電磁場(chǎng)課件-高斯定理

電磁場(chǎng)課件——高斯定理1第一頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日第一章靜電場(chǎng)實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)與理論基礎(chǔ)靜電場(chǎng)的基本方程基本方程的解應(yīng)用§1.1電場(chǎng)強(qiáng)度，電位§1.2高斯定律§1.3靜電場(chǎng)的基本方程，分界面上的銜接條件§1.4靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題，唯一性定理§1.5分離變量法§1.6有限差分法§1.7鏡像法和電軸法§1.8電容和部分電容

§1.9靜電能量與力2第二頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日§1.2高斯定理1.2.1靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體1.2.2靜電場(chǎng)中的電介質(zhì)1.2.3高斯定理3第三頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日1.2.1靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體導(dǎo)體的特點(diǎn)：有大量自由電子。看錄像，思考：導(dǎo)體在外電場(chǎng)中達(dá)到靜電平衡1、導(dǎo)體中的電荷和場(chǎng)強(qiáng)如何分布？①電荷只分布在導(dǎo)體表面②導(dǎo)體內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)處處為0；③導(dǎo)體表面任意一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)方向與表面垂直;④導(dǎo)體為一個(gè)等位體，導(dǎo)體表面為一個(gè)等位面;E導(dǎo)體E’引起電荷移動(dòng)4第四頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日靜電屏蔽的原理2、有空腔的導(dǎo)體殼帶電體A在空腔導(dǎo)體B外正、負(fù)感應(yīng)電荷分布在B的外表面上。A++++++++-----+++++BE內(nèi)=0帶電體A在空腔導(dǎo)體B內(nèi)-------------++++++++++++++++++++++++++A正、負(fù)感應(yīng)電荷分布在B的內(nèi)、外表面上。5第五頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日3.導(dǎo)體表面電荷密度與該處E表的大小成正比。在導(dǎo)體外緊靠導(dǎo)體表面的一點(diǎn)P:導(dǎo)體E表4.孤立帶電導(dǎo)體表面電荷分布處在靜電平衡時(shí),在導(dǎo)體表面凸出的尖銳部分電荷面密度較大;在比較平坦部分電荷面密度較小。6第六頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日任何導(dǎo)體，只要它們帶電量不變，則其電位是不變的。（）一導(dǎo)體的電位為零，則該導(dǎo)體不帶電。（）接地導(dǎo)體都不帶電。（）靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體7第七頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日無(wú)極性分子有極性分子1、電介質(zhì)的特點(diǎn)：在電場(chǎng)作用下：電介質(zhì)分子旋轉(zhuǎn)或拉伸，正負(fù)電荷中心不再重合，形成電偶極子。1.2.2靜電場(chǎng)中的電介質(zhì)電子被原子核束縛，不能自由活動(dòng)；看錄像，思考：將一塊電介質(zhì)放入外電場(chǎng)中的表現(xiàn)？8第八頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日思考：外加電場(chǎng)后，介質(zhì)發(fā)生極化，形成附加電場(chǎng)，破壞原電場(chǎng)分布。怎樣計(jì)算電介質(zhì)極化后產(chǎn)生的電場(chǎng)？方向由負(fù)電荷指向正電荷。定義：極化強(qiáng)度為定義：矢量電偶極矩可計(jì)算出，單個(gè)電偶極子產(chǎn)生的電位為：：怎樣衡量電介質(zhì)極化的強(qiáng)弱？9第九頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日-q

+qP0zr2r1rd例：電偶極子的電場(chǎng)思路：由電位求場(chǎng)強(qiáng)。

-q

+qdP0zr2r1r解：當(dāng)d<<r時(shí)：r2-r1≈dcos

r2

r1≈r2E=-10第十頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日介質(zhì)中體積元V’產(chǎn)生的電位為：整個(gè)介質(zhì)產(chǎn)生的電位為：11第十一頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日dq0xyzP整個(gè)介質(zhì)產(chǎn)生的電位：矢量恒等式：1/RPPP12第十二頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日整個(gè)介質(zhì)產(chǎn)生的電位：PP1.在有介質(zhì)存在的空間中，任意點(diǎn)的電場(chǎng)是由自由電荷、極化電荷共同在真空中產(chǎn)生的電場(chǎng)的疊加；3.極化電荷的總和為02.極化電荷的體密度為P、面密度為P結(jié)論：13第十三頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日1、自由電荷與束縛電荷的區(qū)別是什么？2、電介質(zhì)的極化和導(dǎo)體的靜電感應(yīng)有何不同？3、如何考慮電介質(zhì)和導(dǎo)體在靜電場(chǎng)中的效應(yīng)？導(dǎo)體→自由電荷→自由移動(dòng)→靜電感應(yīng)電介質(zhì)→束縛電荷→不能自由移動(dòng)→電偶極子→極化電荷重新分布→附加電場(chǎng)附加電場(chǎng)導(dǎo)體表面靜電感應(yīng)電荷→在導(dǎo)體內(nèi)部與外電場(chǎng)處處抵消→E＝0電介質(zhì)束縛電荷極化→在電介質(zhì)內(nèi)部削弱外電場(chǎng)→合電場(chǎng)不為零14第十四頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日1、真空中的高斯定理：①點(diǎn)電荷q、閉合面為以點(diǎn)電荷所在處為球心的球面：②點(diǎn)電荷q、閉合面為任意形狀：③n個(gè)點(diǎn)電荷、閉合面為任意形狀：④電荷連續(xù)分布、閉合面為任意形狀：結(jié)論：在真空中，由任意閉合面穿出的E通量，等于該閉合面內(nèi)所有電荷的代數(shù)和除以真空的介電常數(shù)1.2.3高斯定理15第十五頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日電介質(zhì)表面S為電介質(zhì)中一假想閉合面，不包含介質(zhì)的表面；自由電荷q1、

