高數(shù)武大上冊2012第七章微分方程7.3降階

可降階高階微分方程機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三節(jié)一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程

第七章一、令因此即同理可得依次通過

n

次積分,可得含

n

個任意常數(shù)的通解.型的微分方程

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.解:

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.質(zhì)量為

m

的質(zhì)點(diǎn)受力F

的作用沿ox

軸作直線運(yùn)動,在開始時刻隨著時間的增大,此力

F

均勻地減直到t=T時

F(T)=0.如果開始時質(zhì)點(diǎn)在原點(diǎn),解:據(jù)題意有t=0

時設(shè)力F僅是時間t

的函數(shù):F=F(t).小,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律.初速度為0,且對方程兩邊積分,得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束利用初始條件于是兩邊再積分得再利用故所求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束型的微分方程

設(shè)原方程化為一階方程設(shè)其通解為則得再一次積分,得原方程的通解二、機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.求解解:代入方程得分離變量積分得利用于是有兩端再積分得利用因此所求特解為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束三、型的微分方程

令故方程化為設(shè)其通解為即得分離變量后積分,得原方程的通解機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.

求解代入方程得兩端積分得(一階線性齊次方程)故所求通解為解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束M:地球質(zhì)量m:物體質(zhì)量例5.

靜止開始落向地面,求它落到地面時的速度和所需時間(不計空氣阻力).解:

如圖所示選取坐標(biāo)系.則有定解問題:代入方程得積分得一個離地面很高的物體,受地球引力的作用由機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束兩端積分得因此有注意“－”號機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束由于y=R

時由原方程可得因此落到地面(y=R)時的速度和所需時間分別為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:

若此例改為如圖所示的坐標(biāo)系,解方程可得問:

此時開方根號前應(yīng)取什么符號?說明道理.則定解問題為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.解初值問題解:

令代入方程得積分得利用初始條件,根據(jù)積分得故所求特解為得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束為曲邊的曲邊梯形面積上述兩直線與x

軸圍成的三角形面例7.二階可導(dǎo),且上任一點(diǎn)P(x,y)

作該曲線的切線及x軸的垂線,區(qū)間[0,x]上以解:于是在點(diǎn)P(x,y)處的切線傾角為

,滿足的方程.積記為(99考研)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束再利用y(0)=1得利用得兩邊對x

求導(dǎo),得定解條件為方程化為利用定解條件得得故所求曲線方程為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)可降階微分方程的解法——降階法逐次積分令令機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)1.方程如何代換求解?答:

令或一般說,用前者方便些.均可.有時用后者方便.例如,2.解二階可降階微分方程初值問題需注意哪些問題?答:(1)一般情況,邊解邊定常數(shù)計算簡便.(2)遇到開平方時,要根據(jù)題意確定正負(fù)號.例5例6機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束速度大小為2v,方向指向A,提示:設(shè)t時刻

B位于(x,y),如圖所示,則有去分母后兩邊對

x

求導(dǎo),得又由于設(shè)物體

A

從點(diǎn)(0,1)出發(fā),以大小為常數(shù)v備用題的速度沿y軸正向運(yùn)動,物體B

從(–1,0)出發(fā),試建立物體