2021-2022學年安徽省蒙城一中、渦陽一中、淮南一中等五校高三上學期第一次聯(lián)考理科數(shù)學試題（解析版）

蒙城一中渦陽一中淮南一中懷遠一中潁上一中2022屆高三第一次五校聯(lián)考理科數(shù)學試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.答案：C解析：【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域和函數(shù)的值域，化簡集合，再利用補集及交集定義，即可求解.【詳解】∵，，∴，.故選：C.2.已知復數(shù)，則在復平面內表示復數(shù)的點位于（）A.實軸上 B.虛軸上 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：【分析】利用復數(shù)的乘法及除法運算可得，即得.【詳解】∵復數(shù)，∴，∴在復平面內表示復數(shù)的點位于虛軸上.故選：B.3.若，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.答案：C解析：【分析】利用不等式的基本性質依次判斷選項即可.【詳解】對于A，由，知，故A錯誤；對于B，由，知，故B錯誤；對于C，由，知，故C正確；對于D，由，知，故D錯誤；故選：C.4.已知實數(shù)，滿足，則由該不等式組確定的可行域的面積為（）A. B. C. D.答案：D解析：【分析】根據(jù)不等式組畫出可行域，結合三角形的面積公式計算即可.【詳解】由不等式組畫出表示的平面區(qū)域，如圖，結合圖形可知，.故選：D.5.已知命題：，；命題：，；則下列說法中正確的是（）A.是假命題 B.是真命題C.是假命題 D.是真命題答案：C解析：【分析】分別通過解對數(shù)不等式和構造函數(shù)證明不等式成立來判斷命題和命題的真假，然后根據(jù)選項的組合一一驗證排除，即可完成解答.【詳解】命題：，，即，解得，故該命題錯誤；命題：，，設函數(shù)，，，所以令，解得，在上，，所以單調遞減，在上，，所以單調遞增，所以在處取得極小值，即，故，所以，對于恒成立，該命題正確；選項A，應為真命題，故選項A錯誤；選項B，應為假命題，故選項B錯誤；選項C，為假命題，故選項C正確；選項D，應為假命題，故選項D錯誤.故選：C.6.已知向量，，則的最大值為（）A. B. C. D.答案：D解析：【分析】根據(jù)題意可得，分和兩種情況討論，結合基本不等式即可得出答案.【詳解】由向量，，得，當時，，當時，，當且僅當，即時，取等號，綜上的最大值為.故選：D.7.記為等差數(shù)列的前項和，已知，，則（）A. B.C. D.答案：B解析：【分析】將轉化為，將轉化為，然后兩式聯(lián)立，解得以及，最后根據(jù)等差數(shù)列通項公式以及前項和公式即可得出結果.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，則，，聯(lián)立，解得，，則，，故選：B.8.將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度，再將圖像上各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖像，若對任意的均有成立，則的圖像（）A.關于對稱 B.關于對稱C.關于對稱 D.關于對稱答案：C解析：【分析】根據(jù)三角函數(shù)的平移伸縮變換可得，由題意可得且，進而求出，利用驗證法依次判斷選項即可.【詳解】將函數(shù)圖象向右平移4t個單位長度，得到，再將圖象上各點橫坐標縮短為原來的倍，得到，即，對任意恒成立，則，又，，所以，得，解得.A：當時，，故A錯誤；B：當時，，故B錯誤；C：當時，，所以圖象關于點中心對稱，故C正確；D：當時，，故D錯誤.故選：C.9.已知函數(shù)，若函數(shù)有個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.答案：A解析：【分析】原問題等價于函數(shù)與的圖象有個不同的交點，對分和兩種情況進行討論，分別畫出兩個函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合即可求解.【詳解】因為時，，所以在上是周期函數(shù)，又當時，，所以，所以在上的圖象如圖所示，若函數(shù)有個零點，則函數(shù)與的圖象有個不同的交點，當時，易得函數(shù)與的圖象有且只有個不同的交點，不符合題意；當時，要使函數(shù)與的圖象有個不同的交點，由圖可知，解得；綜上，實數(shù)的取值范圍為.故選：A.10.已知函數(shù)的定義域為，則不等式的解集為（）A. B. C. D.答案：A解析：【分析】由題可得函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，且關于對稱，進而可得，即求.【詳解】∵函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，且關于對稱，函數(shù)的對稱軸為，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，∴函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，且關于對稱，∴由可得，，解得.故選：A.11.給出下列命題：①函數(shù)圖像的對稱中心為；②已知的內角，，的對邊分別為，，.則是的充要條件；③若函數(shù)在區(qū)間上的最大值，最小值分別為，，則；④已知函數(shù)，則的最大值為.以上命題中正確的個數(shù)為（）A. B. C. D.答案：D解析：【分析】利用正切函數(shù)的性質可判斷①，利用大角對大邊及余弦函數(shù)的性質可判斷②，利用奇函數(shù)的性質可判斷③，通過構造函數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)最值可判斷④.【詳解】對于①，因為函數(shù)圖像的對稱中心為，故①錯誤；對于②，因為函數(shù)在上單調遞減，所以，故是的充要條件，故②正確；對于③，設，，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以在區(qū)間上，即，所以在區(qū)間上的最大值，最小值分別為，，所以，故③正確；對于④，函數(shù)，令，設，，則，令，得，∴在區(qū)間，，函數(shù)單調遞減，在區(qū)間上，函數(shù)單調遞增，又，所以在上的最大值為，即的最大值為，故④正確；綜上，命題正確的個數(shù)為.