2021-2022學(xué)年高考數(shù)學(xué)空間向量及立體幾何綜合專練-考點(diǎn)9：證明面面垂直的方法綜合專練（教師版）

考點(diǎn)9：證明面面垂直的方法綜合專練（解析版）

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知小，〃，/為三條不同的直線，a,夕，y為三個(gè)不同的平面，有以下結(jié)論：

①若m上/,〃_!_/,則加〃“②若a_L?,,則a///?

③若機(jī)〃a,mLn,貝！J〃_Lc④若〃z_La,mVn,則〃//a

⑤若mVn,m±a,秣，B,則a/?⑥若Illa,l上0,則aJ■夕

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】B

【思路點(diǎn)撥】

根據(jù)空間中直線與平面，平面與平面之間的平行與垂直關(guān)系借助舉特例判斷或推理判斷

正誤即可.

【步步為營】

對(duì)于①，長(zhǎng)方體中，一側(cè)棱所在直線為/，同一底面的一組鄰邊所在直線分別為機(jī)，〃，

顯然有機(jī)J_/,nil,而機(jī)與〃相交，①不正確；

對(duì)于②，直三棱柱的相鄰兩個(gè)側(cè)面分別為a,夕，底面為7,顯然aJ?九g,而a

與夕相交，②不正確；

對(duì)于③，因，W//a,過，"作平面yea=b,在a內(nèi)作直線”_Lb,顯然加/花》,則帆_L〃，

即滿足條件的直線”可以在a內(nèi)，③不正確；

對(duì)于④，因加-La,在a內(nèi)任作一直線n,則有切_L〃，即滿足條件的直線”可以在a內(nèi)，

④不正確；

對(duì)于⑤，在直線”上取一點(diǎn)，過該點(diǎn)作直線加//〃?，因》7_1〃，則W_L〃，直線加，〃確

定平面5,而〃，尸，則平面5與平面夕必相交，

令5與4的交線為a,即有a_L〃，因此，“〃〃///??，而加_La,于是得a_La,又au/7,

所以⑤正確；

對(duì)于⑥，因〃/a,過/作平面uca=「，則/'〃/，而于是得/'，/，所以a_L/,

⑥正確，

所以正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是2.

故選：B

2.如圖，四邊形ABC。為正方形，PZ〃平面ABC。，PD//QA,QA=AB=^PD,則

平面PQC與平面。CQ的位置關(guān)系為()

A.平行B.相交C.相交但不垂直D.位置關(guān)系不確

定

【正確答案】B

【思路點(diǎn)撥】

證明尸￡>,AD,。兩兩垂直，建立如圖所示的空間宜角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，證明

DQPQ=O,DCPQ=O,可得PQJ_QQ,PQ1DC,再利用線面垂直的判定定理以

及面面垂宜的判定定理即可求證.

【步步為營】

因?yàn)檫禵L平面ABC。，ADu面ABC。，C￡)u面ABC￡),

所以P￡)_L0C,PD±DA

因?yàn)樗倪呅蜛BC。為正方形，所以QC_LD4,即「2A。,CD兩兩垂直，

如圖，以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)QA=1,

則。(0,0,0),C(0,0,l),0(1,1,0),P(0,2,0),麗=(1,1,0),DC=(0,0,1),

旦=(1,-1,0)

可得麗?而=lxl+lx(-l)+Ox()=(),DCPQ=O,

所以PQJ.OQ,PQ1DC,

因?yàn)?。QcDC=。，所以產(chǎn)。，平面。C。，

又因?yàn)镻Qu平面PQC,

所以平面PQC，平面QCQ.

所以選項(xiàng)ACD都不正確，

故選：B.

3.設(shè)m,n為兩個(gè)不同的直線,a,p為兩個(gè)不同的平面,則下列說法中不正確的是()

A.若，“〃”，n±p,wiua,則a_L0

B.當(dāng)m與a平行時(shí)，若，〃與"不平行，則"與a不平行

C.若aJ_g點(diǎn)PGa,點(diǎn)PGa,a±p,則“ua

D.若,〃u|$,a〃b，則》i〃a

【正確答案】B

【思路點(diǎn)撥】

由線面垂直的性質(zhì)定理和面面垂直的判定定理可判斷A；

由面面平行的性質(zhì)定理可判斷B；

由面面垂直的性質(zhì)定理可判斷C；

由面面平行的性質(zhì)定理可判斷D.

【步步為營】

對(duì)于A,由加〃小n±p,可得加_1_仇又mua,則a_L[3,故A正確；

對(duì)于B,過小、〃作平面仇使得a〃p,則。內(nèi)的任一條直線都與a平行，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,若aJ_0,點(diǎn)PGa,點(diǎn)PGa,?±p,由面面垂直的性質(zhì)定理可得aua,故C

正確；

對(duì)于D,若〃7Up,a//p,由面面平行的性質(zhì)定理可得〃?〃a,故D正確.

