第三章線性代數(shù)方程組的數(shù)

第三章線性代數(shù)方程組的數(shù)第一頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日3.1引言

給定一個(gè)線性方程組求解向量x。第二頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日第一類是直接法。即按求精確解的方法運(yùn)算求解。第二類是迭代法。其思想是首先把線性方程組(3-1)等價(jià)變換為如下形式的方程組：數(shù)值解法主要有兩大類：然后構(gòu)造迭代格式這稱為一階定常迭代格式，M稱為迭代矩陣。第三頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日

3.2解線性方程組的消去法

3.2.1高斯消去法與高斯若當(dāng)消去法

例1

第一步：先將方程（1）中未知數(shù)的系數(shù)2除（1）的兩邊，得到下列方程組：

解：1、消元過(guò)程矩陣的觀點(diǎn)第四頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日

再將第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程的4倍，第三個(gè)方程減去第一個(gè)方程的2倍。

第二步：將方程中第二個(gè)方程的兩邊除以的系數(shù)4

第五頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日

將第三個(gè)方程減去第二個(gè)方程：

第三步：為了一致起見(jiàn)，將第三個(gè)方程中的系數(shù)變?yōu)?，

2、回代過(guò)程：第六頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日

下面我們來(lái)討論一般的解n階方程組的高斯消去法，且就矩陣的形式來(lái)介紹這種新的過(guò)程：一、高斯消去法第七頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日高斯消去法：

（1）消元過(guò)程：對(duì)k=1,2,…,n依次計(jì)算

(2)回代過(guò)程：第八頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日

例3.1試用高斯消去法求解線性方程組

消元過(guò)程為解第九頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日即把原方程組等價(jià)約化為據(jù)之回代解得第十頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日為了避免回代的計(jì)算，我們可在消元過(guò)程中直接把系數(shù)矩陣A約化為單位矩陣I，從而得到解，即這一無(wú)回代的消去法稱為高斯-若當(dāng)（Jordan）消去法

二、高斯-若當(dāng)（Jordan）消去法

第十一頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日解歸一消元第十二頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日歸一消元?dú)w一消元第十三頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日例2試用高斯-若當(dāng)消去法求解例3.1的線性方程組。

因?yàn)榻獾谑捻?yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日高斯-若當(dāng)（Jordan）消去法

一般公式：

第十五頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日高斯約當(dāng)消去法是一個(gè)具有消去過(guò)程而無(wú)回代過(guò)程的算法。以上兩種消去法都是沿系數(shù)矩陣的主對(duì)角線元素進(jìn)行的，即第k次消元是用經(jīng)過(guò)前k-1次消元之后的系數(shù)陣位于（k,k)位置的元素作除數(shù)，這時(shí)的(k,k)位置上的元素可能為0或非常小，這就可能引起過(guò)程中斷或溢出停機(jī)。

3.2.2消去法的可行性和計(jì)算工作量

第十六頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日定理3.1

如果的各階順序主子式均不為零，即有即消去法可行。推論若系數(shù)矩陣嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，即有

第十七頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日注意：高斯-若當(dāng)消去法求解矩陣方程和求矩陣的逆矩陣?yán)?.3試用高斯-若當(dāng)消去法求解如下矩陣方程解：其中X是矩陣第十八頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日

3.2.3選主元素的消去法

主元素的選取通常采用兩種方法：一種是全主元消去法；另一種是列主元消去法。下面以例介紹選主元的算法思想例3.4試用選主元消去法解線性方程組

第十九頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日（1）用全主元高斯消去法回代解出：還原得：解第二十頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日故得解為（2）用全主元高斯-若當(dāng)消去法歸一、消元主元主元主元?dú)w一、消元?dú)w一、消元第二十一頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日（3）用列主元高斯消去法回代解得第二十二頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日

3.3解線性方程組的矩陣分解法

一、非對(duì)稱矩陣的三角分解法

矩陣分解法的基本思想是：可逆下三角矩陣可逆上三角矩陣對(duì)于給定的線性方程組（1）分解——解兩個(gè)三角形方程組。第二十三頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日定理3.3注意第二十四頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日矩陣的Crout分解的計(jì)算公式第二十五頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日(3-12)Crout分解的計(jì)算公式第二十六頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日Crout分解的計(jì)算公式的記憶方法第二十七頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日第二十八頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日注：第二十九頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日例1.試用克洛特分解法解線性方程組0第三十頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日第三十一頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日例3.5試用克洛特分解法解線性方程組解第三十二頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日第三十三頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日

