大學(xué)物理實(shí)驗三數(shù)據(jù)處理

大學(xué)物理實(shí)驗三數(shù)據(jù)處理第1頁/共51頁一、列表法

在記錄和處理實(shí)驗測量數(shù)據(jù)時，經(jīng)常把數(shù)據(jù)列成表格，它可以簡單而明確地表示出有關(guān)物理量之間的對應(yīng)關(guān)系，便于隨時檢查測量結(jié)果是否正確合理，及時發(fā)現(xiàn)問題，利于計算和分析誤差，并在必要時對數(shù)據(jù)隨時查對。通過列表法可有助于找出有關(guān)物理量之間的規(guī)律性，得出定量的結(jié)論或經(jīng)驗公式等。列表法是工程技術(shù)人員經(jīng)常使用的一種方法。第2頁/共51頁列表時，一般應(yīng)遵循下列規(guī)則（1）簡單明了，便于看出有關(guān)物理量之間的關(guān)系，便于處理數(shù)據(jù)。（2）在表格中均應(yīng)標(biāo)明物理量的名稱和單位。（3）表格中數(shù)據(jù)要正確反映出有效數(shù)字。（4）必要時應(yīng)對某些項目加以說明，并計算出平均值、標(biāo)準(zhǔn)誤差和相對誤差。第3頁/共51頁例：通過測量溫度t和在溫度t下銅的電阻Rt來測量銅的電阻溫度系數(shù)，得到t與Rt的數(shù)據(jù)列表如下：表中數(shù)據(jù)均為有效數(shù)字列表法

第4頁/共51頁§2-3作圖法處理實(shí)驗數(shù)據(jù)

作圖法可形象、直觀地顯示出物理量之間的函數(shù)關(guān)系，也可用來求某些物理參數(shù)，因此它是一種重要的數(shù)據(jù)處理方法。作圖時要先整理出數(shù)據(jù)表格，并要用坐標(biāo)紙作圖。1.選擇合適的坐標(biāo)分度值，確定坐標(biāo)紙的大小坐標(biāo)分度值的選取應(yīng)能反映測量值的有效位數(shù)，一般以1～2mm對應(yīng)于測量儀表的儀表誤差。根據(jù)表１數(shù)據(jù)U軸可選1mm對應(yīng)于0.10V，I軸可選1mm對應(yīng)于0.20mA，并可定坐標(biāo)紙的大小（略大于坐標(biāo)范圍、數(shù)據(jù)范圍）約為130mm×130mm。作圖步驟：實(shí)驗數(shù)據(jù)列表如下.

表1：伏安法測電阻實(shí)驗數(shù)據(jù)二作圖法處理實(shí)驗數(shù)據(jù)第5頁/共51頁§2-3作圖法處理實(shí)驗數(shù)據(jù)2.標(biāo)明坐標(biāo)軸：

用粗實(shí)線畫坐標(biāo)軸，用箭頭標(biāo)軸方向，標(biāo)坐標(biāo)軸的名稱或符號、單位,再按順序標(biāo)出坐標(biāo)軸整分格上的量值。I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.004.連成圖線：

用直尺、曲線板等把點(diǎn)連成直線、光滑曲線。一般不強(qiáng)求直線或曲線通過每個實(shí)驗點(diǎn)，應(yīng)使圖線線正穿過實(shí)驗點(diǎn)時可以在兩邊的實(shí)驗點(diǎn)與圖線最為接近且分布大體均勻。圖點(diǎn)處斷開。3.標(biāo)實(shí)驗點(diǎn)：實(shí)驗點(diǎn)可用“”、“”、“”等符號標(biāo)出（同一坐標(biāo)系下不同曲線用不同的符號）。第6頁/共51頁§2-3作圖法處理實(shí)驗數(shù)據(jù)5.標(biāo)出圖線特征：在圖上空白位置標(biāo)明實(shí)驗條件或從圖上得出的某些參數(shù)。如利用所繪直線可給出被測電阻R大?。簭乃L直線上讀取兩點(diǎn)A、B的坐標(biāo)就可求出R值。I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00電阻伏安特性曲線6.標(biāo)出圖名：

在圖線下方或空白位置寫出圖線的名稱及某些必要的說明。A(1.00,2.76)B(7.00,18.58)由圖上A、B兩點(diǎn)可得被測電阻R為：至此一張圖才算完成第7頁/共51頁作圖法

