南京理工大學(xué)線性代數(shù)歷年試卷及答案

2010年1月25日試卷一．填空題：（每小題4分，共40分）1.n階行列式nD等于它的任一行（列）的元素與其對應(yīng)的乘積之和。01001000AA。，則12.設(shè)00110012AB均為階矩陣，下列命題錯誤的是AB2(AB)(AB)，則ABBA；(AB)ATBT。,n。3.設(shè)（B）ABBA；（A）若2（C）若AB均可逆，則可逆；（D）,ABT122134,,t2，則。4.若向量組的秩為032123t36,,,線性無關(guān)，則其任一5.“若向量組部分向量組也線性無關(guān)”是的。12（填“正確”或“錯誤”）sAXBrr，則當(dāng)時，有唯一解；當(dāng)6.若n元線性方程組AXB有解，AAXB有無窮多解。_______時，7.設(shè)二階矩陣A滿足A1,trA5，則A的特征值為。21001008.如果A202與B020相似，則k。01k0029.“負(fù)定矩陣的主對角線元素均為負(fù)數(shù)”是的。（填“正確”或“錯誤”）,AB均為正定矩陣，則下10.設(shè)述結(jié)論正確的是。（A）AB是正定矩陣；（B）AB是正定矩陣；（ABD）AB。C）是正定矩陣；（二．計算題：（每小題5分，共10分）50420111111963423122D01290。求矩陣A1．2．計算行列式的秩。1221k016801135kk04870121232,3,7三．（12分）R3已知的兩組基與1123313511,2,1123416,,,,(1)求由基到基的過渡矩陣；P1231231,,,,下的坐標(biāo)為，求在基下的坐標(biāo)1231(2)若向量在基。12302x6xx124四．（10分）求線性方程組4xxxx1，的通解。12343xxx3123五．（12分）用正交變換化二次型f(x,x,x)x2x24xx4xx為標(biāo)準(zhǔn)形，并123121323求正交變換矩陣。11000100A六．（8分）設(shè)0011，0022(1)求A的全部特征值；(2)問A是否可以對角化，為什么？中的向量不能由向量組,,,s也線性無關(guān)；七．（8分）設(shè)R線性表示，證明：n12,,,,,,,線性無關(guān)，則(1)若12s12s,,,,,,,也線性相關(guān)。12s(2)若線性相關(guān)，則12s2010年1月25日答案010010003.D4.95.正確6.rn,rn1.代數(shù)余子式2.002100111,27.8.k=09.正確10.B2二.計算題（每小題5分，共10分）：50420146391.解：D0029100681008742915068146401487411110010130A2．（共10分）解：000k11000k1k11221kkr3k11k21得A4k1121(,,)(,,)P，得過渡矩陣12分）解：(1)由1三．（共2312312335127714111219P(,,)1(,,)2372012981231231314164144(2)在基,,下的坐標(biāo)為P11112308四．（共10分）解：110261102611026(A|B)41111051725010145041621001231103100120101400125xx22xx1xx4，144xx4，解得得原方程組的同解方程組為x2x524x2x524343424取x0，得特解X，54011xx14xx，取x1，得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，其導(dǎo)出組的解為2244x2x3412141故通解為X5k,k為任意常數(shù)。201102A012五．（共12分）解：二次型的矩陣為220102IA012(3)(3)22得特征值0,3,3。1232對012，，特征向量為112對31，，特征向量為2221對32，，特征向量為3322213單位化：112，211,31233312312222112得正交矩陣T(,,)1212，作正交變換XTY，3123122得標(biāo)準(zhǔn)形f3y23y2。2311001000六．（共8分）(1)IA(1)2(3)00011220得特征值1(二重),0,3。1230100010000000021（2）(IA)00010001100000021r(IA)3,dimVnr12，故不可以對角化。A(IA)所以111七．（共8分）證明：(1)假設(shè)線性無關(guān)，,,,12s,,,1線性相關(guān)，,,,線性無關(guān)。1s因s,,,則可由線性表示，矛盾。所以12s線性無關(guān)，則由(1)知,,,2,,,（2）若線性無關(guān)。因1s1sk,k,,k1線性相關(guān)，所以存在不全為零的數(shù)使得s,,,,12s0，即有kkk11sskkk01sk0kkkkk0ss，得k0。kk11s111sk0s,,,s與k,k,,k不全為0矛盾。