第三章數(shù)值分析

第三章數(shù)值分析第一頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日二、函數(shù)逼近問題已知復(fù)雜函數(shù)，或僅知道函數(shù)在某些采樣點(diǎn)處的函數(shù)值，在某函數(shù)集合V中，尋找的“最好”近似函數(shù)逼近問題：對(duì)集合中給定的函數(shù)，要求在另一類較簡(jiǎn)單的便于計(jì)算的函數(shù)集合Ｖ中，求函數(shù)，使得與之差在某種度量意義下最小。第二頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日通常為C[a,b]，V為代數(shù)多項(xiàng)式、分式有理函數(shù)、三角多項(xiàng)式。集合V通常是依賴于一組參數(shù)的函數(shù)族，其代表元素有如下形式：

若集合V是線性空間，線性無關(guān)，則可以表示為

若為線性空間V的一組基，則是一個(gè)n+1維線性空間第三頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日

背景：在某一函數(shù)集合中找最好的近似。

賦范空間、內(nèi)積空間、正交多項(xiàng)式最佳平方逼近曲線最小二乘擬合最佳一致逼近（工科研究生不要求）第四頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日§1預(yù)備知識(shí)與函數(shù)逼近問題一、賦范線性空間1、定義設(shè)為定義于線性空間V上的實(shí)值函數(shù)，并滿足：①(非負(fù)性)當(dāng)且僅當(dāng)g=0時(shí)有②(齊次性)③(三角不等式)則稱是線性空間V上的范數(shù)。并稱線性空間V為賦范線性空間，記為Remark:子空間,V上的范數(shù)也是上的范數(shù)。第五頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日

n維向量空間(無窮范數(shù)與Euclid范數(shù))①,賦范線性空間②,賦范線性空間第六頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日

連續(xù)函數(shù)空間(無窮范數(shù))

定義于區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)的集合C[a,b]是一線性空間。定義是線性空間C[a,b]上的一種范數(shù)。C[a,b]關(guān)于該范數(shù)是一賦范線性空間,記為證明：對(duì)第七頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日

連續(xù)函數(shù)空間(Euclid范數(shù))

定義于區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)的集合C[a,b]是一線性空間。定義是線性空間C[a,b]上的一種范數(shù)。C[a,b]關(guān)于該范數(shù)是一賦范線性空間,記為證明：對(duì)第八頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日內(nèi)積空間(誘導(dǎo)范數(shù))

在內(nèi)積空間V中，定義了是內(nèi)積空間上定義的范數(shù),稱之為由內(nèi)積誘導(dǎo)出的范數(shù)。內(nèi)積空間關(guān)于其誘導(dǎo)范數(shù)是一賦范空間證明：設(shè)f和g是內(nèi)積空間V中的任意元素，由內(nèi)積的定義非負(fù)性齊次性三角不等式.第九頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日

2、距離對(duì)于賦范線性空間上的任意兩個(gè)元素f和g，它們之間的距離為Remark第十頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日

二、內(nèi)積空間1、定義設(shè)V為一線性空間，若定義實(shí)值函數(shù)，對(duì)任意滿足①(對(duì)稱性)②(線性性)③(非負(fù)性)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有第十一頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日則稱實(shí)值函數(shù)是線性空間V上的一種內(nèi)積。并稱線性空間V關(guān)于實(shí)值函數(shù)是內(nèi)積空間。對(duì)于線性空間,如下定義的實(shí)值函數(shù)滿足內(nèi)積的三個(gè)條件線性空間關(guān)于上式所規(guī)定的內(nèi)積是一內(nèi)積空間。第十二頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日2、性質(zhì)①內(nèi)積空間上任意兩元素f和g滿足Cauchy不等式證明：對(duì)內(nèi)積空間上的任意元素f、g和任意實(shí)數(shù)t，有固定f和g，右端是關(guān)于t的一元二次多項(xiàng)式,且該多項(xiàng)式函數(shù)值非負(fù)，利用二次多項(xiàng)式的判別式有得到Cauchy不等式：第十三頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日②內(nèi)積空間上的任意兩元素f和g滿足三角不等式(Schwarz不等式)：證明:利用Cauchy不等式有兩邊開平方,三角不等式得證。第十四頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日三、權(quán)函數(shù)

