Taylor公式應(yīng)用研究報(bào)告

.zTaylor公式應(yīng)用研究**：**專業(yè)：****：**內(nèi)容提要本文對泰勒公式及其在高等數(shù)學(xué)上的幾個(gè)重要應(yīng)用與技巧進(jìn)展了探究，比方在求極限、近似計(jì)算、研究函數(shù)性質(zhì)、等式和不等式的證明、求*點(diǎn)處函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及求行列式值等上的應(yīng)用.其中每一應(yīng)用都給出了相應(yīng)的實(shí)例，這樣有助于我們加深對每一應(yīng)用的理解與掌握，進(jìn)而能夠很好地把泰勒公式這一多功能數(shù)學(xué)工具應(yīng)用到解題過程中.關(guān)鍵詞:泰勒定理麥克勞林公式應(yīng)用目錄引言………………3根底知識…………31.1泰勒公式…………………31.2常見簡單函數(shù)的泰勒展開式及其應(yīng)用…………………51.2.1常見簡單函數(shù)的泰勒展開式……51.2.2簡單應(yīng)用…………5泰勒公式常見的一些應(yīng)用………62.1求極限……………………62.2近似計(jì)算…………………72.3探究函數(shù)簡單性質(zhì)………82.4證明等式與不等式………102.5求*點(diǎn)處函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)………………112.6求解行列式值……………123.參考文獻(xiàn)…………13Taylor公式應(yīng)用研究0.引言我們知道只能使用加、減、乘三種運(yùn)算的多項(xiàng)式是初等函數(shù)里最簡單的函數(shù),可想而之知假設(shè)能用多項(xiàng)式函數(shù)初近似代替初等超越函數(shù)、無理函數(shù)以及有理分式函數(shù)，并且又在誤差允許*圍內(nèi)的情況下，則這將對函數(shù)值的近似計(jì)算以及函數(shù)性態(tài)的研究都有著很是重要的意義.由此想到一個(gè)函數(shù)在滿足什么樣條件下才能使用多項(xiàng)式函數(shù)來近似代替呢.所求函數(shù)與替代它的多項(xiàng)式函數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系如何呢.兩者之間的誤差又將怎么樣呢.學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)分析，我們了解到泰勒公式恰好是利用了一種叫“無限逼近〞思想近似地把*些繁雜的函數(shù)表示成了簡單的多項(xiàng)式函數(shù),掌握了這種化繁為簡的思想對于我們分析和研究其他數(shù)學(xué)問題就像搬運(yùn)重物時(shí)使用的一個(gè)有力杠桿.1.根底知識1.1泰勒公式〔1〕帶有佩亞諾〔Peano〕型余項(xiàng)的泰勒公式對于一個(gè)函數(shù)假設(shè)能滿足以下兩個(gè)條件：=1\*GB3①在點(diǎn)的*領(lǐng)域有直到階的連續(xù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)；=2\*GB3②EMBEDEquation.3存在.則可以表示為：〔2〕帶有拉格朗日〔Lagrange〕型余項(xiàng)的泰勒公式我們知道對于帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式,需要引起注意的有兩點(diǎn)：其一，適用*圍很小，它只適用于那些“自變量必須充分接近于點(diǎn)〞的函數(shù)，即帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式只“在小*圍內(nèi)〞刻畫了函數(shù)；由此我們更想“在大*圍內(nèi)〞也能那樣做；其二，得到的誤差也應(yīng)該有清晰、明確的表達(dá)式，那樣才便于我們求解.從這以上兩個(gè)方面做進(jìn)一步的研究，我們很容易得到一下的結(jié)果：①函數(shù)在閉區(qū)間上有直到階的連續(xù)函數(shù)；②函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有階導(dǎo)數(shù).則對于,至少存在一點(diǎn)，使得EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4泰勒定理又稱泰勒中值定理，上式即稱作在點(diǎn)處泰勒公式，稱為在點(diǎn)處的泰勒多項(xiàng)式，稱為在點(diǎn)處泰勒公式的余項(xiàng)，另外假設(shè)在時(shí)，泰勒定理即為拉格朗日中值定理.泰勒公式在時(shí)又變?yōu)樯鲜椒Q作(帶有拉格朗日型余項(xiàng)的)麥克勞林公式.1.2常見簡單函數(shù)的泰勒展開式及其應(yīng)用1.2.1常見簡單函數(shù)的泰勒展開式〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕EMBEDEquation.3〔6〕1.2.2簡單應(yīng)用例1求以下函數(shù)的階展開(1)〔2〕解:〔1)因?yàn)?，所以?)由于又，所以求函數(shù)的展開式關(guān)鍵是求出高階導(dǎo)數(shù)并寫出余項(xiàng)，可以用前面求高階導(dǎo)數(shù)的知識、方法和技巧來完成.