廣東省廣州市越秀區(qū)高二上冊期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第1頁（共1頁）廣東省廣州市越秀區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1．（3分）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是A． B． C． D．2．（3分）雙曲線的一條漸近線方程是A． B． C． D．3．（3分）命題“若，都是偶數(shù)，則是偶數(shù)”的否命題是A．若，都是偶數(shù)，則不是偶數(shù) B．若，不都是偶數(shù)，則不是偶數(shù) C．若，不全是偶數(shù)，則不是偶數(shù) D．若不是偶數(shù)，則，不全是偶數(shù)4．（3分）設(shè)，，則“”是“橢圓的焦點(diǎn)在軸上”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．（3分）甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是0.5，甲獲勝的概率是0.2，則乙不輸?shù)母怕适茿．0.8 B．0.7 C．0.3 D．0.26．（3分）對一批產(chǎn)品的長度（單位：毫米）進(jìn)行抽樣檢測，如圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖．根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，產(chǎn)品長度在區(qū)間，上為一等品，在區(qū)間，和，為二等品，在區(qū)間，和，為三等品．用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件，則其為三等品的概率是A．0.03 B．0.05 C．0.15 D．0.257．（3分）如圖，在四面體中，，，則A． B． C． D．8．（3分）如圖，長方體中，，，則直線與直線所成角的余弦值為A． B． C． D．9．（3分）隨機(jī)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，它們向上的點(diǎn)數(shù)之和不大于6的概率記為，點(diǎn)數(shù)之和大于6的概率記為，點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的概率記為，則A． B． C． D．10．（3分）為了研究某班學(xué)生的腳長（單位：厘米）和身高（單位：厘米）的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出與之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回歸直線方程為，已知，，，該班某學(xué)生的腳長為25，據(jù)此估計(jì)其身高為A．165 B．168 C．173 D．17811．（3分）將某選手的9個(gè)得分去掉1個(gè)最高分，去掉1個(gè)最低分，7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的平均分為92，現(xiàn)場做的9個(gè)分?jǐn)?shù)的莖葉圖后來有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法辨認(rèn)，在圖中以表示：則7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為A．4 B．2 C．5 D．12．（3分）已知圓錐曲線的方程是，則下列命題中是假命題的是A．曲線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是， B．曲線關(guān)于直線對稱 C．曲線上的點(diǎn)到曲線的對稱中心的最遠(yuǎn)距離為2 D．曲線的離心率是二、填空題13．（3分）命題“，”的否定是．14．（3分）一支田徑隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員40人，女運(yùn)動(dòng)員30人，按男女比例用分層抽樣的方法，從全體運(yùn)動(dòng)員中抽取一個(gè)容量為21的樣本，那么應(yīng)抽取男運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)是．15．（3分）已知點(diǎn)，2，和向量，4，，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．16．（3分）在相距的、兩哨所，聽到炮彈爆炸聲音的時(shí)間相距，已知聲速．以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則炮彈爆炸點(diǎn)所在曲線的方程為．三、解答題17．一個(gè)盒子里裝有標(biāo)號為1，2，4，8的4張標(biāo)簽．（1）從盒中不放回地隨機(jī)取兩張標(biāo)簽，求取出的標(biāo)簽上的數(shù)字之和不大于5的概率．（2）從盒中有放回地隨機(jī)取兩張標(biāo)簽，求第一次取出的標(biāo)簽上的數(shù)字小于第二次取出的標(biāo)簽上的數(shù)字的概率．18．某家庭記錄了使用節(jié)水龍頭100天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：日用水量，，，，，，頻數(shù)21026203210（1）作出使用了節(jié)水龍頭100天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖．（2）估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于的概率．（3）求該家庭使用節(jié)水龍頭的日用水量的中位數(shù)的估計(jì)值（結(jié)果精確到．19．如圖，在三棱柱中，平面，，，為的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求二面角的正切值．20．已知直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，且是等腰直角三角形．（1）求拋物線的方程；（2）若直線過定點(diǎn)，斜率為，當(dāng)為何值時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)？21．如圖，四棱錐中，底面為矩形，是等邊三角形，平面平面，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若，，試問在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出此時(shí)的長；若不存在，請說明理由．22．已知橢圓的離心率為，、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且△面積的最大值為．（1）求橢圓的方程；（2）若是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，在橢圓上，為原點(diǎn)，點(diǎn)，，滿足，則直線與直線的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由．