1、定義定義在[a,b]上的實(shí)值函數(shù)，如果滿足①②③存在則稱為區(qū)間[a,b]的一個(gè)權(quán)函數(shù)。第十五頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日2、帶權(quán)的內(nèi)積C[a,b]帶權(quán)的內(nèi)積：Remark：區(qū)間端點(diǎn)可以是無窮大，此時(shí)為廣義積分。常簡(jiǎn)記為沒有確切指出權(quán)函數(shù)時(shí)，約定ρ(x)=1。在理論證明和公式推導(dǎo)過程中,如沒有明確權(quán)函數(shù)具體形式,則表示對(duì)任意權(quán)函數(shù)均成立。第十六頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日四、函數(shù)逼近問題設(shè)為被逼近函數(shù)。Φ為賦范線性空間的一個(gè)子集合范數(shù)可以是或等。稱問題：求使得為函數(shù)f(x)在賦范集合Φ上的函數(shù)逼近問題第十七頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日逼近問題之一：最佳平方逼近

Φ為賦范線性空間的有限維子空間(1)假設(shè)其維數(shù)為n+1(2)函數(shù)組是該子空間上的一組線性無關(guān)基(3)范數(shù)取為求使得第十八頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日逼近問題之二：最佳一致逼近

Φ為賦范線性空間的有限維子空間(1)假設(shè)其維數(shù)為n+1(2)函數(shù)組是該子空間上的一組線性無關(guān)基(3)范數(shù)取為求使得第十九頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日五、Gram矩陣

1、定義設(shè)為內(nèi)積空間Φ中元素,則稱為的Gram矩陣。

第二十頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日2、性質(zhì)①定理1：設(shè)為內(nèi)積空間Φ中元素，則線性無關(guān)的充分必要條件是：Gram矩陣非奇異,即必要性：線性無關(guān).(反證法)假設(shè)，則存在非零向量使得進(jìn)而有由于第二十一頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日

即：由內(nèi)積定義知而這與函數(shù)組線性無關(guān)矛盾。假設(shè)不成立。線性無關(guān)第二十二頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日充分性：線性無關(guān)設(shè)與該式做內(nèi)積根據(jù)內(nèi)積性質(zhì)即因?yàn)榧淳€性無關(guān)線性無關(guān)第二十三頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日②定理2由內(nèi)積空間中線性無關(guān)元素確定的Gram矩陣是實(shí)對(duì)稱正定矩陣.證明：因?yàn)榫鶠閷?shí)數(shù)故Gram矩陣是實(shí)矩陣G．根據(jù)內(nèi)積性質(zhì)及Gram矩陣得Gram矩陣矩陣是對(duì)稱的第二十四頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日對(duì)任意非零向量由內(nèi)積定義且由于函數(shù)組線性無關(guān)，故

即而現(xiàn)在所以即Gram矩陣是實(shí)對(duì)稱正定矩陣第二十五頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日§2正交多項(xiàng)式一、定義

內(nèi)積空間V上的兩個(gè)元素f和g，如果則稱f和g關(guān)于內(nèi)積正交若內(nèi)積空間上的元素系滿足兩兩正交，即則稱為正交系。若則稱為標(biāo)準(zhǔn)正交系。當(dāng)正交函數(shù)系中的為i次多項(xiàng)式時(shí),稱該函數(shù)系為正交多項(xiàng)式系。第二十六頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日二、正交多項(xiàng)式系的性質(zhì)