第8頁/共51頁1.作圖規(guī)則

①作圖一定要用坐標(biāo)紙，測量數(shù)據(jù)中的可靠數(shù)字在圖上也應(yīng)是可靠的，即圖紙上一小格對應(yīng)數(shù)據(jù)中可靠數(shù)字的最后一位，而誤差位在小格之間估計。

第9頁/共51頁1.作圖規(guī)則

②標(biāo)明坐標(biāo)軸和圖名第10頁/共51頁1.作圖規(guī)則

③標(biāo)點(diǎn)

第11頁/共51頁2.作圖規(guī)則

④連線

第12頁/共51頁§2-3作圖法處理實(shí)驗數(shù)據(jù)不當(dāng)圖例展示：nλ(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲線圖圖1曲線太粗，不均勻，不光滑。應(yīng)該用直尺、曲線板等工具把實(shí)驗點(diǎn)連成光滑、均勻的細(xì)實(shí)線。第13頁/共51頁§2-3作圖法處理實(shí)驗數(shù)據(jù)nλ(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲線圖改正為：第14頁/共51頁§2-3作圖法處理實(shí)驗數(shù)據(jù)圖2I(mA)U(V)02.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.001.003.00電學(xué)元件伏安特性曲線橫軸坐標(biāo)分度選取不當(dāng)。橫軸以3cm

代表1V，使作圖和讀圖都很困難。實(shí)際在選擇坐標(biāo)分度值時，應(yīng)既滿足有效數(shù)字的要求又便于作圖和讀圖，一般以1mm代表的量值是10的整數(shù)次冪或是其2倍或5倍。第15頁/共51頁§2-3作圖法處理實(shí)驗數(shù)據(jù)I(mA)U(V)o1.002.003.004.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.00電學(xué)元件伏安特性曲線改正為：第16頁/共51頁§2-3作圖法處理實(shí)驗數(shù)據(jù)定容氣體壓強(qiáng)～溫度曲線1.20001.60000.80000.4000圖3P(×105Pa)t(℃)60.00140.00100.00o120.0080.0040.0020.00圖紙使用不當(dāng)。實(shí)際作圖時，坐標(biāo)原點(diǎn)的讀數(shù)可以不從零開始。第17頁/共51頁§2-3作圖法處理實(shí)驗數(shù)據(jù)定容氣體壓強(qiáng)～溫度曲線1.00001.15001.20001.10001.0500

P(×105Pa)50.0090.0070.0020.0080.0060.0040.0030.00t(℃)改正為：第18頁/共51頁3.作圖舉例

例：直角坐標(biāo)舉例。測得銅電阻與溫度對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)如表所示，試用直角坐標(biāo)作圖表示出電阻與溫度的函數(shù)關(guān)系。

第19頁/共51頁第20頁/共51頁在圖中任選兩點(diǎn)

和

，

將兩點(diǎn)代入式中可得：最后，得到電阻隨溫度的變化關(guān)系為：由于有x=0的坐標(biāo)點(diǎn)，故第21頁/共51頁2.用電勢差計校準(zhǔn)量程為1mV的毫伏表，測量數(shù)據(jù)如下（表中單位均為mV）。在如圖所示的坐標(biāo)中畫出毫伏表的校準(zhǔn)曲線，并對毫伏表定級別。

毫伏表讀數(shù)0.1000.2000.3000.4000.500

電勢差計讀數(shù)0.10500.21500.31300.40700.5100

修正值△U0.0050.0150.0130.0070.0100.6000.7000.8000.9001.0000.60300.69700.78500.89201.00700.003-0.003-0.015-0.0080.007

毫伏表讀數(shù)

電勢差計讀數(shù)

修正值△U第22頁/共51頁第23頁/共51頁毫伏表的級別為：為1.5級表第24頁/共51頁三、逐差法

1.逐差法的含義

把實(shí)驗測量數(shù)量（因變量）進(jìn)行逐項相減或依順序分為兩組實(shí)行對應(yīng)項測量數(shù)據(jù)相減之差作因變量的多次測量值。然后求出最佳值——算術(shù)平均值的處理數(shù)據(jù)的方法。第25頁/共51頁逐差法是對等間距測量的有序數(shù)據(jù)進(jìn)行逐項或相等間隔項相減得到結(jié)果的一種方法。它計算簡便，并可充分利用測量數(shù)據(jù)，及時發(fā)現(xiàn)差錯，總結(jié)規(guī)律，是物理實(shí)驗中常用的一種數(shù)據(jù)處理方法。