故選：D.12.設，，，則（）A. B. C. D.答案：B解析：【分析】先比較與的大小，通過構造出，然后根據(jù)單調性可得；再比較和，通過構造進行適當放縮即可；最后比較和，也是運用函數(shù)進行適當放縮即可.【詳解】設，則有：，令，解得：，故在上單調遞增；令，解得：，故在上單調遞減.可得：，即，即，故有：.設，則有：，則在上單調遞增，，故，.故有：，同理：，綜上可得：.故選：B.二、填空題13..答案：解析：【分析】根據(jù)定積分意義,畫出幾何圖形,根據(jù)積分上限和下限即可求得其面積,即為積分值.【詳解】令，則，畫出圖像如下圖：所以定積分值為.14.曲線在點處的切線方程為.答案：解析：【分析】直接根據(jù)函數(shù)的導數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)在點處的切線方程的斜率為，進而求出切線方程.【詳解】對求導可得：，則曲線在點處的切線方程的斜率為：，又.則切線方程為：.故答案為：.15.已知，又，，則.答案：（或）解析：【分析】利用同角關系式可得，，然后利用差角公式即求.【詳解】∵，又，∴，，又，∴，當時，，當時，，此時不合題意.故答案為：.16.正項數(shù)列滿足，.又是以為公比的等比數(shù)列，則使得不等式成立的正整數(shù).答案：解析：【分析】利用等比數(shù)列的定義和通項公式可得，數(shù)列的奇數(shù)項，偶數(shù)項分別成公比為等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列前項和公式和不等式的解法即可求解.【詳解】依題意是首項為，公比為的等比數(shù)列，故，兩邊平方得，所以，兩式相除得，故是以為首項，公比為的等比數(shù)列，故，所以，是以為首項.公比為的等比數(shù)列，故，所以，所以，由，經檢驗可知，符合題意.故答案為：.三、解答題17.設命題：函數(shù)定義域為；命題：使不等式能成立.（1）若命題為真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若命題為假命題，求實數(shù)的取值范圍.答案：見解析解析：【分析】（1）由題意，，令，利用二次函數(shù)的圖象與性質求出最大值即可求解；（2）由題意，命題為真命題，命題為假命題，由為真命題得且，由為假命題時，從而即可得答案.【詳解】（1）因為命題是真命題，所以，令，則，當，即時等號成立，所以實數(shù)的取值范圍為；（2）因為命題為假命題，所以命題為真命題，命題為假命題，由為真命題得：且，，所以且，由（1）知：當為假命題時，綜上，實數(shù)的取值范圍為且.18.已知的內角，，的對邊分別為，，，向量，，．（1）求角；（2）若，且，求面積．答案：見解析解析：【分析】（1）根據(jù)向量平行的充要條件及正弦定理可求得，繼而求出角.（2）利用余弦定理和正弦定理求出，利用三角形的面積公式即可求解.【詳解】（1）由題意得：，，即，又，，即，，，.（2），，又，，得，由正弦定理：，得．，．19.已知函數(shù)，其中.（1）求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍.答案：見解析解析：【分析】（1）由題可得，分，討論即得；（2）由題可得時不合題意，當時，分，討論，結合極小值小于零及零點存在定理即得.【詳解】（1）∵，函數(shù)的定義域是，∴，當時，，函數(shù)單調遞增，此時無極值；當時，，，函數(shù)單調遞減，，，函數(shù)單調遞增，故是極小值，無極大值；綜上：當時無極值；當時，是極小值，無極大值.（2）當時，單調遞增，最多有一零點，不滿足條件；當時，的極小值是，設，，在單調遞增，∵，，∴，則的極小值大于等于零，最多有一零點，不滿足條件.當時，的極小值，∵，，，所以在必有一零點；，在也有一零點，滿足條件，故的取值范圍是.20.淮南市位于安徽省中北部，地處長江三角洲腹地，淮河之濱，素有“中州咽喉，江南屏障”、“五彩淮南”之稱，是沿淮城市群的重要節(jié)點，如圖所示，淮南市準備在淮河的一側修建一條直路，另一側修建一條觀光大道，它的前一段是以為頂點，軸為對稱軸，開口向右的拋物線的一部分，后一段是函數(shù)，時的圖像，，有，且最高點與點的距離為，，垂足為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若在淮河上修建如圖所示的矩形水上樂園，問點落在曲線上何處時，水上樂園的面積最大？答案：見解析解析：【分析】（1）結合圖象，根據(jù)求得的振幅，根據(jù)最高點與點的距離為，運用勾股定理求得的周期，然后根據(jù)點在曲線上求得；（2）先根據(jù)點坐標，進而求得拋物線的方程，然后表示出矩形的面積，最后研究面積的單調性即可【詳解】（1）對于函數(shù)，由圖象知：，，解得：，又，得，并將其代入到中，解得：，又，可得：.故.（2）在中，令，得，則曲線所在拋物線的方程為：，設點，則矩形的面積為：，，可得：，令，解得：，且當時，，則單調遞增；當時，，則單調遞減.故當時，最大，此時坐標為.21.若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列中，，點在函數(shù)的圖象上，其中為正整數(shù).（1）證明數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設（1）中“平方遞推數(shù)列”的前項積為，即，求；（3）在（2）的條件下，記，求數(shù)列的前項和.答案：見解析解析：【分析】（1）根據(jù)，得到，即是“平方遞推數(shù)列”．對兩邊取對數(shù)得，利用等比數(shù)列的定義證明；（2）由(1)得到，利用等比數(shù)列的求和公式和對數(shù)的運算公式即可得出結果；（3）由（2）可得通項，進而利用分組求和即可得出.【詳解】（1）由題意得：，即，則是“平方遞推數(shù)列”.對兩邊取對數(shù)得，又，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知；（3），.22.已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）已知，若關于的不等式在區(qū)間上恒成立，求的