故選：B

4.如圖，在棱長(zhǎng)為I的正方體ABCD-AEGA中，點(diǎn)P為線段AG上的動(dòng)點(diǎn)，則下列

說法不正確的是()

A.BDA.CPB.三棱錐C-BPD的體積為定值

C.平面PACJL平面80clD.BP+OP的最小值為石

【正確答案】D

【思路點(diǎn)撥】

由題意易證BOL平面ACCH,由此進(jìn)而可判斷AC；由等積法可判斷B；等邊△BAG

與等邊△OAG展開到一個(gè)平面上，由B,P,D三點(diǎn)共線時(shí)可判斷D

【步步為營】

對(duì)于A：連接AC,在正方體中易知：BD1AC,BO_LAA，ACQAA]=A,

所以80,平面4C￡A,

又因?yàn)镃Pu平面ACGA-

所以BD_LCP,故A正確；

對(duì)于B：由等體積得匕一即”=V,,.BCD=1.S.BCD.AAugxgxlxlxg'為定值，故B正確;

對(duì)于C：由801.平面ACGA,得由BO_L平面PAC,

乂因?yàn)?￡>u平面8。加，

所以平面平面故C正確；

對(duì)于D：將等邊△陰G與等邊△OAG展開到一個(gè)平面匕

可知當(dāng)8,P,。三點(diǎn)共線時(shí)，BP+DP有最小值，最小值為

21（可-圖=24=遙,故D不正確.

故選：D.

5.如圖，已知三棱柱ABC-ABC的底面ABC為正三角形，側(cè)棱AA垂直于底面A3C,

。為AC中點(diǎn)，則下列判斷不正確的是（）

B

A.G。與8片是異面直線B.BD14C,

C.面面A^GCD.AB,〃面BDQ

【正確答案】D

【思路點(diǎn)撥】

根據(jù)異面直線的定義結(jié)合三棱柱A8C-44G的性質(zhì)即可判斷A；

證明8。J_平面4CGA，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可判斷B；

由平面ACGA,利用面面垂直的判定定理即可判斷C；

由ABC平面BOG=8,A8//A4，即可得4片與面B￡>G不平行，從而判斷D.

【步步為營】

解：對(duì)于A,在三棱柱ABC-ABG中，

BBJ/CC、,CC|U平面ACGA，所以BBJ/平面ACGA，

又CC\CC\D=G，所以G。與8瓦是異面直線，故A正確;

對(duì)于B,因?yàn)锳A垂直于底面ABC,Qu平面ABC,

所以4A，B。，

又因AABC為正三角形，且。為4c中點(diǎn)，所以8O_LAC,

又AcncG=c,所以B。！平面ACGA，

又AGuACC/,所以8O_LAC1,故B正確；

對(duì)于C,因?yàn)槠矫鍭CG4,8DU平面8DG，

所以面8￡>G，面44,CC，故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)锳Bc平面8Z）C1=8,所以A8與面8￡>G不平行，

又A8//A4,所以A4與面8QG不平行，故D錯(cuò)誤.

故選：D.

6.如圖，點(diǎn)P在正方體ABCO-ABCQI的面對(duì)角線8G上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論一定成立

的是（）

A.三棱錐A-A?。的體積大小與點(diǎn)尸的位置有關(guān)

B.Af與平面ACA相交

c.平面A平面A8G

D.AP±DtC

【正確答案】c

【思路點(diǎn)撥】

由匕一卡。=匕>一乂",結(jié)合正方體ABC。-A百GR的性質(zhì)，可得判定A不成立；由線面

平行的判定定理，分別證得BG//平面ACD,和BA//平面ACD,得到平面BA,C,//平面

AC",可判斷B不成立；根據(jù)線面垂直的判定定理，證得BQ_L平而A^G，得到平

面PDB,人平面ABC、,可判定C成立;根據(jù)當(dāng)8與P重合時(shí)，得至UAP與RC的夾角為J，

可判定D不成立.

【步步為營】

對(duì)于A中，由匕?”=匕＞?,。，在正方體ABCD-ABCQ中,

可得BG〃平面A4,。，所以尸到平面的距離不變，

即三棱錐尸-的。的高不變，又由△明。的面積不變，

因此三棱錐P-44。的體積不變，

即三棱錐A-AP。的休積與點(diǎn)尸的位置無關(guān)，故A不成立.

對(duì)于B中，由于8G//A。，4。＜3平面4(7。，BC,(Z平面4C。，

所以BG〃平面ACDt,同理可證BAJ1平面4C。，

又由BACIBCLB,所以平面BAG//平面ACR,

因?yàn)锳/u平面BAC，所以AP〃平面AC。，所以B不成立.

對(duì)于c中，因?yàn)锳G^BO,BDCBB、=B,

所以AGJ?平面BBQ,則AG，4。，同理AB_L瓦o,

又因?yàn)锳GnAB=A，所以瓦。，平而ABG.

又由BQu平面尸。瓦，所以平面PZ*八平面ABG，所以C成立.

對(duì)于D中，當(dāng)8與P重合時(shí)，可得AP與RC的夾角為IT:，所以D不成立.

故選：C.

7.如圖，點(diǎn)P在正方體A88-A4G。的面對(duì)角線8c上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論中不一定

正確的是（）.

A.OP//平面4月。B.平面ACP，平面尸8。

C.三棱錐的體積不變D.A-B2

【正確答案】D

【思路點(diǎn)撥】

根據(jù)面面平行的判定及性質(zhì)定理，可判斷A的正誤；根據(jù)面面垂直的判定定理，可判

斷B的正誤；根據(jù)等體積法，可判斷C的正誤；根據(jù)線面垂直的判定、性質(zhì)定理，結(jié)

合反證法，可判斷D的正誤，即可得答案.

