同步練習(xí)第一章第三節(jié)函數(shù)的基本性質(zhì)

22222222和和僅供個(gè)人參考22222222和和高考復(fù)習(xí)：2.函的基本性質(zhì)二.考要求：（1理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（小）值及其幾何意義；結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義。（2會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)。Foronlyinstudyresearch;forcommercial三.命方向及典例探究Foronlyinstudyresearch;forcommercial、函數(shù)單調(diào)性的判斷例1.試討函數(shù)

f(x),x2

中的單調(diào)性（其中a0解：

x1則

f(x)(x)1

ax1x1

ax2x2

)(xx2112(x12x12x|xxx0,x0,|x即xx1212xx1

(xx)(xx211(x12

因此，當(dāng)，

f(x)(x)12即

f(x)f(x),1

此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)

a0

時(shí)，

f(x)(x)0,1即

f(x)(x),1

此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)。點(diǎn)）證明函數(shù)單調(diào)性時(shí)，一定要嚴(yán)格按照定義來(lái)證明，主要步驟是：①設(shè)元；②作差（商③變形；④判斷符號(hào)；⑤定論。變形要徹底，一般通過(guò)因式分解、配方等手段，直到符號(hào)的判非常明顯。（2判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法：①定義法。②兩個(gè)增（減）函數(shù)的和為增（減）函數(shù)；一個(gè)增（減）函數(shù)與一個(gè)減（增）函數(shù)的差是增（）函數(shù)；當(dāng)恒正或恒為負(fù)時(shí)，

y

f(x)

與

(x)

的單調(diào)性相反。③奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上有相反的單調(diào)性。④如果f(x)在間D上增（減）函數(shù)，那么f(x)在D任一子區(qū)間上也是增（減）函數(shù)。⑤如果

u

單調(diào)性相同，那么

yf[g(x)]

是增函數(shù)；如果

ug(x)

單調(diào)性相反，那么

yf[g(x)]

是減函數(shù)。⑥如果f(x)在間D上導(dǎo)且

f

在區(qū)間D上大于（小于）零則

(x)

在區(qū)間D上調(diào)遞增（減、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不得用于商業(yè)用途

22在在2由于xx1僅供22在在2由于xx1例2.求下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1（2

f(x)3x2;f(x)||;（3

f(x)

2

x|（4

f(x)

9x

0).分：給定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間通常采用以下方法利用已知函數(shù)的單調(diào)性圖法定（利用單調(diào)性的定義探討導(dǎo)數(shù)．解：（1）

133f(x)3x)x(]對(duì)稱(chēng)軸為2∴f(x)

上是增函數(shù)，在3[,2

上是減函數(shù)。(x0)f(x)x3x(x（2由一次函數(shù)的單調(diào)性可得在

上是減函數(shù)，在

[0,

上是增函數(shù)。（3

2xf(x)3(x其圖象如圖所示。由此可知：

(x)(

上是增函數(shù)。f(x)[

上是減函數(shù)。（4方法一：設(shè)

0x1

，則9f(x)(x)))xx29(x)(xx9)(x)1221xxxx22

,0x,0,x1212的符號(hào)不能確定，因此需要對(duì)

xx1

的取值進(jìn)行討論。當(dāng)

x12

時(shí)，有

1即

f(x)f(x)f(x)f(x1212∴f(x)

上是減函數(shù)。當(dāng)

xx12

時(shí)，有

xx0,1即

f(x(x)f(x)(x),1不得用于商業(yè)用途

僅供個(gè)人參考∴f(x)

(3,

上是增函數(shù)。方法二：

99f(x)x,fx

或

x

（舍去又當(dāng)

x

時(shí)，

f

∴f(x)

(3,

上是增函數(shù)，x

時(shí)，

f0,∴f(x)