①線性無關(guān)性：正交多項(xiàng)式系正交多項(xiàng)式系中任意中任意m個(gè)函數(shù)線性無關(guān)（非負(fù)整數(shù)互不相同）。證明：設(shè)用和上式兩端作內(nèi)積，有因?yàn)榧春瘮?shù)組線性無關(guān)。第二十七頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日②正交性：對(duì)任意次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式證明:因線性無關(guān),設(shè)它們是不超過n次多項(xiàng)式函數(shù)空間中的一組基，則用與做內(nèi)積，對(duì)得注意，則對(duì)任意次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式，第二十八頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日③實(shí)根性:

正交多項(xiàng)式系中的在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)有n個(gè)互不相同的實(shí)單根。證明：首先論證在(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根α。(反證法)假設(shè)在(a,b)內(nèi)無實(shí)根，則在(a,b)內(nèi)恒正或恒負(fù)。不妨設(shè)其恒正。于是有另一方面產(chǎn)生矛盾!第二十九頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日其次論證實(shí)根一定是奇重根假設(shè)為的m重根則為n-m次多項(xiàng)式由性質(zhì)②但當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，應(yīng)有這一矛盾說明只能是奇重根。即只能為的單根，三重根，…。第三十頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日最后證明在(a,b)內(nèi)有n個(gè)實(shí)單根。假設(shè)僅有m<n（m>n不可能）個(gè)奇重根，記之為于是有其中為偶數(shù)，q(x)是在(a,b)內(nèi)不變號(hào)的次多項(xiàng)式，將上式兩端乘以并積分左端積分，由性質(zhì)②得右端積分，由于q(x)在(a,b)內(nèi)不變號(hào)，則這一矛盾說明m=n,即只能是單根。第三十一頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日④相鄰三項(xiàng)間的關(guān)系正交多項(xiàng)式系中任何相鄰的三項(xiàng)滿足其中分別為的首項(xiàng)和次項(xiàng)系數(shù)。第三十二頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日證明：比較中的系數(shù)，可得故取利用正交多項(xiàng)式的性質(zhì)①，對(duì)于不超過k次的多項(xiàng)式存在一組參數(shù)，使得有下面確定參數(shù)第三十三頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日確定參數(shù)當(dāng)m=0,1,…,k-2由即得故確定參數(shù)將上式和做內(nèi)積，有解得第三十四頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日注意是首項(xiàng)系數(shù)為的k次多項(xiàng)式存在著實(shí)數(shù)，使得代入表達(dá)式，得確定參數(shù)在中兩端的系數(shù)應(yīng)該相同，即有得到第三十五頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日Remark1的另一種表示方法將Remark2之間的遞推關(guān)系并不能惟一確定。在允許相差一個(gè)常數(shù)倍數(shù)的意義下是惟一的。第三十六頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日Remark3規(guī)定首項(xiàng)系數(shù)是1，得到更為簡(jiǎn)單的三項(xiàng)遞推關(guān)系：其中：第三十七頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日三、常用的正交多項(xiàng)式系勒讓德(Legendre)多項(xiàng)式系切比雪夫（Chebyshev）正交多項(xiàng)式系拉蓋爾（Laguerre）正交多項(xiàng)式系埃爾米特（Hermite）正交多項(xiàng)式系第三十八頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日1、勒讓德(Legendre)多項(xiàng)式系定義多項(xiàng)式系的首項(xiàng)系數(shù)次項(xiàng)系數(shù)

第三十九頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日勒讓德多項(xiàng)式系的前六項(xiàng)分別為圖形依次為第四十頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日第四十一頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日勒讓德多項(xiàng)式的主要性質(zhì)：①正交性：多項(xiàng)式系是區(qū)間[-1,1]上關(guān)于權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式系。對(duì)任意的

有證明參考教材66頁第四十二頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日證明，不妨設(shè)設(shè)注意第四十三頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日當(dāng)?shù)谒氖捻?，共一百一十二頁?022年，8月28日②遞推性利用正交多項(xiàng)式的性質(zhì)④，得到如下遞推關(guān)系：

