歷屆競賽多元積分試題集錦

市高數競賽多元積分試題集

y y[01年(理工、經管)]計算I2 exdx1

exdx yI2dyyI2dyexdx

yy11dexy11dexdx

y 1x11dexdy1x(ee1x11dexdy1x(eex)dxe 2x 2[02年(經管 將二重積分2x 2

f(xy)dy11I 2

f(x,[02年(經管)]Dxy1所圍成的區(qū)域，D1，D2，D4D1、24e(x2ydxdy（DD（A）4e(x2y)dxdy （B）4e(x2y)dxdy 2（C）2e(xy)dxdy （D）2

e(x2y)dxdy [02年(經管 計算Isin(xy)dxdy,其中區(qū)域D為：0xπ,0y2πDD1(x,y)x0,y0,xyD2(x,y)0xπ,0y2π,πxyD3(x,y)0xπ,πy2π,2πxD1上sin(xy)0D2上sin(xy)0D3sin(xy)0.Isin(xy)dxdysin(xy)dxdysin(x πdxπxsin(xy)dyπdx2πxsin(xy)dyπdx2

sin(x π 2π π(1cosx)dxπ2dxπ(1cosx)dx 5.[02年(理工)]I(exeyez)dv，其中Ω:x2y2z21z0I（D （C）(2ezey)dv （D）(2exez)dv [02年(理工)]Icos(xy)dxdyD0xπ,0yπ xyπDD1D22Icos(xy)dxdycos(x π 2dx2cos(xy)dy2dx2cos(x

π2 2(1sinx)dx2(cosx1)dxπ [03年(經管)]f(uuD是由曲線[x3f(xy)]dxdy（C）D

x1yx3y1 4

7

（D）fD[03年(經管)]Iasiney2dyb2y2ex2dxbsiney2dyb2y2ex2dx,其中 a2

asin

0ab0πab,均為常數2Da2x2y2b2與0yxtan的公共部分.Iasiney2dyb2y2ex2dxbsiney2dyb2y2ex2 a2

e(x2y2)dxdyer2rdrddbrer2

d1erd(r2)

d ea2eb22

..[03年(理工、經管)]f(xy值恒為零.

xfyff(0,0)lim1 ydxdy02πDx2D為圓域2x2y21x證明：取極坐標系，由y

ffxfyfcosfsin x y

rffrcosfrsinxfyf Ixfxyfydxdy1rfrdrd2πd1fdr2πf(rcos,rsin)1Dx2

Dr

2πf(cos,sin)d2πf(cos,sin)d02πf(cos,sin 02πf(cos,sin)d0I2πf(cos,sin，其中0 xfyf lim1 ydxdylimf(cos

)f02π

x2

[04年(理工經管 設(x)為區(qū)間[0,1]上的正值連續(xù)函數，與b為任意常數D(xy0xy1a(xb(y)dxdy（DD(x)（A） （B）b （C）ab （D）1ab2[04年(經管 計算I

x2y2

xyx2y2dxdyf(xy)xyx2y2

1x

122

y

122Dx2y22；D1x1y11DDD D1 f(xy)0D2f(xy)0.I xyx2y2dxdyxyx2y2dxdyxyx2y2x2y2 2xyx2y2dxdyxyx2y2dxdy2II Ixyx2y2dxdyx2y2dxdy2πd2r3dr

xyx2y2 x

1

y

1

1rcossin(02π)

2

2 4Ixyx2y2dxdy2πdcos+sin[r(cossin)r2]rdrπ4 I

x2y2

xyx2y2dxdy2π(2π)5π π[05年(經管)]2dπ

frcos,rsinrdr可以寫成（D 11

fx,ydx （B）1yy

fx,ydx x（C）0dx0fx,ydy x

f[05年(經管)]Dx2y2yx0.f(xyDf(x,y)

8fu,vdudvf11x2πfu,vdudvAf(xy)D

8A11x2D

f(x,y)dxdy

1x2y2dxdy8Adxdy即AD

π1x2y2dxdy8Aπ 2A1x2y2dxdydsin1r2rdr11cos3d1π2，

3 A1π2fxy6

4π21x21x2b[05年()]f(x在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)b

f(x)dxA,bf(x)ef(x)dxb1dx(ba)(baA) af證明：化為二重積分證明.D(x,yaxbaybbf(x)efx)dxb1dyf(x)efx)dxdyfy)efy af(