【步步為營】

對(duì)于A：連接。B,￡）G，QP,因?yàn)檎襟wABCD-ABC9，

所以O(shè)G//44，DB//DM,且。u平面DBC],4母烏耳u平面4）出，

所以平面。8C"/平面4。媯，

因?yàn)?。Pu平面DBG,

所以。P〃平面故A正確;

對(duì)于B：連接AC,則AC_LB￡),

乂0_L平面ABCD,

所以AALBO,

所以8。_L平面44。，

所以B￡>_LAC,

同理可得8GAA。，

又P@BC>則8P，AC,

所以A|C_L平面BDP,

因?yàn)锳Cu平面ACP,

所以平面ACP,平面PSD,故B正確;

對(duì)于C：因?yàn)锽C|//A。，ARu平面A。用，86吠平面4。與，

所以BC"/平面4。百，

所以P到平面ADB的距離不變，

所以三棱錐P-ARB1體積不變，即三棱錐A-P耳。的體積不變，故C正確;

對(duì)于D：連接AG，耳R,因?yàn)檎襟wA8CD-ABCR,

所以AG工BQ、,BBt1平面AAGR，

所以3用_LAG，

所以4￡1平面D}BBt,則AG1BQ,

假設(shè)AP，BR,則BD、L平面APG，

所以82，PC-這顯然不成立，假設(shè)錯(cuò)誤，故D錯(cuò)誤,

故選：D

8.設(shè)小、〃是不同的直線，a.4、/是不同的平面，有以下四個(gè)命題：①。，九4,

則a"B?②若a，0,mHa,貝?。茛廴鬽lln,"ua,則mlaI；④若mVa,nilIp,

則a_LQ.其中假命題的序號(hào)是（）

A.①③B.①④C.①②@D.①②④

【正確答案】C

【思路點(diǎn)撥】

根據(jù)面面位置關(guān)系可判斷①；舉反例判斷②；根據(jù)線面位置關(guān)系可判斷③；根據(jù)線面平

行的性質(zhì)定理以及面面垂直的判定定理可判斷④，進(jìn)而可得正確答案.

【步步為營】

對(duì)于①：?1Z（/7±Z,則a〃分或a和夕相交，故①是假命題；

對(duì)于②：在正方體ABCD-A4GR中，平面A。。同為平面a,平面ABQP為平面夕，

直線BC為〃?，滿足mHa,但相〃夕：故②是假命題；

對(duì)于③：若，"http://〃，“ua,則機(jī)〃a或帆ua,故③是假命題；

對(duì)于④:因?yàn)闄C(jī)〃夕，過"，作平面與夕相交則交線與〃?平行,且交線在夕內(nèi)，因?yàn)?

則交線與a垂直，由面面垂直的判定定理可得a，尸，故④是真命題，

所以假命題有①②③，

故選：c.

9.如圖，已知正方體ABC。-A4G〃的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)E為8月上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)有以下四

個(gè)結(jié)論：①面AGE,面②AE〃面CDD￡；③當(dāng)E為四的中點(diǎn)時(shí)，AAEQ的

周長(zhǎng)取得最小值；④三棱錐A-AEC的體積是定值，其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】D

【思路點(diǎn)撥】

證得A，，平面A8。，根據(jù)平面與平面垂直判定，可知①正確；由平面AABBJ/平面

CD"G，根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)可知②正確；根據(jù)三點(diǎn)共線，線段和最小，可得③

正確；由三棱錐等體積法可求得匕TEC,=:，可知④錯(cuò)誤.

連接與，因?yàn)檎襟wABCO-ABCQ,所以MG，平面AABQ,且A/U

平面4/B與，所以又因?yàn)锳4，AB，且4用CBC=4,所以ABJ.平面

AS?,AC,c=平面A8￡,所以AB_L4cl,同理B￡）_L4cl,且ABcBD=B,所以AQ1

平面ABO,且4Gu平面AC￡,所以平面AGE，平面AB。，故①正確；

因?yàn)槠矫?/平面CDDC,且AEu平面AABg,所以AE〃面CDAG,故②正確；

的周長(zhǎng)等于AE+EG+A￡,而AG為體對(duì)角線是定值，所以周長(zhǎng)最小即為

4E+EG最小，將平面BCC蜴展開到平面A8BM在同一個(gè)平面，如圖:

當(dāng)A,E，G三點(diǎn)共線時(shí)，AE+EG最小，則E為B片的中點(diǎn)時(shí)，故③正確；

k網(wǎng)=%3=；xlxgxlxl=W'故④正確.

故選：D.