廣東省廣州市越秀區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題1．（3分）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是A． B． C． D．【分析】利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直接寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)即可．【解答】解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是．故選：．【點(diǎn)評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基本知識的考查．2．（3分）雙曲線的一條漸近線方程是A． B． C． D．【分析】直接由雙曲線的漸近線的定義可得漸近線的方程．【解答】解：由雙曲線的方程可得，，焦點(diǎn)在軸上，所以漸近線的方程為：，即，故選：．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題．3．（3分）命題“若，都是偶數(shù)，則是偶數(shù)”的否命題是A．若，都是偶數(shù)，則不是偶數(shù) B．若，不都是偶數(shù)，則不是偶數(shù) C．若，不全是偶數(shù)，則不是偶數(shù) D．若不是偶數(shù)，則，不全是偶數(shù)【分析】根據(jù)命題的否定和命題之間的關(guān)系確定結(jié)論即可．【解答】解：否命題就是對原命題的條件和結(jié)論同時(shí)進(jìn)行否定，則命題“若，都是偶數(shù)，則是偶數(shù)”的否命題為：若，不都是偶數(shù)，則不是偶數(shù)．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查四種命題之間的關(guān)系，比較基礎(chǔ)．4．（3分）設(shè)，，則“”是“橢圓的焦點(diǎn)在軸上”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】利用橢圓的焦點(diǎn)在軸上的充要條件即可得出．【解答】解：“”“橢圓的焦點(diǎn)在軸上”，“”是“橢圓的焦點(diǎn)在軸上”的充要條件．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了橢圓的焦點(diǎn)在軸上的充要條件，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（3分）甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是0.5，甲獲勝的概率是0.2，則乙不輸?shù)母怕适茿．0.8 B．0.7 C．0.3 D．0.2【分析】利用互斥事件概率加法公式直接求解．【解答】解：甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是0.5，甲獲勝的概率是0.2，乙不輸?shù)母怕适牵海蔬x：．【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．6．（3分）對一批產(chǎn)品的長度（單位：毫米）進(jìn)行抽樣檢測，如圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖．根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，產(chǎn)品長度在區(qū)間，上為一等品，在區(qū)間，和，為二等品，在區(qū)間，和，為三等品．用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件，則其為三等品的概率是A．0.03 B．0.05 C．0.15 D．0.25【分析】由頻率分布直方圖得在區(qū)間，和，的頻率為，由此能求出從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件，其為三等品的概率．【解答】解：在區(qū)間，和，為三等品，由頻率分布直方圖得：在區(qū)間，和，的頻率為，從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件，其為三等品的概率是0.25．故選：．【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．7．（3分）如圖，在四面體中，，，則A． B． C． D．【分析】由已知直接利用向量的加減法運(yùn)算得答案．【解答】解：，，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查空間向量基本定理，是基礎(chǔ)題．8．（3分）如圖，長方體中，，，則直線與直線所成角的余弦值為A． B． C． D．【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求解．【解答】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，1，，，1，，，1，，，，由，．得直線與直線所成角的余弦值為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查利用空間向量求解空間角，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．9．（3分）隨機(jī)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，它們向上的點(diǎn)數(shù)之和不大于6的概率記為，點(diǎn)數(shù)之和大于6的概率記為，點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的概率記為，則A． B． C． D．【分析】使用列舉法求出三個(gè)概率，再比較大?。窘獯稹拷猓弘S機(jī)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子共有36個(gè)基本事件，它們發(fā)生的可能性相等．其中向上的點(diǎn)數(shù)和不大于6的基本事件共有15個(gè)，分別是，，，，，，，，，，，，，，，．點(diǎn)數(shù)之和大于6的基本事件共有21個(gè)，分別是，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．．由于骰子的點(diǎn)數(shù)奇偶數(shù)相同，故點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率．．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了古典概型的概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．