證明：因?yàn)?，且為正交多?xiàng)式系，根據(jù)第四十五頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日有第四十六頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日③奇偶性n為奇（偶）數(shù)時(shí)，為奇（偶）函數(shù)。證明：（歸納法）為偶函數(shù)。為奇函數(shù)設(shè)結(jié)論對(duì)n=m、n=m-1成立，當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，為奇函數(shù)當(dāng)n=m+1為偶數(shù)時(shí)，第四十七頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日當(dāng)為奇數(shù)時(shí)于是故n為奇（偶）數(shù)時(shí)，為奇（偶）函數(shù)第四十八頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日④在區(qū)間[-1,1]上對(duì)零函數(shù)的最佳平方逼近性在[-1,1]上的所有首多項(xiàng)式中與零的平方誤差最小在首項(xiàng)系數(shù)為1的n次多項(xiàng)式集合中的元素滿足不等式且僅當(dāng)時(shí)，有等號(hào)成立。即第四十九頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日證明：利用正交多項(xiàng)式的性質(zhì)①，存在一組實(shí)數(shù)，使得不超過n-1次的多項(xiàng)式故且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立表明：在范數(shù)的意義下,首項(xiàng)系數(shù)為1的勒讓德多項(xiàng)式是集合中距離零最近的元素。第五十頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日2、切比雪夫多項(xiàng)式系多項(xiàng)式系稱之為n次切比雪夫多項(xiàng)式系。切比雪夫多項(xiàng)式主要性質(zhì)①遞推性引入中間變量，則利用三角函數(shù)關(guān)系得到即第五十一頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日

由知是首項(xiàng)系數(shù)為（n>0）的多項(xiàng)式函數(shù)系,稱之為切比雪夫多項(xiàng)式系。證明：由及歸納法可知為n次多項(xiàng)式。其首項(xiàng)系數(shù)設(shè)結(jié)論對(duì)n=m成立，即的首項(xiàng)系數(shù)為，當(dāng)n=m+1時(shí),其首項(xiàng)系數(shù)為故對(duì)任意n，

即是首項(xiàng)系數(shù)為的多項(xiàng)式系。第五十二頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日

也可用歸納法證明：的次項(xiàng)系數(shù)；的次項(xiàng)系數(shù)設(shè)結(jié)論對(duì)n=m成立，即的次項(xiàng)系數(shù)為當(dāng)n=m+1時(shí)，其首項(xiàng)系數(shù)為的系數(shù)，即故對(duì)任意n，即的次項(xiàng)系數(shù)。其前6項(xiàng)的函數(shù)表達(dá)形式如下：其圖形依次為：第五十三頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日第五十四頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日②正交性在區(qū)間[-1,1]上關(guān)于權(quán)函數(shù)正交證明：注意第五十五頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日故第五十六頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日③奇偶性n為奇（偶）數(shù)時(shí)，為奇（偶）函數(shù)證明：（歸納法）為偶數(shù)；為奇函數(shù)設(shè)結(jié)論對(duì)成立，即當(dāng)m為偶數(shù)，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)當(dāng)m為奇數(shù)，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)第五十七頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，于是對(duì)任意，故n為奇（偶）數(shù)時(shí)，為奇（偶）函數(shù)。第五十八頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日④零點(diǎn)與最值點(diǎn)在（-1，1）內(nèi)的n個(gè)零點(diǎn)為：在[-1,1]上有n+1個(gè)最值點(diǎn)。它在交錯(cuò)取最大值1。最小值-1。且有第五十九頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日證明：令得或者時(shí)故零點(diǎn)為即第六十頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日因或k>n時(shí)，取有即在[-1，1]上有n+1個(gè)最值點(diǎn)。且在輪流取最大值1，最小值-1。顯然由的定義知第六十一頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日⑤最佳一致逼近性記則為首項(xiàng)系數(shù)為1的n次多項(xiàng)式集合。在區(qū)間[-1，1]上對(duì)零函數(shù)的最佳一致逼近性：滿足即第六十二頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日證明：因?yàn)樵趨^(qū)間[-1，1]上輪流取最大值最小值-1，且首項(xiàng)系數(shù)為故（反證法）若結(jié)論不成立，則另外存在使得即令則為不超過n-1次的多項(xiàng)式。第六十三頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日由于則

