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文檔簡(jiǎn)介
市高數(shù)競(jìng)賽多元積分試題集
y y[01年(理工、經(jīng)管)]計(jì)算I2 exdx1
exdx yI2dyyI2dyexdx
yy11dexy11dexdx
y 1x11dexdy1x(ee1x11dexdy1x(eex)dxe 2x 2[02年(經(jīng)管 將二重積分2x 2
f(xy)dy11I 2
f(x,[02年(經(jīng)管)]Dxy1所圍成的區(qū)域,D1,D2,D4D1、24e(x2ydxdy(DD(A)4e(x2y)dxdy (B)4e(x2y)dxdy 2(C)2e(xy)dxdy (D)2
e(x2y)dxdy [02年(經(jīng)管 計(jì)算Isin(xy)dxdy,其中區(qū)域D為:0xπ,0y2πDD1(x,y)x0,y0,xyD2(x,y)0xπ,0y2π,πxyD3(x,y)0xπ,πy2π,2πxD1上sin(xy)0D2上sin(xy)0D3sin(xy)0.Isin(xy)dxdysin(xy)dxdysin(x πdxπxsin(xy)dyπdx2πxsin(xy)dyπdx2
sin(x π 2π π(1cosx)dxπ2dxπ(1cosx)dx 5.[02年(理工)]I(exeyez)dv,其中Ω:x2y2z21z0I(D (C)(2ezey)dv (D)(2exez)dv [02年(理工)]Icos(xy)dxdyD0xπ,0yπ xyπDD1D22Icos(xy)dxdycos(x π 2dx2cos(xy)dy2dx2cos(x
π2 2(1sinx)dx2(cosx1)dxπ [03年(經(jīng)管)]f(uuD是由曲線[x3f(xy)]dxdy(C)D
x1yx3y1 4
7
(D)fD[03年(經(jīng)管)]Iasiney2dyb2y2ex2dxbsiney2dyb2y2ex2dx,其中 a2
asin
0ab0πab,均為常數(shù)2Da2x2y2b2與0yxtan的公共部分.Iasiney2dyb2y2ex2dxbsiney2dyb2y2ex2 a2
e(x2y2)dxdyer2rdrddbrer2
d1erd(r2)
d ea2eb22
..[03年(理工、經(jīng)管)]f(xy值恒為零.
xfyff(0,0)lim1 ydxdy02πDx2D為圓域2x2y21x證明:取極坐標(biāo)系,由y
ffxfyfcosfsin x y
rffrcosfrsinxfyf Ixfxyfydxdy1rfrdrd2πd1fdr2πf(rcos,rsin)1Dx2
Dr
2πf(cos,sin)d2πf(cos,sin)d02πf(cos,sin 02πf(cos,sin)d0I2πf(cos,sin,其中0 xfyf lim1 ydxdylimf(cos
)f02π
x2
[04年(理工經(jīng)管 設(shè)(x)為區(qū)間[0,1]上的正值連續(xù)函數(shù),與b為任意常數(shù)D(xy0xy1a(xb(y)dxdy(DD(x)(A) (B)b (C)ab (D)1ab2[04年(經(jīng)管 計(jì)算I
x2y2
xyx2y2dxdyf(xy)xyx2y2
1x
122
y
122Dx2y22;D1x1y11DDD D1 f(xy)0D2f(xy)0.I xyx2y2dxdyxyx2y2dxdyxyx2y2x2y2 2xyx2y2dxdyxyx2y2dxdy2II Ixyx2y2dxdyx2y2dxdy2πd2r3dr
xyx2y2 x
1
y
1
1rcossin(02π)
2
2 4Ixyx2y2dxdy2πdcos+sin[r(cossin)r2]rdrπ4 I
x2y2
xyx2y2dxdy2π(2π)5π π[05年(經(jīng)管)]2dπ
frcos,rsinrdr可以寫(xiě)成(D 11
fx,ydx (B)1yy
fx,ydx x(C)0dx0fx,ydy x
f[05年(經(jīng)管)]Dx2y2yx0.f(xyDf(x,y)
8fu,vdudvf11x2πfu,vdudvAf(xy)D
8A11x2D
f(x,y)dxdy
1x2y2dxdy8Adxdy即AD
π1x2y2dxdy8Aπ 2A1x2y2dxdydsin1r2rdr11cos3d1π2,
3 A1π2fxy6
4π21x21x2b[05年()]f(x在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)b