10．（3分）為了研究某班學(xué)生的腳長（單位：厘米）和身高（單位：厘米）的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出與之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回歸直線方程為，已知，，，該班某學(xué)生的腳長為25，據(jù)此估計(jì)其身高為A．165 B．168 C．173 D．178【分析】由已知求得，的值，結(jié)合求得，可得線性回歸方程，取求得值即可．【解答】解：，，又，，．關(guān)于的線性回歸方程為．取，得（厘米）．故選：．【點(diǎn)評】本題考查線性回歸方程的求法，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．11．（3分）將某選手的9個(gè)得分去掉1個(gè)最高分，去掉1個(gè)最低分，7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的平均分為92，現(xiàn)場做的9個(gè)分?jǐn)?shù)的莖葉圖后來有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法辨認(rèn)，在圖中以表示：則7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為A．4 B．2 C．5 D．【分析】由平均數(shù)求得的值，再計(jì)算7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差．【解答】解：將某選手的9個(gè)得分去掉1個(gè)最高分，去掉一個(gè)最低分，7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的平均分為92；最低分是87，當(dāng)時(shí)，剩余7個(gè)數(shù)分別是89、90、91、92、94、95、98，平均值為，所以，計(jì)算剩余7個(gè)數(shù)的平均值為，解得；所以7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的方差為：．所以標(biāo)準(zhǔn)差為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了利用莖葉圖求平均數(shù)和方差、標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．12．（3分）已知圓錐曲線的方程是，則下列命題中是假命題的是A．曲線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是， B．曲線關(guān)于直線對稱 C．曲線上的點(diǎn)到曲線的對稱中心的最遠(yuǎn)距離為2 D．曲線的離心率是【分析】由關(guān)于的二次方程有實(shí)數(shù)解，運(yùn)用判別式非負(fù)，解得的范圍，可判斷；將換為，換為，方程不變，可判斷；由旋轉(zhuǎn)變換公式可得，代入原方程化簡可得橢圓方程，由橢圓的性質(zhì)可判斷，．【解答】解：方程，可看做關(guān)于的二次方程，根據(jù)方程有實(shí)數(shù)解的條件可得△，解得，故正確；將換為，換為，可得方程不變，則圓錐曲線關(guān)于直線對稱；同樣將換為，換為，可得方程不變，則圓錐曲線關(guān)于直線對稱，故正確；由旋轉(zhuǎn)變換公式可得，代入曲線的方程可得，化為，即為橢圓方程，且長軸長為4，即曲線上的點(diǎn)到曲線的對稱中心的最遠(yuǎn)距離為2，離心率為，故正確，錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評】本題考查圓錐曲線的方程和性質(zhì)，考查化簡變形能力和運(yùn)算能力、推理能力，以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題．二、填空題13．（3分）命題“，”的否定是對，使．【分析】本題中所給的命題是一個(gè)特稱命題，其否定是一個(gè)全稱命題，按規(guī)則寫出其否定即可【解答】解：命題“，使”是一個(gè)特稱命題命題“，使”的否定是“對，使”故答案為：對，使【點(diǎn)評】本題考查命題的否定，正確解答本題，關(guān)鍵是掌握住命題的否定的定義及書寫規(guī)則，對于兩特殊命題特稱命題與全稱命題的否定，注意變換量詞．14．（3分）一支田徑隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員40人，女運(yùn)動(dòng)員30人，按男女比例用分層抽樣的方法，從全體運(yùn)動(dòng)員中抽取一個(gè)容量為21的樣本，那么應(yīng)抽取男運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)是12．【分析】先求出男運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)占的比例，再用樣本容量乘以此比例，即為所求．【解答】解：男運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)占的比例為，故應(yīng)抽取的男運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)為人，故答案為：12．【點(diǎn)評】本題主要考查分層抽樣，屬于基礎(chǔ)題．15．（3分）已知點(diǎn)，2，和向量，4，，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)是，10，．【分析】設(shè)，，，由向量坐標(biāo)運(yùn)算法則和向量相等的定義得，，，8，，由此能求出點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：點(diǎn)，2，和向量，4，，，設(shè)，，，則，，，8，，解得，，，點(diǎn)的坐標(biāo)，10，．故答案為：，10，．【點(diǎn)評】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，考查向量坐標(biāo)運(yùn)算法則和向量相等的定義等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．16．（3分）在相距的、兩哨所，聽到炮彈爆炸聲音的時(shí)間相距，已知聲速．以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則炮彈爆炸點(diǎn)所在曲線的方程為．【分析】由題意可得雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且由雙曲線的定義可得，的值，再由，，之間的關(guān)系進(jìn)而求出雙曲線的方程．【解答】解：由題意可得雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，中心在原點(diǎn)，且，，即，，所以，，所以雙曲線的方程為：；故答案為：．