Df(

Df f(y)ef(y)f(x)ef(x)dxdy

f(x)f(y dxdy

1f(x)f(y)2f

f(

2D

D ba)2bdybf(x)dxba)(baA [05年(理工)]f(xyzF(t)

f(x,y,z)dxdydzx2y2z2tt→0時（C（A）F(t)與t為同階無窮小 （B）F(t)與t2為同階無窮小F(t)與t3為同階無窮小 （D）F(t)是比t3高階的無窮小[06年(經管)]設區(qū)域Dx,yx2y21,y0，1x dxd1x D[06年(經管)]DxOy平面上以點(1,1)，(－1,1)和(－1,－1)為頂點的三角形區(qū)域，D1D在第一象限的部分，則xycosxsinydxdy(B)D（A）2xydxdy （B）2cosxsinydxdy （C）4xycosxsinydxdy [06年(經管)]fx,yfx,yxyfx,ydDDy0yx2x1ffx,ydAfx,yxyADAfx,ydxyAd1dxx2xyAdy11x5Ax2dx

AA

1fx,yxy1

19.[06年(理工)]f(u)u=0f(0)=0f03limt0

x2y2z2

x2y2z2dxdydz解：記Gt

x2y2z2

x2y2z2dxdydzttGt

2

2

tfrr2dr40

πt4 t t

t

rrdrlim4ft

limf f0

f03t

t t

t

t [06年(經管)]f(r)在[0，1]

x2y2nfx2y2

x2y2dxdy0 x2y2

x2y2nf

x2y2dxdy2πd1r2n1frdr2π1r2n1frdrMmaxfr0 x2y2nf

x2y2dxdy2πM1r2n1dr2πM ，x2y21

注意到： 0，于是由定理可知要證的結論成立211nn211[07年(理工

dy

1

1y)]1yesinxesinyd的值BD（A）為正 （C）為負 （D）當0時為正，當0時為負Iesinxdesinydadyaesinxdxadxaesiny

2aaesinxdx2aaesinydy2aaesinxdx2aaesinudu0 D[07,09年(理工、經管)]fxymaxxy,Dxy0x1,0yDIfx,yyx2dσDD3D1x,y0x1,xy1,D2Dx,y0x1,0yx2.3

x,y0x1,x2yIyyx2dxyx2dxx2yd 0x01dx1y2yx2dy1xdxxyx2d0x0 1xdxx2x2y 51dx51dxx4dx1x5

0 2 011[08年(經管)]設平面區(qū)域Dx,yx2y21Mxy3dσDNcos2xsin2xdPex2y21d，則(C （A）M>N> （B）M>P>（C）N>M> （D）N>P>0M(x33x2y3xy2y3)d0,N0,P2π1e21d0D25.[08年(25.[08年(經管)]設

y,x2

fx,ydxdy, Dx,yx2y22

yr2sin

D6π6fx,ydxdyarctanydxdy x0時,x2y21x2y121Ax2y2x2y121,

xy

3 在極坐標下計算12

tan

1132 ,π13 2Aπ,1D1r,ππ,1r2sin.于 y

xfx,ydxdy dxdy2dx

214sin21d21cos2 π π1221sin2212sin2π 6π2

3π3

26 [08年(理工)]Ix2y2dv,ΩyOzzΩz2y2z121z軸旋轉而成的空間區(qū)域解：由題設知，區(qū)域Ωx2y2z121z=0，z=2所圍成.z軸垂直的平面截立體ΩDz，于是 x21z顯然Dz是圓域圓心為0,0,z0x21z dzπd1z12 π212z121111[08年(理工 求