10.如圖1,已知R1BC是直角梯形，AB//PC,ABrBC,。在線段尸C上，ADLPC.將

△力。沿4。折起，使平面B1OJL平面48C。，連接尸8,PC,設(shè)尸8的中點(diǎn)為N,如

圖2.對(duì)于圖2,下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是(

p_D__c

\1

A—

圖1圖2

A.平面平面P8CB.8cL平面尸0c

C.PDLACD.PB^2AN

【正確答案】A

【思路點(diǎn)撥】

由已知利用平面與平面垂直的性質(zhì)得到平面48CD,判定C正確；

進(jìn)一步得到平面PCD_L平面ABCD,結(jié)合BCA.CD判定B正確；

再證明平面B4Z),得到△力3為直角三角形，判定D正確；

可證明平面PBC，平面PDC,若平面MB上平面PBC,則平面PAB與平面PDC的交

線，平面P8C,矛盾，可判斷A

【步步為營】

圖1中AD±PC,則圖2中PDLAD,

又；平面處。J_平面ABCD,平面B4OC平面48CZ)=AD,

.?.PO_L平面48C￡),貝IJPO_LAC,故選項(xiàng)C正確；

由平面ABCD,PDu平面PDC,得平面PDC_L平面ABCD,

而平面POCC平面A8CO=CD,8Cu平面A8CD,BCLCD,

.?.BCL平面PQC,故選項(xiàng)B正確；

,CABA.AD,TffiB4D±￥?ABCD,且平面B4OCI平面A2C￡）=AO,

平面以O(shè),貝即△是以尸8為斜邊的直角三角形,

而N為P8的中點(diǎn)，則PB=24V,故選項(xiàng)D正確.

由于8c_L平面POC,又BCu平面PBC

平面P8C_L平面PDC

若平面以8，平面PBC,則平面PAB與平面PDC的交線_L平面PBC

由于A8〃平面PDC,則平面以8與平面PDC的交線〃A8

顯然AB不與平面P8C垂直，故A錯(cuò)誤

故選：A

二、填空題

11.如圖，在QABCD中，AB=BD=DC=1,AD=BC=C，將QA8C￡>沿對(duì)角線BO

折成三棱錐使平面A7?_L平面8CO,在下列結(jié)論中：

①直線C0_L平面AM；

②平面A'BC_L平面BCD；

③點(diǎn)B到平面ACD的距離為正；

4

④棱AC上存在一點(diǎn)到頂點(diǎn)4,B,C,O的距離相等.

其中正確的結(jié)論有.（填序號(hào)）

【正確答案】①②④

【思路點(diǎn)撥】

①易證8LBQ,再根據(jù)平面A3Z），平面BC3,利用面面垂直的性質(zhì)定理判斷；②易

證AB±BD,再根據(jù)平面ABD±平面BCD,利用面面垂立的性質(zhì)定理和判定定理判斷;

③設(shè)點(diǎn)B到平面ACD的距離為h,由匕…=%.求解判斷；④根據(jù)ANMAACZ）都是

直角三角形，利用中線定理判斷；

【步步為營】

①因?yàn)锳B=3r>=OC=l,AD=BCm，

所以C￡>_LBQ,又COu平面BCD,且平面A，8￡)_L平面BCD,

所以直線COL平面A'BD,故正確；

②因?yàn)锳B=8D=QC=1,AD=BC=0

所以ABu平面A3￡),且平面A3D_L平面8c

所以直線A25J_平面BC。，乂A'3u平面A，8C,所以平面A，8CL平面BCD,故正確;

③設(shè)點(diǎn)B到平面ACD的距離為h,由直線C￡>_L平面ABD,=匕.Q，

3xCDxS^A.BDCDx-xA'BxBD萬

得力=—H-----------------=號(hào)故錯(cuò)誤;

-xCDxA'D2

§X°A'CD

A2

④因?yàn)锳ABCUTCZ)都是直角三角形，由中線定理得，棱AC的中點(diǎn)到頂點(diǎn)4,B,C,

。的距離相等，故正確.

故答案為：①②④

12.如圖，正三棱柱ABC-A耳G的棱長(zhǎng)均為2,點(diǎn)M是側(cè)棱4A的中點(diǎn)，過點(diǎn)4與平

面BCM垂直的平面與側(cè)面ABB^的交線為I,則直線/與直線8c所成角的余弦值為

B

【正確答案】也

10

【思路點(diǎn)撥】

取A8,AC的中點(diǎn)E,F,根據(jù)線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理證明平面3cM

，平面由此確定直線/,再確定直線/與直線8C所成角，解三角形求其大小.

【步步為營】

依題意，分別取AB,AC的中點(diǎn)E,F,連接用E,CE,B、C,EF,BXF.因?yàn)檎?/p>

棱柱48C-AqG的棱長(zhǎng)均為2,所以四邊形ABBM為正方形，由點(diǎn)M是側(cè)棱A/的中

點(diǎn)，得因?yàn)镃E,平面A88M，所以CELBM,CE[}B,E=E,所以8"，

平面BtCE,所以平面BCM1平面BtCE,所以過點(diǎn)S,與平面BCM垂直的平面與側(cè)面

AB8M的交線/即為qE.又因?yàn)镋FHBC,可得直線/與直線8c所成角即與E與EF所

,BF=g,EF=X+5~\=-^-,

成的角，在△及EF中，EF=1,￡B1=#、cosZB.

112x1x610

所以直線/與直線BC所成角的余弦值為衛(wèi)

1(

13，

B

13.如圖，直三棱柱4g-48?,448。為等腰直角三角形，43_18。.且4。=441=2,

E,尸分別是AC,4G的中點(diǎn)，。為44的中點(diǎn)，則四棱錐。田加FE的外接球表面積

為.