故線性相關(guān)。1s122010年4月28日試卷一.選擇題：（每小題4分，共10分）１２１３２3階方陣A按列分塊,A(，，),A2,B(2,34,5),1.則１２３B.1002.A220的伴隨矩陣為A*,則(A*)1.3332xx0x12x33x0有非零解。3.當(dāng)且僅當(dāng)k=_____時，齊次方程組x1x2kx301234.設(shè)A是4階矩陣，（A）必有一列元素全為0；（C）有一列向量是其余向量的線性組合；（D）任一列向量是其余向量的線性組合．且A的行列式|A|=0，則A中．（B）必有兩列元素對應(yīng)成比例；5.W(x,x,x)Rnxxx0,x1R（填是或不是）n的子空間．12n12n1AB6.設(shè)，均為n階方陣，且r(A)n，r(B)n，則齊次線性方程組AX0與22BX0．(A)沒有相同的非零解；(B)同解；(D)有相同的非零解．(C)只有相同零解；7.______時,,,線性相關(guān).0,1,2,1,k則k1,0,4,,1,2,0,4,1231238.若3階矩陣A使AEA3EA0,則A的全部特征值是_____________.1111400011110000B=，則9.矩陣A=A與B．1111000011110000（A）合同且相似；（B）合同但不相似；（C）不合同但相似；（D）既不合同也不相似．10.當(dāng)且僅當(dāng)t滿足時，二次型f(x,x,x)x22xx2txx2x24xx4x3正定．212311213223二，計算解答題（每小題10分，共50分）AAA13AAA212223AAA31323331211121.已知D23137,，求，其中A是元素a的代數(shù)余子式ijij01424301A其中2.設(shè)AXBX,8B13,20.求X.11161125320,1,1,.3.設(shè)求此向量組的秩和它的一個極大線性114112342392無關(guān)組。x2x2x2x21234xxx14.a，b為何值時，方程組234有解？并求通解．xxx3xa1234xxx5xb12345.用正交變換將實二次型f(x,x,x)3xxx4xx.21223212323化為標(biāo)準(zhǔn)形（要求出正交變換及標(biāo)準(zhǔn)型）三，證明題（每小題5分，共10分）線性相關(guān)，但其中任意mm1個向量都線性無關(guān)，則存在一,,,1.若向量組12k,k,,kk+k，使得．m112++k=0mm組全不為零的實數(shù)1222.設(shè)n階可逆矩陣(1)常數(shù)a0;A中每行元素之和為常數(shù)a,證明:(2)A1的每行元素之和為a1.2010年4月28日答案100一.1.-402.3.4.C5.不是6.D7.-217422063338.0，-1，3二．,9.A10.-2<t<0AAA1112AAA2313D213691．2122AAA3132332.由(AI)XB得X(AI)1B，143其中，AI1731624109用初等變換法可求出：(AI)111156511011291541090116X11156201于是，55110111131253.12531253125312530112011201120110A11410112000200012392011400000000A的秩為3,因此,的秩也為34,,213,而為原向量組的極大無關(guān)組4,,214.a1,b1時，有解；040111k通解為Xk,k,k為任意常數(shù)．00112120103005.A01202130021IA012(3)2(1)，3,3,1000010123EA0220,11220040003EA02212201注意到,,兩兩正交，單位化后得標(biāo)準(zhǔn)正交向量組，正交變換12310101X0Y2211022標(biāo)準(zhǔn)形f3y123y2y'2321．,,,線性相關(guān)三．1,故存在不全為零的實數(shù)k,k,,k，使得122mm++k=0．我們斷言k,k,,k全不為零，否則12k+k1122mmm,,,有少于mm個向量線性相關(guān)，與任意1個向量都線性無12m關(guān)矛盾，命題得證。11112.：(1)由題意得Aa，從而a是A的一個特征值，11又A是可逆矩陣所以0；a1111a1（2）由（1）知A，從而A的每行元素之和是a111112010年11月26日試卷一.選擇題：（每小題3分，共15分）1.設(shè)A,B均為n階矩陣，則下列結(jié)論不正確的是()?？赡妫瑒t均可逆(B)(A1B)TBT(AT)1(A)若ABA,B(D)若ABI，則(C)AAn1A,B均可逆()。2.設(shè)向量組,,,,線性相關(guān)，則12s,,,線性表示(B)不可由線性表示,,,12(A)可由12ss線性表示線性無關(guān)，則可由(C)若,,,,,,12s12s線性表示(D)若rs，則可由,,,{,,,,}12s12s3.