11ex2dx π0證明：記I1ex2dx，則I21ey2dy1ex2 π0ex2y2

0,I

x2y2

且ex2y2且 x2y2 I x2y2

dxdy11

I π

111 1A[09年(理工、經管)]設ft為連續(xù)函數，求 AAA2AfxydxdyD

A 其中Dx

xA,yA,A為

2fxydxdyDA22

x2

00

AftAt

t

1tdt1ex t1tdt1exdx10t00t0[10年(經管)]Dx,y0x2,0y

f

fxydxdy0xyfx,ydxdy1,證明：存在,D, fξ,ηxy1dxdyD證：由題設,有1xyfxydxdyxyfxydxdyfxy (xy1)fx,ydxdyxy1fx,y fxy在有界閉域D上連續(xù),故有最小值m與最大值M,mxy1dxdyxy

fx,ydxdyMxy1 又連續(xù)函xy10且不恒為0,xy1dxdy0,于是Dxy1fx,ym M.由連續(xù)函數的介值知(,D,使得xy1Dxy1fx,yf(,) ,從而有xy1Df(,)xy1dxdyxy

fx,ydxdy[10年(理工)]z4x2y2PP點處的切平面與曲面之間并被圓柱面x12y21所圍空間區(qū)域的體積最小.證：因為VVV，其中V和Vz4x2y2P 1z0為底，以圓柱面x12y21為側面的區(qū)域的體積，且1是常數，所以求V的最小值可轉化為求V2的最大值設點P的坐標為,,，則曲面在該點處的法向量為2,2,1，切平方2ξxξ2ηyηzζ0又422z2ξx2ηy4ξ2η22Vzdxdy2ξx2ηy4ξ2η22 π4222ξxηyD其中Dx,yx12y2ξxξxηydxdy2ξcosd2

r2drD216ξπcos4d16ξ3ππ2 422 Vξ,ηπ42ξξ2η2.2V2π22ξ22πη

解得唯一駐點為1，0.又當,為區(qū)域D邊界上的點時，12212220于是V24π為常數,可知V2ξ,ηD的內部取到最大值.而點（1,0）D內的唯一駐點，故V2在此唯一駐點處的值5π是最大值.此時切點P的坐標1,0,5為所求.切平面 2xz30，最小體積2 V4x2y2dxdy5ππd2cosr3dπ3πππ2 [11年(理工、經管)]fxy是連續(xù)函數,f(xyxyf(xy)dxdy其中Dx軸、y軸以及直線xy1圍成,Df(x,y)

xy [11年(經管)]設函數fx,y連續(xù) 010

f(x,y)dxad

f(rcos,rsin)rdr則abcd取值為（B(A)aπ,bπ,c ,d sin

aπ,bπ,c ,d sin

a0,bπ,csincos,d1;πa0,b

,csincos,d2[11年(經管)]設（1）閉曲線是由圓錐螺線OA：xcos ysinz02π和直線段AOO000（2）

A2π,0,2πx2z x2部分.xOyDD為曲頂的曲頂柱體的體積求曲面的面積解：(Ⅰ)xOyD,0r 0

yV

x2dx2

O

13d4 x2(Ⅱ)x2

的曲面面積元素dS

z2z21dxdy

SDdS

22 2πdrdr22π2d42 補充(2007年考研題x2 xyx2設二元函數f(x,y) ,1x2f(xy)dD{(xD

yxyf(x,y)d4f(x, 4f(x,y)df(x,y)d D11{(xy)0y1x0xD12{(xy1xy2x0y0}（如上圖f(xy)dx2d1dx1xx2dy1x21x)dx1

f(x,y)d d2

cossin1x2x2

π π 42 d2 4

1lnsecπtanπ0cos

2cosπ

222 2 2223f(xy)d1423

D1.[02年(理工)]C是取正向的圓周(x1)2y1)21，f(x)

xf(y)dyydxf證明： xf(y)dyydxf(y)1dxdy f D

f(x)D是由(x–1)2y–121所圍成的區(qū)域.Dyxf(x)dxdyfy)dxdy xf(y)dyydxf(y)1dxdyf(x)1 f D

f(x)

D f(x)f1f dxdyf1f 2.[03年(理工 設函數Q(x,y)在xOy平面上具有連續(xù)一階偏導數，曲線積L2xydxQ(xy)dyt (t,1)2xydxQ(x,y)dy(1,t)2xydxQ(x,y)dy，求Q(x,y x