【點(diǎn)評】考查由雙曲線的定義求標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，屬于基本知識直接應(yīng)用題，雙基考查題，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題17．一個(gè)盒子里裝有標(biāo)號為1，2，4，8的4張標(biāo)簽．（1）從盒中不放回地隨機(jī)取兩張標(biāo)簽，求取出的標(biāo)簽上的數(shù)字之和不大于5的概率．（2）從盒中有放回地隨機(jī)取兩張標(biāo)簽，求第一次取出的標(biāo)簽上的數(shù)字小于第二次取出的標(biāo)簽上的數(shù)字的概率．【分析】（1）從盒中不放回地隨機(jī)取兩張標(biāo)簽，基本事件總數(shù)，利用列舉法取出的標(biāo)簽上的數(shù)字之和不大于5包含的基本事件有2個(gè)，由此能求出取出的標(biāo)簽上的數(shù)字之和不大于5的概率．（2）從盒中有放回地隨機(jī)取兩張標(biāo)簽，基本事件，第一次取出的標(biāo)簽上的數(shù)字小于第二次取出的標(biāo)簽上的數(shù)字包含的基本事件有6個(gè)，由此能求出第一次取出的標(biāo)簽上的數(shù)字小于第二次取出的標(biāo)簽上的數(shù)字的概率．【解答】解：（1）一個(gè)盒子里裝有標(biāo)號為1，2，4，8的4張標(biāo)簽．從盒中不放回地隨機(jī)取兩張標(biāo)簽，基本事件有，，，，，，共6個(gè)，取出的標(biāo)簽上的數(shù)字之和不大于5包含的基本事件有：，，共2個(gè)，取出的標(biāo)簽上的數(shù)字之和不大于5的概率．（2）從盒中有放回地隨機(jī)取兩張標(biāo)簽，基本事件，第一次取出的標(biāo)簽上的數(shù)字小于第二次取出的標(biāo)簽上的數(shù)字包含的基本事件有：，，，，，，共6個(gè)，第一次取出的標(biāo)簽上的數(shù)字小于第二次取出的標(biāo)簽上的數(shù)字的概率．【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．18．某家庭記錄了使用節(jié)水龍頭100天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：日用水量，，，，，，頻數(shù)21026203210（1）作出使用了節(jié)水龍頭100天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖．（2）估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于的概率．（3）求該家庭使用節(jié)水龍頭的日用水量的中位數(shù)的估計(jì)值（結(jié)果精確到．【分析】（1）由頻數(shù)分布表能作出使用節(jié)水龍頭100天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖．（2）由頻數(shù)分布表能估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于的概率．（3）由頻率分布直方圖得，的頻率為，，的頻率為，由此能求出該家庭使用節(jié)水龍頭的日用水量的中位數(shù)的估計(jì)值．【解答】解：（1）由頻數(shù)分布表作出使用了節(jié)水龍頭100天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如下：（2）估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于的概率為：．（3）由頻率分布直方圖得：，的頻率為，，的頻率為，該家庭使用節(jié)水龍頭的日用水量的中位數(shù)的估計(jì)值（結(jié)果精確到為：．【點(diǎn)評】本題考查頻率分布直方圖的作法，考查概率、中位數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．19．如圖，在三棱柱中，平面，，，為的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求二面角的正切值．【分析】（1）推導(dǎo)出，，從而平面，由此能證明．（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的正切值．【解答】（1）證明：在三棱柱中，平面，，，為的中點(diǎn)．，，，平面，平面，．（2）解：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，0，，，2，，，1，，0，，，1，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，，，平面的法向量，0，，設(shè)二面角的平面角為，則，，二面角的正切值為．【點(diǎn)評】本題考查線線垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．20．已知直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，且是等腰直角三角形．（1）求拋物線的方程；（2）若直線過定點(diǎn)，斜率為，當(dāng)為何值時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)？【分析】（1）將代入拋物線的方程，求得，的坐標(biāo)，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，再由兩直線垂直的條件，解方程可得，進(jìn)而得到拋物線的方程；（2）由題意可得直線與拋物線的對稱軸平行，可得，又直線和拋物線相切，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，運(yùn)用判別式為0，可得所求值．【解答】解：（1）直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，可設(shè)，，，又是等腰直角三角形，可得，則，解得，即有拋物線的方程為；（2）直線過定點(diǎn)，斜率為，可設(shè)直線的方程為，當(dāng)直線平行于拋物線的對稱軸軸，可得直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，即；當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，可得直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，由可得，，由△，解得或，綜上可得或或，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)．【點(diǎn)評】本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，主要是直線和拋物線有交點(diǎn)，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．21．如