3.3.3對(duì)稱正定矩陣的三角分解

定義3.1若n階方矩陣A具有性質(zhì)且對(duì)任何n維向量成立，則稱A為對(duì)稱正定矩陣。定理3.4若A為對(duì)稱正定矩陣，則

(1)A的k階順序主子式(2)有且僅有一個(gè)單位下三角矩陣L和對(duì)角矩陣D使得（3-16）這稱為矩陣的喬里斯基（Cholesky）分解。(3)有且僅有一個(gè)下三角矩陣，使（3-17）這稱為分解矩陣的平方根法。第三十四頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日

（1）首先由A對(duì)稱正定知且對(duì)任何k維非零向量

故為k階對(duì)稱正定矩陣，所以

由惟一性得

證第三十五頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日把平方根法應(yīng)用于解方程組，則把Ax=b化為等價(jià)方程相應(yīng)的求解公式為第三十六頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日把喬里斯基分解法應(yīng)用于解方程組，則Ax=b化為等價(jià)方程相應(yīng)的求解公式為第三十七頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日j1jj-1由此可建立平方根法的遞推計(jì)算公式如下：第三十八頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日注：平方根法的遞推計(jì)算記憶法第三十九頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日例3.8試用平方根法求解對(duì)稱線性方程組

解

(1)第四十頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日由此，可先由上三角形線性方程組再由下三角形線性方程組第四十一頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日類似地，由得從而可建立喬里斯基分解法的遞推計(jì)算公式為對(duì)于依次計(jì)算第四十二頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日例3.7用喬里斯基分解法分解矩陣

解由式(3-9)第四十三頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日第四十四頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日

例3.9試用喬里斯基分解法解線性方程組解第四十五頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日第四十六頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日

3.4解線性方程組的迭代法

迭代法思想:(1)Ax=b(3-1)(2)建立迭代格式這稱為一階定常迭代格式，M稱為迭代矩陣。第四十七頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日

3.4.1雅可比迭代法與高斯-塞德?tīng)柕?/p>

約化便得從而可建立迭代格式對(duì)

（3-23）以分量表示即一、Jacob迭代法雅可比（Jacobi）迭代

第四十八頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日則雅可比迭代格式（3-24）可用矩陣表示為MJfJ第四十九頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日-------雅可比迭代例如解：修正-----高斯-塞德?tīng)柕谖迨?yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日用矩陣表示為對(duì)雅可比迭代格式修改得高斯-塞德?tīng)枺℅auss-Seidel）迭代

fG-SMG-S二、Gauss-Seidel迭代法第五十一頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日例3.10分別用雅可比迭代法和高斯-塞德?tīng)柕ㄇ蠼饩€性方程組

解相應(yīng)的迭代公式為雅可比迭代高斯-塞德?tīng)柕钊∷奈恍?shù)迭代計(jì)算由雅可比迭代得

由高斯-塞德?tīng)柕?/p>

第五十二頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日

3.4.2迭代法的收斂性

定義3.2設(shè)n階線性方程組的精確解為x*

相應(yīng)的一階定常迭代格式為如果其迭代解收斂于精確解，即則稱迭代格式（3-26）收斂命題3.2記的充分必要條件為第五十三頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日定理3.5若一階定常迭代格式（3-26）的迭代矩陣滿足條件

則該迭代格式對(duì)任何初始向量均收斂。則該迭代格式對(duì)任何初始向量均收斂。

定理3.6

若一階定常迭代格式（3-26）的迭代矩陣滿足條件第五十四頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日定理3.7若雅可比迭代法的迭代矩陣滿足條件（3-28）或（3-29），則雅可比迭代法與相應(yīng)的高斯-塞德?tīng)柕▽?duì)任何初始向量均收斂。推論

如果線性代數(shù)方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，即則相應(yīng)的雅可比迭代法與高斯-塞德?tīng)柕▽?duì)任何初始向量均收斂。

第五十五頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日

定理3.8一階定常迭代格式對(duì)任何初始向量均收斂的充分必要條件為其迭代矩陣的譜半徑小于1，即這里為M的特征值定理3.9

若線性方程組（3-1）的系數(shù)矩陣