【正確答案】57r

【思路點(diǎn)撥】

記BF,的交點(diǎn)為0,取EF的中點(diǎn)G,連接0G,GD,0￡>,易證得平面8所囪1.平

面ACG4,再根據(jù)集合關(guān)系得O即為四棱錐D-BBFE的外接球的球心，進(jìn)而求解即可得

答案.

【步步為營】

記8凡EBi的交點(diǎn)為0,取EF的中點(diǎn)G,連接0G,GD,0D.

?.?直三棱柱ABC-ABG中,E,2分別是AC,4直的中點(diǎn),

M_L平面ABC,：-EFlBE,

?；△ABC為等腰直角三角形,E是AC中點(diǎn),

AC上BE,

'：ACr\EF=E.

?^.6E1J?平面ACGA

,/3Eu平面BEFB\

?*.平面BEFB\J-5F?ACC\A\.

■:D為AAi的中點(diǎn),AC=AAi=2,

AOGLGD,且OG=1,OG=g,

/.OD=ylOG2+GD2=—.

2

由矩形的性質(zhì)知OB=OE=OF=OB|,

12

令四棱錐Q-881FE的外接球半徑為K,則R=@,

2

其表面積為S=4%爐=5萬.

故答案為：5萬

14.下列命題正確的序號(hào)是.（其中/,機(jī)表示直線，a,/},/表示平面）

①若/_Ln?,/la>mlp,則aJ■尸；

②若/_D〃，lua,mu0,則a_L/?；

③若0，7,PI!y,則aJ■力；

④若〃/〃?，Ila,mu/3,則a_L￡.

【正確答案】①③④

【思路點(diǎn)撥】

對(duì)于①：利用面面垂直的判定定理即可判斷；

對(duì)于②：經(jīng)判斷a與夕可能平行也可能相交；

對(duì)于③：利用面面垂直的判定定理即可判斷；

對(duì)于④：利用面面垂直的判定定理即可判斷.

【步步為營】

若/_L?i,11a,則，??〃a或mua,

又由相，尸，則al??，故①正確；

若/_L，〃，Iua,mu0,

則a與夕可能平行也可能相交，故②不正確；

若aly,則存在直線“ua,使。_1_九

乂由9/人則a_L尸，根據(jù)面面垂直的判定定理可得aJ?尸，故③正確：

若Ulm,/±a,則，〃_La,

又由mu尸，則a_L/?,故④正確.

故答案為①③④.

15.已知a,P是兩個(gè)不同的平面，直線/是平面a,夕外的一條直線，現(xiàn)有下列三個(gè)論

斷：①C6；②/〃a；③.請(qǐng)以其中兩個(gè)論斷為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，

寫出一個(gè)正確的命題：.

【正確答案】①③二②或②③n①

【思路點(diǎn)撥】

①③為條件，②為結(jié)論，利用面面垂直的性質(zhì)定理和線面平行的判定定理可證為正確命

題；

②③為條件，①為結(jié)論，利用線面平行的性質(zhì)定理和線面、面面垂直的判定定理可證為

正確命題；

①②為條件，③為結(jié)論，利用線面平行的判定定理構(gòu)造反例可證偽.

【步步為營】

①③為條件，②為結(jié)論，是正確的命題.證明如下：

①。，〃，在平面a內(nèi)作交線的垂線〃?,則加，￡,又?.?③成立，根據(jù)線面垂直的性

質(zhì)定理得〃/孫又?.?直線/是平面a外的一條直線，，〃是平面a內(nèi)的一條直線，..."/a,

即②成立；

②③為條件，①為結(jié)論，是正確的命題.證明如下：

由②成立〃/a,過/作平面y,使aC尸〃，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，可得〃/〃，

由③/_!.￡成立，又即①成立.

①②為條件，③為結(jié)論，是錯(cuò)誤的命題.反例構(gòu)造如下：

由于直線/是平面a,尸外的一條直線，所以/只要與a,￡的交線平行，/即與a和/?

都平行，故不一定有成立.

故答案為：①③=>②（或②③〉①）

16.在正方體A8CD-A4CQ中，P為底面ABCD的中心，E為線段4。上的動(dòng)點(diǎn)（不

包括兩個(gè)端點(diǎn)），。為線段AE的中點(diǎn)現(xiàn)有以下結(jié)論：

①PE與QC是異面直線;

②過A,P,E三點(diǎn)的正方體的截面是等腰梯形

③平面APEJL平面BDD、B\；

④PE//平面CDRG.

其中正確結(jié)論是.

【正確答案】②③

【思路點(diǎn)撥】

作出過A,P,E三點(diǎn)的正方體的截面即可得到答案.

【步步為營】

如圖，連接AC,EC,易知：點(diǎn)P為線段AC的中點(diǎn)，連接4G,則4G〃4C,

過點(diǎn)E作EF〃4G交CQi于F,于是AE=GF,又AA=GC,則由勾股定理可知：

AE=CF,又因?yàn)镋F〃4G,A\C\//AC,J.EF//AC,即過A,P,E三點(diǎn)的正方體的

截面是等腰梯形，②正確；

容易得出，PE與QC共面于平面ACFE,①錯(cuò)誤；

易知：AC^BD,ACLBB「BDcBB\=B,二AC，平面BD。,而ACu平面APE,

平面APE,平面3。。用，③正確；

容易判斷，當(dāng)點(diǎn)E不是線段4G的中點(diǎn)時(shí)，PE與平面CDQ￡不平行，④錯(cuò)誤.