f(x)dxA,bf(x)ef(x)dxb1dx(ba)(baA) af證明:化為二重積分證明.D(x,yaxbaybbf(x)efx)dxb1dyf(x)efx)dxdyfy)efy af(
Df(
Df f(y)ef(y)f(x)ef(x)dxdy
f(x)f(y dxdy
1f(x)f(y)2f
f(
2D
D ba)2bdybf(x)dxba)(baA [05年(理工)]f(xyzF(t)
f(x,y,z)dxdydzx2y2z2tt→0時(shí)(C(A)F(t)與t為同階無(wú)窮小 (B)F(t)與t2為同階無(wú)窮小F(t)與t3為同階無(wú)窮小 (D)F(t)是比t3高階的無(wú)窮小[06年(經(jīng)管)]設(shè)區(qū)域Dx,yx2y21,y0,1x dxd1x D[06年(經(jīng)管)]DxOy平面上以點(diǎn)(1,1),(-1,1)和(-1,-1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域,D1D在第一象限的部分,則xycosxsinydxdy(B)D(A)2xydxdy (B)2cosxsinydxdy (C)4xycosxsinydxdy [06年(經(jīng)管)]fx,yfx,yxyfx,ydDDy0yx2x1ffx,ydAfx,yxyADAfx,ydxyAd1dxx2xyAdy11x5Ax2dx
AA
1fx,yxy1
19.[06年(理工)]f(u)u=0f(0)=0f03limt0
x2y2z2
x2y2z2dxdydz解:記Gt
x2y2z2
x2y2z2dxdydzttGt
2
2
tfrr2dr40
πt4 t t
t
rrdrlim4ft
limf f0
f03t
t t
t
t [06年(經(jīng)管)]f(r)在[0,1]
x2y2nfx2y2
x2y2dxdy0 x2y2
x2y2nf
x2y2dxdy2πd1r2n1frdr2π1r2n1frdrMmaxfr0 x2y2nf
x2y2dxdy2πM1r2n1dr2πM ,x2y21
注意到: 0,于是由定理可知要證的結(jié)論成立211nn211[07年(理工
dy
1
1y)]1yesinxesinyd的值BD(A)為正 (C)為負(fù) (D)當(dāng)0時(shí)為正,當(dāng)0時(shí)為負(fù)Iesinxdesinydadyaesinxdxadxaesiny
2aaesinxdx2aaesinydy2aaesinxdx2aaesinudu0 D[07,09年(理工、經(jīng)管)]fxymaxxy,Dxy0x1,0yDIfx,yyx2dσDD3D1x,y0x1,xy1,D2Dx,y0x1,0yx2.3
x,y0x1,x2yIyyx2dxyx2dxx2yd 0x01dx1y2yx2dy1xdxxyx2d0x0 1xdxx2x2y 51dx51dxx4dx1x5
0 2 011[08年(經(jīng)管)]設(shè)平面區(qū)域Dx,yx2y21Mxy3dσDNcos2xsin2xdPex2y21d,則(C (A)M>N> (B)M>P>(C)N>M> (D)N>P>0M(x33x2y3xy2y3)d0,N0,P2π1e21d0D25.[08年(25.[08年(經(jīng)管)]設(shè)
y,x2
fx,ydxdy, Dx,yx2y22
yr2sin
D6π6fx,ydxdyarctanydxdy x0時(shí),x2y21x2y121Ax2y2x2y121,
xy
3 在極坐標(biāo)下計(jì)算12
tan
1132 ,π13 2Aπ,1D1r,ππ,1r2sin.于 y
xfx,ydxdy dxdy2dx
214sin21d21cos2 π π1221sin2212sin2π 6π2
3π3
26 [08年(理工)]Ix2y2dv,ΩyOzzΩz2y2z121z軸旋轉(zhuǎn)而成的空間區(qū)域解:由題設(shè)知,區(qū)域Ωx2y2z121z=0,z=2所圍成.z軸垂直的平面截立體ΩDz,于是 x21z顯然Dz是圓域圓心為0,0,z0x21z dzπd1z12 π212z121111[08年(理工 求
11ex2dx π0證明:記I1ex2dx,則I21ey2dy1ex2 π0ex2y2
0,I
x2y2
且ex2y2且 x2y2 I x2y2
dxdy11
I π
111 1A[09年(理工、經(jīng)管)]設(shè)ft為連續(xù)函數(shù),求 AAA2AfxydxdyD
A 其中Dx
xA,yA,A為
2fxydxdyDA22
x2