1）逐差法的使用條件（1）自變量x是等間距離變化的。（2）被測的物理量之間的函數(shù)形式可以寫成x的多項式，即第26頁/共51頁

2）逐差法的應(yīng)用

例：

拉伸法測彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)設(shè)實(shí)驗中等間隔地在彈簧下加砝碼（如每次加一克），共加9次，分別記下對應(yīng)的彈簧下端點(diǎn)的位置L0、L1、L2、…L9，則可用逐差法進(jìn)行以下處理。（1）驗證函數(shù)形式是線性關(guān)系把所測的數(shù)據(jù)逐項相減

當(dāng)L1,L2、…L9基本相等時，就驗證了外力與彈簧的伸長量之間的函數(shù)關(guān)系是線性的.

即F=KL

用此法可檢查測量結(jié)果是否正確，但注意的是必須要逐項逐差。第27頁/共51頁（2）求物理量數(shù)值

現(xiàn)計算每加一克砝碼時彈簧的平均伸長量，若用上式，得：

從上式可看出，中間的測量值全部低消了，只有始末二次測量值起作用，與一次加九克砝碼的測量完全等價。第28頁/共51頁

為了保證多次測量的優(yōu)點(diǎn)，只要在數(shù)據(jù)處理方法上作一些組合，仍能達(dá)到多次測量來減小誤差的目的。因此一般使用逐差法的規(guī)則如下：通常可將等間隔所測量的值分成前后兩組的，前一組為L0、L1、L2、L3、L4，后一組為L5、L6、L7、L8、L9，將前后兩組的對應(yīng)項相減為再取平均值由此可見，與上面一般求平均值方法不同，這時每個數(shù)據(jù)都用上了。但應(yīng)注意，這里的是增加五克砝碼時彈簧的平均伸長量。第29頁/共51頁例：伏安法測電阻,試用逐差法求出電流I的最佳值并算出電阻R第30頁/共51頁①.若按逐項相減，則有解：根據(jù)伏安公式第31頁/共51頁②.若按順序分為兩組（1~5為一組，6~10為一組）實(shí)行對應(yīng)項相減，其結(jié)果如表：可以利用這種分組法計算因變量

的平均值根據(jù)歐姆定律得第32頁/共51頁2.有關(guān)逐差法的幾點(diǎn)說明

③使用條件：

自變量等間隔變化（對一次逐差必須

是線性關(guān)系，否則先進(jìn)行曲線改直）

用數(shù)據(jù)進(jìn)行直線擬合（一次逐差）

②優(yōu)點(diǎn)：

充分利用測量數(shù)據(jù)（取平均的效果）

①作用：

驗證函數(shù)是否線性關(guān)系（一次逐差）第33頁/共51頁四、最小二乘法

近性計算法比較：作圖法：

直觀、簡便。但主觀隨意性大（粗略）

逐差法：

粗略的近似計算方法（要滿足一定條件）

回歸分析法：

最準(zhǔn)確的計算方法第34頁/共51頁1.回歸分析法定義：

由數(shù)理統(tǒng)計的方法處理數(shù)據(jù)，通過計算確定其函數(shù)關(guān)系的方法。步驟：

1.推斷函數(shù)形式（回歸方程）2.由實(shí)驗數(shù)據(jù)確定參數(shù)a、b、

c等的最佳值。3.根據(jù)實(shí)驗數(shù)據(jù)檢驗函數(shù)關(guān)系

是否合理。

y=aebx+c(指數(shù)關(guān)系）

如

y=a+bx(線性關(guān)系）第35頁/共51頁2.用最小二乘法進(jìn)行一元線性回歸

（1）最小二乘法原理

給定函數(shù)關(guān)系為

y=a+bx

最小乘數(shù)a和b的值是能使各次測量值誤差平方和為最小的那個值。數(shù)學(xué)表達(dá)式為：第36頁/共51頁最小二乘法

由一組實(shí)驗數(shù)據(jù)找出一條最佳的擬合直線（或曲線），常用的方法是最小二乘法。所得的變量之間的相關(guān)函數(shù)關(guān)系稱為回歸方程。所以最小二乘法線性擬合亦稱為最小二乘法線性回歸。本章只討論用最小二乘法進(jìn)行一元線性回歸問題，有關(guān)多元線性回歸和非線性回歸，請參考其他書籍。1）一元線性回歸最小二乘法所依據(jù)的原理是：在最佳擬合直線上，各相應(yīng)點(diǎn)的值與測量值之差的平方和應(yīng)比在其他的擬合直線上的都要小。