故答案為：②③.

17.如圖，已知棱長(zhǎng)為2的正方體4BCO-A8C。中，點(diǎn)尸在線段上運(yùn)動(dòng)，給出

下列結(jié)論:

TT7T

①異面直線”與。。所成的角范圍為py;

②平面平面ACQ；

③點(diǎn)P到平面4G。的距離為定值亞；

3

④存在一點(diǎn)尸，使得直線”與平面8CGg所成的角為女.

其中正確的結(jié)論是.

【正確答案】②③

【思路點(diǎn)撥】

TT7T

數(shù)形結(jié)合說明異面直線a與。。所成的角的范圍為，故①錯(cuò)誤；證明平面

4G。，所以平面尸8〃，平面4G。，故②正確；點(diǎn)尸到平面4G。的距離為定值，且等

于的?，即2叵，故③正確；”與平面8CC百所成的角為NAPHtan/APB最大

值為&<tan],故④不正確.

【步步為營】

對(duì)于①，當(dāng)P在C點(diǎn)時(shí)，DDt1AC,

7T

異面直線AC與DD、所成的角最大為y,

當(dāng)P在片點(diǎn)時(shí)，異面直線ABt與。2所成的角最小為NDQC=：,

所以異面直線口與。自所成的角的范圍為，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，如圖，因?yàn)锳G，耳2,46，與8,隹。門8田,81。,四8匚平面881。,所以

AG±BD,另理DC,±BDt，又因?yàn)锳Gnog=G，AG，DGU平面DAG,所以叫J?平

面ACQ,所以平面P8。一平面ACQ,故②正確；

對(duì)于③，因?yàn)锽Q〃A。,4Ca平面AGO.AOU平面AG。,所以BC〃平面AG。，所以

點(diǎn)P到平面AC?的距離為定值'且等于BR的！‘即挈’故③正確:

對(duì)于④，直線AP與平面BCC蜴所成的角為N4P3,tanNAPB=/R,

當(dāng)8PJ_8|C時(shí)，8尸最小，lanNAPB最大，最大值為0<tan；,故④不正確,

故答案為：②③.

【化龍點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是判斷命題①④的真假，它們都是求空間的角，它們都是利

用數(shù)形結(jié)合的方法求空間角的最值，對(duì)于數(shù)形結(jié)合的這種數(shù)學(xué)思想要注意靈活運(yùn)用.

18.已知正方形的邊長(zhǎng)為4,E,尸分別為AO,8c的中點(diǎn)，以E尸為棱將正方形A3Q9

折成如圖所示的60。的二面角，點(diǎn)M在線段A8上.直線OE與平面EMC所成的角為

60°,則面MCE與面CEF夾角余弦值為.

【正確答案】7

4

【思路點(diǎn)撥】

由線面垂直的判定可得平面A8FEL平面AOE,取AE的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，構(gòu)建

麗，田，麗為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)并設(shè)朋(1/0)

(0</<4),根據(jù)已知線面角的大小求參數(shù)f,再求面CE尸和面MCE的法向量，應(yīng)用空間

向量夾角的坐標(biāo)表示求余弦值即可.

【步步為營】

由已知得，EFLAE,EF1.DE,

二￡尸_1_平面4?！?，XEFc?ABFE,

，平面ABFE_L平面ADE.

取AE的中點(diǎn)”為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

E（-l,0,0）,￡＞（0,0,V3）,C（0,4,x/3）,F（-l,4,0）,則加=（1,0,6）,反=（1,4,6卜

設(shè)M（l/,0）（0SV4）,則EA/=（2,f,0）,

m-EM=0f2x+fy=0

若面EMC的法向量而=(x,y,z),則味+4y+任=?！∈縿t

m-EC=0

8_A/3

由OE與平面EMC所成的角為60°,則2J4岱一了一百，

.?.產(chǎn)_今+3=0，解得匚1或r=3,均有直線。E與平面EMC所成的角為60。.

取ED的中點(diǎn)Q,則QA為平面CEF的法向量.

；點(diǎn)。的坐標(biāo)為

設(shè)MCE與面CEF夾角為8.

18soi-凹〃,-此4|_一|

--1^1+1加/+4@〕'i?

當(dāng)匚1時(shí)，cos，=J；當(dāng)/=3時(shí)，cosO=J.

44

...面MCE與面CEF夾角余弦值為9.

4

故答案為：；

【化龍點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由面面垂直判定證面48FEL面AOE,結(jié)合翻折后的線線、線面及面面關(guān)

系，取AE的中點(diǎn)”為坐標(biāo)原點(diǎn)，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，并應(yīng)用向量法求面面角的余弦

值.

19.已知正方體ABCD-A耳G。的棱長(zhǎng)為2,E,尸分別是棱AB，AB,的中點(diǎn)，點(diǎn)P在四

邊形ABCD內(nèi)（包括邊界）運(yùn)動(dòng)，則下列說法中正確的是.

