數(shù)值計(jì)算方法習(xí)題答案(第二版)(緒論)

數(shù)值計(jì)算方習(xí)題答案(第二版)(論4試證：對(duì)任給初值的牛頓迭代公式xk1,2,......(xkk),k0,1恒成立下列關(guān)系式：證明：1k(xk2,kk1,2,......xka（1）xkxk2xk2（2取初值，顯然有，對(duì)任意k0，1aaaaxkxkxkxk2xk6證明：若xk有n有效數(shù)字，則xk82

1101n，2xkx而xkkk2xk2.512n1xk1012n22.52xk有2n位有效數(shù)字。8解：此題的相對(duì)誤差限通常有兩種解①根據(jù)本章中所給出的定理：（設(shè)的近似數(shù)x可表示為x10，如果具有l(wèi)位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差限為xx*x*1l，其中a1為x*中第一個(gè)非零數(shù)）

則x12.7，有兩位有效數(shù)字，相對(duì)誤差限為x111x122x22.71，有兩位有效數(shù)字，相對(duì)誤差限為x211x222x3，有兩位有效數(shù)字，其相對(duì)誤差限為：x33x32第二種方法直接根據(jù)相對(duì)誤差限的定義式求解2.7，x10.0183

對(duì)于x1x1其相對(duì)誤差限為0.00678同理對(duì)于，有x20.003063x22.71對(duì)于，有x30.00012備注）兩種方法均可得出相對(duì)誤差限，但第一種是對(duì)于

所有具有n位有效數(shù)字的近似數(shù)都成立的正確結(jié)論他對(duì)誤差限的估計(jì)偏大但計(jì)算略簡(jiǎn)單些而第二種方法給出較好的誤差限估計(jì)，但計(jì)算稍復(fù)雜。（）采用第二種方法時(shí)，分子為絕對(duì)誤差限，不是單純的對(duì)真實(shí)值與近似值差值的四舍五入對(duì)誤差限大于或等于真實(shí)值與近似值的差。11.解:，3.***-*****.......71132212，具有3位有效數(shù)字7225516，具有7位有效數(shù)字解：有四舍五入法取準(zhǔn)確值前幾位得到的近似值，必有幾位有效數(shù)字。令所對(duì)應(yīng)的真實(shí)值分別為x1,x2,x3，則101l=10212*＜10/2.72＜251l*

②Ox2-x2O15*＜＜241l*③＜1014*＜＜2①Ox1-x1O12.解：⑴－=12x1x(1x)sin2x2x⑵1-cosx==2sinxnx2xnx2⑶1≈1+x++…+-1=x++

2!n!2!n!x13.解：⑴x=xx2/x11xxxx⑵xx1=arctan(x21t設(shè)，則b)tan(1tanax(x1)x1)-arctanx=11x(x

⑶ln(xx2x2=ln1ln(xx21)=-ln(xx2習(xí)題一（頁(yè)）證明：利用余項(xiàng)表達(dá)式（11頁(yè)f(x)為次數(shù)≤n的多項(xiàng)式時(shí)，由于fn于是有－Pn(x)=0,即Pn(x)=f(x)，表明其n次插值多項(xiàng)式Pn(x)就是它自身9.證明：由第5題知，對(duì)于次的多項(xiàng)式，次插值多項(xiàng)式就是其自身。于是對(duì)于f(x)=1，有即則11.分析：f(n)由于拉格朗日插值的誤差估計(jì)式為f(x)－（nnf(n)誤差主要來(lái)源于兩部分和(xxk)。（n0n

(xx)kkn對(duì)于同一函數(shù)討論其誤差，主要與(xx)有關(guān)。kk在（）中計(jì)算的積分值，若用二次插值，需取三個(gè)節(jié)點(diǎn)，由于在，2兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間，所以應(yīng)選1，為節(jié)點(diǎn)，在剩下的兩個(gè)點(diǎn)中，與0.472更靠近，所以此題應(yīng)x0,x1,x2為點(diǎn)來(lái)構(gòu)造插值多項(xiàng)式。(xx2)(x(x0x1)(x0x0)(x1(xx0)y20.***-*****(x2x1)(x215.證明：由拉格朗日插值余項(xiàng)公式有

1f2(f(x)－p(x)頡堋堞xx1)maxf(x)x)kx0x(x1x0)2=(x1xx0)2=2(x1x)(xx0)+(x1x)2+(x≥4(x1x)(xx0)(x1maxf2(x)f(x)p(x)頡x0xx1820.證明：當(dāng)，F(xiàn)(x0,x1)=F(x1)F(x0)f(x1)f(x0)=C=Cf(x0,x1)x1假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立有F(x0,...,xk)=；；那么當(dāng)時(shí)，xk1)f(x0,...,xk)1)xk