00
AftAt
t
1tdt1ex t1tdt1exdx10t00t0[10年(經(jīng)管)]Dx,y0x2,0y
f
fxydxdy0xyfx,ydxdy1,證明:存在,D, fξ,ηxy1dxdyD證:由題設(shè),有1xyfxydxdyxyfxydxdyfxy (xy1)fx,ydxdyxy1fx,y fxy在有界閉域D上連續(xù),故有最小值m與最大值M,mxy1dxdyxy
fx,ydxdyMxy1 又連續(xù)函xy10且不恒為0,xy1dxdy0,于是Dxy1fx,ym M.由連續(xù)函數(shù)的介值知(,D,使得xy1Dxy1fx,yf(,) ,從而有xy1Df(,)xy1dxdyxy
fx,ydxdy[10年(理工)]z4x2y2PP點(diǎn)處的切平面與曲面之間并被圓柱面x12y21所圍空間區(qū)域的體積最小.證:因?yàn)閂VV,其中V和Vz4x2y2P 1z0為底,以圓柱面x12y21為側(cè)面的區(qū)域的體積,且1是常數(shù),所以求V的最小值可轉(zhuǎn)化為求V2的最大值設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,,,則曲面在該點(diǎn)處的法向量為2,2,1,切平方2ξxξ2ηyηzζ0又422z2ξx2ηy4ξ2η22Vzdxdy2ξx2ηy4ξ2η22 π4222ξxηyD其中Dx,yx12y2ξxξxηydxdy2ξcosd2
r2drD216ξπcos4d16ξ3ππ2 422 Vξ,ηπ42ξξ2η2.2V2π22ξ22πη
解得唯一駐點(diǎn)為1,0.又當(dāng),為區(qū)域D邊界上的點(diǎn)時(shí),12212220于是V24π為常數(shù),可知V2ξ,ηD的內(nèi)部取到最大值.而點(diǎn)(1,0)D內(nèi)的唯一駐點(diǎn),故V2在此唯一駐點(diǎn)處的值5π是最大值.此時(shí)切點(diǎn)P的坐標(biāo)1,0,5為所求.切平面 2xz30,最小體積2 V4x2y2dxdy5ππd2cosr3dπ3πππ2 [11年(理工、經(jīng)管)]fxy是連續(xù)函數(shù),f(xyxyf(xy)dxdy其中Dx軸、y軸以及直線xy1圍成,Df(x,y)
xy [11年(經(jīng)管)]設(shè)函數(shù)fx,y連續(xù) 010
f(x,y)dxad
f(rcos,rsin)rdr則abcd取值為(B(A)aπ,bπ,c ,d sin
aπ,bπ,c ,d sin
a0,bπ,csincos,d1;πa0,b
,csincos,d2[11年(經(jīng)管)]設(shè)(1)閉曲線是由圓錐螺線OA:xcos ysinz02π和直線段AOO000(2)
A2π,0,2πx2z x2部分.xOyDD為曲頂?shù)那斨w的體積求曲面的面積解:(Ⅰ)xOyD,0r 0
yV
x2dx2
O
13d4 x2(Ⅱ)x2
的曲面面積元素dS
z2z21dxdy
SDdS
22 2πdrdr22π2d42 補(bǔ)充(2007年考研題x2 xyx2設(shè)二元函數(shù)f(x,y) ,1x2f(xy)dD{(xD
yxyf(x,y)d4f(x, 4f(x,y)df(x,y)d D11{(xy)0y1x0xD12{(xy1xy2x0y0}(如上圖f(xy)dx2d1dx1xx2dy1x21x)dx1
f(x,y)d d2
cossin1x2x2
π π 42 d2 4
1lnsecπtanπ0cos
2cosπ
222 2 2223f(xy)d1423
D1.[02年(理工)]C是取正向的圓周(x1)2y1)21,f(x)
xf(y)dyydxf證明: xf(y)dyydxf(y)1dxdy f D
f(x)D是由(x–1)2y–121所圍成的區(qū)域.Dyxf(x)dxdyfy)dxdy xf(y)dyydxf(y)1dxdyf(x)1 f D
f(x)
D f(x)f1f dxdyf1f 2.[03年(理工 設(shè)函數(shù)Q(x,y)在xOy平面上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),曲線積L2xydxQ(xy)dyt (t,1)2xydxQ(x,y)dy(1,t)2xydxQ(x,y)dy,求Q(x,y x
(2xy)2x,所以Q(xy)x2Cy其中Cy)為待定函數(shù).(t,1)2xydxQ(x,y)dy1t2C(y)dyt21C(y)dy 0 (1,t)2xydxQ(x,y)dyt1C(y)dyttC(y
