第2章剛體平面運(yùn)動(dòng)

第2章

剛體的平面運(yùn)動(dòng)——思慮題——解答

12-1

圖示半徑為

r的圓盤

A在半徑為

R的固定不動(dòng)凹面上作純轉(zhuǎn)動(dòng)，已知圖示

(t)

，則該圓盤的角速度

(t)

（逆時(shí)針轉(zhuǎn)向）能否正確？為何？ORrA思慮題2-1圖2-1解答：不正確，由于vAsA(R)R(t)，其錯(cuò)誤的原由：誤以為角度是rrrr圓盤A的角位移。2-2圖示平面系統(tǒng)，半徑為r的齒輪B在繞軸O作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的齒條OA上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M為輪緣上確立點(diǎn)，已知圖示的(t)，(t)，則齒輪的角速度為(t)（順時(shí)針轉(zhuǎn)向）能否正確？為何？OMBrA思慮題

2-2圖2-2

解答：不正確，由于

，其錯(cuò)誤的原由：齒輪

B相關(guān)于齒條

OA作純轉(zhuǎn)動(dòng)，若齒條

OA

靜止不動(dòng)，此時(shí)齒輪

B的角速度

，其轉(zhuǎn)向?yàn)轫槙r(shí)針，而齒條

OA并不是靜止不動(dòng)，其作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為

OA

，其轉(zhuǎn)向?yàn)轫槙r(shí)針，所以齒輪B的絕對(duì)角速度為，其轉(zhuǎn)向?yàn)轫槙r(shí)針。2-3在圖示平面系統(tǒng)中，桿OA1以勻角速度0作逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，則桿OA1和三角形AC邊上各點(diǎn)圖示的速度散布能否正確？為何？vCCCABCvBABvAAB00OO2O211思慮題2-3圖2-3解答：不正確。由于vAO1A0ABCvAO1A0PAPAO1A0PCO1AvCPCABCPC0O1C0PAPA所以各點(diǎn)的速度散布應(yīng)改為如下圖的散布。P2-4圖示小車的車輪A與滾柱B的半徑都是r，設(shè)A、B與水平川面之間和B與車廂之間都沒有相對(duì)滑動(dòng)，試問當(dāng)車廂以勻速v行進(jìn)時(shí)，車輪A與滾柱B的角速度能否相等？為何？vvBrBBrAvAArvBAr思慮題2-4圖2-4解答：不相等，A2B。vAv，vAvvvBv1A；vB，Br2rA。rr222-5試判斷圖示平面圖形上六種速度散布狀況能否可能？為何？AvABABBvBvAAvBvBvA(vA0)(b)(c)(a)vAvvBvAAAABvBABvBB(vA//vB)(vAvB)(vA//vB,vAvB)(d)(e)(f)思慮題2-5圖2-5解答：不行能。由于，點(diǎn)A為平面圖形的速度瞬心，vA=0。不行能。由于，平面圖形上的兩點(diǎn)A和B的速度在兩點(diǎn)的連線上的投影必相等，即vAABvBAB，但圖形上的兩點(diǎn)A和B的速度在兩點(diǎn)的連線上的投影不相等，所以是不行能的狀況?？赡?。不行能。由于，平面圖形上的兩點(diǎn)A和B的速度在兩點(diǎn)的連線上的投影必相等，即

vAAB

vB

AB，但圖形上的兩點(diǎn)

A和

B的速度在兩點(diǎn)的連線上的投影不相等，

vAAB

vBAB，所以是不行能的狀況。

vA(e)可能，平面圖形作剎時(shí)平移或平移。

A可能，平面圖形繞速度瞬心作剎時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，如下圖。vBBP(vA//vB,vAvB)2-6以下各題的計(jì)算過程中有沒有錯(cuò)誤？為何？（1）如圖(a)示，已知vB，則vBAvBcos，ABvBAvBcosABAB（2）如圖(b)所示，已知vBvAvBA，則平行四邊形如圖(b)所示。（3）如圖(c)所示，已知為常數(shù)，OA=r，vAr，在圖示剎時(shí)vAvB，則vBr，aBvB0。（4）如圖(d)所示，已知vAOA，所以vBvAcos。（5）如圖(e)所示，已知vA1O1A，方向垂直于O1A，vD方向垂直于O2D，于是可確立速度瞬心P的地點(diǎn)，于是vDvAPD，2vDvAPDPAO2DPAO2DAvAvBAvBABBOvB(b)vBA(a)vAvAABvBABvBOvBO(c)(d)vAAB1O1vDP