假設(shè)所研究的變量只有兩個：x和y，且它們之間存在著線性相關(guān)關(guān)系，一元線性方程為：y=A0+A1X第37頁/共51頁

,實(shí)驗中測得的一組數(shù)據(jù)是：需要解決的問題是：根據(jù)所測得的數(shù)據(jù)，如何確定上式中的常數(shù)A0和A1。實(shí)際上，相當(dāng)于作圖法求直線的斜率和截距。由于實(shí)驗點(diǎn)不可能都同時落在上式表示的直線上，為使討論方便，限定：①所有測量值都是等精度的。只要實(shí)驗中不改變實(shí)驗條件和方法，這個條件就可以滿足。②只有一個變量有明顯的隨機(jī)誤差。因為xi和yi都含有誤差，把誤差較小的一個作為變量x，就可滿足該條件。第38頁/共51頁

假設(shè)在上式中的x和y是在等精度條件下測量的，且y有偏差，記作把實(shí)驗數(shù)據(jù)代入方程y=A0+A1X后得：

其一般式為第39頁/共51頁

εi的大小與正負(fù)表示實(shí)驗點(diǎn)在直線兩側(cè)的分散程度，其值與A0、A1的數(shù)值有關(guān)。根據(jù)最小二乘法的思想，如果A0、A1的值使最小，那么上式就是所擬合的直線。求：A0、A1

由對和求一階偏導(dǎo)數(shù)，且使其為零得：第40頁/共51頁

令為x的平均值，即為y的平均值，即

為x2的平均值，即

為xy的平均值，即代入前式中得：

解得第41頁/共51頁

2）把非線性相關(guān)問題變換成線性相關(guān)問題在實(shí)際問題題中，當(dāng)變量間不是直線關(guān)系時，可以通過適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q，使不少曲線問題能夠轉(zhuǎn)化成線性相關(guān)的問題。需要注意的是，經(jīng)過變換等精度的限定條件不一定滿足，會產(chǎn)生一些新的問題。遇到這類情況應(yīng)采取更恰當(dāng)?shù)那€擬合方法。例：①若函數(shù)為X2+Y2=C,其中C為常數(shù)。令：X=x2,Y=y2,則有：Y=C-X。②，其中a、b為常數(shù)，將原方程化為：，令

則有：Y=b+aX第42頁/共51頁

3）相關(guān)系數(shù)（關(guān)聯(lián)系數(shù)）γ

在函數(shù)形式確定以后，用回歸法處理數(shù)據(jù)，其結(jié)果是唯一的，不會像作圖法那樣因人而異。可見用回歸法處理問題的關(guān)鍵是函數(shù)形式的選取。為了判斷所得結(jié)果是否合理，在待定常數(shù)確定以后，還需要計算一下相關(guān)系數(shù)γ。對于一元線性回歸，γ定義為：第43頁/共51頁

相關(guān)系數(shù)γ的數(shù)值大小反映了相關(guān)程度的好壞?？梢宰C明其值介于0和1之間，值越接近于1，說明實(shí)驗數(shù)據(jù)能密集在求得的直線附近，x,y之間存在著線性關(guān)系，用線性函數(shù)進(jìn)行回歸比較合理。相反，如果其值遠(yuǎn)小于1而接近0，說明實(shí)驗數(shù)據(jù)對求得的直線很分散，x與y之間不存在線性關(guān)系，即用線性回歸不妥，必須用其他函數(shù)重新試探。在實(shí)驗中，一般當(dāng)時，就認(rèn)為兩個物理量之間存在較密切的線性關(guān)系。r>0擬合曲線斜率為正r<0斜率為負(fù)r=0則x和y無線性關(guān)系第44頁/共51頁

[例]

用本節(jié)作圖法例子中電阻絲電阻值隨溫度變化的實(shí)驗數(shù)據(jù)，：結(jié)合最小二乘法做以下內(nèi)容（1）線性擬合，并寫出直線方程：（2）求出電阻溫度系數(shù)a和0℃時的電阻R0。（3）求出相關(guān)系數(shù)γ，評價相關(guān)程度。第45頁/共51頁假定一元線性方程為：解：金屬導(dǎo)體的電阻和溫度的關(guān)系為第46頁/共51頁

實(shí)驗數(shù)據(jù)填入下表，并進(jìn)行計算，結(jié)果見表3。

1 15.0 225.028.05 786.8420.8 2 20.0 400.028.52 813.4