…………第六十四頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日即在共n+1個(gè)點(diǎn)輪流取正負(fù)號(hào)。由連續(xù)函數(shù)的介值定理知：在n個(gè)區(qū)間上至少各有一個(gè)零點(diǎn)。但是為不超過n-1次的多項(xiàng)式，其零點(diǎn)最多有n-1個(gè)，故產(chǎn)生矛盾。因此，在首項(xiàng)系數(shù)為1的n次多項(xiàng)式集合中第六十五頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日3、拉蓋爾多項(xiàng)式系定義則是區(qū)間上關(guān)于權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式系，稱為拉蓋爾多項(xiàng)式系。其首項(xiàng)系數(shù)，次項(xiàng)系數(shù)并有和三項(xiàng)遞推關(guān)系第六十六頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日4、愛爾米特多項(xiàng)式系定義則是區(qū)間上關(guān)于權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式系，稱之為愛爾米特多項(xiàng)式系。其首項(xiàng)系數(shù)次項(xiàng)系數(shù)并有和三項(xiàng)遞推關(guān)系第六十七頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日常用的正交多項(xiàng)式名稱區(qū)間權(quán)函數(shù)記號(hào)與表達(dá)式勒讓德[-1，1]10切比雪夫[-1，1]0拉蓋爾愛爾米特0第六十八頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日3最佳平方逼近

為賦范（內(nèi)積）線性空間的有限維空間.范數(shù)取為（范數(shù)取為內(nèi)積誘導(dǎo)范數(shù)）求使得求使得第六十九頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日

求使得求使得第七十頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日一、最佳平方逼近問題的求解1、多元函數(shù)的矩陣表達(dá)形式記注意第七十一頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日得其中是Gram矩陣（對(duì)稱正定）：對(duì)于上述最佳平方逼近問題，由于（f,f)是確定函數(shù)，故尋求使達(dá)到最小值的解向量即為尋求使達(dá)到最小值的解向量第七十二頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日2、二次函數(shù)取得最小值的充要條件設(shè)為實(shí)對(duì)稱正定矩陣，和是n維列向量。則使得二次函數(shù)取得最小值的充要條件是為線性方程組的解。證明：A為實(shí)對(duì)稱正定矩陣有唯一解向量第七十三頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日即有故所以

由于是常量，A為對(duì)稱正定矩陣，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值第七十四頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日3、法方程組由于Gram矩陣是實(shí)對(duì)稱正定矩陣，結(jié)合上述定理知：求解最佳平方逼近問題，即求

的最小值就是求解線性方程組：上述線性方程組稱為最佳平方逼近問題的法方程組或正規(guī)方程組法方程組的唯一解記為最佳平方逼近的解函數(shù)為第七十五頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日

4、的等價(jià)表示形式即第七十六頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日幾何意義函數(shù)組是內(nèi)積空間的組基，故上式表明與內(nèi)積空間中任意函數(shù)正交，因此可視為被逼近函數(shù)f在內(nèi)積空間上的投影第七十七頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日5、平方逼近誤差第七十八頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日舉例法方程的系數(shù)矩陣

設(shè)的解向量為最佳平方逼近函數(shù)為平方誤差為第七十九頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日二、基于正交基的最佳平方逼近目的：減少計(jì)算量，減少舍入誤差的影響。當(dāng)為內(nèi)積空間的一組正交函數(shù)基時(shí)