t21C(y)dyttC(y)dy t 2t1C(t,于是知C(t)2t1,即Cy)2y1,故Q(xy)x22y13.[04年(理工)]P(x,y),Q(x,y具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且對(duì)以任意點(diǎn)(x0y0rLx
rcos,y
rsin0π
P(xy)dxQ(xy)dy0.P(xy)0Q(xy)0(8分ABP(x,y)dxQ(x,y)dyABLP(x,y)dxQ(x,y)dyLP(x,y)dxQ(x, P(x,y)dxQ(x,y)dyQPAB D
y
11xyMSDxyM2 11P(xy)dxQ(xy)dyx0rP(xy)dx分中值定理P(y
r
QP
πr2P(y2r,即QP
πr2P(,y)
y
y r0,兩邊取極限,P(x0y0)0,由(x0y0P(xy)0; Q(x,
0于是Q(x
limQ(x,
0由(x
1 1
(x0,y0 r Q(x,知
0
(t,t2 [05年(理工)]f(xy具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且(0,0)f(xy)dxxcosydyt,求f(x,y).P(xy)f(xy),Q(xy)xcosy
PQcosyfcosyf(x,y)sinyC(x). (t,t2 原積分式,得到(0,0sinyC(x)dxxcosydyt t 0C(x)dx0tcosydyt,0C(x)dxtsinttt
C(tsint22t2cost22tC(x)2xsinx22x2cosx2
f(x,y)siny2xsinx22x2cosx2[06年(理工)]IydxxdyLxx
1正向一周LxxLxxy1格林公 dyxxyI
D
D2xy其中D為L(zhǎng)所圍區(qū)域,故d為D的面積 D2為此我們對(duì)L加以討論,以搞清D的面積 2 2x0且xy0xxy12xy10u1D,o1當(dāng)x0且xy0時(shí),xxy1y10 u1D,o1x0且xy0時(shí)xxy1y10x0且xy0時(shí)xxy12xy1
2xyD2×1=2.I
ydxxdy4xx另解:令xyu,則yuxdydudxL:xu1記D:xu1(見(jiàn)上圖(u(ux)dxx(dudx)udxxduLxLD
2
22[07年(理工)]設(shè)二元函數(shù)fx,y具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)Lfx,y1過(guò)第二為負(fù)的是(C)(A)(C)
fx,yds fx,ydy
fx,ydxfxx,ydxfyx,y[07年(理工)]設(shè)函數(shù)ft在區(qū)間,內(nèi)連續(xù),且滿2x3y1ftdt4x29y212xy20ft計(jì)算ILf2x3y12dx3dy,其中L是從原點(diǎn)O到點(diǎn)M(1,3)的x2f2x3y18x12yf2x3y122x3y.若記2x3y1t,則ft2t1⑵Px,y2f2x3y1,Qx,y3f2x3y1,P6f2x3y1Q.I ILf2x3y12dx3dy f2x3y12dx3d2x3y1tx0,y=0時(shí),t1;x=1,y=3時(shí),t= I12ftdt122t1dtt22t
x22[08年(理工)]
在區(qū)域 4
1上具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù),CCC 時(shí)針橢 y1,
x,ydxfx,ydy6π [08年(理工)]I
xydxxydy,其中曲線C:yx x 從點(diǎn)A(-1,0)到點(diǎn)B(1,0)的一條不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的光滑曲線解:Px,y
xyx2y2
,P
x2y2x2y2
xyx2y2
,Q
x2y2x2y2 x2y20時(shí),PQ故在不包含原點(diǎn)的任何區(qū)域內(nèi)積分與路徑無(wú)關(guān) 1作上半圓C:x2y21,y0,逆時(shí)針?lè)较?1xydxxyI
x2
Cxydxxy π0(cossin)(sin)(cossin)cosπ0πd0[09年(理工)]Lxx
12xyx2y2dxcosxydy(C L 2xy或xyu,則yux,dydudx,L:xu1,記D:xu1. [09年(理工)]Lx2y22Lxdy2ydx
3π2ydx
x[10年(理工)]
x2y
9
y21點(diǎn)2,0到4,0的部分解Px,y