q2、

q3分布在導(dǎo)體表面S1、

S2、

S3上：Sq1q2q3S1S2S302、介質(zhì)中的高斯定律16第十六頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日定義：電通量密度，電位移矢量在靜電場(chǎng)中（無(wú)論在真空還是介質(zhì)中，不管介質(zhì)均勻與否），由任意閉合面穿出的D通量，等于該閉合面內(nèi)所有自由電荷的代數(shù)和，與所有極化電荷及閉合面外的自由電荷無(wú)關(guān)。高斯通量定理的微分形式在靜電場(chǎng)中，任意一點(diǎn)的D的散度等于該點(diǎn)的自由電荷體密度。高斯通量定理的積分形式D=0(

1+)E=0rE=E線性、各向同性：P=0E——電介質(zhì)的介電常數(shù)；（F/m）r——電介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)，無(wú)量綱17第十七頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日實(shí)際中經(jīng)常使用介電常數(shù)的相對(duì)值，這種相對(duì)值稱(chēng)為相對(duì)介電常數(shù)，以r

表示，其定義為可見(jiàn)，任何介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)總是大于1。下表給出了幾種介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)的近似值。介

質(zhì)介

質(zhì)空

氣1.0石

英3.3油2.3云

母6.0紙1.3~4.0陶

瓷5.3~6.5有機(jī)玻璃2.6~3.5純

水81石

臘2.1樹(shù)

脂3.3聚乙烯2.3聚苯乙烯2.6rr18第十八頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D示平行板電容器中放入一塊介質(zhì)后，其D線、E線和P線的分布。?D線由正的自由電荷出發(fā)，終止于負(fù)的自由電荷；?P線由負(fù)的極化電荷出發(fā)，終止于正的極化電荷。?E線由正電荷出發(fā)，終止于負(fù)電荷；D線E線P線D、E與P三者之間的關(guān)系3、D線、E線和P線：19第十九頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日1、電場(chǎng)強(qiáng)度在電介質(zhì)內(nèi)部是增加了，還是減少了？2、說(shuō)明E、P與D三矢量的物理意義。E與介質(zhì)有關(guān)，D與介質(zhì)無(wú)關(guān)的說(shuō)法對(duì)嗎？20第二十頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日E是電場(chǎng)強(qiáng)度，其物理意義是從力的角度描述靜電場(chǎng)特性物理量。其定義為靜電場(chǎng)中任一點(diǎn)單位正電荷所受到的電場(chǎng)力。P是電極化強(qiáng)度，其物理意義是描述電介質(zhì)中任一點(diǎn)電極化強(qiáng)弱的物理量。D是電位移矢量，是一個(gè)輔助物理量，其本身并沒(méi)有明確的物理意義，然而引入它可以方便地表達(dá)出任一點(diǎn)的場(chǎng)量與場(chǎng)源之間的關(guān)系，即電位移矢量的散度等于該點(diǎn)分布的自由電荷體密度。E和D的分布都與介質(zhì)有關(guān)。但是穿過(guò)閉合曲面的D通量?jī)H與該閉合面所包圍的自由電荷有關(guān)，而與介質(zhì)中的束縛電荷無(wú)關(guān)。21第二十一頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日q

D通量只取決于高斯面內(nèi)的自由電荷，而高斯面上的D是由高斯面內(nèi)、外的系統(tǒng)所有電荷共同產(chǎn)生的。點(diǎn)電荷±q分別置于金屬球殼的內(nèi)外點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中置入任意一塊介質(zhì)q22第二十二頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日qqq點(diǎn)電荷q在高斯面S內(nèi)位置不同,D的通量有何變化?23第二十三頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日高斯定律的表達(dá)式中,左方的場(chǎng)強(qiáng)E是曲面上各面元dS處的場(chǎng)強(qiáng),它是由全部電荷(有封閉曲面內(nèi),又有封閉曲面外的電荷)產(chǎn)生的合場(chǎng)強(qiáng)。qnqn+idSE24第二十四頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日4、應(yīng)用高斯定律的解題步驟:應(yīng)用高斯通量定律可很簡(jiǎn)捷地求解對(duì)稱(chēng)場(chǎng)的分布。1.根據(jù)電荷分布的對(duì)稱(chēng)性,分析電場(chǎng)分布的對(duì)稱(chēng)性。2.選好通過(guò)場(chǎng)點(diǎn)的封閉曲面(高斯面)。3.應(yīng)用高斯定律,找準(zhǔn)高斯面內(nèi)包圍的電荷量,即可求得場(chǎng)強(qiáng)E。25第二十五頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日試問(wèn)：能否選取正方形的高斯面求解球?qū)ΨQ(chēng)場(chǎng)(a)(b)(c)圖1.球?qū)ΨQ(chēng)場(chǎng)的高斯面