(2xy)2x，所以Q(xy)x2Cy其中Cy)為待定函數.(t,1)2xydxQ(x,y)dy1t2C(y)dyt21C(y)dy 0 (1,t)2xydxQ(x,y)dyt1C(y)dyttC(y

t21C(y)dyttC(y)dy t 2t1C(t，于是知C(t)2t1，即Cy)2y1，故Q(xy)x22y13.[04年(理工)]P(x,y),Q(x,y具有連續(xù)的偏導數，且對以任意點(x0y0rLx

rcos,y

rsin0π

P(xy)dxQ(xy)dy0.P(xy)0Q(xy)0（8分ABP(x,y)dxQ(x,y)dyABLP(x,y)dxQ(x,y)dyLP(x,y)dxQ(x, P(x,y)dxQ(x,y)dyQPAB D

y

11xyMSDxyM2 11P(xy)dxQ(xy)dyx0rP(xy)dx分中值定理P(y

r

QP

πr2P(y2r，即QP

πr2P(,y)

y

y r0,兩邊取極限,P(x0y0)0,由(x0y0P(xy)0; Q(x,

0于是Q(x

limQ(x,

0由(x

1 1

(x0,y0 r Q(x,知

0

(t,t2 [05年(理工)]f(xy具有一階連續(xù)偏導數，且(0,0)f(xy)dxxcosydyt，求f(x,y).P(xy)f(xy),Q(xy)xcosy

PQcosyfcosyf(x,y)sinyC(x). (t,t2 原積分式，得到(0,0sinyC(x)dxxcosydyt t 0C(x)dx0tcosydyt，0C(x)dxtsinttt

C(tsint22t2cost22tC(x)2xsinx22x2cosx2

f(x,y)siny2xsinx22x2cosx2[06年(理工)]IydxxdyLxx

1正向一周LxxLxxy1格林公 dyxxyI

D

D2xy其中D為L所圍區(qū)域，故d為D的面積 D2為此我們對L加以討論，以搞清D的面積 2 2x0且xy0xxy12xy10u1D，o1當x0且xy0時，xxy1y10 u1D，o1x0且xy0時xxy1y10x0且xy0時xxy12xy1

2xyD2×1=2.I

ydxxdy4xx另解：令xyu,則yuxdydudxL:xu1記D:xu1(見上圖(u(ux)dxx(dudx)udxxduLxLD

2

22[07年(理工)]設二元函數fx,y具有一階連續(xù)偏導數Lfx,y1過第二為負的是（C）（A）（C）

fx,yds fx,ydy

fx,ydxfxx,ydxfyx,y[07年(理工)]設函數ft在區(qū)間,內連續(xù)，且滿2x3y1ftdt4x29y212xy20ft計算ILf2x3y12dx3dy，其中L是從原點O到點M（1,3）的x2f2x3y18x12yf2x3y122x3y.若記2x3y1t，則ft2t1⑵Px,y2f2x3y1,Qx,y3f2x3y1，P6f2x3y1Q.I ILf2x3y12dx3dy f2x3y12dx3d2x3y1tx0,y=0時，t1；x=1,y=3時，t= I12ftdt122t1dtt22t

x22[08年(理工)]

在區(qū)域 4

1上具有連續(xù)的二階偏導數,CCC 時針橢 y1，

x,ydxfx,ydy6π [08年(理工)]I

xydxxydy，其中曲線C:yx x 從點A(－1,0)到點B(1,0)的一條不經過坐標原點的光滑曲線解：Px,y

xyx2y2

,P

x2y2x2y2

xyx2y2

,Q

x2y2x2y2 x2y20時,PQ故在不包含原點的任何區(qū)域內積分與路徑無關 1作上半圓C：x2y21,y0，逆時針方向.1xydxxyI

x2

Cxydxxy π0(cossin)(sin)(cossin)cosπ0πd0[09年(理工)]Lxx

12xyx2y2dxcosxydy（C L 2xy或xyu,則yux,dydudx,L:xu1,記D:xu1. [09年(理工)]Lx2y22Lxdy2ydx

3π2ydx

x[10年(理工)]