x2y
,Qx,y
x2y
,因?yàn)楫?dāng)x2y20時(shí),P
x2x2y2
即在不含點(diǎn)0,0的任何區(qū)域內(nèi)此線積分與路徑無(wú)關(guān),故Cx1)2y29y0A20B40ydxxdyydxxdy1
ydxxdy1 ydxxdyLx2 x2 9
C 12dxdy20dx121π32
9[11年(理工)]設(shè)函數(shù)uux,yL:r1cosD階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),nL上的點(diǎn)處指向曲線外側(cè)的法向量(簡(jiǎn)稱外法向),是ux,yL的外法向的方向?qū)?shù),L取逆時(shí)針?lè)较蜃C明
udsudxuL 2u2u2
x
nds的值
uLdsuLds (ucosL其中,是nx軸正向的轉(zhuǎn)角π設(shè)是L的切向量相對(duì)于x軸正向的轉(zhuǎn)角,則 ,或ππ uds
(u
ucos)
udxuL
L
LndsD(x2y2)dxdyD(xyy1)
1dxdy2πd1cosrdrπ(1cos)2d3uLduLdsD[01年(理工)]a2x2yIx3az2dydzy3ax2dzdxz3ay2dxdya2x2ySz0x2y2a2的下側(cè),Ω為ΣSI
x3az2dydzy3ax2dzdxz3ay2Sx3az2dydzy3ax2dzdyz3ay2S3x2y2x2dxdydz
x2y2
2 32πdπsindar4dr2πasin2d2 6πa51πa529πa5 [02年(理工)]設(shè)Σx2y2R20≤z≤R x2y2
Rx 令
:y
R2x2(0zR),D:0z
dS dxdz于是R2R2 dS 2dS 2 x2y2
R2
R2
(Rz)R 4R dxR dz4πππ2. R2R2
R2
2 1[03年(理工)]Sx2y2z2a2z0SS在第一卦限中的部分,1(C(A)xdS4xdS (B)ydS4xdS (C)zdS4xdS (D)xyzdS4xyzdS (zdS4zdS4xdS
y
1z2[04年(理工)]Ixz2dydzsinxdxdy,其中是曲線段 x(1z2)zz軸正向的夾角為銳角1解:x2y2z21.1
x2y2:z
z
x2y2 zz 1-22:z 其法線向量與z軸正向相同.設(shè)由曲面 所圍空間區(qū)域?yàn)?見(jiàn)右圖)Ixz2dydz
xz2dydzsinxdxdy 12
2z2dxdydz
x2y2
sinxdxdy
x2y2
12z21
x2y21
dxdy0132z2π(1z2)dz13
z52
12812[05年(理工)]S122
y2
z
1P(xyzS為S在點(diǎn)P處的切平面,(xyz)O(0,0,0)到平面的距離,求 dS.S(x,y,解:設(shè)X,YZ為上任意一點(diǎn),則 x y
(x,y,z) z x y2 21 21 xy2 221 xy2 2
1
2,x
,y 1 1 z2zx y
d
d44x2y21 xy2 2S(x,y,zS(x,y,z
dS14x2y2d12πd
24r2rdr3π44 2l的均勻細(xì)棒,其密度為ρ.a,aR,求此半44 2xyFxFy均為零.k0為引力常數(shù),則半球殼上點(diǎn)(xyz處面積元dSaadS dS 細(xì)棒上處微元d的引力為 z
x2y2(zkdSdcos k(z .r rxyxyzFk
a
z
d
3 2
2
21 x2y2zal2x2y2za2 k
(al)2
2al R2x2x2yR2x2
1 R2x2R2x22
dxdyR2xR2x2kR2π
R
(al)2
1R2r2alR2r 0
1 R2r2R2r2
rdr R2rR2r0 2 2R2πkRRR2(al)22alu1R2a22au10 2 2RR2(al)22al
R2a22aua2πkRa
a
R2(al)2 R2a2R2πkR
a
R2(R2(al)2
R2a2R 2
a 12M2πR2μ為半球殼的質(zhì)量,Mlρ為細(xì)棒的質(zhì)量12zkMM
R2al2
R2a2RF 2 a [07年(理工)]Ifx,y,zxdydz2fx,y,zydzdxfx,y,zzdxdyΣfx,y,z為一連續(xù)函數(shù),Σxyz1在第四卦限部分的上側(cè)設(shè)Σ的單位法向量設(shè)Σ的單位法向量
1 33Σ
fx,y,z
fx,y,z
fx,y,zdS
xy
z3
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