2DO2

思慮題2-6圖(e)2-6解答：(1)錯(cuò)誤。由于vBvAvBA，將該式沿水平向左投影獲得vBvBAcosvBAvB，cosvBAvBAB。ABABcosvAAvAAvBvBABvBvBA

B

O(b)(a)錯(cuò)誤。正確的平行四邊形如下圖。(3)錯(cuò)誤。由于vAvBr不過在該剎時(shí)建立，而對(duì)該剎時(shí)點(diǎn)B的速度的一階導(dǎo)數(shù)不可以獲得點(diǎn)B的加快度。(4)錯(cuò)誤。由于，由速度投影定理vAABvBAB，不可以獲得vBvAcos。(5)錯(cuò)誤。由于點(diǎn)A和點(diǎn)D不屬于同一剛體，所以不可以用點(diǎn)A和點(diǎn)D的速度確定所謂的速度瞬心P，而是依據(jù)圖示的方法求解。PABvAA1vEBO1EvB2DO2PDEvD(e)2-7圖(a)、(b)所示兩個(gè)同樣的繞線盤以同一速度v拉動(dòng)，設(shè)繩與輪之間無相對(duì)滑動(dòng)，盤輪在水平川面上作純轉(zhuǎn)動(dòng)，試問這兩個(gè)繞線盤往哪邊轉(zhuǎn)動(dòng)？角速度誰大？水平段繩索的長(zhǎng)度在這兩種情況下變化狀況怎樣？vRRrCrCv(a)(b)思慮題2-72-7解答：兩種狀況的繞線盤都沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，由于兩種狀況的繞線盤都在水平川面上作純轉(zhuǎn)動(dòng)，速度瞬心都是與地面的接觸點(diǎn)；v，bv，可見a；abRrRr兩種狀況的水平段繩索的長(zhǎng)度變化同樣，可是繞線盤沿水平方向所滾過的位移不一樣。2-8試判斷圖示平面圖形上六種加快度散布狀況能否可能？為何？aAABaB(a)ABaAaB(02)(d)

aAaAABABaBaB(b)(02)(c)AaCAB12aACaAaBBaB(aAaB,212)(f)(e)思慮題2-8圖2-8解答：(a)可能。假定平面圖形的角速度和角加快度均為圖示的順時(shí)針轉(zhuǎn)向，aBaAanatBABA2n大小aBaAABABAaAaBAB方向aB將上式沿水平向右方向投影獲得2aAaBAt0aAanaanAB2BAABAAB(a)將上式沿鉛垂向下投影獲得aBataatABaBBABBAAB上述剖析的結(jié)果完整合理，有可能實(shí)現(xiàn)。(b)可能。假定平面圖形的角速度和角加快度aBaAanatBABA大小aBaAAB2AB方向?qū)⑸鲜窖厮较蜃蠓较蛲队矮@得0aBAnaBAnAB200將上式沿鉛垂向下投影獲得aBaAataABaABAB上述剖析的結(jié)果完整合理，有可能實(shí)現(xiàn)。(c)可能。假定平面圖形的角速度和角加快度aBaAanatBABA大小aBaAAB2AB方向√√將上式沿水平向左方向投影獲得aBcosaAcosaBAn(aAaB)cosAB22(aAaB)cosAB將上式沿鉛垂向下投影獲得