(a)

球?qū)ΨQ(chēng)分布：包括均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等。5、高斯面的選取方法:26第二十六頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日(b)

軸對(duì)稱(chēng)分布：包括無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電的直線，圓柱面，圓柱殼等。圖2.軸對(duì)稱(chēng)場(chǎng)的高斯面27第二十七頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日(c)無(wú)限大平面電荷：包括無(wú)限大的均勻帶電平面，平板等。(a)(b)(c)圖3.平行平面場(chǎng)的高斯面試問(wèn)：能否選取底面為方型的封閉柱面為高斯面？28第二十八頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日真空中有兩個(gè)同心金屬球殼，內(nèi)球殼半徑R1，帶電q1，外球殼半徑R2，殼厚R2，帶電q2，求場(chǎng)中各處電場(chǎng)及電位。R1R2R2q1分析電荷分布情況：-q1q1+q2求場(chǎng)強(qiáng)分布情況：（方向、對(duì)稱(chēng)性）以與球殼同心、半徑為r的球面為閉合面a.r<R1：q=0D=0E=0b.R1<r<R2：q=q1c.R2<r<R2+R2：q=0D=0E=0d.r>R2+R2：q=q1+q2Er0R1R2R2+R2

例1①②解:29第二十九頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日R1R2R2q1求各處電位：-q1q1+q2Er0R1R2R2+R2

以無(wú)限遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)，電位為0：a.r>R2+R2

：b.R2<r<R2+R2：c.R1<r<R2：d.r=R1：③30第三十頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日同軸電纜有兩層絕緣體，分界面也是同軸圓柱面，尺寸如圖。內(nèi)外導(dǎo)體之間的電壓為U，求場(chǎng)中各處電場(chǎng)。求場(chǎng)強(qiáng)分布情況：（方向、對(duì)稱(chēng)性）作半徑為r、長(zhǎng)為l的同軸圓柱面（包括兩個(gè)底面）a.r<R1：

=0D=0E=0b.R1<r<R2：c.R2<r<R3：d.r>R3：

=0D=0E=0Er0R1R2R3R1R21R320=lE例2分析電荷和場(chǎng)分布情況：①②解:31第三十一頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日2、圓柱形電容器外導(dǎo)體的半徑為1cm，內(nèi)外導(dǎo)體之間充滿(mǎn)擊穿強(qiáng)度為1.8×103KV/m的電介質(zhì)，試確定該電容器能承受最大電壓時(shí)的內(nèi)導(dǎo)體的半徑a為多少？并求能承受的最大電壓值。

32第三十二頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日解：設(shè)外導(dǎo)體半徑為b，單位長(zhǎng)度上導(dǎo)體所帶電荷量為τ，則由高斯定理可知：EraarEar===tpetpe22max(最大場(chǎng)強(qiáng)在r＝a處）（4）則(8)(10)dd=UaEbamax（ln-=1）0abe==0368.cmUbeEmaxmax.==6624kvUaErraEbaab==maxmaxln1d∫33第三十三頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日ra真空中有電荷以體密度均勻分布于一半徑為a的球中，試求球內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度及電位。r<a4r2

D=4r3/3r>a4r2

D=4a3/3例334第三十四頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日無(wú)限大平面均勻帶電，電荷面密度為σ，求電場(chǎng)強(qiáng)度。解：（1）電荷分布具有平面對(duì)稱(chēng)性選取直角坐標(biāo)（2）電場(chǎng)垂直于帶電平面（3）以帶電平面為對(duì)稱(chēng)面，作一平行六面體，設(shè)其側(cè)面面積為S。xs0結(jié)論：無(wú)限大均勻帶電平面在兩側(cè)產(chǎn)生反向勻強(qiáng)電場(chǎng)-xOxS例435第三十五頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日求線電荷密度為τl的無(wú)限長(zhǎng)帶電直線的電場(chǎng)。解：（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系電荷分布具有軸對(duì)稱(chēng)性，選柱坐標(biāo)（2）分析場(chǎng)的分布特征zP(r,z)r電場(chǎng)沿徑向分布，只有Er分量，E=erEr（3）根據(jù)場(chǎng)分布作一閉合面——高斯面取高度為1的閉合圓柱面，即S=