下列行列式的值不一定為零的是()。(A)行列零(B)行列式中有兩列元素對應(yīng)成比例(C)n階行列式中有一行元素全為零零元素多于n2n個(D)行列4.設(shè)齊次線性方程組AX0有非零解，則式的主對角線上元素全為式中的非齊次線性方程組AXB(B)有唯一解(C)無解(D)解的情況無法確定5.若A為n階正()。(A)A的列交的(B)對任意Rn，有(A,A)(,)(C)ATA(D)行列式A1()。(A)有無窮多解交矩陣，則下列結(jié)論不正確的是向量組是標(biāo)準(zhǔn)正二．填空題：（每小題5分，共25分）a11101200IKA11.行列式。2.設(shè)，則A。n0I1030n10043.已知4階矩陣A的秩r3，A為A的伴隨矩陣，則齊次線性方程組AAX0的基礎(chǔ)解系含的二次型f(X)XTAX線性無關(guān)的解向量。4.n個變量x,x,,x負(fù)定的充要條件是。12n_________等于n。5.若3階矩陣有特征值1,1,2，則行列式A12A311141三．（8分）設(shè)A220,B132，矩陣滿足關(guān)系式X325112[(AT)1I](XA)TB2XT，化簡此式，并求。X四．（8分）已知R3的基,,到基,,的過渡矩陣為，且P1231231012210,1,2，P322112032430試求：(1)基,,；(2)在基,,和,,下有相同坐標(biāo)的所有向量。1231231232231A1a2的對應(yīng)特征值的一個特征8分）設(shè)列向量1是矩陣1五．（1b1向量。(1)求常數(shù),a,b；(2)試問矩陣能否相似于對角矩陣？為什么？A1xxxx1234六．（10分）已知線性方程組4x3x5xx1，其系數(shù)矩陣的秩r2，A1234axx3xbx1A1234試求常數(shù)a,b的值，以及該方程組的通解。七．（10分）求一正交變換，將二次型f(x,x,x)3x23x24xx8xx4xx12313121323化為標(biāo)準(zhǔn)形（要寫出所用的正交變換和此標(biāo)準(zhǔn)形）。八．（8分）設(shè)向量組,,,,,112223線性無關(guān)，證明向量組12t,也線性無關(guān)。t1t1t8分）設(shè)A為n階矩陣，已知rr，證明：(1)線性方程組AX0與A九．（A2A2X0同解；(2)rr。AA32010.11.26試卷答案一.選擇題（每題3分，共15分）：1.A2.C3.A4.D5.CkI二.填空題（每題5分，共25分）：1.24a2602.3.34.負(fù)n0In125慣性指標(biāo)5.2三．（共8分）解：[(AT)1I](XA)TB2XT[IAT]XTB2XTX[IA]BT2XX(3IA)BT0113IA21010111113101623XBT(3IA)1432212856125312103565111,8,2四．（共8分）（1）由(,,)(,,)P，得1231231102831xy11(2)設(shè)向量在基,,和,,下的坐標(biāo)為Xx與Yy，則12312322xy33yyyyXPYXYYPY(PI)Y0，令，即13，解得，23于是在兩組基下有相同坐標(biāo)的所有向量為2yyyy()k1，其中為任意常數(shù)。ky331323331233232111a211，得3,a4,b3。五．（共8分）解：（1）由1b111232（2）IA1142(1)(3)2，得特征值1,3。123311321323IA1120443r12。故A不能相似(3IA)132000于對角矩陣。六．（共10分）111111A43510111a13b01a3aba11150111150042ab4a5a2,b3此時有r242a04ab50，得A1111110242(A|B)4351101153，得原方程組的同解方程組21331000002x4x2xxx5x32x4x2，令xxx5x3為134，解得134xx0，得特解3423423423X。002x4xxxx5x其導(dǎo)出組的解為134，取x1,x0；x0,x1得導(dǎo)出組的基3434234礎(chǔ)解系242241531k5,k,k,，故方程組的通解為X1k100102121201001為任意常數(shù)。324324A202IA22(1)2(8)0七．（共10分）解：，，423423得特征值1，8123112對1,特征向量為-2，0,對8，特征向量為1,12123320114515(,)單位化：22正交化：-2，1，211(,)5501122101111423532132,3233552313351425353，作正交變換XTY，得標(biāo)準(zhǔn)形令T(,,)2213535123520353fy2y28y2．123八．（共8分）證明：設(shè)kkk0，即1122t1t1k()k()k()112223t1t1tk(kk)(kk)k0，因向量組,,,線性11212t1t2t1t112ttk0,kk0,,kk0,k0kkk0，故121t1t2t112t1無關(guān)，所以有,,,線性無關(guān)t1。