上是減函數(shù)。點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子集或真子集，求數(shù)的單調(diào)區(qū)間必須首先確定函數(shù)的定義域，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的運(yùn)算應(yīng)該在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行．②可以熟記一些基本函數(shù)的單調(diào)性，化一些復(fù)雜的函數(shù)為基本函數(shù)組合形式后利用已知結(jié)論判．③函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以是開(kāi)的可以是閉的可以是半開(kāi)半閉的于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)來(lái)，只要在開(kāi)區(qū)間上單調(diào)，它在閉區(qū)間上也單調(diào)．因此，只要單調(diào)區(qū)間端點(diǎn)使f(x)意義，都可以使單調(diào)區(qū)間包括端點(diǎn)．、函數(shù)的值域（最值）的求法例求列函數(shù)的值域。

22

x12xx

x

xx

1

2分：題主要考查函數(shù)值域問(wèn)題，考查運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的思想，對(duì)于用別式法或分離常數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化；對(duì)于2用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域問(wèn)題；對(duì)于用本不等式或利用函數(shù)的單調(diào)性求解；對(duì)于4函數(shù)的有界性或由幾何法求解；對(duì)于求數(shù)法求解．解）方法一：

x2y1x

y

即(（2方法一：設(shè)

1t(t0),

得

x,11(t(t2].12x(].方法二：2∴定義域?yàn)?∵函數(shù)

x,y

在

1(]2

上均單調(diào)遞增，

111,y].22不得用于商業(yè)用途

且1212∴當(dāng)或時(shí)有僅供個(gè)人參考且1212∴當(dāng)或時(shí)有（3方法一：當(dāng)

x

時(shí)，

4yxxxx當(dāng)且僅當(dāng)x當(dāng)x時(shí)

時(shí)，取等號(hào)；y

4](當(dāng)且僅當(dāng)x

時(shí)，取等號(hào)。綜上，所求函數(shù)的值域?yàn)?/p>

([4,方法二：先證此函數(shù)的單調(diào)性任取

x,1224f)(x)(x)x12(x)(xx22x1xx11

時(shí)，遞增，當(dāng)

2xx2

時(shí)，遞。故x

時(shí)，

f(x)(極大

時(shí)，

f(x)(2)極小∴所以函數(shù)的值域?yàn)?/p>

([4,（4方法一：利用函數(shù)的有界性四.知要點(diǎn)點(diǎn)撥、函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)“區(qū)間概念一個(gè)函數(shù)在定義域的幾個(gè)區(qū)間上都是增（）函數(shù)，但不能f(x)在說(shuō)這個(gè)函數(shù)在其定義域上是增（減）函數(shù)。例如：函數(shù)x

上是減函數(shù)，在

上也是減函數(shù)，但不能說(shuō)

f(x)

x

在

((0,

上是減函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)

xf(x)(x)12不滿(mǎn)足減函數(shù)的定義。、函數(shù)單調(diào)性的變化是求最值和值域的主要依據(jù)，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出后，再判斷增減性，是求最值和值域的前提，當(dāng)然，函數(shù)圖象也是函數(shù)單調(diào)性的最直觀(guān)體現(xiàn)。、理解函數(shù)的奇偶性應(yīng)注意（1定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要但不充分條：f(x)(x)或fx)(x)

是定義域上的恒等式。（2奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)。為了便于判斷函數(shù)的奇偶性有時(shí)需要先將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，或應(yīng)用定義的等價(jià)形式：

f(f((x)f(x)(x)f(x)

(x)（3①若f(x)是偶函數(shù)，則

f(x)f(|x

反之亦真。②若f(x)奇函數(shù)，且0在義域內(nèi)，則

f(0)不得用于商業(yè)用途

和和僅供個(gè)人參考和和③若

f(x)

且f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則f(x)既奇函數(shù)又是偶函數(shù)。判函數(shù)單調(diào)性的常用方法（1定義法；（2兩個(gè)增（減）函數(shù)的和仍為增（減）函數(shù)；一個(gè)增（減）函數(shù)與一個(gè)減（增）函數(shù)的差是增（減）函數(shù)；（3奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上有相反的單調(diào)性；（4互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)有相同的單調(diào)性；（5如果f(x)在區(qū)間D上增（減）函數(shù)，那么f(x)在D的一子區(qū)間上也是增（減）函數(shù)；（如果

g(x)

單調(diào)性相同，那么

yf[g(x)]