這種間接法展開則是一種常用方法，結(jié)合給出的展開式、四則運(yùn)算以及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算就可解決，這樣就簡化了計(jì)算過程.2.泰勒公式常見的一些應(yīng)用2.1求極限很多時(shí)候我們需要對極限進(jìn)展化簡運(yùn)算,而這時(shí)如果我們試著用泰勒展開式來代替原來的難以化簡的單項(xiàng)式,使其轉(zhuǎn)變?yōu)轭愃贫囗?xiàng)式的有理式極限,或許就能起到事半功倍的效果。比方下面的例子：例2.求極限.分析：上式是型的極限,可用我們學(xué)習(xí)過得洛必達(dá)法則這種常用求解極限的方法來求解此題，但顯然過程復(fù)雜不易求解,假設(shè)將、兩者分別運(yùn)用泰勒公式展開,則就能化簡此比式型極限.解：由，用代替2.1.2.1節(jié)公式〔1〕中的，便得則得極限在利用泰勒公式求解極限問題時(shí)，?？墒褂名溈藙诹止?，以及附帶使用佩亞諾型余項(xiàng)來解決，遇到分式型極限式時(shí)，此時(shí)只需將分子、分母展成同階的麥克勞林公式，再通過比擬便可求出此極限.2.2近似計(jì)算利用泰勒公式可以得到函數(shù)的近似計(jì)算式和一些數(shù)值的近似計(jì)算,比方利用的麥克勞林展開式得到函數(shù)的近似計(jì)算式如下式：其中誤差是余項(xiàng).例3.計(jì)算的值，使其誤差不超過.解：,由,得到有:故,當(dāng)時(shí),便有從而略去而求得的近似值為可以得出：當(dāng)所求式子為不易求的準(zhǔn)確值的算式時(shí)，此時(shí)應(yīng)用泰勒公式能求解出其近似的值，由此可以得出泰勒公式是解此類問題的一種不錯(cuò)的方法.而且在解題的過程中，突破了查表和應(yīng)用微分求近似值的局限.計(jì)算更加準(zhǔn)確，可以滿足在精細(xì)儀器設(shè)計(jì)過程中的計(jì)算需要.2.3探究函數(shù)性質(zhì)例4.假設(shè)函數(shù)在區(qū)間[0,1]上存在2階導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)可以滿足求證：證明：點(diǎn)是函數(shù)最大值點(diǎn)，并且在開區(qū)間〔0，1〕內(nèi)，根據(jù)費(fèi)馬原理，這樣一來，在點(diǎn)處函數(shù)的2階泰勒公式是取得到再取得到綜合以上兩式，我們有因此〔這里注意〕證畢.例5.設(shè)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)存在，并且有.求解是否是曲線的拐點(diǎn).解：對一階導(dǎo)數(shù)使用泰勒公式且由題設(shè)知?jiǎng)t有不妨設(shè)，于是存在使得時(shí)，從而；另在滿足時(shí)，則有，所以在兩側(cè)附近不同符號的值，綜上可得到就是曲線上的拐點(diǎn).2.4在證明等式及不等式上的應(yīng)用例6.〔中值公式〕設(shè)在上三次可導(dǎo),試證:使得〔1〕證：不妨假設(shè)一實(shí)數(shù)能使得下式成立〔2〕這時(shí)，我們的問題歸為證明:使得〔3〕令〔4〕則根據(jù)羅爾定理,,使得,由〔4〕式,即〔5〕顯然這是一個(gè)與有關(guān)的方程，我們知道在點(diǎn)處的的泰勒展開式應(yīng)為〔6〕注意到，由上面的〔5〕，〔6〕兩式可得〔3〕式，證畢.例7.用泰勒公式證明：證：設(shè)則，即分別取得將以上不等式兩邊相加，得取，則在之間，故即得2.5求*點(diǎn)處函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)假設(shè)能求解出函數(shù)在*點(diǎn)處的則很容易得出在點(diǎn)處的泰勒級數(shù)或泰勒公式.相反，假設(shè)已得到在*點(diǎn)處的泰勒公式或泰勒級數(shù)，則根據(jù)冪級數(shù)展開具有惟一性，以及它與的關(guān)系，得在*點(diǎn)處的例8.求解在點(diǎn)處的各階導(dǎo)數(shù)的值.解：利用麥克勞林〔Maclaurin〕公式對其展開，可求得的麥克勞林公式則的麥克勞林公式為由麥克勞林公式及其各項(xiàng)系數(shù)之間所具有的聯(lián)系可知而在處的其他各階導(dǎo)數(shù)為零.2.6在求解行列式值上的應(yīng)用遇到*些特殊的行列式，即可以看成是一個(gè)含有的函數(shù)(通常是的次多項(xiàng)式)時(shí),令其為,這時(shí)，可使用讓泰勒公式在*點(diǎn)處展開的方法求解行列式的值,使用此種法可以很方便的求解這些行列式.例9.求解如下階行列式〔1〕解：令,我們讓泰勒公式在*點(diǎn)處獲得展開，則有(2)易知(3)由(3)得時(shí)全部滿足.則依據(jù)行列式的求導(dǎo)法則,可得由于因此我們可得在點(diǎn)處的各階導(dǎo)數(shù)如下各式把以上各導(dǎo)數(shù)代入(2)式中,有假設(shè)有假設(shè)有通過對以上九個(gè)例子的分析、求解，我們可以看出泰勒公式在微積分上有著非常廣泛的應(yīng)用，只是在使用泰勒公式處理問題時(shí)要特別強(qiáng)調(diào)函數(shù)展開要降階〔通常降一階即可〕,并且要恰中選擇等