第八十頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日1、利用已知的正交基如：用二次多項(xiàng)式做最佳平方逼近，可根據(jù)不同區(qū)間、不同權(quán)函數(shù)選取正交多項(xiàng)式。第八十一頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日2、利用已知的正交基求最佳平方逼近函數(shù)

例由然后計(jì)算出第八十二頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日3、構(gòu)造正交基對(duì)不超過n次的多項(xiàng)式空間利用公式：其中

對(duì)不完整多項(xiàng)式空間或非多項(xiàng)式空間可用斯密特正交化方法如：第八十三頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日4、任意區(qū)間上最佳平方逼近問題的轉(zhuǎn)化例若想用Legendre正交多項(xiàng)式求解，作變換問題轉(zhuǎn)化為其中第八十四頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日5、問題轉(zhuǎn)化(1)求解在空間上的最佳平方逼近(2)做逆變換(3)平方誤差計(jì)算直接計(jì)算：間接計(jì)算：第八十五頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日6、最佳平方逼近問題的一般求解方法例：求f(x)=arctgx在[0,1]上的一次最佳平方逼近函數(shù)。法1

用Legendre正交多項(xiàng)式作變換則由及得第八十六頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日法2

利用1,x做首一正交多項(xiàng)式設(shè)令取在找由得第八十七頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日法3

直接用線性無關(guān)函數(shù)族，不用正交多項(xiàng)式

設(shè)取在找由得第八十八頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日Remark1要求形式給定的最佳平方逼近函數(shù)，無論采用哪一組基函數(shù)，得到的最佳平方逼近函數(shù)的解析里理論上是唯一確定的。但是，實(shí)際計(jì)算過程中存在著大量的舍入誤差，截?cái)嗾`差（數(shù)值積分），以致采用不同的基函數(shù)所導(dǎo)致的最終數(shù)值結(jié)果經(jīng)常并不相等。Remark2采用正交基函數(shù)求最小平方逼近函數(shù)的計(jì)算量小，它避免了線性方程組的求解。第八十九頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日Remark3采用不同的方法，構(gòu)成內(nèi)積空間的基函數(shù)的選取可有不同。在前面的例題中，（1）

（2）（3）

第九十頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日§4曲線擬合的最小二乘方法

一、曲線擬合問題

給定數(shù)據(jù)，要求建立一個(gè)“最好的”連續(xù)函數(shù)，反映該組數(shù)據(jù)的基本特征。

確定函數(shù)類型：可由物理規(guī)律或通過描點(diǎn)作圖觀察選比較簡(jiǎn)單的低次多項(xiàng)式。函數(shù)類中的代表元素通常包含有若干個(gè)參數(shù)（一般有），即可以表示為線性擬合模型其中是線性無關(guān)的已知函數(shù)組。第九十一頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日設(shè)：正數(shù)是第j個(gè)采樣點(diǎn)處權(quán)，是第j個(gè)采樣點(diǎn)處的擬合。

記為或稱為擬和殘差向量切比雪夫意義下的曲線擬合模型求使得最小二乘意義下的曲線擬合模型求使得第九十二頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日二、最小二乘曲線擬合問題的求解

（離散問題的最佳平方逼近）1、最小二乘曲線擬合問題求使得離散形式的內(nèi)滿足內(nèi)積的定義第九十三頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日最小二乘曲線擬合問題的等價(jià)提法

設(shè)

最小二乘曲線擬合問題：求使得第九十四頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日2、多元函數(shù)的矩陣表達(dá)式記注意得

第九十五頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日其中由離散數(shù)據(jù)定義的Gram矩陣（對(duì)稱）：

為離散Gram矩陣對(duì)于上述最佳平方逼近問題，由于是確定函數(shù)，故尋求使達(dá)到最小值的解析向量即為尋求使達(dá)到最小值的解向量。

Remark:在一定條件下是正定矩陣。

第九十六頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日3、二次函數(shù)取得最小值充要條件如果離散Gram矩陣是實(shí)對(duì)稱正定矩