①若尸是線段BC的中點(diǎn)，則平面平面OEF

②若尸在線段AC上，則。/與AG所成角的取值范圍為

③若「鼻//平面AGE,則點(diǎn)尸的軌跡的長(zhǎng)度為應(yīng)

④若PF〃平面BCR,則線段尸尸長(zhǎng)度的最小值為指

【正確答案】①②③④

【思路點(diǎn)撥】

證明平面。砂，得面面垂直，即可判斷①正確；由ARAC為正三角形，得2P與

AG所成角的取值范圍，即可判斷②正確；分別取A。，OC的中點(diǎn)M,N,證明平面

〃平面AGE,即可判斷③正確；取的中點(diǎn)R,8c的中點(diǎn)G,OC的中點(diǎn)N,

連接FN,平面RVGR//平面AC"（先證明四點(diǎn)F,MG,R共面），確定尸G是最小值，然

后計(jì)算FG后，即可判斷④正確.

【步步為營】

對(duì)于①，如圖所示:

P,E分別是線段BC,的中點(diǎn)，AA8P,

貝I]ZPAB=ZADE，NPAB+NDEA=ZADE+NDEA=-|,

所以易知EF_L平面ABC￡>,所以EF，”，

所以API?平面。所，從而平面AB/，平面?！晔?，故①正確；

對(duì)于②，正方體ABCQ-ABCA中，AG//AC,所以AP與AG所成的角為RP與AC

所成的角，連接。4，QC，則ARAC為正三角形，所以。P與AG所成角的取值范圍

為j,f，故②正確;

設(shè)平面AGE與直線BC交于點(diǎn)G,連接GG,EG,則G為8C的中點(diǎn)，

分別取A。，OC的中點(diǎn)M,N,連接RM,MN,D、N,易知RM//GG,

所以〃平面ACE,同理可得RN〃平面ACE,所以平面RMN〃平面AGE,

由此結(jié)合PR〃平面AGE,可得直線PRu平面RMN,所以點(diǎn)尸的軌跡是線段MN,

易得MN=后，故③正確；

對(duì)于④，如下圖，

取Bq的中點(diǎn)R,8c的中點(diǎn)G,OC的中點(diǎn)N,連接FN,

因?yàn)镕B//NC,FB、=NC,所以四邊形FqCN為平行四邊形，

所以FNHB.C,所以FNH平面3c2，

連接8￡>,NG,則NG//BD,又BDHB、D,所以NG//BR,所以NG〃平面片。。，

連接網(wǎng)，GR,易知GR〃B,C,又B、Ci/FN,所以RG//FN,故F,N,G,R四點(diǎn)共面，

所以平面FNGR//平面B\CD、.

因?yàn)槭現(xiàn)//平面4C。，所以P尸u平面/WGR,所以點(diǎn)P的軌跡為線段NG.

由Afi=2知，F(xiàn)N=2及，NG=&，連接陽，F(xiàn)G、在RtZSFBG中，

FG?=FB^+BG°=(琦+1=6,所以尸G="，所以FN?=NG?+FG?,得NFGN為直角,

故線段叱長(zhǎng)度的最小值為布，故④正確.

故答案為：①②③④

20.空間四面體ABC。中，AB=CD=2,AD=BC=243.AC=4,直線BO與AC所

成的角為45。，則該四面體的體積為.

【正確答案】逑

3

【思路點(diǎn)撥】

由條件可得AABC,為直角三角形，作直角三角形AABC和AD4c斜邊上的高

BE,DF,作平行四邊形8EFG,由此可得直線8。與4c的平面角為NO8G,4(7，平

面DFG,解三角形確定三棱錐Q-ABC底面A8C上的高，利用體積公式求體積.

【步步為營】

,/AB=2,8c=2百，AC=4,；.AABC為直角三角形，

同理可得△D4C為宜角三角形，

如圖，作直角三角形AABC和△ZMC斜邊上的高BE,DF,

貝UAE="=1

E,尸是線段AC的兩個(gè)四等分點(diǎn)，

作平行四邊形BEFG,則DF1AC,

由線面垂直判定定理可得AC_L平面DFG,又ACu平面ABGC,

二平面4BGC_L平面DFG,

在平面DFG內(nèi)，過點(diǎn)。作垂足為H,

由面面垂直的性質(zhì)定理可得平面ABGC,

二。”為四面體48CO的底面A8C上的高，由三角函數(shù)定義可得。尸?sin2DFG

又因?yàn)?G〃AC,所以8G_LOG,

又因?yàn)橹本€BD與AC所成的角為45。，所以NO8G=45。，

/.ADGB為等腰直角三角形，

GD=GB=EF=2

在GFG中GD=2,BE=DF=6

由余弦定理可求得cosN￡>FG=1,；.sinZDFG=-

33

所以四面體的體積V=」S/!=」SABc，DFsinNDFG=還.

33匹3

故答案為：逑.

3

【化龍點(diǎn)睛】

平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線

的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：

①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；

②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

③計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；

④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是（。，￡，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí);應(yīng)取它的補(bǔ)

角作為兩條異面直線所成的角.

三、解答題

21.如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，R1_L平面ABC。，PDABCD

所成角的大小為￡

4

(1)求證：平面A尸8_1_平面CPB；

(2)求直線與平面PBC所成角的大小.

