高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)不等式與不等關(guān)系知識梳理

不式不關(guān)【綱求1.了解不等關(guān)系、不等式（組）實(shí)際背景；2.理解并掌握不等式的性質(zhì)，理不等關(guān)系；3.能用不等式的基本性質(zhì)解決某數(shù)學(xué)問.【識絡(luò)實(shí)際背景不等式與不等關(guān)系

不等式的性質(zhì)基本性質(zhì)的應(yīng)【點(diǎn)理要一符法與較小1.實(shí)的符號任意

x

，則

x0

（

為正數(shù)

x0

或

x0

（

為負(fù)數(shù)）三種情況有且只有一種成立。2.兩數(shù)的加、乘運(yùn)算結(jié)果的符號具有以下符號性質(zhì)：①兩個同號實(shí)數(shù)相加，和的符號不變符號語言：

b

；②兩個同號實(shí)數(shù)相乘，積是正數(shù)符號語言：

bab

；③兩個異號實(shí)數(shù)相乘，積是負(fù)數(shù)符號語言：

b④任何實(shí)數(shù)的平方為非負(fù)數(shù)，0的方為0符號語言：

xRx

2，xx

.3、比較兩個實(shí)數(shù)大小的法則：任意兩個實(shí)數(shù)①；②；③。

a

、

b對于任意實(shí)數(shù)、b,a,a,a三關(guān)有且只有一種成立。要詮：這三個式子實(shí)質(zhì)是運(yùn)用實(shí)數(shù)運(yùn)算來比較兩個實(shí)數(shù)的大小關(guān)系。它是本章的基礎(chǔ)，也是證明不等與解不等式的主要依據(jù)。第頁

共7頁

要二不式基性１．不等式的基本性質(zhì)（）（）（）

aabacaabacbc（）a

acbc２．不等式的運(yùn)算性質(zhì)（１）加法法則：（２）減法法則：（３）乘法法則：

cdcdbcacbd0（４）除法法則：

ac

abdc（５）乘方法則：

a

n

n

nN,n（６）開方法則：

n

0(nNn2)要詮：不等式的概念和性質(zhì)是進(jìn)行不等式的變換明不等式和解不等式的依據(jù)應(yīng)正確理解和運(yùn)用不式的性質(zhì)弄清每條性質(zhì)的條件結(jié)論意條件與結(jié)論之間的關(guān)系本等式可以在解題時直應(yīng)用。要三比大的法1、作差法：任意兩個代數(shù)式a、

，可以作差

a

后比較

a

與0的關(guān)系，進(jìn)一步比較與b

的大小。2作法任意兩個值為正的代數(shù)式ab可以作商a后較的大小。

ab

與1的關(guān)系進(jìn)一步比較a3、中間量法：若

a>b

且

b>c

，則

（實(shí)質(zhì)是不等式的傳遞性.一選擇或?yàn)橹?4、利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小若兩個式子具有相同的函數(shù)結(jié)構(gòu)，可以利用相應(yīng)的基本函數(shù)的單調(diào)性比較大小【型題類一比代式值的小例．知：

x,y

,比

x

2xy2

和

xy

的大小第頁

共7頁

xxxxxx【解析】

(xyx))1(22

2

x

2

y1(xxyy)21[(22

y

x)

2

]∵

(x2

，(

，()

2

∴

12

[(x22y)2]∴

x2xyy2x

.【總結(jié)升華】作差比較法基本步驟：作差，變形，判斷差的符號，結(jié)論，其中判斷差的符號為的，變形是關(guān)鍵，常用變形技巧有因式分解，配方，拆、拼項(xiàng)等方.舉反：【高清堂：不等式不等關(guān)394833型例題】【變式】若

，則下列不等式中，不能成立的()A.

11ab

B.

11ab

C.

b

D.