是增函數(shù)；如果

g(x)

單調(diào)性相反，那么

yf[g(x)]

是減函數(shù)。、判斷函數(shù)奇偶性的常用方法確定函數(shù)的奇偶性，一般先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，然后判斷

fx)

與f(x)關(guān)系，常用的方法有用函數(shù)奇偶性定義判斷求（差判斷即看f(x)

f(x)fx)

與的關(guān)系用求商法判斷，即看

f

與

的關(guān)系）可由其函數(shù)圖象直觀(guān)判斷。、求函數(shù)值域（最值）的方法（1利用基本函數(shù)求值域法有的函數(shù)的結(jié)構(gòu)并不復(fù)雜，可以通過(guò)基本函數(shù)的值域及不等式的性質(zhì)直接觀(guān)察出函數(shù)的值域，如數(shù)

12x

{y0}.的值域?yàn)椋?反函數(shù)法用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域和值域的關(guān)系，通過(guò)求反函數(shù)的定義域而得到原函數(shù)的值域。形y

cxax

(a

的函數(shù)值域可用此法。（3換元法運(yùn)用代數(shù)或三角代換所函轉(zhuǎn)化成值域容易確定的另一函數(shù)而得原函數(shù)的值域如cx（4配方法

（，，c，d均常數(shù)，且ac）的函數(shù)常此法求值域。二次函數(shù)或轉(zhuǎn)化為形如函數(shù)要注意的圍。（5不等式法求值域

a[f2(x)bf(x)

類(lèi)的函數(shù)的值域問(wèn)題，均可用配方法，而后面的利用基本不等式：

ab,

用此法求函數(shù)值域時(shí)，要注意條件“一正二定三相等用

a

求某些函數(shù)值（或最值時(shí)滿(mǎn)足三個(gè)條件①

ab

②

ab

（或ab為定值；③取等號(hào)條件＝，三個(gè)條件缺一不可。（6導(dǎo)數(shù)法不得用于商業(yè)用途

由是奇函數(shù)僅供個(gè)人參考由是奇函數(shù)設(shè)

(x)

的導(dǎo)數(shù)為

f

f

可求得極值點(diǎn)坐標(biāo)，若函數(shù)定義域?yàn)閍，最必定為極值點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)中函數(shù)值的最大值和最小值。（7判別式法求值域把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次方程

F(x,y)0,

通過(guò)方程有實(shí)根式

從而求得原函數(shù)的值域。形如

y

1xb2

（

,1

不同時(shí)為0的函數(shù)的值域常用此法求得。（8利用函數(shù)的單調(diào)性求值域通過(guò)確定函數(shù)在定義域內(nèi)（或某個(gè)定義域的子集上）的單調(diào)性求出函數(shù)值域的方法為單調(diào)性法。慮用單調(diào)性法求值域常見(jiàn)的有

dx

（，，de為常數(shù)，且0與是同號(hào)，若同號(hào)用單調(diào)性求值域，若異號(hào)則用換元法求值域；還有的在利用重要不等式求值域失效等號(hào)不滿(mǎn)ky(xk0),xk],足）的情況下，可采用單調(diào)性求值域，但需熟悉下列結(jié)論：函數(shù)x

函數(shù)遞減，

k,

函數(shù)遞增。（9數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的值域數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助于幾何方法或圖象來(lái)求函數(shù)的值域。（10）函數(shù)的有界性法形如

y

sinx

可用y表出

x

據(jù)

x

解關(guān)于y的等式y(tǒng)的的范圍?！镜湫皖}】例（上春，）設(shè)函數(shù)

(x)

是奇函數(shù)。若

f(f(2)

則f

___________。部：題考查奇函數(shù)的概念。答：3解：

(x)

f((x).f((2),f((1).fff(1)(2)3,(2)f(1)3,2f2f(2)f(1)f(2)

故填－3。不得用于商業(yè)用途

僅供個(gè)人參考僅供個(gè)用學(xué)習(xí)、究不得用商業(yè)用。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.Nurfürdenpers?nlichenfürStudien,Forschung,z