12九．（共8分）證明：（1）因AXA(AX)0，所以AX0的解都是A2X0的2解，又rr，故它們的解A2A此它們同解空間相同，因（2）A3XA(A2X)0，所以AX0的解都是A3X0的解。反之，若存在20A0，使，但A0AA2X0的解，，則由A3A2(A)0，知是32又A(A)A20，知A不是AX0的解。與（1）的結(jié)論矛盾。故A2X0與A3X0同解，rr，所以rr。A2A3AA32010年12月29日試卷所有解答必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效一.選擇題：（每小題3分，共15分）,,,1.設(shè)Rn中非零向量組線性相關(guān)，則()。s12,,,的部分向量組線性相關(guān)12s(A)sn(B)(C),,,s有部分向量組線性無關(guān)12(D)對任意一組不全為0的數(shù)kk22.設(shè)非齊次線性方程組AXB的增廣矩陣,,,k，都有kkk01122ss1s(A|B)為m階方陣，且其行列式(A|B)0，則AXB()。(A)無解(B)有唯一解(C)有無窮多解(D)解的情況無法確定3.設(shè)n階矩陣A有特征值0，則下列結(jié)論正確的是()。(A)零向量是A的特征向量(B)A0(C)A不可逆(D)A可逆4.設(shè)A為正交矩陣，且A1，則必有伴隨矩陣A。(A)AT(B)ATA(C)(D)A5.設(shè)n階矩陣A,B滿足BQTAQ，其中可逆，則下列命題不正確的是()。Q(A)A與B合同(B)A與B等價(C)若A是對稱矩陣，則B也是對稱矩陣(D)A與B相似二．填空題：（每小題3分，共15分）211124221.行列式3363。44482.已知4階可逆矩陣A的跡trA16，且其特征方程有唯一的4重實根，則行列式A。1211013.設(shè)A213,B2t3，若A與B等價，則t。1321294.二次型f(X)XTAX正定的充要條件是矩陣A的所有特征值。t滿足條件時，二次型f(x,x,x)2x2x2x22xx2txx是正5.當(dāng)參數(shù)1231231213定的。100011已知A110,B101，且X(IB1A)TBTI，求三．（10分）111X。110112831310,,,四．（10分）設(shè)向量組，求子空間2111012341411L(,,,)的維數(shù)和一組基。1234211x1五．（10分）設(shè)向量在基0,1,0Xx，而在基下的坐標(biāo)為1232x3001yyxx2，求。1yxx2yx11,,下的坐標(biāo)為,,123Yy，其中123223y333xx2x625mxxxxnxxx71241，（Ⅱ）2x2xp3234六．（12分）設(shè)線性方程組（Ⅰ）4xxxx11234343xxx312334,,mnp的值。（1）求方程組（Ⅰ）的通解；（2）若方程組（Ⅰ）與（Ⅱ）同解，試確定222設(shè)A254，求一正交矩陣T，使得TTAT為對角矩陣，并寫七．（12分）245出此對角陣。100設(shè)A101，（1）驗證AAIAI；()八．（10分）22010（2）證明當(dāng)n3時，AnAn2A九．（6分）已知A4階矩陣按列分塊為2I，并由此計算A100。A()AXB的，且線性方程組12342111k,k為任意常數(shù)，試回答下列問題，并說明理由：(1)能否由021通解為30,,,,線性表示？123線性表示？(2)能否由23442010年12月29日答案一.選擇題（每題3分，共15分）：1.C2.A3.C4.B5.D二.填空題（每題3分，共15分）：1.1202.25613.4.均大于零5.1t1(IX[B(IB1A)]TIX(BA)TIXIB1A)TBT三．（共10分）解：由1001001X[(BA)T]111011011121112311231181300110(,,,)四．（共10分）解：由211100001123414110000121r3，且,,,401010,,，知為一個極大線性無關(guān)組。故124123001dimL(,,,)3,,為一組基．，1234124111xy1xyyy3，即1112xyyx011y，00122xy33五．（共10分）解：由題設(shè)條件可解得223xy33111(,,)(,,)011(,,)，得于是有1231231121230012340,1,11102120312311102610012(A|B)4111101014六．（共12分）解：（1），┈00125311032xx2xx4xx4，解得144分）由同解方程組x2x241xx4，取x0，得特解┈（5244343421xx41X14xx，取x1，得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，通，其導(dǎo)出組的解為52224x441x3012141,k為任意常數(shù)。