2【解析】取特殊值【答案B

b

，代入驗(yàn)證即可【變式】已知

(ab0)

試較

11和的小.ab【解析】∵

11a

，又∵即∴當(dāng)時

11ab

；當(dāng)

時，

1ab

.【變式】0且x，較與2log的小xx3【解析】作差：(1log2log4()4x(1)當(dāng)x，即0x，()此時1log32log2.第頁

共7頁

xxxx(2)當(dāng)

，即

x3(3)當(dāng)31xlog()4

,此時

log32xx

中

x

43

時取等號.(4)當(dāng)4

43即x時log)34

，此

32log2xx例．知：、R

,且,比較a

與

的大小【解析】∵、bR

，∴

，a

作商：

aa)b

a

()

b

)

a

()

)

a

（）(1)若a>b>0,則

ab

，

a()ab

,此時

ab

成立；(2)若b>a>0,則

0

ab

,a-b<0，

a()b

a

,此

a

b

b

a

成立。綜上，

abbbb

總成立。【總結(jié)升華1、作商比較法的基本步驟:判定式子的符號并作商變形判商式大于1或等于小于1結(jié)。2、正數(shù)的冪的乘積形式的大小較一般用作商比較.舉反：【變式】已知

a、b、c

為互不相等的正數(shù)，求證：

a2bcbbc.【解析】

a、、c

為不等正數(shù)，不失一般性，設(shè)

a這時

a

2a

b

，

a

b

a

，則有：b2ba

(ab

(b

c

c)a()()c

ca

ab0;1,c-a<0bca由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：

(

ab

)

a

bc))c

c

2cbca

，a

2a

2b

c

b

c

類二不式質(zhì)應(yīng)例．果

a,b足c且0,那定成立的是

（

）A．

ab

B.

cb)

C.

22

D.

ac()第頁

共7頁

【解析】由題可知：ca0,由bac又

0c(b)ac0,a(a022

不一定成立，因?yàn)楫?dāng)b=0時候取等號，故選C.【總結(jié)升華】判別不等式成立與否，應(yīng)緊扣不等式性質(zhì)，當(dāng)出現(xiàn)字母代數(shù)式最常用賦值.舉反：【變式】對于實(shí)數(shù)

bc

，判斷以下命題的真.（）a,則；（）ac2，a；（）

,則

2ab2

；（）若

,則

|||

;(5)若a，

a11；（）且,則a0,bab

．(7)若a，

a

；若則|a【解析）為c的號不定，所以無法判定和的小，故原命題為假命.（２）因?yàn)?/p>

22

,所

0

,從

，故原命題為真命題.（３）因?yàn)?/p>

a且，所以2ab①又

a且b0，以ab

2

②綜合①②得

2ab2

，故原命題為真命題.（４）兩個負(fù)實(shí)數(shù)，絕對值大的反而?。试}為真命題．（）為當(dāng)

b0

時，

ab

不成立，故原命題為假命.（）為，所以abab又因

a

，所以

0,

．故原命題為真命題．（）為

y

的函數(shù)在R上調(diào)遞增，故原命題為真命題．（）為

|,a，以

，故原命題為真命題．第頁

共7頁

12【高清堂：不等式不等關(guān)394833型例題】12【變式】已知

a

且

2a4

,求

2b

的取值范圍【解析】設(shè)

ax(a)()x)ax)解得

x

51,y2

，所以

52(a))(a)2由由

5a得(a)214得)(a)2所以

95())(a)2即

92

ab【變式】已知

a0

，

b

那么下列不等式成立的是（）A.

a

ab2

B.

aaC.b2bb2

D.

aabb【解析】；特殊值法：令

ab類三不關(guān)在際題的用例．在流水中航行，在甲地與乙地間來回行駛一次的平均速和船在靜水中的速度是否相等，為什么？【解析】設(shè)地與乙地的距離，船在靜水中的速度為u,水速度為，則船在流水中在甲地和乙地間來回行駛一次的時間

t

uu

2平均速度

2t

2

，∵

2

22u

，∴

u因此，船在流水中來回行駛一次的平均速度與船在靜水中的速度不相等，平均速度小于船在靜中的速度。舉反：【變式甲兩車從A地同路線到達(dá)B甲一半時間的速度為a,另一半時間的速度為b;車用速度為a行走半路程，用速度b行走另一半路程，若

，試判斷哪輛車先到達(dá)B地.解：