均為圖示的順時(shí)針轉(zhuǎn)向，aAaBAnABaBaBAt(b)aAaBAB均為圖示的順時(shí)針轉(zhuǎn)向，aAAaBAnBaBAtaB(02)(c)aBsinaAsinat(aaB)sinABBAA(aAaB)sinAB上述剖析的結(jié)果完整合理，有可能實(shí)現(xiàn)。(d)不行能。假定平面圖形的角速度和角加快度均為圖示的順時(shí)針轉(zhuǎn)向，aBaAanatBABA大小aBaAAB2ABAaBAnB方向√√aBAt將上式沿水平向左方向投影獲得aAaBaBcosacosanABAAB2(aAaB)cos(02)(d)(aAaB)cos20（不合理，不行能實(shí)現(xiàn)）AB將上式沿鉛垂向下投影獲得aBsinaAsint(aBaA)sinAB(aBaA)sinaBAAB上述剖析的結(jié)果完整不合理，不行能實(shí)現(xiàn)。(e)可能。假定平面圖形的角速度和角加快度均為圖示的順時(shí)針轉(zhuǎn)向，aBaAanatBABA大小aBaAAB2ABAaBAnB方向√√12aBAt將上式沿水平向左方向投影獲得aAaBaBcos2aAcos1aBAnAB2aBcos2aAcos1(aAaB,212)(e)aA(cos2cos1)0（合理，可能實(shí)現(xiàn)）AB將上式沿鉛垂向下投影獲得aBsin2aAsin1aBAtaBsin2aAsin1ABaA(sin2sin1)（合理，可能實(shí)現(xiàn)）0AB上述剖析的結(jié)果完整合理，可能實(shí)現(xiàn)。(f)無條件，必定性。特別狀況：平面圖形中的三角形ABC為等邊三角形，平面圖形繞三角形的形心O作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，這樣就實(shí)現(xiàn)了切合上述條件的運(yùn)動(dòng)了，且aABC。=a=a一般狀況：假定平面圖形的角速度和角加快度均為圖示逆時(shí)針轉(zhuǎn)向，aBaAanatBABA大小aBaAAB2ABAaCt方向√√BAAB3aCBt將上式沿AB方向投影獲得1naCAaAaCAC0aAcos1aBAn2aAcos1(1)aBAnaCBn2ABBaBAtaB將上式沿垂直于AB方向投影獲得aBaAsin1aBAtaAsin1aB(2)(f)ABaCaBaCBnaCBt大小aCaBBC2BC方向√√CBBC將上式沿BC方向投影獲得0acos1an2aBcos2(3)BCBBC將上式沿垂直于BC方向投影獲得aCaBsin2aCBtaBsin2aC(4)BCaCaAaCAnaCAt大小aCaAAC2AC方向√√CAAC將上式沿AC方向投影獲得aCcos3aCAn2aCcos3(5)AC將上式沿垂直于AC方向投影獲得aCsin3aAaCAtaAaCsin3(6)AC幾何關(guān)系：在三角形ABC中12390390(12)(7)ABACBCABACBCsin(903)sin(902)sin(901)cos3cos2(8)cos1將幾何關(guān)系式(7)、(8)代入運(yùn)動(dòng)拘束方程式(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)中，獲得aBcos21aAaCcos1cos2aA2)22)cos2sin(1sin(1aAsin1cos1aBcos1aBsin2sin(12)aCsin(12)aBsin2cos2aCcos2aAcos1aCcos(12)cos1進(jìn)一步推導(dǎo)獲得恒等式，也就是說受上述幾何條件[式(7)、(8)]拘束的運(yùn)動(dòng)方程[式(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)]是無條件建立的，即題目所述及的運(yùn)動(dòng)形式是完整有可能存在或?qū)崿F(xiàn)的。2-9圖(a)、(b)所示瞬時(shí)，試問1與2，1與2能否相等？為何？ABAO222112121O1O1O2

B(O1A=O2B，AB=O1O2)(O1A=O2B，O1A//O2B，O1A不垂直于AB)(a)(b)思慮題2-9圖2-9解答：(a)桿AB作平移，AB0AB0ABnvBvAO1A1vBO2B2aAvAaAtaBnvAvB1aBt122n2tO112O1AO1AO2aA1aA1nO2B2tO2B(O1A=O2B，AB=O1O2)aB2aB2(a)aAtaBt12(b)AO2桿AB作剎時(shí)平移，AB0vAAB0naAtaBn2vAO1AvBO2B