(1,an＋1）－eq\f(1,an）＝n,則由累加法得eq\f（1，an）－eq\f（1，a1）＝1＋2＋…＋（n－1）＝eq\f（n2－n，2）,又因為a1＝1，所以eq\f（1，an）＝eq\f(n2－n,2）＋1＝eq\f(n2－n＋2，2)，所以an＝eq\f（2，n2－n＋2）（n∈N＊）．11．已知Sn為正項數(shù)列{an｝的前n項和,且滿足Sn＝eq\f（1,2）aeq\o\al（2，n）＋eq\f（1，2)an(n∈N＊)．(1)求a1,a2,a3，a4的值;(2）求數(shù)列｛an}的通項公式．解(1）由Sn＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2，n)＋eq\f(1，2)an(n∈N*)可得a1＝eq\f（1,2)aeq\o\al(2，1)＋eq\f(1,2)a1，解得a1＝1,S2＝a1＋a2＝eq\f（1，2)aeq\o\al（2,2)＋eq\f（1,2)a2，解得a2＝2，同理,a3＝3,a4＝4.（2)Sn＝eq\f（an,2）＋eq\f(1,2）aeq\o\al（2,n），①當(dāng)n≥2時，Sn－1＝eq\f(an－1,2）＋eq\f(1，2)aeq\o\al（2,n－1)，②①－②得（an－an－1－1）(an＋an－1)＝0。由于an＋an－1≠0,所以an－an－1＝1，又由（1)知a1＝1，故數(shù)列｛an}為首項為1，公差為1的等差數(shù)列，故an＝n。12．已知數(shù)列｛an｝的各項均為正數(shù)，記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列｛aeq\o\al(2,n）}的前n項和為Tn，且3Tn＝Seq\o\al（2，n）＋2Sn，n∈N*。(1)求a1的值;(2）求數(shù)列｛an}的通項公式．解（1）由3T1＝Seq\o\al（2，1）＋2S1，得3aeq\o\al(2，1)＝aeq\o\al(2,1)＋2a1，即aeq\o\al（2，1)－a1＝0。因為a1>0，所以a1＝1.(2）因為3Tn＝Seq\o\al（2,n）＋2Sn，①所以3Tn＋1＝Seq\o\al（2,n＋1）＋2Sn＋1，②②－①，得3aeq\o\al（2，n＋1)＝Seq\o\al(2，n＋1)－Seq\o\al（2，n）＋2an＋1.因為an＋1>0，所以3an＋1＝Sn＋1＋Sn＋2，③所以3an＋2＝Sn＋2＋Sn＋1＋2，④④－③，得3an＋2－3an＋1＝an＋2＋an＋1，即an＋2＝2an＋1，所以當(dāng)n≥2時,eq\f(an＋1,an)＝2.又由3T2＝Seq\o\al（2,2)＋2S2,得3(1＋aeq\o\al(2,2））＝(1＋a2)2＋2（1＋a2），即aeq\o\al（2，2）－2a2＝0.因為a2〉0,所以a2＝2，所以eq\f（a2,a1）＝2，所以對n∈N*，都有eq\f（an＋1，an）＝2成立，所以數(shù)列{an｝的通項公式為an＝2n－1,n∈N*。13．（2017·江西師大附中、鷹潭一中聯(lián)考)定義：在數(shù)列{an}中，若滿足eq\f(an＋2,an＋1)－eq\f（an＋1,an)＝d（n∈N*，d為常數(shù))，稱｛an}為“等差比數(shù)列"．已知在“等差比數(shù)列”｛an｝中，a1＝a2＝1，a3＝3,則eq\f(a2015,a2013）等于(）A．4×20152－1 B．4×20142－1C．4×20132－1 D．4×20132答案C解析由題知eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1(\f（an＋1，an)））是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，則eq\f(an＋1,an）＝2n－1,所以an＝eq\f（an,an－1）×eq\f（an－1，an－2)×…×eq\f(a2，a1)×a1＝（2n－3)×（2n－5）×…×1.所以eq\f(a2015,a2013）＝eq\f（2×2015－32×2015－5×…×1,2×2013－32×2013－5×…×1）＝4027×4025＝（4026＋1)（4026－1）＝40262－1＝4×20132－1。14．若數(shù)列eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1(nn＋4\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（2，3)))n）)中的最大項是第k項,則k＝________。答案4解析設(shè)數(shù)列為｛an｝，則an＋1－an＝（n＋1）（n＋5）·eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(2，3)）)n＋1－n（n＋4）·eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(2，3））)n＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(2，3))）neq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（\f(2，3)n2＋6n＋5－n2－4n）)＝eq\f(2n,3n＋1)（10－n