x2y

9

y21點2,0到4,0的部分解Px,y

x2y

，Qx,y

x2y

，因為當x2y20時,P

x2x2y2

即在不含點0,0的任何區(qū)域內此線積分與路徑無關,故Cx1)2y29y0A20B40ydxxdyydxxdy1

ydxxdy1 ydxxdyLx2 x2 9

C 12dxdy20dx121π32

9[11年(理工)]設函數uux,yL:r1cosD階連續(xù)偏導數,nL上的點處指向曲線外側的法向量(簡稱外法向),是ux,yL的外法向的方向導數,L取逆時針方向證明

udsudxuL 2u2u2

x

nds的值

uLdsuLds (ucosL其中,是nx軸正向的轉角π設是L的切向量相對于x軸正向的轉角,則 ,或ππ uds

(u

ucos)

udxuL

L

LndsD(x2y2)dxdyD(xyy1)

1dxdy2πd1cosrdrπ(1cos)2d3uLduLdsD[01年(理工)]a2x2yIx3az2dydzy3ax2dzdxz3ay2dxdya2x2ySz0x2y2a2的下側,Ω為ΣSI

x3az2dydzy3ax2dzdxz3ay2Sx3az2dydzy3ax2dzdyz3ay2S3x2y2x2dxdydz

x2y2

2 32πdπsindar4dr2πasin2d2 6πa51πa529πa5 [02年(理工)]設Σx2y2R20≤z≤R x2y2

Rx 令

：y

R2x2(0zR),D:0z

dS dxdz于是R2R2 dS 2dS 2 x2y2

R2

R2

(Rz)R 4R dxR dz4πππ2. R2R2

R2

2 1[03年(理工)]Sx2y2z2a2z0SS在第一卦限中的部分,1（C（A）xdS4xdS （B）ydS4xdS （C）zdS4xdS （D）xyzdS4xyzdS (zdS4zdS4xdS

y

1z2[04年(理工)]Ixz2dydzsinxdxdy,其中是曲線段 x(1z2)zz軸正向的夾角為銳角1解:x2y2z21.1

x2y2:z

z

x2y2 zz 1-22:z 其法線向量與z軸正向相同.設由曲面 所圍空間區(qū)域為(見右圖)Ixz2dydz

xz2dydzsinxdxdy 12

2z2dxdydz

x2y2

sinxdxdy

x2y2

12z21

x2y21

dxdy0132z2π(1z2)dz13

z52

12812[05年(理工)]S122

y2

z

1P(xyzS為S在點P處的切平面，(xyz)O(0,0,0)到平面的距離，求 dS.S(x,y,解：設X,YZ為上任意一點，則 x y

(x,y,z) z x y2 21 21 xy2 221 xy2 2

1

2,x

,y 1 1 z2zx y

d

d44x2y21 xy2 2S(x,y,zS(x,y,z

dS14x2y2d12πd

24r2rdr3π44 2l的均勻細棒，其密度為ρ.a，aR，求此半44 2xyFxFy均為零.k0為引力常數，則半球殼上點(xyz處面積元dSaadS dS 細棒上處微元d的引力為 z

x2y2(zkdSdcos k(z .r rxyxyzFk

a

z

d

3 2

2

21 x2y2zal2x2y2za2 k

(al)2

2al R2x2x2yR2x2

1 R2x2R2x22

dxdyR2xR2x2kR2π

R

(al)2

1R2r2alR2r 0

1 R2r2R2r2

rdr R2rR2r0 2 2R2πkRRR2(al)22alu1R2a22au10 2 2RR2(al)22al

R2a22aua2πkRa

a

R2(al)2 R2a2R2πkR

a

R2(R2(al)2

R2a2R 2

a 12M2πR2μ為半球殼的質量,Mlρ為細棒的質量12zkMM

R2al2

R2a2RF 2 a [07年(理工)]Ifx,y,zxdydz2fx,y,zydzdxfx,y,zzdxdyΣfx,y,z為一連續(xù)函數，Σxyz1在第四卦限部分的上側設Σ的單位法向量設Σ的單位法向量

1 33Σ

fx,y,z

fx,y,z

fx,y,zdS

xy

z3