【正確答案】(1)證明見詳解(2)y

【思路點(diǎn)撥】

(1)由PAJ_8C,AB_LBC證明BCJ■平面AP8,結(jié)合BCu平面CP8,即得證；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面P8C的法向量，利用線面角的向量公式，即得解

【步步為營】

(1)由題意，出，平面A8CD,BCu平面48CO

:.PA1BC

又四邊形A8C。是正方形，.?.A8LBC

又「4nA3=APA,48u平面AP8

.?.8CJ■平面AP8,BCu平面CP8

J.平面平面CPB

(2)由題意，B4_L平面A8CZ),與平面A8CZ)所成角的大小為工

4

71

???ZPDA=-,??.PA=AD=a

4

由于%_L平面43CQ,AB.LAD,如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系

則A(0,0,0),P(0,0,a),5(0,%0),C(a,a,0)

則PA=(0,0,—a),PB=(0,。,一。),PC=(a,a,-a)

設(shè)平面PBC的法向量7=(x,y,z)

n-PB=O(ay-az=O

HPC=O[ax+ay-az=O

令y=l.,.z=1,x=0

AH=(0,1,1)

不妨設(shè)直線PA與平面尸8C所成角的大小為a

..PAnay/2笈

,?sinct=—.——1=~f=—=—,ae(0,—]

\PA\[n\41a2'’2」

冗

?二a=一

4

故直線PA與平面PBC所成角的大小為巳.

4

22.如圖，長(zhǎng)方體A5CD-A山iGOi的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，44=4,點(diǎn)E、/、

M、N分別為棱CCi、BC、BBi、4Al的中點(diǎn).

(I)求三棱錐E-A尸M的體積;

(n)求證：平面8|。歸_1_平面C1MN.

4

【正確答案】(I)p(II)證明見解析.

【思路點(diǎn)撥】

(I)根據(jù)三棱錐的體積公式計(jì)算即可.

CII)利用線面垂直和面面垂直的判定定理，證明即可.

【步步為營】

解：(I)因?yàn)锳8_L側(cè)面所以平面

又M、E分別為BBi、CG的中點(diǎn)，

所以四邊形M8CE為正方形，

所以△mEF的面積為SAMEF=ME>MB=yx2x2=2.

114

所以三棱錐A-EFM的體積為V：^A-EFM=-5AMEr-AB=-x2x2=-.

(II)證明：長(zhǎng)方體ABC。-AiSCQi中，四邊形BCGBi是矩形，

因?yàn)镋、M分別為棱CCi、的中點(diǎn)，且8Bi=4,81cl=2,

所以四邊形MEGS是正方形，所以CiM_LSE,

又N、M分別為棱441、281的中點(diǎn)，所以平面BCGBi,

又8iEu平面BCG8,所以NM-LBiE,

又因?yàn)镹MQCiM=M,NM,CiMu平面CiMN,

所以8iE_L平面CiMN,

又2iEu平面B\D\E,所以平面8QiE_L平面C\MN.

23.如圖，將等腰直角沿斜邊AC旋轉(zhuǎn)，使得8到達(dá)9的位置，且BB=AB.

(1)證明：平面A8'C_L平面ABC.

(2)求二面角8-A8'-C的余弦值.

-14~

(3)若在棱CU上存在點(diǎn)M,使得CM=〃C*，，在棱BB'上存在點(diǎn)N,

使得俞=2曲，且求2的取值范圍.

【正確答案】(1)證明見解析；(2)且；(3)-

3L69J

【思路點(diǎn)撥】

(1)取AC的中點(diǎn)為0,進(jìn)而證明的人平面ABC,然后根據(jù)面面垂直的判定定理得

到答案；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而根據(jù)空間向量的夾角公式求得答案；

(3)根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出4與〃間的關(guān)系式，進(jìn)而求出力的取值范圍.

【步步為營】

(1)取AC的中點(diǎn)為0,連接OB,0B.

由題意得，BB'=AB=AB'=BC^B'C,

在VA8C中，因?yàn)椤锳C的中點(diǎn)，所以0B'J_AC,即ZB'OC=90。.

易得△03B'與AOC*全等，則N?O8=/B'OC=90。，BPB'OIOB.

因?yàn)锳CnO3=O,所以胸7八平面ABC.

因?yàn)锽'Ou平面AB'C,所以平面AB'C,平面48c.

(2)不妨設(shè)。4=1,由(1)淑9人平面ABC,易知OBJ_4C,

如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)C,OB,OB'所在直線為％軸，了軸，z軸，建立空

間直角坐標(biāo)系。一年，則。(0,0,0),A(-l,0,0),B(O,l,O),"(0,0,1),C(l,0,0),

A》=(1,1,0)，A%，=(l,0,l)，

rz、[it-AB=0,fx+y=0,

設(shè)平面488'的法向量為〃=x，N，z,則一.得二

n-AB'=0,1x+z=0,

不妨取x=l,則萬=(1,-1,-1).

因?yàn)镺B_LAC,OB，OB',ACcOB'=O,所以08,平面A?C,所以平面A9C的一個(gè)

法向量為防=(0,1,0).

1

因?yàn)镃OS<”,方>=一"6,=---.

\n\\OB\員13

又二面角3-AB'-C是銳二面角，所以二面角3-AB'—C的余弦值為3.

3

(3)結(jié)合(2)可得靛*=(1,_1,0),加=(-1,0,1)，m=(0,-1,1).

TTTTT

BM=BC+CM=