證明完畢類似的方式可證明第一個(gè)結(jié)論）21.解：由定理（頁(yè)）可知：f(n)()其中[minxi,maxxi]n當(dāng)nk時(shí)，f(n)(x)=xk(n)；=k!當(dāng)n=k時(shí)，f(n)(x)=xkf(x0,x1,...,xn)=當(dāng)nk時(shí)當(dāng)nk時(shí)13.解：由題意知，給定插值點(diǎn)為由線性插值公式知線性插值函數(shù)為x0.34xx10.*****y0+y1=x1當(dāng)x=0.3367時(shí)，

sin0.3367其截?cái)嗾`差為R1(x)頡

M2(xx1)潁其中M2=maxf2(x)x0xx12，f2(x)=-sin(x)，M2=sin0.34頡于是頡若二次插值，則得15×0.*****×0.0167×0.0033≤0.92×102(xx2)(xx1)(x(x1x0)(x1x0)(x2x1)(x0sin0.3367≈0.*****其截?cái)嗾`差為M3(xx1（x2)6x0xx2其中M3=maxf(x)=maxcosx=cos0.320.950x0xx2于是R2(0.3367)頡16×0.950×0.0167×0.0033×0.02330.204×106

：差商表為―――――――――――――――――――――――――――――――xif(x)一階差商二階差商三階差商四階差商五

階

差商―――――――――――――――――――――――――――――――13154833112015100由差商形式的牛頓插值公式，有P(x)=f(x0)＋f(x0,x1)(xx0)f(x0,x1,x2)(xx0)(xx1)＋f(x0,x1,x2,x3)(xx1)(xx2)=-3＋1)＋6(x1)(x＋(x1)(x2)(x3)：解：由于P(0)P(1)P1(1)，則設(shè)P(x)1)2由P(2)則C所以P(x)121x(x1)2224.解：

由于P(0)0,P(1)3可設(shè)P(x)xCx(x2)(x由P1(2)得C2，有：所以P(x)x121x(x2)(x．解：由泰勒公式有f“(x0)f3()2f(x)f(x0)(xx0)(xx0)(xf"(x0)(xx0)3設(shè)P(x)f(x0)f(x0)(xx0)其滿足Pj(x0)fj(x0)，其j0,1,2由P(x1)，得(x1x0)2(xx0)

代入(式既可得P(x).'"33.解：于S(x)故在x1處有S(1),S(1),S(1)連續(xù)，即：bc1解得：c1bc3、解：首先確定求解過(guò)程中涉及到的一些參數(shù)值。x01,x11,x33h01,h2h0h111h111123d06

hf(x0,x1)02d16f(xf(xk)k20(xkxj)jj0kd26f(x1,x2,x3)2h302于是得到關(guān)于的方程組：21M0222M1M12M23122741271201

M014M14M22M31解方程求出M0,M1,M2,M3，代入對(duì)角方程)M024M7201M追趕法）21M230(xi1x)3(xxi)3xi1xhi2xxihi2S(x)MiMi1(fiMi)(fi1Mi1)6hi6hihi6hi6即得滿足題目要求的三次樣條函數(shù)3x32x2x1x1,0S(x)x32x2x1x0,11x37x219x1x1,24444習(xí)題二：判斷此類題目，直接利用代數(shù)精度的定義當(dāng)左=右=1dxx01110

1111，左=右1x2當(dāng)f(x)x時(shí)，左=x右12，左=右311111當(dāng)f(x)x時(shí)，左=x0303右()1，左=右43431

當(dāng)f(x)x時(shí)，左=x0404右()1，左右所以求積公式的代數(shù)精度為2.解：⑴求積公式中含有三個(gè)待定參數(shù)，即：因此令求積公式對(duì)f(x)均準(zhǔn)確成立，則有2A0hA2h2232AhAh3解得：所求公式至少有次代數(shù)精度。由于當(dāng)f(x)x3時(shí)，左右(h)3A20當(dāng)f(x)x4時(shí)，左

25h44右A2hh左所以求積公式只有次代數(shù)精度。⑵、⑶類似方法得出結(jié)論。解：因要求構(gòu)造的求積公式是插值型的其求積系數(shù)可表示為l0(x)411dx(4x0x0x*****xx01dx(4x1)dx02x1x02l1(x)故求積公式為：1113f(x)dxf()f()

244下面驗(yàn)證其代數(shù)精度：當(dāng)f(x)，左x0右1當(dāng)f(x)時(shí)，左x2右2213x15右左當(dāng)f(x)，左所以其代數(shù)精度為。證明：⑴若求積公式⑷對(duì)f(x)和g(x)準(zhǔn)確成立，有bf(x)Akf(xk)及g(x)Akg(xk)kk

nbnaf(x)dxAkf(xk)Ak(f(xk)g(xk))kkknnnbbb所以求積公式對(duì)f(x)g(x)亦確成立。⑵k多項(xiàng)式可表示為akxk1xka1xa0pk(x)若公式對(duì)xk(k是準(zhǔn)確的，則有7題中的上一步可知，其對(duì)成立。由代數(shù)精度定義可知，其至少具有m代數(shù)精度。12.解：4112T0(f(1)2(1)

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