高數(shù)課件第十二章

1一、泰勒級數(shù)若函數(shù)在某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則稱為函數(shù)的泰勒級數(shù).稱為麥克勞林級數(shù).特別的，在泰勒級數(shù)中,若則復(fù)習(xí)2設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù),則在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充要條件是定理麥克勞林級數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)若能展開成x的冪級數(shù),則展開式是唯一的,且一定有3二、函數(shù)展開成冪級數(shù)1.直接展開法㈠依次求出其步驟如下：若在x=0

處某階導(dǎo)數(shù)不存在，就停止進(jìn)行，此即說明函數(shù)不能展開成冪級數(shù)㈢寫出冪級數(shù)：并求出收斂半徑R.㈡求出:㈣考察當(dāng)

時，若則若極限不為零，則函數(shù)不能展開成冪級數(shù).42.間接展開法常用的冪級數(shù)展開式：5內(nèi)已得到展式：而級數(shù)處仍收斂,處連續(xù),則展式處也成立.注注意：經(jīng)過求導(dǎo)或求積后得到的展式,必須考慮端點處的情況.第七節(jié)6第七節(jié)一、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)第十二章傅里葉級數(shù)7一、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性簡單的周期運動:(諧波函數(shù))(A為振幅,復(fù)雜的周期運動:令得函數(shù)項級數(shù)為角頻率,φ為初相

)(諧波迭加)稱上述形式的級數(shù)為三角級數(shù).8定理1.

組成三角級數(shù)的函數(shù)系證:同理可證:正交,上的積分等于0.即其中任意兩個不同的函數(shù)之積在9上的積分不等于0.且有

但是在三角函數(shù)系中兩個相同的函數(shù)的乘積在

目錄10二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)定理2.

設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),且右端級數(shù)可逐項積分,則有證:

由定理條件,①②對①在逐項積分,得11(利用正交性)類似地,用sinkx

乘①式兩邊,再逐項積分可得12葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù)①稱為的傅里葉系數(shù);由公式②確定的①②以的傅里的傅里葉級數(shù).稱為函數(shù)簡介13定理3

(收斂定理,

展開定理)設(shè)

f(x)是周期為2的周期函數(shù),并滿足狄利克雷(Dirichlet)條件:1)在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點;2)在一個周期內(nèi)只有有限個極值點,則f(x)的傅里葉級數(shù)收斂,且有

x

為間斷點其中(證明略

)為f(x)

的傅里葉系數(shù)

.

x

為連續(xù)點注意:

函數(shù)展成傅里葉級數(shù)的條件比展成冪級數(shù)的條件低得多.簡介32頁14例1.

設(shè)

f(x)

是周期為2

的周期函數(shù),

它在

上的表達(dá)式為解:

先求傅里葉系數(shù)將f(x)展成傅里葉級數(shù).

xyo-1115161)

根據(jù)收斂定理可知,時,級數(shù)收斂于2)傅氏級數(shù)的部分和逼近說明:f(x)的情況見右圖.xyo-1117例2.

設(shè)

f(x)

是周期為2

的周期函數(shù),

上的表達(dá)式為將f(x)展成傅里葉級數(shù).解:

它在18說明:

當(dāng)時,級數(shù)收斂于返回上頁19周期延拓傅里葉展開上的傅里葉級數(shù)定義在[–,]上的函數(shù)f(x)的傅氏級數(shù)展開法其它20例3.

將函數(shù)則解:

將f(x)延拓成以

展成傅里葉級數(shù).2為周期的函數(shù)F(x),

21當(dāng)x=0時,f(0)=0,得說明:

利用此展式可求出幾個特殊的級數(shù)的和.22設(shè)已知又目錄23三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)1.周期為2的奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)定理4.

對周期為2的奇函數(shù)f(x),其傅里葉級數(shù)為周期為2的偶函數(shù)f(x),其傅里葉級數(shù)為余弦級數(shù)

,它的傅里葉系數(shù)為正弦級數(shù),它的傅里葉系數(shù)為24例4.

設(shè)的表達(dá)式為f(x)x,將f(x)展成傅里葉級數(shù).

f(x)是周期為2的周期函數(shù),它在解:

若不計周期為2的奇函數(shù),因此25根據(jù)收斂定理可得f(x)的正弦級數(shù):級數(shù)的部分和逼近f(x)的情況見右圖.n＝1n＝2n＝3n＝4n＝526例5.

將周期函數(shù)展成傅里葉級數(shù),其中E為正常數(shù)

.解:是周期為2的周期偶函數(shù),因此

為便于計算,將周期取為2

27282.

在[0,]上的函數(shù)展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù)周期延拓F(x)

f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦級數(shù)奇延拓偶延拓正弦級數(shù)

f(x)在[0,]上展成29例6.

將函數(shù)分別展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù).解:

先求正弦級數(shù).去掉端點,將f(x)作奇周期延拓,30注意:在端點x=0,,級數(shù)的和為0,與給定函數(shù)因此得

f(x)=x+1的值不同.31將則有作偶周期延拓,再求余弦級數(shù).32說明:

令

x=0

可得即作業(yè)：17~19目錄結(jié)束33內(nèi)容小結(jié)1.周期為2的函數(shù)的傅里葉級數(shù)及收斂定理

其中注意:

若為間斷點,則級數(shù)收斂于目錄結(jié)束342.周期為2的奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)

奇函數(shù)正弦級數(shù)

偶函數(shù)余弦級數(shù)3.在[0,]上函數(shù)的傅里葉展開法

作奇周期延拓,展開為正弦級數(shù)

作偶周期延拓,展開為余弦級數(shù)1.

在[0,]上的函數(shù)的傅里葉展開法唯一嗎?答:

不唯一,延拓方式不同級數(shù)就不同.思考與練習(xí)目錄結(jié)束35

,處收斂于2.則它的傅里葉級數(shù)在在處收斂于

.提示:設(shè)周期函數(shù)在一個周期內(nèi)的表達(dá)式為目錄結(jié)束36又設(shè)求當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式.解:

由題設(shè)可知應(yīng)對作奇延拓:由周期性:為周期的正弦級數(shù)展開式的和函數(shù),定義域3.

設(shè)目錄結(jié)束37傅氏級數(shù)的和函數(shù).答案:定理34.

寫出函數(shù)目錄結(jié)束38備用題1.葉級數(shù)展式為則其中系提示:利用“偶倍奇零”(93考研)的傅里目錄結(jié)束392.

設(shè)是以2為周期的函數(shù),其傅氏系數(shù)為則的傅氏系數(shù)提示:令類似可得利用周期函數(shù)性質(zhì)目錄結(jié)束40是以2為周期的函數(shù),其傅氏系數(shù)為則的傅氏系數(shù)提示:令2.

設(shè)目錄結(jié)束41傅里葉

(1768–1830)法國數(shù)學(xué)家.他的著作《熱的解析理論》(1822)是數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性書中系統(tǒng)的運用了三角級數(shù)和三角積分,他的學(xué)生將它們命名為傅里葉級數(shù)和傅里葉積分.

最卓越的工具.以后以傅里葉著作為基礎(chǔ)發(fā)展起來的文獻(xiàn),他深信數(shù)學(xué)是解決實際問題傅里葉分析對近代數(shù)學(xué)以及物理和工程技術(shù)的發(fā)展都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.目錄結(jié)束42狄利克雷(1805–1859)德國數(shù)學(xué)家.對數(shù)論,數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出的貢