解為Xk5201（2）將（Ⅰ）的通解xk1xkxk代入（2,4,x2k5,Ⅱ）得423m(k2)2(k4)(2k5)k5m(k2)k2n(k4)(2k5)k7n(k4)3k122k52kp35p3k0，得m1,n3,p2。令22七．（共12分）解：IA254(1)2(10)0,得特征值2245221特征向量為1，01,10,，對,解得12102112312,特征向量為3對103,解得2215(,)4正交化：2，121(,)51122011121單位化：，1115102212535351,214254132令T(,,),則22333553550312321323531TTAT1。10100000A2110,A2I100八．（共10分）證明:(1).故101100100000000A(A2I)101100100AI2010100100（2）由（1）知n3時，命題成立。假設(shè)nk時，結(jié)論成立，即AAk2A2I，k則當(dāng)nk1時，有AAk1AAkAAk2A(AkAk2)A(A2I)A2Ik1命題也成立。所以當(dāng)n3時，AAn2A2I。n100A100(A100A98)(A98A96)(A2I)I50(A2I)I501050016分）解：（1）可由,,線性表示。1九．（共23411110，即由條件知，k是導(dǎo)出組的通解，于是(,,,)22123400(2)不能由,,線性表示。若能由,,線性表示，則有4基礎(chǔ)解系只含一個解向量，所以120，從而有20，所以可由,,線性表示。12312342344123r。又由條件知，導(dǎo)出組的(,,,)1234r123,2,13rr413，于是r(3，從),,123A(,,,),,線性無關(guān)，但由(1)知2，即31234而,,線性相關(guān)，矛盾，故12312312不能由,,線性表示。41232011年1月18日試卷一。是非題：（每小題3分，共15分）(下列命題正確的打√，錯誤的打×)1.設(shè)A為n階矩陣，若A0，則A0。()2{(,,)2.集合WxxxR3xxx0}是R3的子空間。()13.若非齊次線性方程組23123AXB有唯一解，則齊次方程組AX0只有零解。()必為的特征值。()4.設(shè)是n階矩陣的特征值，則AA5.若n階實對稱矩陣A的順序主子式均小于零，則A為負(fù)定矩陣。()二．填空題：（每小題5分，共25分）211.設(shè)多項式f(x)x25x3，A，則f(A)。3311200,1,1,0的秩2.向量組。10111234000111a,11111,13.若是R3的標(biāo)準(zhǔn)正交基，23612130b則a，b。4.若二次型f(x,x,x)a(x2x2x2)4xx4xx4xx經(jīng)正交變換123123。121323XTY化為標(biāo)準(zhǔn)形6y2，則a15.實二次型f(x,x,,x)XTAX為正定二次型的充要條件是。12n(A)A0；(B)正慣性指標(biāo)為n；(C)的主對角元均大于零。A01000200三．（8分）計算n階行列式的值。Dn000n1n000121ABABB四．（10分）設(shè)A342，且，求。12241823162,,,，求向量組五．（12分）設(shè)向量組364812342424,,,的秩和一個極大無關(guān)組。1234xxxx012342x3xx2x0的通解。六．（12分）求齊次線性方程組1234x2x2xx01234x3x5xx012341331,4,3七．（10分）設(shè)是三階矩陣A的特征向量，它們分別123341對應(yīng)特征值1,0,1，求矩陣。A123是其8分）設(shè)是非齊次線性方程組AXB(B0)的任一解，,,,12AX0的基礎(chǔ)解系，證明：,,,,線性無關(guān)。12八．（t導(dǎo)出組t2011年1月18日答案一.是非題（每題3分，共15分）：1.×2.√3.√4.√5.×12二.填空題（每題5分，共25分）：0324.5.B1.2.3.100200三．（共Dn8分）解：將D按第一列展開，得(1)n1nn(1)n1n!00n1四．(共10分)解：由ABABABBA(AI)BA,而021AI33210AI121可逆，從而B(AI)1A1011210011133421033253261224836121212120012五．（共12分）解：(,,,)00003264812344240000所以向量組,,,的秩為2，,為一個極大無關(guān)組。1234131111104123120130六．（共12分）解：A，同解方程組1221000013510000xxx404x1xxxx0;x0,x1，得導(dǎo)，解得，取1,13434x3x0x3x出組的基礎(chǔ)解系34342323414103,0，通解為31Xkk，k,k為任意常數(shù)。1010212121010七．（共10分）解：有三個互異特征值，所以可對角化，且變換矩陣AA1P(,,)，則PAP011231113317331036